Занятие 5. Дивергенция, ротор, набла, Остроградский-Гаусс и теорема Стокса — Математика в Физике 2026

0:00 Надеюсь, меня видно отлично, и больше чего вам не нужно. Вы же видите, что я болтаю, я в действительности здесь есть, так что этого должно хватить. Мы сегодня с вами продолжаем тогда наш экспериментальный курс математика-физики, где продолжаем пробовать болтать про высшую математику для физиков, и чтобы вам было немного хоть поинтереснее. Поэтому далее, я всегда признателен вашим отзывам, вашим комментариям на этот курс под этими стримами, чтобы понимать, что вам хотелось бы видеть, что может быть поменять, что может быть добавить и так далее. Поэтому буду признателен любым вашим отзывам в этом направлении, потому что я только пробую это рассказывать. Так, меня давай побольше, а то я маленький какой-то здесь, остановись.

0:49 Так вот, курс экспериментальный, хотим пробовать рассказывать элементы вышмата, потому что вижу, насколько вам это интересно, вы хотите с этим знакомиться, хотите с этим разбираться, так что что-то пробую для вас здесь порассказывать и буду признателен любым вашим отзывам. Хотите более такой формальный курс, как в вышмоте, но, конечно, с долями правильного объяснения, ну или как бы подробного объяснения, то тоже пишите. Или хотите больше такого прикладного курса, тоже пишите, может быть потом, когда будет вторая, третья версия этого курса, мы сделаем согласно так, согласно тому, как вам будет больше всего нравиться. Так, ого, 7+, вижу, прекрасно, ну или просто семерочки, как минимум вижу.

1:38 Так, вот, что у нас с вами на сегодня запланировано. Это, кстати, одно из этих таких пособий, которые мы сделали с командой. И, конечно, такое пособие будет в скором времени выложено в моем телеграм-канале по ссылочке в описании. Но будет выложено там, не знаю, в течение одной-двух недель, чтобы мы его чуть-чуть доработали. Ну и, конечно, при условии того, сколько вы наберете огоньков. Поэтому следите за всей информацией, а также за расписанием этого курса в моем телеграм-канале. Так, что мы с вами прошли на предыдущем занятии, что вчера у нас с вами было. Мы с вами говорили про градиент и говорили про производное направление. Поняли, что производная по направлению, она отвечает за то, как быстро растет ваша функция вдоль какого-то направления,

2:24 где направление задается вектором, L вектор, L это единичный вектор, он просто показывает, куда вам бы хотелось бы двигаться. Градиент же, как мы с вами разобрались в плане свойств, он отвечает за то, где направление E наискорейшего роста, а также градиент перпендикулярен поверхности уровня То есть градиент будет перпендикулярен той поверхности, на которой функция f ваша будет равна константе Это мы с вами как раз и вчера поизучали Напишите по 10-балльной шкале, насколько мы с вами готовы путать дальше, и сегодня пойдем в некое продолжение.

3:09 Мы с вами сейчас поговорим про дивергенцию, про ротор, потом про наблу, и все это обобщим. Ох, да. Короче, у нас с вами запланировано достаточно много сегодня насыщенного материала. Надеюсь, вам понравится. Да, и предлагаю тогда начать свой разговор с дивергенцией. Так, первое Айлиуна. Славик, какое у нас сегодня занятие? Номер 9? Какое занятие? Номер 5? Номер 5, ага. Так, занятие номер 5.

4:00 Так, давайте. Так, еще раз я проверю, что у нас по комментариям. I'm always come back. Прекрасно. Все, тогда давайте приступать. Так, и первое, с чего мы с вами начнем, это будет дивергенция.

4:21 Дивергенция. смотрите дивергенция будет браться конечно от векторного поля то есть вот некоторого вектора и давайте сразу обозначу про что мы будем говорить например вот у нас с вами будет дивергенция вектора и это наш с вами разговор ближайшее время какова наша цель понять что такое дивергенция то есть как она считается а также понять что из себя представляет в свою очередь дивергенция то То есть, какой ее некий физический смысл.

5:08 Давайте сначала первое. Формульное определение дивергенции, которое на самом деле мы с вами еще получим из определения. То есть, формульно.

5:23 Дивергенция будет задаваться так. Если у вас есть некое векторное поле, напомню, что у вас есть вектор Е, который выражается как вектор Е, зависящий от координаты x, y, z. А в свою очередь это будет, конечно же, набор из трех проекций на каждую из этих осей Y, XYZ и EZ от XYZ. И вот формально дивергенция вектора E будет вычисляться как DEX по DX плюс DEY по DY плюс DEZ по DZ.

6:17 То есть, пока вам предлагаю относиться к дивергенции как к обыкновенной сумме производных по каждой координате. Все. То есть, у вас на замете происходит, в свою очередь, сумма соответствующих частных производных проекций и соответствующие координаты. То есть, мы берем частную производную здесь x и берем частную производную по x. Здесь частная производная по Y от Y, частная производная EZ по EZ. Гениально, да? То есть, в свою очередь, запомнить, что дивергенция выражается так формульно, это достаточно легко. И пока что предлагаю к ней относиться, как просто сумма, как такая сумма частных производных.

7:05 Давайте попробуем теперь же вывести, например, этот вид формулы, и также разобраться, а какой на самом деле некий физический смысл у дивергенции. Покопаемся в смысле.

7:24 Так, попробуем понять смысл.

7:31 Попробуем понять смысл.

7:39 Так, оп. Для начала давайте я вам напомню. То есть первое, что нам нужно вспомнить, это такое понятие, как поток вектора там через какую-то площадочку. Надеюсь, об этом вы когда-то уже слышали, потому что здесь я хочу немножечко сразу этим пользоваться. Потому что вот мы с вами говорим про математику и физику, и здесь я делаю некие углубления в свою очередь. в эту математику. Но вот сначала давайте поговорю про поток вектора, потому что у нас с вами на самом деле дивергенция напрямую будет связана именно с потоком. То есть поток векторного поля, векторного поля. Это первая тогда будет наша станция здесь разговора. Ну вот смотрите, как у нас

8:36 будет задаваться. Вот если говорить про случай первый, то есть, например, случай первый, да, случай 1 если у вас однородное векторное поле однородное векторное поле то что означает однородным вектором поле это значит что виктор его с каждой точке равен константе то есть какую бы точку пространства вы не брали вас везде вектор е будет смотреть в одну и ту же сторону и вот смотрите давайте возьмем какую-то такую площадочку ты чё мне не хочешь рисовать кружочек ну ладно мы

9:25 Мы тебя сейчас заставим рисовать кружочек, все. Я заставил его рисовать кружочек, он никуда не делся. То есть давайте представим, что у нас с вами есть вот некая такая площадь, площадочка S. Надеюсь, мы себе это уже представили. Могу также ее вам зарисовать.

9:50 Рисуем, рисуем и рисуем. Что делается дальше? Да, конечно, это будет наша плоская площадочка. Дальше мы понимаем, что эту площадочку, например, пронизывает электрическое поле. А именно, например, будет пронизывать электрическое поле с вектором E. Так, попробуем сейчас это выделить.

10:25 Оп, раз, два, три. Так, сюди-ма, сюди-ма. И мне еще потребуется вот этот листочек, о котором я все время, к сожалению, забываю. так и здесь мне нужно немножечко порисовать так что извините нужно чуть-чуть здесь такого терпения чтобы было более-менее красиво так и вот мы можем изобразить то есть допустим вот

11:11 наш силовые линии они пронизывают эту площадочку и в тех точках где пронизывает мы знаем что там как раз и вот вектор е вектор е у нас будет в каждой точке нашего пространства поэтому в В каждой дочке, где он будет пронизывать эту площадочку, у нас будет создаваться вектор напряженности электрического поля. Далее. Вводится такое понятие, как поток. Он, в свою очередь, характеризует следующее. Как много вклада вносится со стороны электрического поля через эту площадочку. Я бы к этому относился так. Вот представьте, у вас есть ведро. Вот есть ваша площадочка S. И представьте, у вас падает дождь. Вот идет дождь. Мы же с вами всегда видим вот эти капельки, как вот такие полосочки вертикальные, правильно?

12:01 Ну, либо наклонные, если идет также ветер, если нет ветра, то это просто обыкновенные такие вертикальные палочки вниз. Вот к ним относитесь, как, например, вот к некоторым таким векторам. То есть вот это вектор в каждой точке. Это и будет на самом деле векторное поле. То есть в каждой точке вы будете сопоставлять, с каждой точкой пространства вы сопоставляете какой-то вектор. И возникает такой вопрос, а как много, например, этого дождя попадает в эту ведерко? Ну, в эту ведерко. Понятное дело, что если я буду ведерко держать вот таким образом, то есть у меня нормаль к ведерке или перпендикуляр к ведерке будет параллельна с моими каплями дождя, то, конечно, у меня будет наибольшее количество дождика попадать в ведерко.

12:47 Я буду наискорейшим образом набирать водичку. Но если я немножечко наклоню моё ведёрко, то нормаль к ведёрку тоже наклонится, и угол между нормалью и вот этими каплями дождя у меня станет каким-то острым. И мы видим, что, конечно же, тогда дождя будет попадать мне в ведёрко меньше. А что в особенности мы можем видеть, если я ведёрко вообще изображу горизонтально, то тогда все эти капли дождя, они будут пролетать мимо ведёрка сразу же. И они даже туда не заглянут, даже на чай не заглянут Вот такие вот халтурщики И таким образом у нас получается как бы поток дождя будет равен нулю То есть здесь у нас с вами максимальный поток

13:32 Здесь еще более-менее какой-то поток, а здесь у нас нулевой И таким образом я предлагаю немного как бы относиться к этому слову поток То есть это как много типа вот этого дождя попадает в ведерко через вот это сечение И как это можно будет характеризовать? Пока напишите мне два плюсика, если вы поняли. Ну так, на пальцах, как мы будем относиться к слову поток. Буквально так, напишите два плюсика. И давайте я вам покажу, как этот поток будет искаться. То есть F, ну или φ, φ. Поток вектора E, ну или векторного поля вектора E через площадку S.

14:28 Площадку S. f в этой ситуации у нас будет вычисляться в начале вам необходимо задать как бы вектор нормали к этой площадке вот он будет вектор нормали вектор n вектором нормали мы будем называть вектор единичной длины давайте пока когда-то f наверное уберу то есть у меня будет То есть у меня будет вектор Н, единичный вектор нормали. Обратите внимание, мы, как математики и физики, обожаем такие понятия, как единичные вектора,

15:13 потому что они показывают только направление. Их длина равна единице, поэтому считание на что это не влияет. Единичный вектор нормали. Что значит нормаль? Это значит, что вектор обязан быть перпендикулярен нашей площадке. Предлагаю здесь черным цветом это выделить. пум-пум и вот так получается что вектор нормале у нас будет перпендикулярен нашей площадке да что ж такое вот интересно что хочется здесь вот так вот красиво выделить о

15:58 получилось можно еще такое понятие вести как кстати вектор с а ну и про вектор н просто что хотел бы еще добавить вектор n задаете вы сами то есть когда мы с вами говорим про обыкновенную какую-то площадочку не замкнутую а какую-то обыкновенную площадочку то в этой ситуации вектор n вы вводите сами давайте пока так отмечу важно если площадка как бы не является замкнутой то есть это не замкнутая поверхность картошки не замкнутая поверхность картошки картошки а как вот здесь отдельный

17:01 вот какая-то площадочка то n вектор задаем сами задаем самостоятельно самостоятельно вот что хотелось бы кстати к этому еще добавить что вместе с вектором n когда вы задаете вы на На самом деле еще задаете обход этого контура, а именно на самом деле обход границы вашей площадки. Потому что обратите внимание, вот, например, черненьким цветом у меня здесь выделена граница площадки. Нам это пригодится немного позже, но давайте заранее сразу же скажу.

17:49 Так, граница площадки.

17:56 Так, то есть важно звездочка. И давайте важно две звездочки.

18:11 Важно две звездочки. И задав вектор n, получаем как бы заданное направление обхода границы. Получаем заданное направление обхода границы. Об этом мы еще поговорим чуть позже. Просто хочу сразу обозначить направление обхода границы.

18:49 Связь через правило буравчика. Через правило буравчика. Ребят, предлагаю здесь не сильно встревать в то, что такое правило буравчика Потому что об этом я уже, например, болтал у себя на стриме по магнетизму на первом И предлагаю здесь сразу им пользоваться Как выполняется связь правила буравчика? Вот сразу давайте здесь обозначу Вот у вас вектор N, например, смотрит вверх Он типа задает поступательное движение Поэтому большой палец вы направляете вдоль вектора N Правой руки, а четыре пальчика вам будут показывать, куда происходит это вращение Например, здесь, таким образом, задано направление обхода границы, вот такое, обход границы.

19:53 Так, направление обхода границы.

20:05 Но об этом мы поговорим с вами позже. Это нам пригодится сильно-сильно позже. Ну вот сейчас мы с вами готовы как раз-таки написать, а что такое поток по определению в случае однородного векторного поля Е. Давайте записывать. Получаем, что поток вектора E через данную площадочку S У нас будет задаваться как скалярное произведение вектора E На вектор нормали И умножить все это на площадь этой площадки А именно, если у нас, например, уголочек α Это угол между вектором нормали и вектором E

20:51 То, конечно, это будет еще записываться как ES на косинус угла α Здесь напишите мне, пожалуйста, фи, если вы с этим согласны.

21:09 Кстати, спасибо за подкасты, да, что смотрите. Я очень рад, и Славе, который в другую комнате сейчас работает, тоже очень рад, что смотрите подкасты. Кстати, как вам подкасты? Расскажите мне. Надеюсь, вам нравится. Так, однородная, да, что не так? Однородная. Смотрите, вот заметьте, согласны, что вот это немножечко не очень как-то красиво выглядит. Можно это по-другому переписать. А именно, давайте буковку S сюда перенесем и введем такое новое понятие, как вектор площади. Почему бы и нет? То есть можно еще записать это так, как скалярное произведение вектора E на вектор S,

21:56 где вектор S задается как вектор нормали, умноженный на площадь. То есть, как мы с вами видим, длина вектора s это будет площадь, это как раз и будет значение площади. А направлен вектор s вдоль нормали, все здесь вот лаконично, математически записано, обратите внимание. То есть вектор отвечает за направление, вот мы и получаем, что вектор s смотрит вдоль нормали, а s будет отвечать за длину этого вектора, потому что длина вектора n равна единице. Вектор площади площадки. Вот, давайте я прям напишу вектор S сонаправленным с вектором N, хоть это здесь и видно

22:46 Но при этом хотелось бы это зафиксировать А длина вектора S, это будет длина вектора N на S Но длина вектора N равна 1, поэтому получаем S Смотрите, как красиво, да? Давайте попробую также изобразить тогда этот вектор нормали Ой, вектор площади Каким бы цветом мне бы сделать? Каким бы цветом мне бы сделать? Так, вот давайте здесь

23:18 Вот он, вектор S.

23:27 Да, да, седьмой класс, все верно. Так вот, все, таким образом мы с вами задали поток вектора E через данную площадочку. Но это, конечно, было задано в случае E, когда у нас с вами площадка, она плоская здесь. А также было задано данное определение в случае однородного векторного поля. То есть, еще раз напомню, что однородное векторное поле означает, что у вас с каждой точки вектор Е один и тот же То есть, в каждой точке нашего пространства сопоставлен один и тот же вектор Это подразумевается под словом однородное А также, для того, чтобы здесь задать с легкостью этот вектор N, мы рассматриваем плоскую площадочку, это правда

24:12 Здесь у нас пока с вами плоская площадка Но что делать, если мы хотим рассматривать какой-то более общий случай? То есть, например, рассматривать, когда у нас какая-то там изогнутая эта поверхность. И, например, вектор Е у нас уже меняется. То есть, у нас будет неоднородное электрическое поле. В каждой точке нашего пространства вектор Е будет какой-то разный. Что тогда? Тогда давайте вот этот случай 2.

24:59 Так, случай 2. Как я случай 1 выделил? Синим цветом, да? Давайте запишем, что теперь у нас будет с вами некий общий случай.

25:20 Попробуем изобразить какую-то вот такую поверхность. Я вчера пробовал вот такое изображать. Не знаю, насколько у меня нормально получалось.

25:40 Вот что-то типа такого. Да, то есть, ну, представьте, что это некая такая одеялка типа, да. И вот эта одеялка, к примеру, пронизывает некое наше электрическое поле. Попробую изобразить его силовые линии.

26:05 Оп, оп.

26:16 Так, здесь и здесь. Вот как-то так. Вот наше направление силовых линий. Напомню, что силовые линии это такие линии, касательные которым совпадают с направлением вектора Е. То есть если вы берете какую-то точку, ваши силовые линии здесь строите касательную нужной длины, вот и получаете ваш вектор Е. То есть они обозначают здесь, где какой вектор Е. То есть таким образом очень удобно как раз таки описывать, или в свою очередь визуализировать векторное поле с помощью обыкновенных силовых линий.

27:01 Так, и что тогда делать? Вот как тогда искать, например, поток через вот такую элегантную площадочку? Предлагаю жить в физическом формализме, все делать с физической точностью и считать, что все поверхности у нас прекрасные, хорошие, нет никаких искосов, нет никаких там грубых вещей и так далее. То есть будем считать, что у нас все самое прекрасное, что может быть. Мы с вами не математики, которым всегда хочется допридумывать какую-то штучку. Ну вот, поехали. Вот меня теперь интересует поток через эту площадочку. Эту всю площадку давайте мы с вами будем также называть S.

27:49 Что важно, в самых наших хороших таких поверхностях всегда на самом деле можно выделить какое-то определенное направление вектора нормали. Потому что обратите внимание, ну или давайте немножко позже, да, к вектору нормали, я немножко перескочил через одну мысль, я вот сейчас понял, у меня там целая мысль. Так, мир, где нет сопротивления воздуха. Не понял. Сейчас поймем. Ну ладно, вот. А, да-да-да, мир, где нет сопротивления воздуха. Я понял про что-то. Да, про идеальный мир наш. Вот как найти вот этот суммарный поток? Тем временем физики со своими обобщенными функциями, ну да, ну, как бы обобщенная функция, ну, это не вот это вот, то, что нельзя изобразить, а, да, вот, нормальная вот такая штучка, да.

28:42 Давай так к этому относиться. Ну вот, я же могу визуализировать обобщенную функцию, в чем проблема? Мы такие физики, мы любим визуализировать обобщенные функции. Нам никто не запрещает. Ладно. Так вот, а зачем еще, да, к ней относиться через интеграл, если можно вот так визуализировать? Все же понятно. Ну, ладненько. Так вот, хочу найти вот этот суммарный поток. Что я буду делать? Конечно, в общем случае, вот так выглядит нам достаточно тяжело. То есть, ты просто такой сидишь и думаешь, а что мне сделать? Ну, непонятно. На самом деле, есть великий секрет. Это называется, не знаешь, что делать, делай, что можешь. Вот смотрите, вот до этого у нас такая была корста, такая элементарщина была, правильно?

29:31 Но давайте попробуем эту элементарщину здесь поприменять. Вообще, на самом деле, у физиков всегда так все и строится. Есть какая-то элементарщина, мы ее пихаем везде, что бы ни произошло. А именно, давайте вот такой некий общий случай просто разобьем на много элементарных случаев, на элементарщины. И предложение такое, взять и разбить вот такую кривулину, такую странную поверхность, на много-много тонких, на много-много малых плоских кусочек. Много малых плоских кусочков. Так, я попробую это сделать так. Оп, оп. Да, конечно, тут выглядит не очень, но я честно вам скажу, я стараюсь, чтобы как-то оно получалось. Вот, тык, тык-мык, потом тык-сик. Не-не-не-не-не-не, немножечко, мне кажется, вот это надо перенести.

30:45 не перенесешь да ну и ладно тогда давайте сделаю так вот так вот сделаю вот такие как бы квадратики там возникнут вот надеюсь у меня получилось как-то отобразить что у нас здесь возникают такие просто небольшие квадратики то есть мы взяли с вами всю эту суммарную поверхность разбили на такие небольшие поверхности попробую может быть это как-то вам показать допустим вот какая-то

31:42 поверхность потом вон как вон какая-то о нормально сделал вон какая-то поверхность вот какая-то поверхность и так далее так только здесь конечно мне нужно вот так сделать вот так будет здесь лучше как раз и покажу что она здесь сверху также давайте еще здесь качестве такого подтверждения а красота до лепота то есть напишите мне два плюс к если получилось как-то здесь представим что я сделал то есть мы сделали шаг 1 разбили на бесконечно много 0 и давайте разбили пока на

32:42 большое количество так на большое количество на большое количество площадок площадок площади метан дельта из вектор с площадями дельта с вектор мой dts ну конечно там у каждой площадке будет своя площадь, там Дельта-С первая, Дельта-С вторая, Дельта-С третья, Дельта-С четвертая и так далее.

33:29 Но я просто предлагаю, чтобы сейчас не мучиться с этими индексами, все-таки мы с вами стараемся немножечко уже более такой высокий уровень держать, немножко отходить пока от этих индексов. Ха, все равно Дельта-С ушел. Так, прекрасно, что тогда? За счет того, что количество этих площадок будет очень-очень большое, прям выделим это слово, большое количество, то, конечно, за счет этого мы можем считать, что каждая площадка примерно плоская. Давайте это себе запишем. Количество большое, следовательно, каждая площадка примерно плоская.

34:26 И, что важно, и в области каждой площадки мы можем считать поле однородным. И в области каждой площадки поле примерно однородное.

34:59 То есть мы таким образом как бы свели эту задачу к предыдущей, где все было элементарно. Ну и давайте возьмем, например, рассмотрим эту какую-то произвольную площадочку с этим однородным полем. шаг 3 давайте рассмотрим произвольную эту площадочку шаг 3 рассмотрим произвольную произвольную малую площадку произвольную площадку так ну давайте рассматривать я

35:44 вот думаю какую бы здесь площадочку дорассматривать предлагаю наверное взять и рассмотреть вот такую площадочку вот эту так только чет зелененький какой-то тусклый хочу это поярче поярче хочу о другое дело в то есть давайте возьмем выделим эту площадочку в чем будет ее прикол у него площади будет какая-то дельта с а самое главное вот будет так вектор нормально думаю к ней надо

36:31 бы изобразить да вот он вектор нормале n вектор далее у нас будет конечно вектор е вектор напряженность электрического поля так наверное для этого мне потребуется чуть-чуть другого цвета я хочу взять вот он потому что нужно изобразить косятельную вот он будет вектор е так возвращаемся к красному и если я буду рассматривать вот эту произвольную площадочку, то я получаю, что, конечно, в пределах этой площадки у меня вектор Е не сильно меняется, поэтому я могу считать это поле примерно однородным в пределах такой небольшой

37:21 площадки, а также я могу, например, взять и задать этот вектор нормали. Сам взял и задал. Но что самое важное, если вы определили какое-то фиксированное направление вектора нормали, то в случае такой произвольной площадке вы далее должны везде примерно такое же направление вектор нормали и брать а именно на самом деле это будет связано с обходом вашего например здесь маленького контура то есть вы будете обходить ваш контур вот так значит все другие площадки вы будете обходить ровно также за счет чего и будет реализовываться примерно одинаковое направление вектора n то есть не будет того чтобы в какой-то площадке неожиданно вы взяли вектор нормали и направили вниз

38:06 То есть везде вверх-вверх-вверх, а с другой стороны вниз. Так, одну секунду, извиняюсь.

39:17 Так, извиняюсь. Так, продолжаем радизонский балет. И что тогда? Тогда давайте зададим как бы элементарный поток. Это будет элементарный поток через такую элементарную площадочку. Малый поток через площадочку дельта S. Как у нас с вами будет задаваться тогда этот элементарный поток? Конечно, это ΔF. Что-то у меня сегодня с почерком, конечно, этот шаг 3. Пошло-поехало. Бывает. Прям, знаете, хотя бы хочется произвольно нормально написать. Так, ну, произвольную. Да, вот так, получше хотя бы.

40:22 Так вот, ΔF, как тогда у нас будет с вами вычисляться? Конечно, это будет скалярное произведение этого вектора E на вектор нормали и на наше значение ΔS. Предлагаю тогда сразу записать, что это по сути своей будет выражаться так же, как скалярное произведение вектора E на ΔS вектор. И таким образом мы с вами можем найти поток через эту небольшую площадочку. Напишите φ, если с этим согласны. Так, что делаем дальше? А дальше логика максимально простая. Раз мы с вами смогли посчитать поток через маленькую такую элементарную площадку, то кто нам запрещает посчитать ее здесь, здесь поток, здесь поток, здесь поток, здесь поток и так далее.

41:09 То есть давайте дальше таким же образом посчитаем поток через каждую из этих маленьких площадочек и сложим. Нам никто этого не запрещает. А тогда суммарный поток F, давайте скажем, что это будет сумма всех таких элементарных потоков по всем площадкам, по площадкам. То есть мы суммируем по площадкам. Ну и конечно, если у нас с вами дискретное количество, то это будет такая сумма, причем суммарный поток примерно будет равен идеальному реальному потоку. И, конечно, чтобы у нас было идеально точное выражение, нам необходимо, чтобы количество этих площадочек было бесконечно большое

41:56 Было огромное-огромное количество Для этого нам необходимо ΔS устремить к нулю, то есть сделать площадь этой площадочки бесконечно маленькой То есть вот здесь пока у нас известно, что площадь ΔS, а теперь я буду разбивать на бесконечно много площадочек И вот это все, то есть теперь бесконечно много площадок, так, сводим к чему? Сводим к тому, что f будет вычисляться на самом деле как просто интеграл вектора e на скалярное умноженное Δs.

42:47 То есть здесь у нас стоит скалярное произведение, и под ds вектором я буду подразумевать вектор, Который будет смотреть у этой площадки вдоль нормали И по длине как раз и будет характеризовать эту элементарную площадь Просто площадь бесконечно маленькая Поэтому и мы будем обозначать это как ds-вектор Ну и можно обозначить, что мы интегрируем как бы по всей площадке Поэтому здесь снизу еще любят списать такой значочек s Ну и если быть максимально формальным Ну не прям максимально А если хотите сказать типа ой А это на самом деле записывается через двойной интеграл Можете вот так это еще писать, чтобы было просто покрасивее Но одного интеграла на самом деле всегда всем хватает, все так и пишут

43:34 Хотя в действительности надо бы писать здесь два интеграла, потому что это двойной интеграл, когда мы говорим про площадь Но, что самое важное, поток через такую поверхность будет вычисляться как просто сумма элементарных потоков через каждую маленькую площадочку Договорились? Напишите мне 10, если мы с этим согласны. То есть мы поняли, что суммарный поток вычисляется как просто сумма всех элементарных потоков через каждую маленькую площадочку. То есть здесь у нас как бы таится элементарный поток df. И смысл этой формулы максимально простой. Я просто беру, складываю все элементарные потоки, через каждую маленькую площадочку получаю суммарный поток.

44:19 Все! Главное единственное понимать, что направление нормали к каждой площадке должно быть согласовано. То есть они должны примерно смотреть все в одну сторону Не бывает такого, чтобы здесь нормально смотрело вверх, а здесь вниз Было бы странно Так, жду от вас десяточку Так, случай 3 Ну, надо посмотреть, когда это провести Потому что изначально я планировал как раз таки 30 августа завершить курс Но у нас там по программе я планировал еще комплексные числа Я хочу с 30 августа завершить курс, но у нас там по программе я планировал еще комплексные числа рассказать и дифференциальные уравнения, то есть так-то про списание еще это, и если вы будете писать в комментариях под предыдущими стримами, например, под позапрошлым стримом на интегралах, где я сказал, что я готов, если что, еще посчитать интегралы, если мы там понабираем комментарии, как я помню, вроде 20 что ли, то тогда приведу еще занятие.

45:27 То есть, если я увижу активность, увижу, что вам это интересно, то я проведу потом еще. Да. Пока что у меня было запланировано еще две темы, как комплексные числа и дифференциальное уравнение. Но пока я не знаю, куда их поставить, потому что все это было запланировано до 30 августа. А я за счет этого, то есть за счет того, что эти занятия как бы не провелись, я допровел по производным вебинар, я провел вебинар с решением задач, а также допровел еще вебинар по интеграл, где мы еще порешали интеграл вот они 2 веба немножечко и съелись вижу активность да только забуду так вот случай 3 то есть здесь мы с вами поняли что делается с такой площадкой случай 3

46:14 это давайте рассмотрим например замкнутую поверхность замкнутая поверхность картошки я так это назвал так картошки ну давайте посмотрим а ну и конечно же как мы с вами помним 860 лайков и тогда запись будет про это забываю все время вам напоминать давайте так 60 лайков и будет запись всегда закрепить сообщение все как положено то замкнутая поверхность картошки

47:11 давайте вот эту замкнутую поверхность картошки будем изображать ну и допустим вот эту замкнутую поверхность картошки у нас с вами будет пронизывать наше электрическое поле ох конечно это тяжело сейчас будет как-то визуализировать так как бы тебя визуализировать так вот здесь раз вошло здесь вышло да а здесь я тогда сделаю так вот а там входило во то есть как-то так попробую

48:06 показать. Наверное, чуть ниже надо бы, да? Оп, так, сюда, сюда, то есть там снизу как-нибудь, чтобы

48:51 оно проходило. Так, и вот так. Нет, я, конечно, закривил. Так, сюда и давайте вот здесь еще. Вот, как-то так. Надеюсь, у меня получилось как-то показать, что, например, тут картошку снизу

49:38 пронизывают раз, потом сверху пронизывают сверху, сверху, сверху, сверху вышло, а тут снизу входит, входит входит а тут внутри это все расположено это может быть я то что здесь внутри еще бы другим другим бы цветом это обозначил так цвет давайте вот так мне кажется так тоже будет приятно так что мы делаем тогда в этой ситуации здесь есть определенное правило то есть перед этим нас на самом деле был еще выбор потому куда делать на про куда направлять нормаль нас есть еще выбор самое главное что все нормали были согласованы то есть вот здесь важно только отметить важно

50:25 так или здесь мне нужно место тогда а вот оно что не хотел да ну вот а вот сейчас будет вот давайте здесь вот важно укажу что вот принципиально важно было в предыдущем пункте так нормально выбираем сами. Главное чтобы нормали были согласованы. А теперь здесь. Здесь есть

51:30 определенное правило того куда направляем нормаль в особенности физики. В физике мы договорились что нормаль в случае замкнутой поверхности картошки будем направлять в наружу. важно нормально направляем так направляем в наружу это важно и теперь на самом деле поиск нашего суммарного потока будет искаться ровно аналогичным образом ваша задача будет брать и

52:18 разбивать теперь эту поверхность на много-много маленьких кусочков вот такие вот кусочки предлагаю тогда все эти кусочки не рисовать потому что их тут будет очень много там вот еще кусочки и так далее поэтому шаг будет 1 шаг 1 разбиваем на бесконечно много малых площадок площадок это

53:17 раз на каждой такой площадочки ищем свой поток то есть например вот как раз и здесь у меня это выделено есть вот эта площадочка так как бы ее здесь выделить давайте для синеньким то есть лучше вот так вот есть площадочка здесь к ней я строю вектор нормале или по-другому мы уже с вами взрослый можно указать что это будет вектор дельта s вектор предлагаю вот так вот он ds вектор

54:06 Напомню, что он у нас с вами выражается как произведение вектора нормали на длину этого вектора, то есть на значение площади этого маленького кусочка. Потом здесь мы с вами изображаем вектор E, который находится в области этого маленького кусочка. И значит, элементарный поток через этот маленький кусочек у нас будет высчитываться как скалярное произведение вектора E на ΔS вектор. Думаю, это здесь видно. И что происходит дальше? Дальше, так как мы с вами договорились, что теперь здесь нормали, я всегда направляю внаружу. То есть у меня нормаль здесь смотрит везде во внешнюю поверхность этой поверхности картошки.

54:56 То есть представили картошку, да, и вот кожурой является вот эта внешняя поверхность. У нас вектор нормали всегда мы направляем во внешнюю поверхность. И что тогда, шаг 2? Мы говорим, что суммарный поток через всю эту замкнутую поверхность, Потому что, ну, вспомните, картошка, у которой вот есть эта кожура, эта кожица, она же вся замкнута, правильно? У нас же нет какого-то там лишнего прохода к картохе, к внутренней части. Поэтому вот этот суммарный поток через эту замкнутую поверхность у нас с вами будет вычисляться как просто сумма всех этих элементарных потоков. И чтобы обозначить, что мы с вами будем суммировать на самом деле по замкнутой поверхности

55:41 Помимо вот здесь вот буковки S мы еще ставим такой кругляшочек Этот кругляшочек и показывает, что мы суммируем по замкнутой поверхности Так, суммирование по замкнутой поверхности Вот что будет обозначать кружочек Ну и тогда берем, подставляем я получаю, что тогда у нас с вами будет здесь суммарный поток через замкнутую поверхность. Это такой интеграл EDS.

56:26 Называется, кстати, поверхностный интеграл второго рода.

56:35 Ну и, конечно, по правилам в идеале здесь писать двойную закорючку. Поэтому давайте, наверное, здесь это и сделаю. То есть в идеале здесь писать двойную закорючку с этим кругляшком. К этой двойной закорючке относитесь как к обыкновенной сумме. Ребят, не нужно как-то пугаться эту двойную закорючку, просто двойная закорючка как бы поясняет, что у нас с вами площадь здесь стоит, и нам нужно будет суммировать по всем площадочкам. А площадочка, она образуется там просто с помощью двух, например, неколинеарных векторов, можно обозначить площадочку и так далее. Так, вот мы обозначаем, что мы суммируем по всей этой замкнутой поверхности. Вот и получили поток через замкнутую поверхность.

57:22 Это поток вектора E через замкнутую поверхность.

57:28 Так, поток вектора E через замкнутую поверхность S. Так, напишите мне тогда 10, если мы согласны с этим результатом, то есть поняли, откуда он берется и что здесь за смысл у нас с вами таится. Просто это нам сейчас потребуется в случае дивергенции, потому что, напомню, Изначально у меня разговор пошел о дивергенции. И все это друг с другом сильно связано, в особенности понятие полного потока через замкнутую поверхность и понятие дивергенции.

58:12 Это очень основополагающие такие вещи.

58:19 Так, жду от вас 10, если с этим согласны. Тогда давайте переходить от этого потока векторного поля к ничту, к некоторому другому. так а именно давайте второй пунктик получим или получение формулы для дивергенции дивергенции так как мы там 10 плюс-минус 10 плюс-минус 10 это

59:16 значит что-то недопонял напиши минус если недопонял что-то тогда если что быстренько можно будет до определить зато мне водичку взять поэтому как раз есть момент написать минус вот смотри вот я попросил славик я попросил поставить 10 если мы поняли а плюс-минус 10 это чудно Это мы плюс-минус поняли. Минус поняли, это мы не поняли. Плюс поняли, это мы поняли. Плюс-минус это когда суперпозиция. Я понял и не понял одновременно.

1:00:09 То есть понял и не понял одновременно? Да. Ты понял? Плюс-минус понял. Ага, я тоже плюс-минус понял. Если что смело поставь минус, мы тогда если что разберем. То есть по сути основная мысль, которая здесь заключается только в одном. то берешь, разбиваешь на маленькие кусочки, и теперь считаешь поток через маленький кусочек, а потом складываешь все потоки через маленькие кусочки, и все. Просто в физике нам необходимо такое понятие, как полный поток вектора какого-то через замкнутую поверхность. И что теперь? Давайте возьмем, попробуем рассмотреть замкнутую поверхность, достаточно маленькую. Попробуем с ней поиграться.

1:00:55 То есть в качестве, давайте так, рассмотрим неоднородное электрическое поле,

1:01:12 Так, рассмотрим. Неоднородное электрическое поле и небольшую замкнутую поверхность в виде параллелограмма. Сейчас проверим, знаю ли я, как это пишется, параллелограмма.

1:02:02 так великие знатоки русского языка проверять я правильно написал параллелограмм параллелограмм вроде так так вводим тогда координаты x y z кстати вот это я рассказывал на смене тесла на своей смене по электростатике так теперь x y так и теперь ось y ухты главное чтобы

1:02:52 меня сюда все поместилось так счет не то здесь наверное x давайте x y z вот так тогда так тогда чтобы все поместилось так и что с этим тогда предлагаю взять изобразить какой-нибудь кубик какой-нибудь кубик ох его координаты будут x y z так ням ням давайте так будем это делать вот

1:03:39 кубик 1 кубик 1 в эту сторону кубик 2 в эту сторону убег 3 в эту сторону это вроде бы все как раз и будет лежать сейчас на одной прямой да у меня получилось так 4 из тоже теперь вот сюда теперь вот переборщил теперь вот сюда так теперь вот сюда вот сюда вот сюда так а у чуть-чуть съехала

1:04:46 чуть не докрутил что вот так так и вот так о я хочу что-то сделал класс я я поражен я поражен вот это только надо будет удалить вот это удалить и поставить тогда эту часть вам вам вам вау красота Так, эй-эй, теперь мне 0,3, теперь сюда, ага, сюда, сюда, и сюда, так, и сюда, и сюда.

1:05:40 О, шикарно, мне кажется, класс, очень хорошо вышло. То есть вот у нас с вами будет некий такой параллелепипедик. Так, и в чем будет смысл, что тогда в нижней точке, это будет, давайте обозначу ее точка А, У точки А будут координаты x, y, z. Так, точка А. Точка А это точка А с координатами x, y, z.

1:06:19 Как раз-таки оно тогда и выходит, что если вот сюда немножечко отходить. Так, вот сюда отходить, вот сюда отходить. Здесь тоже вот сюда. Вроде бы все, да. То вот и получается, здесь будет координата x, здесь будет координата z. здесь нужно будет на самом деле немножечко в бок отойти и будет z ой будет игрек на предлагаю они тогда здесь не говорить так здесь будет x плюс dx здесь будет z плюс bz так так так так да вот как то так все вроде бы норм и таким образом у нас с вами будут

1:07:10 точки например а b c d и здесь можно тоже их вести 1 b 1 c 1 d 1 вот давайте так тогда чтобы хотя бы формально было записано какие точки нет координаты то есть бы имеет координаты так У точки B будут координаты x, y плюс dy, z. У точки C координаты какие? x плюс dx, y плюс dy и z.

1:07:58 Так, а у точки D у нас с вами будут координаты, как раз когда у нас будет смещение. А, не, не, не, не, не, сейчас, у точки С, да, у точки D будет все то же самое, только по Y нет смещения, X плюс DX, Y, Z, во. То есть, таким образом, мы с вами постарались сказать, в какой точке, какие примерно будут у нас с вами координаты. Смотрите, как классно, мне кажется, круто. Этот кубик будет достаточно маленьким. Давайте попробую выделить его некие размеры, то есть по вертикали его размер будет dy, здесь по горизонтали его размер будет dx, и здесь тоже его размер будет dz.

1:09:01 То есть таким образом получается, что объем этого кубика у нас с вами будет выражаться как dx, dy, dz. Это то, что нам пригодится, кстати. Напишите мне 15, если мы с вами поняли, что я здесь изобразил, то есть могли себе представить этот кубик, ну или типа кубик, то есть этот параллелограммчик с такими сторонами.

1:09:33 Так, ждут вас 15. Что теперь? Теперь, конечно, мы должны понимать, что этот кубик очень-очень-очень маленький. Очень маленький. И у нас, к примеру, в точке А, ну или в области точки А, будет создаваться тогда вектор напряженности электрического поля, вектор Е. Этот вектор можно будет разбить на три компоненты. На Ех, на Ей, на Ез. И вот наша с вами задача будет, например, найти поток этого вектора через весь этот суммарный кубик. И наша задача будет разобраться, что мы тогда с вами получим. То есть цель, почему-то цель, вот какие-то ужасные, вот как это писать красиво, цель, цель, вот наверное так что ли, фи суммарный.

1:10:32 Конечно, кубик у нас очень маленький, поэтому я бы написал бы, что это дфишки, то есть это дфи суммарный, но все-таки. То есть дфи суммарный поток через параллелограмм. Ну или давайте так напишем, через поверхность ДВ.

1:11:15 Через поверхность ДВ, ну через замкнутую поверхность. А поверхность ограничивающую ДВ, через замкнутую поверхность ограничивающую объем ДВ. Вот так я бы это сказал. Что ж, видим цель, идем к ней. Предлагаю тогда так. Смотреть на этот кубик и разбить на 2 части, ой, на 3 части, или сколько тут, 1, 2, 3, да, то есть на некоторые такие противоположные грани, то есть у нас первая будет грань 1, вторая будет грань 2, такие вот пары, то есть 1 пара, потом 2 пара, оп-оп, нижняя, а потом вот эта боковая и еще та боковая, то есть предлагаю разбить на 3 пары.

1:12:14 Так, разобьем. Разобьем ДВ на три пары граней. Три пары противоположных граней. Воположных граней. У нас грани, как бы с одной стороны, вот грань, и мы двигаемся вдоль оси x То есть, заметьте, у нас каждая грань, хотя бы одна, она перпендикулярна какой-то оси То есть, у нас есть вот это, вот эти две грани, которые перпендикулярны оси x Есть вот эти две грани, которые перпендикулярны оси z

1:13:00 Есть перпендикулярна оси y То есть, мы можем взять и разбить на три пары противоположных граней, где каждая пара перпендикулярна какой-то оси Так, где каждая пара перпендикулярна какой-то оси. Ну, своей оси. Своей оси. Ну и начнем мы с вами тогда разговор с грани, которая будет перпендикулярна оси Х. Так, я думаю, будет удобнее всего. Тогда давайте ее сейчас зарисуем. Так, только, наверное, вот здесь нужно будет так это выделить.

1:13:52 Оп, оп. Так, и вот здесь.

1:14:06 Во. Так, и давайте тогда начнем. Первый пунктик. Рассмотрим пару. Так, рассмотрим пару. Перпендикулярную оси ОХ. Ох, да, ух ты, я уже час 16 об этом болтаю. Ну, да, ладно, зато, надеюсь, полезно. Но я верю, что это полезно. Потом как раз-таки буду рад вашим комментариям о том, что бы вам больше хотелось. Конечно, практика у нас будет. Я хочу практику, я очень хочу, чтобы мы с вами еще порешали примеры. Я рассказал, что математика и физика, значит, мне нужно объяснить,

1:14:53 в чем смысл-то, например, слово дивергенция. Я, честно вам скажу, долгое время не понимал этого смысла.

1:15:05 Так, смотрите. Что тогда? Мы считаем, что у нас в области точки А создается вектор Е, и тогда у нас есть проекция этого вектора Е на ОСХ. Правильно? По сути своей мы тогда можем сказать так. Как бы так рассмотреть, как бы так рассмотреть. Сейчас я могу изобразить четырехугольник сразу. О! О! А что я выдумывал, а? Так вон оно что. Так вон оно как. А что, раньше нельзя было, да?

1:15:50 Какой изи. А я и не знал, честно вам признаюсь. Что-то и не думал о том, что можно так. Ой, ну что ж там. Отвлекли, и все.

1:16:12 Ну, ну, ну, ну, ну, ну, ну, ну, ну, ну. Во. Так, это раз.

1:16:27 Вот как раз-таки два. Надо было пошире взять. Не взял пошире.

1:16:39 Так. Что тогда? Вот напомню, что здесь у нас с вами была точка с координатами x, y, z. И что у нас с вами получается? Конечно, на потоке этой пары, то есть мы будем обозначать, что теперь вот я рассмотрю эту пару, давайте будем искать d, φ, как бы я это назову x. То есть это значит суммарный поток через эту пару, которая периментикулярна оси x. Суммарный поток через пару перпендикулярное OX Тогда давайте изобразим нормали

1:17:25 У нас с вами получается нормаль Здесь будет смотреть сюда, это будет вектор N А здесь, ну причем это не просто будет вектор N Можно его обозначить как вектор I Потому что это единичный вектор, смотрящий как раз в доле CX Ну и как мы с вами понимаем Он будет также у нас с вами смотреть и в противоположном направлении Так, вот он Будет вектор минус i

1:18:10 Так, что теперь? Напомню, что мы с вами будем смотреть за скалярным произведением, правильно? А раз у нас с вами скалярное произведение, то теперь нам придется не густо Давайте писать, что dφx у нас с вами теперь То есть здесь у нас с вами создается какой-то вектор e куда-то направленный тоже вопрос хороший как вы изобразить куда он направлен потому что это еще та еще задача допустим вот здесь вектор е как раз таки но это значение примерно в координатах x

1:18:55 y z а здесь но он уже будет каким-то другим то есть мы же с вами чуть-чуть сместимся вдоль оси x потому что вот эта точка она уже будет соответствовать x плюс dx и крик z это значит что у нас вектор ну как-то он поменяется как минимум там по направлению поменяется может быть чуть-чуть теперь это будет значение вектора е в координате x плюс dx y z примерно то есть вектора то поменялись но так как площадки маленькие мы можем считать что в этих областях а именно в В этой области вектор E примерно одинаковый. Аналогично как и здесь мы можем считать, что вектор E примерно одинаковый.

1:19:42 Договорились? То есть за счет того, что у нас эти площадочки маленькие, мы можем считать, что в областях этих маленьких площадок вектор E не изменен. Поэтому dfi-x это будет поток через первую площадочку плюс поток через вторую площадочку. Остается только правильно записать. Так, ну давайте писать. Чему будет равняться dfi1? Так, это будет минус скалярное произведение вектора Е на этот вектор нормали. А, кстати, единственное, я еще забыл площадь, давайте мы еще площади забахаем. Пока напишите мне 12, если вы поняли, что вот это у меня вектор нормали к этой площадке,

1:20:31 потому что, напомню, что у нас ось Х смотрит в этом направлении, а это как раз-таки поверхности, которая перпендикулярна СХ, значит вектор Е, ой, вектор И, единичный вектор, он будет перпендикулярен этим площадочкам. Вот, вектора E у меня поменялись из-за того, что координата поменялась Но в области этих квадратиков они примерно одинаковые Спасибо за 12, значит вы меня смотрите, значит мы еще не поплыли Значит я вам еще могу что-то рассказывать дельное Если поплыли, я бы рассказывал уже все, что захотел бы И что теперь? Давайте мы с вами еще укажем, чему равны площади А я напомню, что здесь у нас с вами длина DZ

1:21:17 Так, длина dz А по вертикали у нас длина dy Правильно, потому что наше dx, dx, оно по горизонтали, вот оно То есть вот здесь мы с вами сместились вдоль оси x Так, тогда площадь этой штучки, площадь этой штучки будет одинакова То есть давайте сразу отметим, что у нас вот здесь вот ds И здесь тоже будет ds Давайте я обозначу, здесь ds1,2, здесь ds2

1:22:06 И мы можем отметить, что ds1 у нас будет ровно такой же, как ds2 И будет выражаться как d, кто ты, dy умножить на dz То есть мы умножаем одну сторону на другую, вот и получаем площадь Ну и предлагаю для симпатишки изображать это как dx Договорились, просто так запишем То есть dsx, она будет выражаться как dyz А теперь давайте с df1, df2 Разберемся с площадями. Но для этого мне потребуется немножечко такое воспоминание. Наконец-то смог залететь на стрим, хотя залетают только... Да, мы ботаем, ботаем.

1:22:53 Так, что я хочу? Я хочу теперь найти DF1, DF2. Думаю, как бы здесь лаконично это сказать. Пух!

1:23:12 Давайте здесь напишу просто подскриптом. Просто я это буду сразу использовать. Подскриптом следующий. Вот напомню вам, что в скалярном произведении есть такой хороший кип-плюс Если у вас есть а вектор и вектор b Или может быть вам по-другому, ну ладно, так как будто проще будет Так, альфа То в чем прикол, если вы берете скалярное произведение а на b То это будет то же самое, что проекция вектора а на b на длину вектора b Это связано с тем, что у вас здесь будет а на косинус альфа и умножено на длину вектора b.

1:23:58 А на косинус альфа это будет проекция вектора а на b. Это главное свойство скалярного произведения. Поэтому здесь давайте напишем, что df1 это будет минус скалярное произведение вектора e в координате x, y, z, умноженное на вектор i, на единичный вектор нормали, и умноженное, конечно, на dsx. Чему будет равняться скалярное произведение? Вот смотрите, я считаю вектор E на вектор E Вектор E это единичный вектор вдоль оси X Это значит, что вот это скалярное произведение будет разбиваться как проекция вектора E на направление вектора E и умноженное на длину вектора E Ну а проекция вектора E на вектор E это что?

1:24:46 Это просто проекция вектора E на оси X Потом пишем, что это будет минус e в проекции на ухх с координатами x, y, z Ну, можно считать, что здесь чисто там, хотя ладно Умноженное на длину вектора i и умноженное на ds, x Вспоминаем, что длина вектора i, это единичная нормаль, равна единице Поэтому получаем, что это будет минус e, x, y, z на ds, x Теперь, что такое df2? df2 это будет скалярное произведение вектора e, только уже в координатах x плюс Δx, yz, на вектор и, на вектор единичной нормали.

1:25:41 И умножаем это на площадь dsx, потому что мы так ее с вами обозначили. Сказали, что вот эта площадь пусть будет такой же, как и эта, согласно тому, что вот эта длина и вот эта длина одинаковая. И обозначим как dsx. И что я тогда получаю? У меня здесь будет Е в проекции на ось Х на Х плюс ДХ, У, З на ДСХ. Потому что скалярное произведение этого нам дает просто проекцию вектора Е на ось Х. Напишите мне здесь 18 или напишите мне 12, если с этим мы согласны. И тогда остается просто взять и подставить в эту итоговую формулу. Где я получаю тогда суммарный поток через эту пару, которая перпендикулярна оси Х.

1:26:31 У меня суммарный поток будет выражаться как сумма df1 и df2. Да, слышно. Сейчас мы вернем.

1:28:46 А мешочек он делся?

1:28:53 Да, без проблем. А если что-то подставить? А я ничего не вижу там.

1:29:06 Так, давайте пока продолжим. Меня же слышно, да? Напишите плюсики. То есть, таким образом, мы с вами нашли суммарно поток через такие две, через такую пару перпендикулярную оси Х. На самом деле, вы получите нечто похожее и для других осей. Честно вам скажу. То есть просто там будет меняться, вместо x будет y, вместо y потом будет z. Но пока предлагаю немножко с этим помучиться, хотя давайте так. То есть напишем второе, аналогично, рассмотрим, ну или давайте так.

1:29:58 Так, аналогичное. Так, аналогичное будет, я думаю, здесь сказать или чуть-чуть позже. Давайте, наверное, здесь, потому что здесь сразу будет видно. Только 37 лайков за полтора часа. Не могу смотреть сейчас стрим, хочется потом записи посмотреть. Ну, надо набирать, что ж поделать. Да, да, что ж поделать. Так, предлагаю тогда, знаете, наверное, сначала вы старайтесь с этим разобраться, потому что вот хочется прямо здесь написать Вот напомню, что dsx у нас с вами выражается как dy dz Очень такой интересный вид

1:30:44 То есть, как вы можете заметить, в этой площади dy dz у нас с вами нет И теперь, как вы можете понять, аналогичное просто будет выполняться для пары, которая будет перпендикулярна оси y И аналогичное будет выполняться для пары, которая будет перпендикулярна оси z Ну по статистике всегда набирали Вот То есть до 9 вечера надо набрать Но по статистике всегда набирает То есть давайте здесь пока напишем Аналогично Аналогичное Будет Выполнено

1:31:30 И для оставшихся пар Оставшихся Двух пар Так, а именно DFY, то есть для пары Давайте так напишу, да Для пары перпендикулярная с y, для пары сторон перпендикулярная у y, я получаю, что dfy у нас будет выражаться как e, только там будет y, x, y, плюс dy, z, минус e, y, x, y, z, правильно?

1:32:25 И все это умножаем на dsy, как я это обозначил. При этом давайте посмотрим, как у нас выражается dsx. Заметьте, что у вас dsx не содержит в себе dx. Значит, аналогично здесь dsy будет. То есть dsy это будет d... Ай, не помещается. Ладно. Тогда здесь удалим, ниже запишем. dsy, вероятно, это будет dx и dz. Просто в целях уже экономия времени я давайте сразу это напишу, потому что честно ничего не поменяется Ведь заметьте, что у вас происходит Если вы берете пару перпендикулярную оси x, то здесь берутся проекции по оси x

1:33:13 Здесь берется изменение по x, а здесь площадь Такая, что здесь только dy, dz, то есть здесь нет dx Заметьте, то есть так я просто по аналогии делаю и дальше Вот, например, для пары сторон перпендикулярный ОЗ, ДФЗ будет выражаться как ЕЗ с проекциями в точках XYZ плюс ДЗ минус ЕЗ XYZ. И все это теперь я умножаю на d, s, z Где, как вы должны понимать, уже d, s, z у нас будет браться d, x, d, y

1:34:02 То есть заметьте, в d, s, y у нас нет d, y, d, z у нас нет d, z и так далее А это означает, раз получили, два получили, три получили Теперь остается взять, все поставить в исходную сумму И посмотреть, а что же красивое мы с вами получим Но для этого, третий пунктик, я предлагаю немножечко поиграться, а именно посмотреть, что же здесь такое замечательное на самом деле таится. Вот здесь напомню, мы с вами вчера изучали такое понятие, как частное производное. Такое было, правильно? И мы сказали, что если у нас есть функция f от x плюс, ну мы с вами получили, как бы f от x плюс dx, y, z, минус f от x, y, z, то по сути своей это же будет переписываться как, или давайте так вот, вот так, как бы так написать, у нас dx, ну ладно, давайте так, ну да, как я и написал.

1:35:30 f от x плюс dx, y, z, минус f от x, y, z. Это будет записываться следующим образом. Ведь по сути своей здесь таится частная производная. А значит вы умножьте на dx и поделите на dx. Ну это так, физической точностью. Потому что я понимаю, сейчас математики просто на меня начнут такое нести. Я понимаю это. Поэтому я предлагаю сразу сказать, что с точки зрения физики, давайте я умножу на dx и поделю на dx. И вот такая вот разность, как бы f от x плюс dx, yz минус f от x, yz, то есть метод умной единицы Мне вот здесь что дает?

1:36:18 На самом деле, да по определению это же будет частная производная, помните? df по dx Это же оно и есть Это просто определение частной производной Поэтому, заметьте, у вас здесь стоится частная производная Здесь стоится частная производная, здесь стоится частная производная. То есть, когда вы пишете такую разность, вы получаете частную производную на dx. Это означает, что тогда у вас dfx, как можно переписать? Вот смотрим на это выражение. Это будет ваша частная производная проекция e на ось x по dx умноженная на dx умноженная на dsx.

1:37:04 Потом DFY, у нас с вами выражается как DEY по DY на DY DSY И далее остается DFZ, будет ровно такой же результат DEZ по DZ на DZ на DSZ А теперь давайте заметим, что-то красивое получается Вот смотрите, вот если у меня DSY, вот она DSY Умножается на dy, это кто? Вот сюда dy, подставьте Это же будет обыкновенный объем dv Видим, да? То есть здесь у вас таится dx, dy, dz

1:37:52 Но с другой стороны это просто будет объем dv, все Аналогично и здесь таится объем dv Аналогично и здесь у вас таится объем dv Видим? Видим это? Напишите мне, пожалуйста, d, если мы поняли, почему там таится объем dv То есть я что еще раз сделал? Я взял, переписал вот эту часть просто уже через частную производную Потому что вот эта штучка, вот эта штучка, такая вот разность деленная на dx по определению Это будет частная производная, df по dx Ну и так как мы поделили на dx, нам конечно нужно умножить на dx, вот она здесь и будет Поэтому, что у нас получается итогово?

1:38:41 Если я хочу найти суммарный поток через весь этот объем, то есть через весь этот параллелепипед объемом ДВ, ну или то есть через всю поверхность, окружающую наш параллелепипед объемом ДВ, то я должен сложить все потоки через каждую из граней. Но, конечно, я здесь что сделал? Я сделал и разбил на вот такие вот грани по отдельности. Раз грани, то есть пара перпендикулярна оси Х Потом грани, которые перпендикулярны, например, оси Z И грани, которые перпендикулярны оси Y И поэтому я тогда получаю, что суммарный мой поток Через замкнутую поверхность, окружающую наш параллепипедик

1:39:31 Будет выражаться как сумма всех элементарных потоков DFY плюс DFZ Ну и давайте подставим, что я тогда получаю Я получаю, что это будет DEX по DX на DV, плюс DEY на DY на DV, плюс DEZ на DZ на DV. И сейчас будет настоящий бум. Настоящий бум. Так, только вопрос. Привет, есть ли отдельный курс по физике для учебы в УЗИ? Специализированного, именно чисто для учебы в УЗИ пока что у меня нет. Вот, если хотите такой, буду рад в комментариях, если будете писать, то есть если я увижу активность, то одного дня когда-нибудь мы бы запустили, вот, то есть если интересно, то почему бы и нет, мне самому это интересно провести, вот.

1:40:28 А так, у меня есть курсы, у меня есть смена Снеллиус, не, не, смена Фурье по колебаниям, там я рассматриваю затухающие, не затухающие колебания, как раз-таки немножко показываю, как это с помощью дифоров решается, это затрагивает вузовскую физику, поэтому это будет также полезно и студенту. Хотя первоначально, конечно, нацелена для ребят, которые готовятся ко всероссу. Также есть мена Эйлер, которая немного про динамику вращательного движения, про механику вращательного движения. Она также затрагивает общую физику и механику первого курса. Поэтому, если интересно, можно туда. Но первоначально она, конечно, ориентируется для всероссников. Так, и что мы с вами здесь видим? Получается, dφ будет выражаться.

1:41:16 dv давайте вынесем. DEX по DX плюс DEY по DY, DEZ по DZ И все это умноженное на DV Обратите внимание, что здесь таится Здесь сумма частных производных И как я уже в самом начале занятия отметил Это определение, ну так формульно Вводится понятие дивергенции Заметьте, то есть вы получили, что здесь стоится дивергенция То есть ее не просто так выдумали Она ясным образом возникает Вот, например, здесь она у нас с вами возникает

1:42:01 Вот она, дивергенция вектора Е Или по-другому Вот у вас, например, возникло вот такое выражение Для элементарного потока через маленький-маленький параллелепипедик То есть вы взяли поверхность такого маленького параллелепипедика Посчитали через него поток И увидели, что здесь будет сумма частных производных Ну и зачем нам все время писать эту сумму частных производных? Давайте писать короче, чтобы вот меньше было писанины И так как просто лень писать много, люди такие, а давай-ка назовем дивергенции Почему бы и нет? И это будет наша как раз дивергенция То есть таким образом получается некий итог, что df это будет произведение дивергенции вектора e на dv

1:42:50 А теперь будет самый гениальный смысл дивергенции Вот я прям с этого на самом деле кайфую, именно с этого момента Ведь с одной стороны дивергенцию можно ввести для того, чтобы просто было проще вот это записывать Чтобы вот такую мешанину не писать, правильно? Вот здесь напишите два плюсика, если вы поняли, что вот здесь я ввел дивергенцию Чтобы просто, например, не писать эту мешанину Но с другой стороны, вот давайте посмотрим, что такое дивергенция Вот на определение, давайте посмотрим на то, что у нас с вами выходит То есть дивергенция вектора Е, она будет выражаться как отношение ДФ к ДВ Это ничто вам не напоминает?

1:43:41 А? Вот ничто не напоминает, да? Вот не напоминает, что у нас там ДМ к ДВ было Там что еще есть? ДК к ДВ Объемная плотность заряда Там плотность чего-то А здесь ДФ, ДВ То есть это как бы получается плотность потока через замкнутую поверхность. О как! Вот давайте попробуем с этим разобраться. То есть вот что это означает? То есть я бы это так, наверное, написал бы пока. А сейчас мы попробуем понять, вот как к этому можно относиться. То есть мы получили здесь с вами плотность потока через замкнутую поверхность.

1:44:35 Замкнутую поверхность. смотрите вот сейчас будет просто самое гениальное то есть вот в чем прикол вот допустим анализ вот смотрите допустим вас есть вот такая картошка да вот у вас есть картоха вот которую я здесь уже кстати изображал давайте прямо здесь и продемонстрировать Демонстрирую. Почему бы и нет? Копировать. Вот это удалить. Анализ полученного.

1:45:25 То есть, что означает, что у вас дивергенция Е, это оказывается плотность потока через замкнутую поверхность. То есть, смотрите, в чем смысл? Смысл такой, то есть, допустим, у вас есть некая замкнутая поверхность картохи. Представили, да? Вот здесь есть замкнутая поверхность картохи. С одной стороны поток можно посчитать так. То есть с одной стороны суммарный поток через замкнутую поверхность можно посчитать так.

1:46:19 Можно посчитать так. Как мы уже писали, поток F это будет вот такой вот как бы интеграл скалярного произведения E на DS. Где мы с вами идем по всей этой поверхности То есть мы берем и складываем все элементарные потоки Через каждую площадочку То есть получается смысл таков Складываем элементарные потоки Через каждую площадочку на поверхности

1:47:10 Площадочку Важно, что это площадочка маленькая такая Площадочку DS-вектор На поверхности Видим, да? То есть это с одной стороны А с другой стороны Давайте посмотрим на это следующим образом Давайте возьмем Не вот так вот по поверхности будем разбивать А разобьем эту картоху На много-много маленьких таких параллелепипедиков Ведь мы же с вами знаем, что вот какой-то 3D объем можно взять, ну или 3D фигуру

1:47:56 взять и разбить на много маленьких параллелепипетиков, ведь можно же это так сделать, правильно? Вот напишите два плюсика если это можно сделать то есть с другой стороны с другой стороны, то есть это с одной стороны, вот очень важно ой, ой, ой, это сегодня с Неллиус был, так, с одной стороны с другой стороны с другой стороны разобьем разобьем

1:48:46 картоху но извините давайте я так буду называть этот эту такую 3d штучку 3d объектик картоха будет разобьем картоху на бесконечно много маленьких параллела мою господи параллела параллелепидиков. Так, маленьких параллелепидиков, параллелепипед, параллелепипед, пипет, параллелепипедиков.

1:49:34 А, у меня русский сломался. Пара, параллелеп, а что ж такое, я ж там написал, да, все, у меня язык ломается. Почему параллелопипед? А, параллелограмм, это же не то. У нас же параллелопипед в виде параллелопипеда. Параллелопипед. Пипед. Пипетиков. Вроде так. Надеюсь, не ошибся. Можете написать,

1:50:24 если что. Так, вдруг Славик. Славик. А он не слышит. Ну и ладно. Параллелопипедиков. Наверное, Можете, если что, подправить. Я беру и говорю, что у меня суммарная картоха на самом деле состоит из бесконечно большого количества параллелепепитиков. Вот параллелепепитик, вот параллелепепед, вот параллелепепед и так далее. Каждый параллелепепит у меня силовые линии будут пронизывать. Вот, например, здесь взяли и пронизали. То есть, с другой стороны, можно сказать, что у этой картохи объем В, то есть картоху, картоху В на бесконечно много маленьких параллелепипедиков объемами ДВ, каждый.

1:51:34 И вот, допустим, у вас есть какой-то фиксированный параллелепипедик. Ну вот, например, здесь давайте я его возьму, выделю.

1:51:48 Вот он, параллелепипед, объем он dv. Его выделю вот таким цветом. В чем будет прикол? Теперь, раз мы с вами поняли, что можно посчитать такое понятие, как дивергенция, а дивергенция вектора e как посчитаем? То есть можем посчитать div e. Это будет сумма таких производных частных DEX по DX плюс DEY по DY плюс DEZ по DZ

1:52:37 Это посчитать можем А далее вспоминаем, что у нас получается Что тогда дивергенция с другой стороны, как мы с вами получили Это отношение суммарного потока через этот параллелепипед Деленный на объем этого параллелепипеда То есть это плотность потока через параллелепипед А тогда можем найти поток Е через поверхность параллелепипедика ДВ Через поверхность параллелепипеда ДВ

1:53:31 У меня 73, если что, поэтому не огорчайся, если я тут букву перепутал Да, через поверхность параллелепипеда ДВ А как мы можем найти? Мы говорим, что ДФ, ДФИ, это будет та самая дивергенция вектора Е умноженная на этот объемчик ДВ, то есть таким образом я могу найти суммарный поток через поверхность этого параллелепипеда, именно вот этого А что делается следующее? А дальше мы как бы берем наславим эти параллелепипеды друг на друга И складываем все эти потоки, таким образом, как бы поток через всю вот эту замкнутую поверхность, он на самом деле будет являться такой суммой всех суммарных потоков через поверхности каждого такого параллелепипеда.

1:54:24 О как! Тогда суммарный поток F через поверхность картохи будет высчитываться так. f это будет сумма, ну давайте интеграл как бы, сумма всех таких df, понимаете?

1:55:11 Или как бы по-другому, это будет сумма, где мы интегрируем по всем пролепипедам, по всем dv. То есть это интеграл, дивергенция e, dv, или по-другому как по объему v. О как! То есть, получается, мы с вами смогли здесь поговорить про суммарный поток через поверхность картохи, как на самом деле сумму всех потоков через каждый маленький внутренний кубик. Вау! Ну это же гениально. Это просто гениально. И таким образом, как бы на дивергенцию, смотрите, как на плотность потока. Вот как мы на нее должны смотреть.

1:55:56 То есть, я думаю, вы уже привыкли. И вот у вас есть там масса суммарная, вам известно, как плотность зависит от x, y, z. Чтобы найти маленький кусочек, вы берете ρ умножаете на объемчик, а потом суммируете. То есть суммарная масса это и есть интеграл родовая, правильно? И вот здесь все то же самое. Вы просто берете и суммируете как бы произведение плотности на объемчик. И получается, вы складываете все такие элементарные потоки через замкнутые поверхности. И здесь в чем отличие? Вы суммируете по внутренним всем объемчикам. И таким образом суммируйте по объему. То есть здесь вы складывали по поверхности, а тут уже по объему. Это есть различие.

1:56:42 То есть, ну да, ну все, это как раз я написал выше. То есть дивергенция, это считай, некая плотность. Вот здесь, наверное, только такой небольшой подскриптум, наверное, хотелось бы отметить. Почему суммарный поток через все эти внутренние параллелепипедики, это будет суммарный поток через поверхность картохи. Ох, ну представить здесь это достаточно тяжело. Но я попробую как-то это отобразить. Представьте, вот у вас параллелепипед 1, а вот у вас параллелепипед 2.

1:57:21 Я его изображу, наверное, другим цветом.

1:57:28 То есть, допустим, вот у вас расположены эти параллелепипеды, правильно?

1:57:35 Цвет.

1:57:40 Вот такие. Вот у вас параллелепипеды. Вот ваш избранный параллелепипед DW. В чем прикол? Когда вы будете складывать, то есть, допустим, у вас здесь вот он DF, здесь df1 там здесь будет df2 когда вы будете складывать все эти дфки то у вас на самом деле как бы вот поток через эту поверхность он суммарно обнулится потому что он будет сюда входить с одним знаком а сюда будет входить с другим знаком вот это самый тяжелый такой момент я попробую просто записать чтобы у вас был если не поняли ничего страшного потому что здесь представить это вообще unreal здесь как бы то есть вот как бы так отметить вот давайте так к

1:58:37 этой границе нормаль n а к этой границе нормаль n2 а здесь нормаль n и вот например вас df будет складываться из там ну какого-то своего кусочка но самое главное плюс скалярное произведение вектора е на вектор n и на площадь ds правильно то есть df' давайте будем считать что поток через эту сторону через эту через эту там и так далее через противоположную но вот если вы делаете на эту сторону то вот здесь будет вектор нормали n для этого квадратика поэтому здесь будет скалярная

1:59:26 nds в случае df2 он там будет какой-то свой с очередь кусочек но самое главное будет тот же же самый вектор е ну а теперь плюс вектор n2 ds то есть df2 штрих это поток через эту сторону через эту сторону через эту сторону и так далее то суммарно поток через все стороны кроме этой а через эту сторону для синего квадратика у нас будет такой поток в чем прикол у вас получается что n2 он выражается Он выражается как минус Н. Как это мы можем здесь заметить? Это значит, что когда вы сложите ДФ плюс ДФ2, у вас будет ДФ штрих плюс ДФ2 штрих и плюс ноль.

2:00:16 То есть у вас вот эти части, они обнулятся, потому что эта часть будет со знаком плюс, это будет со знаком минус. Вот это когда сюда подставить. Это к чему будет говорить? Это к тому, что если у вас есть вот какая-то общая сторона, то когда вы будете вот так складывать, то через все эти общие стороны суммарный поток, он занулится, потому что вы будете его учитывать как здесь с одной нормалью, так и с другой нормалью. И у вас будет учитываться там эта сторона только если она с кем-то не связана. Ну вот, например, возьмите, рассмотрите вот такой кубик.

2:01:08 Так у него получается левая сторона, например, вот она, она является границей картохи, она ни с кем не связана. Вот и получается, что тогда поток через эту сторону останется, а потоки через другие стороны, которые будут смежны с другими кубиками, там убьется. Когда вы таким образом сложите все потоки через каждый из этих кубиков, то у вас останется поток чисто по поверхности. То есть поток через поверхность этой картохи. Прошу вас потом в записи это пересмотреть несколько раз и попробовать самостоятельно это обдумать. То есть понять, для чего это. Я это еще раз напишу, чтобы вам было просто проще. То есть суммарный поток через смежные стороны, то есть стороны, которые с кем-то будут соприкасаться, стороны нулевой.

2:02:18 Вот. Вот что хотелось бы здесь отметить. Это такой сложный момент, поэтому это, конечно, вот вам на самостоятельное немножечко такое обдумывание, размышление такое. пока попробуйте мне написать 10 если вы примерно поняли о чем я потому что ну конечно здесь объем информации достаточно большой и сходу это понятное дело не все может поняться это означает что в f как интеграли всех df или с очередь интеграли вот такой дивергенции е dv будет суммарный поток поток

2:03:22 через поверхность картошки через поверхность картохи фух то есть случае кубиков середине то есть случае кубика в середине равна нулю поскольку вектор а уничтожит друг друга из-за того что направлены разные стороны да это правда то есть по сути своей вот эти вот кубика которые будут находиться здесь внутри когда вы будете из них складывать то на самом деле потоки через вот эти вот грани они зануляться да и так у вас будет 0000 пока вы не дойдете до границы где уже стороны смежной уже не будет и таким образом будет свободная сторона через которую и останется

2:04:07 не нулевой поток правильно кабанчик если будет лучше то есть как бы вот хочу привести такое олицетворение или аллегория господи у меня с литературе конечно ведь что-то похожее как называется олицетворение или аллегория вроде олицетворение короче бексу мы можем составить олицетворение следующее то есть смотрите у вас как бы происходит вот так можно это через такое

2:04:53 представить на плоскость как будто удобно представьте у вас например вот вы берете разбиваете такую криву ли ну конечно это в циркуляция будет использоваться но вот здесь тоже хорошо просто если брать из циркуляции это хорошо показывает о чем речь смотрите как бы речь такая что бывает ну вот что-то похожее то есть если вы идете вот так я просто пробую каким-то

2:05:40 другим языком объяснить то есть если вы например вот ой потоньше вот здесь идете вот так вот так вот так вот так а снизу у соседа вы идете ровно в таком то есть также по часовой стрелочке то если у вас есть соседи то они друг друга уничтожают то есть таким образом получается что вот здесь происходит уничтожение и если вы так вот продолжать как бы двигаться вот здесь вы опять вот так двигаетесь двигаетесь том же самом направлении это схематично так и вот здесь пом пом пом пом

2:06:35 то вот у вас и получается что вот здесь у вас произошло компенсирование друг друга а здесь компенсации нет нет компенсации инсацией и поэтому вот здесь внутри они компенсируют друг друга, здесь тоже будут компенсировать, здесь тоже будут компенсировать, и таким образом потоки через эти стороны, через эти, через эти будут нулевые. А вот поток через эту сторону будет не нулевой. Вот и получится здесь поток через эту, через эту, через эту, через эту, вы все будете складывать, и таким образом получите поток через суммарную поверхность вашей картошки. Это вот если прям углубляться в то, а вот что там внутри происходит. Если же не углубляться, то в целом

2:07:25 Это будет выглядеть так. К дивергенции нужно относиться как просто к плотности полного потока. А это значит, что вы можете найти полный поток через маленький кусочек, потом взять, разбить вашу картоху на много маленьких кусочков и сложить все потоки через каждый маленький кусочек и получить суммарный поток через большую картоху. О как! Бам! Вот что такое дивергенция, понятно? Плотность суммарного потока. Напишите 20, если с этим разобрались. То есть я надеюсь, у меня получилось более-менее как-то вот здесь пояснить вот эту дивергенцию. Плотность суммарного потока. А поток, на самом деле суммарный поток, он отвечает за количество источников.

2:08:10 Поэтому дивергенция, она еще отвечает за плотность источников. То есть как можно, то есть где много источников.

2:08:22 Поэтому здесь еще один такой подскриптум. То есть дивергенция E. Это получается DF-PDV. Плотность суммарного потока А суммарный поток Он всегда связан с количеством источников Поэтому можно еще Это понимать так Плотность источников поля Потому что суммарный поток

2:09:12 Через какую-то замкнутую поверхность Он вам отвечает За то, а сколько источников Этого поля внутри этой поверхности Так как Это уже чисто электростатика Поэтому, если кто физику не знает, ничего страшного. Суммарно поток через замкнутую поверхность равно количеству источников поля.

2:10:00 Вот как-то так. Но это совсем под скриптум для физиков. В случае математиков предлагаю к этому относиться как к плотности, некого потока. Так, напишите тогда 40, если более-менее мы с вами поняли смысл дивергенции. Очень надеюсь, потому что это было, да, это было тяжело, но это был очень глубокий, глубокий смысл. Зато мне кажется, люто интересный. И на самом деле мы с вами помимо этого еще подошли к следующей очень такой важной части. Это много всего держится. Конечно, здесь в идеале очень много времени выделять. Но я уже чувствую, что вам хочется решать задачи, а не эту теорию мутузить,

2:10:46 потому что здесь очень много информации сразу помещается. Так, жду от вас 40, если более-менее мы с вами разобрались с тем, что такое дивергенция И как из дивергенции мы получаем суммарный поток Мне будет интересно увидеть Так, ну смотрите Мы с вами подходим к очень такой важной части Ведь косвенно этому мы с вами доказали следующее Ну как доказали? На физическом уровне строгости Смотрите, у нас есть вот это А есть, давайте так, вот есть вот это, а есть, где оно?

2:11:38 Во, есть вот это, а есть вот это. Не возникает желания приравнять? Не возникло? У меня что-то огромное желание приравнять. Ведь здесь буковка Фи, и здесь буковка Фи. Наверное, они равны, ведь это одна и та же самая буковка Фи. Это означает, что мы с вами пришли к теореме Астроградского Гаусса. Так, теорема Астроградского Гаусса.

2:12:24 остроградского гаусса думаю когда-то вы о ней что-то слышали must have теорема для тех кто изучает электромагнетизм то есть вузе вы обязаны знать эту теорему всегда что она говорит она

2:13:17 говорит что вот этот суммарный поток и через замкнутую поверхность можно посчитать двумя способами а именно первым способом это стандартный способ через криво-линейный интеграл через поверхностный интеграл второго рода так не быть зафиксировать как нибудь хочу красиво здесь кружочек и ds вектор где как мы сказали что это будет сумма всех элементарных потоков

2:14:17 через элементарные площадки на поверхности то есть это идет суммирование по поверхности видите здесь с суммирование по поверхности и вот эта штука будет вам выдавать другой крючочек дальше идет дивергенция дивергенция вектора е на dv где здесь вы будете суммировать по объему то есть как бы таким образом мы с вами связываем интеграл по поверхности с интегралом по Интеграл по поверхности с интегралом по объему.

2:15:03 То есть важный смысл связь интеграла-интеграла или другой, или как бы суммы, то есть мы суммируем с одной стороны вот эти потоки по поверхности, помните? То есть вот это что такое? Это элементарный поток через площадочку на поверхности, правильно? И мы таким образом складываем все потоки через площадочки на поверхности вашей картошки. вот она картошка мы идем по поверхности как это я выше записал связь интеграла по поверхности поверхности с ну по замкнутой поверхности окружающей давайте замкнутой по замкнутой

2:16:02 поверхности замкнутой поверхности с окружающей картоху картоху картоху объема в так это связь интеграла по замкнутой поверхности с окружающей картоху объема в с интегралом с интегралом эти

2:16:48 здесь скобочка краски отмечу что это вот этот ты играл дивергенции едв с интегралом по объему картохи по объем это значит что я складываю теперь вот эти все произведения внутрь по маленьким объемчиком по объему картохи так здесь чуть-чуть я вот это смещу с и скобочках укажу этот интеграл поверхность с е д с видали какая просто

2:17:57 красота смотри вот что было сегодня а у нас уже 1300 просмотров на этом электромагнетизм держится вот так напишите мне 15 если мы поняли что мы здесь получили то есть как бы смысл этой записи следующий с одной стороны можно Нужно считать поток через поверхность картошки как сумма всех потоков по маленьким площадочкам. То есть вот в самом начале, как я вам писал, где это было. Я беру маленькую площадочку картошечки, поверхность картошечки, ищу на ней элементарный поток и складываю.

2:18:47 Все. Это первый случай того, как можно посчитать суммарный поток через замкнутую поверхность, ограничивающую картошку. Но есть и второй способ. Второй способ содержится в дивергенции Как мы с вами получили, дивергенция оказывается является плотностью суммарного потока через замкнутые поверхности И таким образом к дивергенции нужно относиться как просто к обыкновенной плотности То есть вот мы помним, вот у вас есть картоха, ее масса m, знаем, что здесь плотность ρ Хотим найти массу, например, вот такого кубика Говорим, что это ρ на dv А если я хочу найти суммарную массу моей картохи

2:19:35 Я должен проинтегрировать ρ, dv, то есть сложить их все Вот это как раз и есть второй способ подсчета суммарного потока через замкнутую поверхность Где вы берете, разбиваете картоху на много маленьких квадратиков Ну или параллелепипетиков О, стой, стой, я тебя звал, подожди ко мне подожди, правильно я написал параллелепипедиков параллелепипедиков там точно 2L это я точно помню там параллельный 2L как параллелограмм там 2L, 2M а вот здесь вот лелепипедиков ну параллелепипед ты правильно написал а если ты правильно написал параллелепипед

2:20:22 то дальше скажем Вольный суффикс «ик» и окончание «о» вполне подходят Ну, хорошо, будем верить в это Потому что вроде бы да, так вот Так вот, получается, с другой стороны Мы с вами взяли, разбили суммарную картоху На внутренние маленькие такие параллелепипедики То есть на внутренние такие кубики Ну, представили, да? То есть вы взяли много кубиков, из них собрали картоху Представьте картох, не знаю, с размером в 10-этажный дом Возьмите до хрена кубиков и вот соберите вот эту картоху И вот вы можете найти поток через каждый этот кубик, зная дивергенцию Просто умножая дивергенцию на объем

2:21:07 А потом вы берете и складываете все эти суммарные потоки через поверхность этих кубиков И оказывается, тогда это и будет суммарный поток через весь, через всю эту картоху. А за счет чего? А за счет того, что если мы будем рассматривать смежные стороны, то есть стороны, в которых у вас будут как бы состыковаться, в которых будут кубики, там просто поток будет зануляться суммарный, так как в одной стороны вектор n будет, с другой стороны нормаль будет в обратную сторону. А вот в тех сторонах, у кого не будет соседа, там поток не занулится И поэтому здесь у всех соседей занулится, занулится, занулится

2:21:53 И останется только поток по поверхности То есть здесь как раз и скрывается смысл, почему это правильно И таким образом, подойдя к суммарному потоку двумя способами Мы доказали с вами, ну на физическом уровне строгости Теорему Астроградского Гаусса Да, красота Ну, теперь можете прям вот, если осознали, везде тоже показывать, насколько классную штуку вы знаете Так, напишите 10, если мы с ней согласны, с этой теоремой Астроградского Гаусса То есть, если поняли, в чем ее примерный смысл и в чем примерный смысл этой дивергенции Выглядит, конечно, ужасно, но к этому относитесь как просто, что вы ищете сумму через замкнутую поверхность

2:22:42 А здесь вы просто ищете сумму по объему Все, то есть не надо смотреть на эти какие-то закорючки, типа их много, страшно, не-не-не, ну не смотрите Относитесь к интегралу как к мгновенной сумме То есть вы просто складываете все такие произведения, просто по объему А здесь по замкнутой поверхности, это просто означает, что у вас замкнутая поверхность Потому что мы помним, бывает поверхность не замкнутая Объем замкнутый, ну это немного странно, да, есть объем замкнутый, есть не замкнутый Что значит не замкнутый объем, это как-то странно, поэтому здесь кружочка нет Да, для ЕГЭ покатит Вот Это да Как-то так Я, кстати, в этом плане

2:23:28 Что-то и писал Я на ЕГЭ писал как раз-таки вот эту штуку Что GDS Это будет Ух ты Здесь вроде вот так DPDT RODV Я вот это на ЕГЭ, помню, написал Мне почему-то задачу не защитили Бывает так прекрасно все стерео астроградского гаусса разобрались надеюсь поняли что такое дивергенция давайте теперь у нас конечно у всех уже мозги плавят плывут так но я предлагаю тогда попробовать посчитать дивергенцию правильно давайте с ней немного разберемся вот давайте посчитаем давайте

2:24:19 считать дивергенцию так как у меня сейчас пунктик 1 2 теперь 33 так примеры что просто вычисляли конечно ребят извините но теорема строградского гаусса сегодня я не буду показывать как применять потому что для этого уже требуется отдельный пласт задач для решения либо отдельные физические

2:25:04 задачи и так далее но я предлагаю вам как минимум сейчас просто хотя бы разобраться что это за теорема и почему она выглядит так то есть как бы мы с вами неформально ее доказали вот просто конечно в идеале здесь еще выделять несколько занятий именно для применения ее либо для подсчетов и так далее давайте пока дивергенцию посчитаем примеры давать пример 1 так пример номер один посчитаем дивергенцию дивергенцию вектора r так чему она будет равна да здесь достаточно легко что такое r r вектор это конечно x y z правильно то есть координаты x y z значит

2:25:56 дивергенция вектора r у нас будет высчитываться как drx по dx плюс dr y по dy плюс drz по dz то есть мы здесь смотрим за суммой частных производных по каждой из оси координат но смотрите у меня что такое x x это есть проект и вектор r на усть x y это есть проект вектор r на усть y rz это есть z то есть как бы здесь я получаю dx pdx плюс dy dy плюс dz pdz но здесь вижу не ходи и все равно

2:26:44 вы получаете 3 потому что это будет равно единице это равно единице от равно единицы то есть к этому можно относиться как вот у вас есть x вы берете от него производную по x на чему равном это единица равно аналогично здесь это y производная по y но это будет но будет единица и это будет и равняется единиц вот вы получаете 3 напишите 3 если мы с вами согласны с тем что такое дивергенция вектора r давайте посчитаем дивергенцию вектора r на r куб где вектор r напомню что имеет координаты x y z а сама по себе r у нас будет вычисляться как корень

2:27:31 из x квадрат плюс y квадрат z квадрат так ну к поверхностным интегралом здесь пока что ну хотя бы хотя бы я так скажу ну как вот в этом квадратики то есть например там будет то есть если мы говорим про школьную физику про школьную электростатику там потоки легко считаются просто берем разбиваем на вот такие поверхности отдельные какие-то удобные через них удобнее всего отдельно считаем и складываем потоки если показывать как именно математически в общем случае считается

2:28:23 поверхностный интеграл но для этого честно признаюсь нужно уже отдельное занятие сегодня точно не подскажу не успею поэтому к этому пока относимся вот давай так пока что на уровне физики на уровне физики к этому относимся так это просто сумма таких вот скалярных произведений скалярное произведение если что по частям можно посчитать то есть там раз там через одну площадочку посчитали скалярное произведение через другую, взяли, посчитали. Если проводить отдельное занятие по поверхностному интегралу, то можете написать в комментариях, хочу подсчет поверхностного интеграла первого-второго рода. И вообще-то, как считаются кратные интегралы, поверхностные,

2:29:09 криволинейные и так далее. Так, ладненько, считаем дальше. А сколько еще занятий планируется? Так-то по расписанию сегодня был последний день, но у меня было запланировано еще две темы. Если Если напишите в комментариях «хочу решать» или «хочу еще», то обдумаю даты, куда можно будет вставить. Потому что сейчас учеба начинается на физтехе, надо посмотреть, что там есть, время нет, и надо посмотреть. Потому что если я вижу, что вам нравится, то почему бы и нет, куда-нибудь оп-оп, найти это время. Так что пишите «хочу еще», и тогда проведем еще комплексные числа, дифференциальные уравнения. а если прям захотите еще и может быть поверхность интеграла и так далее

2:29:58 давайте считать что мы не считаем да так что такое диверсия Ладно, давайте и считать, что мы не считаем, да? Так, что такое дивергенция? Получается, вот давайте обозначим вектор А, ну или раз мы вектор Е везде писали, давайте вектор Е, это будет R вектор R куб. Обратите внимание, кстати, это как раз-таки кулонская напряженность электрического поля, просто как у них хватает. Получается дивергенция вектора E нас с вами считается как DEX по DX плюс DEY по DY плюс DEZ по DZ. Теперь остается понять, какие у нас будут проекции на каждую из этих осей.

2:30:48 Так, а так вся основная информация будет в моем телеграм-канале по ссылочке в описании, конечно же. Так, что такое EX? x это будет x деленное на r куб или по-другому как x ну да x деленное на r куб давайте искать тогда частную производную по x dx по dx это что это получается x деленное на r в кубе где я беру производную по x берем производную как от произведения к примеру то есть у меня же x на r в степени

2:31:34 минус 3 пользуемся стандартными правилами взятия производной так это будет x производная по x умноженное на r в степени минус 3 плюс x умноженное на r в степени минус 3 и производная по x напомню что как раз если у вас есть f на же я беру производную то это будет f штрих же плюс и в же штрих так что я тогда получаю получается x мне выдает производная x по x ну это будет единица это нам известно поэтому здесь я получаю единицу можно на 1 деленное на r в кубе далее что у нас будет плюс x здесь

2:32:28 смотрите у нас идет производная сложная функция потому что у нас r маленькая то есть смотрите у У нас сначала идет минус третья степень, а потом у нас r это есть функция от трех аргументов x, y, z. Помним, да? Поэтому здесь у нас будет производная сложная функция. Это значит, что сначала мы берем производную внешней функции по своему аргументу. То есть это будет r минус третья. Я беру производную по своему аргументу, а потом умножаю на производную внутреннего аргумента по своему аргументу. а именно по x то есть сначала беру производную внешней функции по внутренней а потом внутренней

2:33:14 функции по своей внутренней еще там это как раз кипа x так что я тогда получаю это будет 1 деленное на r в кубе потом плюс x на минус 3 выносим получаем r минус 4 потому что взяли производным по r а потом умножаем на d r p dx d r p dx предлагаю посчитать отдельно поэтому пока что ой чё за x dx pdt dx pdx так да то есть получается пока что dx pdx нас имеет вид 1

2:34:02 на r в кубе минус 3 x деленное на r в 4 на d r по dx остается найти d r по dx как искать бу-бу-бу-бу-бу-бу-бу-бу-бу-бу-бу нужно вспомнить что у вас r и то есть корень из x квадрат плюс y квадрат плюс z квадрат правильно так считаем dr по dx получается теперь мы считаем что у нас y квадрат z квадрат это константы потому что я беру производную чисто по x то есть меня переменная

2:34:51 является x как всегда сложная функция поэтому у меня идет сначала производно моего крышка то есть вот так берем сначала производную крышка получаем что это будет одна вторая на потом 1 2 минус 1 будет минус 1 2 то есть это дальше будет 1 деленное на вот этот корень x квадрат плюс y квадрат плюс z квадрат а потом умножается на производную внутренние функции но она будет

2:35:39 равна просто 2x то есть я получаю что dr по dx мне будет выдавать это будет 2x деленное на 2r или по-другому x на r так напишите мне тогда два плюсика если мы поняли как я нашел производную r по x ну частную производной r по x что хотелось бы здесь кстати отметить под скриптом давайте вам покажу еще один способ как это подсчитывать мне он больше нравится есть второй способ как бы сказать что ребят r квадрат это будет x квадрат плюс y квадрат z квадрат и взять производную по по x от этой величины. Вот смотрите, dr² по dx, то есть это будет r², и я беру от этой части

2:36:36 производную по x. Вот здесь получается как бы два равенства. С одной стороны, это равенство чему будет равняться? Это равенство берется так, как производная сначала сложная функция, это 2r, умноженная на r' по x, правильно? А с другой стороны, я знаю, чему равняется r², это будет x² плюс y квадрат z квадрат то есть другой стороны это производная и этой части это будет 2x но объединяю и получаю что 2x это будет 2r на r штрих по x мне вот это больше честно скажу нравится я так вузе в основном считал то есть когда у меня сейчас были уравнение математической

2:37:26 физики там что подобное было мне так было лень вот так считать я вот так что вот вы видите что у вас r штрих по x вам выдает просто x зеленая на r то есть тот же самый ответ поэтому считайте как вам приятнее через такой по скриптам либо просто напрямую так а б в так что же предлагаю тогда подставлять правильно так напишите два плюсика если все ок подставляем теперь в наш итог получаем тогда dx по dx мне выдает 1 деленное на r в кубе минус 3 x деленное на r в 4 на x деленное

2:38:21 на r о как то есть я получаю что это будет 1 деленное на r в кубе минус 3 x квадрат деленное на r в 5 в то есть так мы с вами смогли найти частную производную x-овой проекции по по x ты не даешь два плюсика спасибо так но нам нужно еще по dy и так далее но ребят я предлагаю далее

2:39:14 воспользоваться аналогией g как вы понимаете все будет аналогично то есть у вас же и y выражается как x зеленый на р куб ой y на р куб и z выражается как z на р куб и следовательно по аналогии с пунктом с каким пунктом с пунктом b получаем что д е y по d y нам выдает один зеленый на

2:40:07 r куб минус 3 y квадрат на r в 5 про заметьте что у вас все зависит от того какая буковка Так, а D, E, Z по D, Z мне выдает 1, деленное на R в кубе, минус 3, Z квадрат, и все это деленное на R в пятый. Предлагаю тогда сложить, и получаем об GD, наша дивергенция вектора E. будет складываться из суммы таких производных так уж то господи опять это писать dx dx плюс

2:40:57 de y воды y плюс de z о d z складывая получается что у меня будет следующего заметьте я вот это буду складывать вот это буду складывать хотя давайте наверное разными цветами обозначим то то есть вот это буду складывать, так, и вот это буду складывать. Так, EZ, вот она, Y, вот она, так, EX, вот она. Я предлагаю, что сделать? Заметить, что у вас и там, и там 1 на R куб будет, поэтому сразу давайте запишем, что это будет 3 деленное на R куб.

2:41:44 А далее, смотрите, как красиво будет. будет минус 3 на r в пятый, а здесь идет сумма x квадрат плюс y квадрат плюс z квадрат. О, смотрите сейчас какая лепота будет. Ха-ха-ха-ха, ха-ха. 3r куб минус 3r квадрат на r в пятый. Хм, а чему же это равно? Ноль. То есть дивергенция этой штуки равна нулю. О как! А вот так вот. Напишите 0, если с этим согласны.

2:42:35 То есть получается, что у нас дивергенция r вектора на r куб, она равна 0. Это вот такой результат. На самом деле, его достаточно хорошо объяснить. Потому что в физике дивергенция, она на самом деле связана с... Ну, то есть это плотность потока, правильно? Вот давайте под скриптом. вот если вы вспомните то есть вот у вас есть точный зарядик вот давайте изобразим силовые линии электрического поля точного зарядика я здесь буду уже пользоваться знаниями из общей физики ну из-за физики олимпиадной хотя бы и мы знаем что как раз если взять какую-то точку то

2:43:35 конечно здесь будет вектор ей создаваться как как у р вектор на air cube и поэтому дивергенция векторами она и будет вычисляться как как у можно вынести это будет дивергенция р вектор на r cube и в чем прикол что такое дивергенция дивергенция ее как я уже сказал это плотность потока то есть если вы будете брать здесь маленький такой кубик и смотреть за потоком через поверхность этого кубика то чему равняется поверх чему равняется то есть давайте так вот объем dv df суммарный поток поток через поверхность dv и в чем прикол если вспоминать теорему гаусса в

2:44:37 электростатике то вы помните что суммарный поток через замкнутую поверхность он равен чему правильно он равен суммарному заряду деленное на епсил ноль в данной ситуации суммарного заряда нет из теоремы гаусса теоремы гаусса в электростатике статике Вы получаете, что df будет равен нулю, так как зарядов в dv нет, ну вот и вы получаете, что тогда дивергенция e как df к dv равна нулю, то есть за счет того, что у вас здесь внутри никакой плотности заряда даже и нет в помине, то и в этот суммарный поток будет равен нулю, поэтому дивергенция занулится.

2:45:35 вот как-то так что хотелось бы здесь отметить поэтому все согласовано то есть и вправду если вы будете брать и считать дивергенцию клоунского поля в любой точке кроме самого положения заряда потому что здесь есть источника в другом месте нет источника вот везде где нет источника клоунском поле здесь дивергенция будет равна 0 это у нас с вами и подтвердилось так жду от вас тогда 10 если с этим согласны то случилось да у нас уже 1400 можно вообще ну вот надо вузовскую физику

2:46:35 вузовскую математику мне вообще в комментариях написали это вузовскую физику очень хотим там людей больше но мы только еще помним что надо правда 60 лайков набрать правильно чтобы запись осталось так давайте еще наверно что хотел бы здесь отметить то есть вот подсчеты как вы уже понимаете дальше считать уже достаточно элементарно то есть вам нужно будет везде подсчитать как

2:47:20 минимум потом спустя некое время я могу выложить пособие как раз к этому занятию где она меня вот она здесь в пособии давайте покажу так где ты где ты где ты да вот оператор набло дивергенция все как положено вот этот тот самый вывод который вы можете здесь тоже прочитать вот они примеры Сейчас, здесь у меня должны быть задачи для отработки. Да, вот, вот, вот. То есть потом, если что, вам будут здесь предоставлены на самом деле такие примерчики, которые вы сами сможете порешать в этом пособии. Это пособие вы сможете получить у меня в телеграм-канале по ссылочке в описании.

2:48:07 То есть там в течение недели, в течение двух недель я выложу это пособие, чтобы вы смогли в нем потренироваться. Здесь вот будут вам задачи для самостоятельного решения, чтобы вы отработали материал, то есть считай, как бы, ваша домашка. А перед этим вот эта теория, которую я рассказываю. Так, что хотелось бы, наверное, еще просто отметить, номер 3.

2:48:31 Вот так, немножко в физику уйти, то есть физика.

2:48:41 В чем прикол? Вот у нас есть, получается, такое понятие, как теорема Гаусса, да? Предлагаю ее здесь оставить без вывода, теорема Гаусса. И теорема Гаусса как раз и будет говорить о том, что суммарный поток через замкнутую поверхность выражается как суммарный заряд Q, деленный на ε0. Ну или если говорим в гауссовой системе, там будет 4πQ. Ну можно Q суммарный, деленный на ε0. Это суммарный поток через гауссовую поверхность, то есть через замкнутую поверхность.

2:49:41 И суммарный поток через замкнутую поверхность будет равен суммарному заряду внутри этой поверхности, то есть внутри этой картохи, деленной на ε0. То есть вот картоха, вот здесь там заряды Q1, Q2, Q3. И вот получается, что φ это будет Q1 плюс Q2 плюс Q3 плюс Q4 деленной на ε0. То есть как раз-таки суммарный поток на самом деле будет отвечать за количество источников. вот а давайте попробуем понять а как дивергенция будет выражаться в электростатике а дивергенция что дает дивергенция е в электростатике статике ну смотрите как вы помните вам нужно взять и

2:50:45 рассмотреть какой-то маленький параллелепипедик правильно давайте я вот здесь и выйдет ухты Господи, это чересчур толстенький и маленький параллелепиптик. Во! Не, не, надо потоньше. То есть, вот, например, у вас есть параллелепиптик.

2:51:14 Малый параллелепипед объемом ДВ. Мы знаем, что ДФИ это суммарный поток через него. Суммарный поток через ДВ. Ну, через поверхность кубика. Так проще написать. Хотя это параллелепипед. С точки зрения теоремы Гаусса, чему будет равен dφ? Суммарный поток через поверхность нашего пролипипеда будет равна суммарному заряду.

2:51:59 Кто такой суммарный заряд? Если мы с вами скажем, что здесь объемная плотность заряда ρ, ρ объемная плотность заряда, давайте так, объемная плотность заряда, то по теореме Гаусса я получаю, что это должен быть суммарный заряд, то есть ρdv деленное на ε0. Но при этом по определению дивергенции через дивергенцию, я же получаю, что dφ будет выражаться как просто произведение дивергенции нашего электрического поля в этой области умноженное на объем dv, правильно?

2:52:54 То есть мы выразили с одной стороны по определению через дивергенцию, потому что дивергенция это и есть, считая, плотность суммарного потока. А с другой стороны через теорему Гаусса, который говорит, что суммарный поток через замкнутую поверхность, это и есть суммарный заряд внутри, деленный на ε0. Где ρ, допустим, в этой области, это объемная плотность заряда. Приравниваем. Тогда получаем, что дивергенция E, множенная на dV, нам выдает ρ, множенная на dV, деленная на ε0.

2:53:41 dV сокращается. Вот я получаю, что дивергенция вектора E нам будет выдавать ρ, деленная на ε0. Вуаля! Нет, это математика физики. Ну так, немножко про физику сказали. Смотрите, как красиво. То есть, если, например, там в электростатике вы изучали теорему Гаусса, то как минимум вы можете теперь переходить к дифференциальной форме. Это называется дифференциальная форма. Где, как вы можете заметить, просто воспользовавшись нашим определением дивергенции, воспользовавшись как раз этим смыслом, мы получили, что дивергенция просто выражается как плотность, деленная на ε0.

2:54:26 То есть, вот и ρ, она и отвечает за плотность источников. То есть Q это как бы источник, правильно? То есть источник нашего электрического поля. И вот ρ это и есть плотность наших источников электрического поля. Поэтому в общем смысле дивергенция векторного поля это и есть плотность источников этого векторного поля. Это и есть так, если так вот максимально в общем про это говорить. Вот как-то так. Ну я считаю вышло красиво, вышло насыщенно. Так, дайте-ка на секундочку подумать. Просто дальше тут опять этот большой, если вести разговор,

2:55:15 то тут вести разговор про ротор, потом про наблу и так далее. И про наблу тут отдельно еще болтать и болтать.

2:55:31 Да, весело. Ну, это означает, что... Ну, вот давайте вам покажу. То есть, смотрите. Просто потом, если дать сейчас болтать, то это еще мы, конечно, на час-два заседим. Вот, а мне уже пора, потому что я где-то 3 часа выделял. Смотрите, то есть вот пособие, которое у меня готово для вас. Впереди как бы еще ждет набло. Про дивергенцию мы с вами поговорили, про ее смысл поговорили. Вот, три примерчика посмотрели. Дальше, конечно, идет ротор, в котором нужно просто вспомнить, что такое векторное произведение. И об этом, конечно, хотелось бы в отдельности, потому что здесь про ротор, если говорить, то это опять.

2:56:21 Это опять, это будет как бы циркуляция на единицу площади И там тоже нам в идеале поговорить сначала про что такое циркуляция И посмотреть, что это за плотность получается циркуляции Далее мы с вами выведем, как у нас выражается как раз выражение для ротора То есть как это связано с циркуляцией И начнем говорить также на самом деле про наблы А именно операции с наблами Вот это мне хотелось бы уже начать на следующем занятии потому что и так у нас с вами уже сегодня достаточно насыщенно вышло, но как минимум, если нужно, будет я вот такое пособие вам скину, но уже спустя время, на самом деле, мы хотели бы чуть-чуть так, может быть, доработать, но вот такие были планы на сегодняшнее занятие, но, конечно, я рассказал подольше, зато, как я вижу, ну, поподробнее, поэтому так, давайте, напишите тогда в комментариях, хочу еще,

2:57:17 Если я вижу эту активность, хочу еще, тогда мы с вами еще раз встретимся за планшетом И будем разговаривать уже про ротор, про наблу и будем их применять Потому что у нас и так сегодня достаточно насыщенно вышло Мы с вами сегодня поговорили про поток Попробовали его связать с дивергенцией Да, конечно, жалко, что на поток у нас очень много времени ушло Ну что ж поделать, зато я надеюсь у нас вышел такой максимально полный по теории рассказ который связывает дивергенцию и поток, и они очень сильно-сильно друг с другом связаны. Таким образом, мы научились считать поток двумя способами и также поговорили про теорему Строградского Гаусса. А дальше, на самом деле, если говорить про подсчет дивергенции, то подсчет стандартный.

2:58:03 Просто нужно взять сумму трех производных и все. И все готово, как мы это с вами здесь проделали. Так что вот так Напишите тогда по 10-бальной шкале Ну или по 100-бальной шкале Как вам сегодняшнее занятие Как мы с вами сегодня посидели, поиграли Сейчас я посмотрю Вроде бы у нас с вами 60 лайков должно было набраться Да, 60 лайков у нас есть Так что молодцы Запись у вас остается, это однозначно Так что это очень-очень классно Все, так что на сегодня

2:58:49 Тогда всем спасибо большое за занятие Всем огромное спасибо, кто присутствовал с кем мы общались, считай, вот так вот вживую, это очень круто. Тогда жду от вас в комментариях, хочу еще, и мы с вами проведем тогда вторую часть, где будем говорить про НАБЛу, про ротор, и сделаем такое, считай, продолжение этого занятия. Там, конечно, мы на НАБЛе порешаем намного, ну, побольше задач, потому что в основном все задачи сконцентрированы на НАБЛе, вот там вот весь сок. Здесь же я хотел максимально продемонстрировать смысл этой дивергенции, Потому что вот в дивергенции всегда есть некие тонкости, которые не все понимают. Потому что я, например, в 11 классе, я не понимал смысла дивергенции. Типа, ну, дивергенцию бахнули и все. Потому что я когда смотрел лекции на физтехе, там такие, ну, вот, короче, астроградский гаусс, бум, все, ребят.

2:59:40 Ну, вы же знаете ее, да? А, не знаете? Ну, пройдет потом, короче. Ну, вот вам, бум, ее использовать, а? И такой, кого? Вот, и отсюда дивергенция как бы не сильно понятна, да? То есть, ну вот представьте, я бы вам в начале занятия дал бы эту формулу. Вы бы поняли, что такое дивергенция? Ну, так... Дивергенция. Такой спорный момент, может быть и поняли, я не понял в свое время. Вот так. Все. Так что подобие астроградского Гаусса нас ожидает теорема Стокса. Она будет также связывать циркуляцию и как бы плотность циркуляции. И там будет находиться ротор. То есть ротор это, считай, поверхностная плотность циркуляции.

3:00:25 Вот. И теорема Стокса, она об аналогичном. Там, считая суммарная циркуляция вектора B, она будет равна как раз-таки потоку ротора B через площадь S. Вот, это вот так обозначается. Это будет теорема Стокса. Это хотелось бы как раз-таки уже в следующий раз тогда обсудить. Все, рад сотке, рад 60 лайкам. Так что запись остается. Смотрите, наслаждайтесь и все будет классно. Пока-пока. Всем счастья, мира, добра и любви. Подписывайтесь на мой телеграм-канал, чтобы следить за обновлениями, следить за информацией по данному курсу

3:01:10 А также получать вот такие классные пособия, которые вы уже у меня увидели на некоторых занятиях Ну и конечно, хотите также ботать мощную олимпиадную физику, шарить за олимпиадную физику и уметь решать задачи любого уровня на олимпиадах То присоединяйтесь по ссылочке в описании, давайте ботать вместе И также с промокодом СЕПТЕМБР26 Да, СЕПТЕМБР26 Он сейчас дает скидку в 26%, применяйте и присоединяйтесь, будем бутать вместе Пока-пока, всем счастья, мира, добра и любви