Как найти натяжение нити, не вычисляя страшную сумму?

0:00 Вот вы видите такую страшную сумму, но вы же не знаете, как ее находить. Ну попробуйте там пукомекать, не знаю, минут 10. Ну, в тупик, да, войдете? Не получится. Если вам дана задача, она имеет решение. Есть N точечных зарядов, связанных нитями, длина которых равна A. Нам известно, что натяжение первой нашей нити между зарядами 1 и 2 равна T. А какое будет натяжение нити, расположенной между зарядами 2 и 3? Давай решать. И начнем наше решение с рассмотрения первого заряда.

0:45 Ну а конечно же сразу обозначу. У нас все заряды одноименные. Силы мы будем записывать как клоуновские силы. Клоуновская сила взаимодействия, она прямо пропорциональна произведению зарядов и обратно пропорциональна расстоянию в квадрате между ними. И давайте тогда сначала просто распишем все для первого заряда, посмотрим, какие на него будут действовать силы, а потом для второго. И посмотрим, а вдруг уже задача решилась. Поехали. Буду рассматривать здесь первый зарядик. Вот он, первый зарядик у маленький. Давайте буду записывать силы, действующие на него. Во-первых, так как он прикреплен к нити, вот я его попробую здесь отобразить, вот она нить,

1:31 то, конечно же, у меня будет действовать сила вправо, как сила натяжения нити, сила T. Если что, значок вектора я не буду писать. Я буду здесь, над стрелочкой нашего вектора, писать длину этого вектора. То есть здесь как раз-таки модуль натяжения нашей силы. Далее. Помимо этой нити у нас будут действовать все наши зарядики. Ну и давайте тогда запишу так. Так, у меня сначала будет действовать сила со стороны второго зарядика на наш первый. Обозначим это как F2. Причем давайте я обозначу как F2. F2. F2 у меня будет записываться как K на наш первый зарядик, Q маленький.

2:20 Будем считать, что они все положительные. На наш второй зарядик, Q на 2. И все это деленное на расстояние между ними в квадрате. а маленькая квадрат. И тогда я получаю, что это будет kq квадрат, деленное на 2a в квадрате. Также у меня будет действовать сила на первый зарядик со стороны третьего зарядика. Я это обозначу как f3. Ну и чтобы здесь не загромождать рисуночек, я просто напишу ее чуть ниже. Вот она, будет f3. f3 же у меня будет записываться уже как k, умноженное теперь q на это зарядик Q на 4. Сразу давайте здесь напишу, что это будет Q квадрат, деленное на 4. И далее здесь я учитываю,

3:08 что у меня расстояние между ними будет уже как 2A. Это значит будет 2A в квадрате. И так далее. Так можно записывать для четвертого, для пятого и так далее. Давайте зафиксируем для какого-то n-ого зарядика. Вот она будет Fn. И Fn по модулю у нас будет выражаться следующим образом. И так как мне известно, как у меня выражается n-ый зарядик, это будет q, деленное на 2 в степени n маленькая минус 1, то тогда я сразу могу это написать. То есть это будет k на q, далее на на наш зарядик Q, делим на 2 в степени n маленькая минус первая, и теперь нам нужно учесть вот это

3:58 расстояние между ними. Здесь достаточно легко. Когда я смотрю на второй зарядик, расстояние a. На третий зарядик уже 2a. Чувствуете, да? На четвертый 3a. Значит, если n-ы, то будет n-1a. То есть здесь я получаю, что это будет n-1 в квадрате а в квадрате, потому что n-1а. Ну и давайте сюда подставим, то есть я получаю, что это будет kq2 на а квадрат, и численный коэффициент вот здесь будет таким. 1 деленное на 2 в степени n-1 на n-1 в квадрате. и так далее, вплоть до fn. Ну, я думаю, здесь уже логично, как у меня будет выражаться fn,

4:48 просто n вот сюда подставьте и все будет ок, потому что это, считай, некая общая формула для каждого n маленького, то есть двойку можете сюда поставить, тройку можете поставить и получите то самое выражение. Ну и что дальше? А дальше нужно учесть, что у нас все в равновесии, поэтому, конечно, сумма всех сил, смотрящих влево, будет равна сумме всех сил, смотрящих вправо. Элементарно. Давайте это мы с вами и запишем. Это пусть у нас будет, считай, один скобочка, теперь будет два скобочка. Я получаю, что t, которая смотрит вправо, она у меня будет равна сумме всех этих сил. То есть это у меня будет f2 плюс f3 плюс f4 плюс там fn маленький плюс и так

5:36 далее Fn. По-другому это можно переписать в виде знака суммы, где n у нас перебегает от двойки до n наших Fn. Можно переписать так. Ну и тогда предлагаю подставить наше Fn и посмотреть, как же у нас будет выражаться наша буковка t. Тогда t большая у меня приобретает вид как сумма от n равная двум до n большого Fn. А мы знаем как это выражается. Это будет kq2 на a2 на единица деленное на 2 в степени n-1 и на n-1 в квадрате.

6:27 Как u2 на a2 я могу вынести за знак суммы, потому что это просто постоянный коэффициент. Ну вот, например, когда вы складываете там 2x плюс 2y, вы же можете двойку вынести, да, и у вас получается как 2 умноженное на x плюс y. Вот здесь аналогичное. Получаю, что t в итоговом виде будет выражаться так, как u2 на a2 на вот эту сумму от n равной 2 до n 1 деленное на 2 в степени n-1, n-1 в квадрате. Сразу скажу, здесь применяется стандартный

7:12 принцип. Глаза боятся, руки делают. То есть, вот вы видите такую страшную сумму, но вы же не знаете, как ее находить. Ну, попробуйте, там, пукомекать, не знаю, минут 10. Ну, в тупик, да, войдете. Не получится. Это значит намек на следующее. Это обозначает, что, видимо, не просто так вам дали t. Вам таким образом зашифровали вот такую сумму. То есть вам сказали, ребят, не надо ее считать. Вы скажите так, что эта сумма равна t, умноженная там на квадрат, деленная на как у квадрат. И все. И таким образом вы знаете сумму. И, вероятно, эта сумма у вас появится, когда вы будете расписывать все для Т2-3.

8:00 Монять? Нига, да? То есть, если вам дана задача, она имеет решение. И если у вас происходит какой-то математический ступор, какой-то ужасный страшный интеграл или какая-то непонятная сумма, не переживайте. Пробуйте как раз-таки искать этот выход. Выход, а именно это решение. А этот выход всегда таится в том, что вам нужно просто выразить эту сумму там двумя способами. Раз способ, и какой-то будет второй. Ну так, поехали. Теперь давайте будем рассматривать заряд 2. И будем играться с ним. Так, это у нас будет второй пунктик. Рассмотрим заряд 2. Я буду

8:47 записывать все аналогично. Так, вот у меня будет зарядик второй. Здесь сразу давайте я Изображу, наверное, рядом вот этот первый зарядик, потому что он нам потребуется. Ну и так далее. Вот у меня будет второй зарядик. Ой, третий. И вот оно пошло-поехало. Что могу здесь записать? Конечно же, силы. Без них нам никуда. Во-первых, у нас будут действовать силы натяжения. Сюда у нас будет действовать сила Т2-3. А сюда у нас будет действовать та самая сила Т, которая для нас известна. При этом будут кулоновские силы также. Вот вправо у нас будет действовать одна единственная кулоновская сила, которую я предлагаю сразу же здесь записать.

9:35 Это будет следующее. Только давайте сразу обозначу, что здесь будет Q, здесь Q на 2, здесь Q на 4 и так далее. То есть сюда вправо у меня будет действовать сила кулоновская, их взаимодействие, как KQ квадрат, деленное на 2A в квадрате. Потому что расстояние между ними А, вот оно, а зарядики Q и Q на 2, поэтому появляется двойка. А вот со стороны этих уже зарядов просто так не напишешь, потому что их будет достаточно здесь много, непонятно их вообще в целом количество, потому что N большое, это сколько угодно, например, N 2018, как в условии задачи. Страшно, да? Поэтому предлагаю действовать согласно тому рисунку.

10:23 Ну и давайте тогда запишем теперь силы, действующие со стороны остальных зарядиков аналогичным методом. Так, пишу сначала силу, действующую со стороны третьего зарядика. Обозначу ее как f маленькая третья. И f маленькая третья у меня будет записываться как k на, давайте так пока напишу, q второе, q третье, деленное на расстояние между ними a квадрат. Это со стороны третьего зарядика. Также у меня будет сила действовать со стороны четвертого зарядика. Там f маленькая четвертая. f маленькая четвертая будет выражаться как k. Наш второй зарядик, четвертый зарядик и расстояние между ними теперь уже 2a в квадрате.

11:14 Ну и так далее. Это сразу можно обозначить. Но я предлагаю сразу записать для какого-то n-ного. То есть у меня будет f маленькая n-ная. Давайте продлю и скажу, что вот здесь у меня есть, конечно же, Fn. Меня больше всего интересует Fn, чтобы сразу записать для некого общего вида, для произвольного n. Как будет записываться Fn? Здесь давайте отделю. Вот Fn будет иметь следующий вид. Так, fn, это будет k на наш второй зарядик, q2 на qn, деленное теперь на расстояние

11:59 между ними. Вот нужно немножечко здесь подумать, каково будет расстояние. Вот смотрите, меня интересует между вторым и n. kq2, qn и расстояние между ними. Ну раз у меня до первого здесь было n-1a, вот давайте попробую это здесь отобразить, это было n-1a, то, конечно же, до второго будет на a меньше, то есть это будет уже n-2a. И таким образом я здесь записываю как n-2a, и все это в квадрате. Во как! Потому что, еще раз, здесь у нас было n-1a, как мы с вами понимали, на a меньше, конечно же, станет теперь

12:49 n-2a. Предлагаю подставить сюда значение q2, подставить значение qn и получить общий вид для fn маленького. Тогда выходит, что fn маленькая имеет вид как k q2, деленное на a2. Теперь умножаю. От q2 у меня пошла 1,2. От qn у меня пошла 1, деленное на 2 в степени n-1. А теперь вот эта последняя часть как единица на n-2 в квадрате. Вуаля! Таким образом, я теперь знаю, как выражается fn маленькая. Это будет kq2 на a2 на единица, деленная на n-2 в квадрате на 2 в

13:41 степени n. Конечно, на данный момент мы видим, что возникает некое различие все-таки, то есть они немножечко отличаются. Это пока только кажется, пока только кажется, ведь есть какой-то общий вид, да? Ну ладно, получаем такой вид, и тогда поставляем в эту сумму, и получаем наше выражение. Все силы, которые действуют вправо, будут равны всем силам, которые действуют влево. Давайте попробую здесь записать тогда первый пунктик, и поехали, буду записывать второй. Получается вправо у меня действует t23 плюс kq2 на 2a2, а кто действует влево? Влево у меня

14:28 действует t плюс вот эта вот сумма, сумма на самом деле вот этих вот fn, где у меня суммируется от n равного 3 до n большого, куда мы можем как раз-таки подставить наши fn маленькие. Но предлагаю пока на этом остановиться. Так, и что делать? Опять страшно, да? То есть опять страшно. Здесь какая-то сумма, здесь еще какая-то сумма, еще непонятно, что здесь происходит. Здесь происходит. Но надо не забывать, что сумму посчитать не можем, а значит наша задача как-то выражать эту сумму через известную нам буковку. Ну вот она нам известная буковка. Мы хотим все через нее выразить? Ага. А это значит, что нам нужно вот эту как-то штучечку причесать к этому.

15:23 Давайте пробовать. Давайте записывать третий пунктик и играться вот с этой суммой. То есть вот у меня сумма fn от n равной 3 до n. Это будет сумма от n равных 3 до n. Подставляем это, получаем kq2 на a2 умножаем на 1 деленное. 2 в степени n, n-2 в квадрате. Угу. Так, что можно сделать с этим? Вот смотрите, предлагаю здесь, это, так сказать, следующая часть, предлагаю сделать некоторый хук.

16:09 Вот давайте попробуем как-то все свести вот к этому, вот прям очень хочется вот к этому, потому что эту сумму я знаю. Вот это опять страшно, это сложно, я хочу к этому свести, она мне известна, она выражается через t. Смотрите, что такое n-2? Ну n-2 это n-1-1. Логично, да? Ну вот давайте я вот здесь поставлю скобочки и скажу, что это будет l-1. И таким образом я скажу, что у меня l будет равняться n-1. То есть я сделаю вот такую замену. Что будет в этой ситуации? То есть как тогда себя поведет эта сумма при этой замене? Получается,

16:58 при замене L равной n-1. Вот здесь давайте запишем, если n равняется 3, то тогда чему будет равняться L? Тогда L будет равняться 2. Я это делаю для того, чтобы понять, какие у меня будут пределы суммирования. Так, если n равняется n, то L у меня будет выражаться как n-1. То есть это нижний предел, это верхний предел, то есть таким образом мы поняли в каких пределах у нас будет меняться L. Следовательно, L будет равна, как бы вот такой кусочек, это 2, там 3 и так далее, N-1. Вот как

17:44 себя будет вести L. То есть еще раз, я беру и делаю некую такую замену, то есть вместо N-1 я ставлю L. И таким образом, так как у меня N перебегает от тройки до N большого, то есть у меня у меня n маленькая сначала равняется 3, потом 4, потом 5 и так далее, вплоть до n большого, то в этой ситуации l маленькая у меня будет бежать от 2 до n минус 1. То есть вот n равняется 3, n равняется 4, n маленькая, и n равняется n большому. Просто максимально логично, да? То есть я просто переобозначил. Не нужно здесь таить какой-то секретный смысл всей теории относительности. Нет. Просто переобозначил.

18:30 Просто много буков. Так вот, давайте подставим теперь маленькое сюда. Что тогда получу? Тогда, давайте, не знаю, может быть это как за смайлик я обозначил. Вот смайлик равен. Тогда смайлик мне будет выдавать. Как? Сумму. Я теперь от n маленького перешел к l. У меня l будет идти от двойки до n-1. Как это мы с вами поняли? Здесь, конечно же, будет идти как у квадрат на квадрат, а здесь дальше диод, единица деленная на 2 в степени l плюс 1,

19:16 потому что выразите, вот, например, n, n, конечно же, у меня будет выражаться как l плюс 1. Поэтому вместо l, n я ставлю l плюс 1, а здесь у меня будет l минус 1 в квадрате. Заметьте, уже кое-что похожее появляется. Так, давайте теперь здесь, чтобы еще больше был похож на это все вид, я 4 здесь вынесу. И немножечко перепишу эту формулу так теперь. Это будет ККу квадрат на 4А квадрат. То есть я вынес вот этот постоянный множитель и еще четверочку вот здесь выношу. И тогда это все умножается на следующую сумму от l, равным 2, до n-1, и идет единица деленная на 2 в степени l-1 и на l-1 в квадрате.

20:19 Я просто немного пошаманил. И вот теперь немножко взгляните на эти суммы. Они одинаковые? Ну, там, с точностью до последнего слагаемого. Вы скажете, не, они разные, у нас же индекс разный, у нас типа здесь L, а здесь N. Ну, ребят, какая разница, у вас N здесь пробегает от 2, то есть 2, 3, 4 и так далее. И L у вас пробегает 2, 3, 4 и так далее. Вот это выражение одно и то же. Ну вот, я думаю, вы сейчас уже начинаете понимать, что они, считай, одинаковые, кроме последнего слагаемого. Но вот чтобы это показать, я тогда эту часть сейчас сотру и вам покажу, что здесь будет красивое равенство.

21:04 Стерли ненужное, обновили часть доски, оставил нашу основную формулу. И вот сейчас смотрите, вот мы с вами получили, что вот эта мордочка, которая на самом деле равна вот этой сумме, сумма всех fn, где f маленькая, мы смогли переписать вот в таком виде. Где здесь 2 в степени l-1 и l-1 в квадрате, как вот здесь. Вот смотрите. А кто мешает вам здесь переобозначить индекс и немножечко тоже поменять вид. А именно, я предлагаю сделать так. Переписать это в следующем формате. Вынести последнее слагаемое, то есть сказать, что это будет как q2 на a2,

21:51 и умноженное на 1, деленное на 2 в степени n-1 на n-1 в квадрате. И плюс как раз таки остается наша сумма. Так, АQ квадрат на А квадрат на вот эта сумма 1 деленная на 2 в степени n маленькой минус 1 на n маленькой минус 1 в квадрате. Где n маленькая идет от 2 до n большого минус 1. То есть что я здесь делал? Я взял и вынес последнее слагаемое. У меня же эта сумма за собой таит на самом деле n минус 1 слагаемое. Я взял просто из этой суммы последнее слагаемое вынес. И вот остается вот этот остаточек. Как раз-таки до n-1.

22:38 И смотрим. И видим, что это два одинаковых выражения. Прям точь-в-точь. То есть вот эта сумма равна этой сумме. Прям точь-в-точь. Видим, да? Почему? Потому что у вас здесь вот этот индекс n маленький перебегает От двойки до n-1, и здесь перебегает от двойки до n-1. Но если что, вы можете просто здесь как-то переобозначить, например, маленькое, сказать, что это будет коэффициент альфа. Здесь L переобозначить тоже как коэффициент альфа. И вы увидите сейчас красоту. А именно, тогда с одной стороны, вот T большое, у меня будет иметь вид, как U квадрат на A в квадрате.

23:29 сначала вот эту часть переписываю, 2 в степени n-1, n-1 в квадрате, а дальше плюс, как u в квадрате на a в квадрате, и умноженное на сумму, где? Какая разница, как обозначать этот индекс суммирования? Вообще нет разницы, да? Вот давайте я здесь назову альфа. Вот от альфа равном 2 до n-1, 1 деленное на 2 в степне альфа минус 1 на альфа минус 1 квадрат. Для чего это я делаю? Для того, чтобы вам прям наглядно было видно, что эти два выражения на самом деле одни и те же. То есть это сейчас должно быть видно, но я понимаю, что некоторые могут быть не согласны, поэтому я сейчас

24:15 перепишу просто в неком другом виде. И вот теперь это выражение тоже переписываю, то есть вот эта вот мордочка, наша прекрасная такая улыбака, будет нам выдавать как у квадрат на 4а квадрат, как у квадрат на 4а квадрат, и дальше идет сумма от l равным 2 до n-1. Ну какая разница там, какое индекс суммирование, можно тоже альфа обозначить. Да какая разница, пусть будет альфа. α равняется 2 до n-1. Единица 2 в степени α-1 на α-1 в квадрате. Я вас поздравляю, я вас поздравляю. Эта сумма, вылитая вот эта сумма, прям точь-в-точь, вот прям вот она и есть. Видим,

25:07 да? Вот так я предлагаю выразить здесь эту сумму через t, через это, подставить сюда и радоваться жизни то есть давайте как-нибудь что-нибудь здесь обозначать вот у меня получается как у квадрата квадрат вот она и здесь как у квадрата квадрат на эту сумму давайте вот эту сумму как у квадрат на квадрат я выражу через мордочку и поставлю сюда то есть тогда у меня получается, что k в q квадрат на а квадрат на вот эту сумму от альфа равных 2 до n-1,

25:55 единица деленная на 2 в степени альфа-1 на альфа-1 в квадрате, мне будет выдавать как 4 мордочки. Видим, да? Просто четверочку сюда переносим. А тогда подставляем это в нашу t большую я получаю что t большая у нас будет выражаться как как у квадрат да вот это непонятное слагаемое ну что же поделать бывает главная математика верна а в квадрате 2 в степени n минус 1 на n минус 1 в квадрате и дальше идет плюс 4 этих мордочки вуаля таким образом я получил выражение для Т большого через мордочку. Ну и остается, я думаю, последний самый пунктик,

26:42 четвертый, которым предлагаю эту мордочку, эту Т-шку, все подставить и радоваться жизни. Ведь где у нас изначально все затаилось? Изначально все затаилось вот здесь. Вот оно. Где я хочу найти Т2-3? Это выражение я знаю, потому что я знаю наши заряды, знаю расстояние А. Т большое мне известно, И остаётся только как раз-таки было найти вот эту сумму. Но эта сумма есть у лыбака, вот эта вот мордочка. Но эта мордочка напрямую выражается через тэшку. Поэтому задача, считай, решена. Давайте выразим нашу мордочку. То есть получаем.

27:27 Получаем. Эта мордочка. Или с другой стороны, как сумма этих f маленьких. от n равных 3 до n большого. Эта мордочка, вот как она здесь будет выражаться? Это будет 1 четвертая t минус, минус вот эта слагаемая делена на 4, минус как у квадрат на 4а квадрат, ой, на единицу деленная на 2 в степени n-1, на n-1 в квадрате. Таким образом, вот эту мордочку, а именно вот эту сумму fn-ных, я знаю, это я знаю,

28:15 поставляю сюда и нахожу t2-3. Еще раз давайте некую часть сотру и получим ответ. Место освободили, так что погнали записывать. Получается t2-3 у нас будет выражаться как плюс q2, q2, деленное на 2а2, А справа у меня будет t большая, которая у меня также известна, и плюс вот эта сумма, которую мы обозначили как мордочка. А мордочка, вот она, 1 4 t, 1 4 t, плюс 4 могу занести вот сюда, и получаю,

29:03 что здесь будет Ку квадрат на А квадрат на единица, деленное на 2 в степени n большое плюс 1 на n большое минус 1 в квадрате. Вуаля! Получается ответ, что Т2,3 приобретает вид как 5 четвертых Т большое минус Ку квадрат на 2А квадрат, Ку квадрат, деленное на А квадрат, и единица, деленная на 2 в степени n плюс 1 на n плюс 1 в квадрате. Вуаля! Это наш ответ. Конечно,

29:49 здесь важно, чтобы эта величина была положительной, иначе у нас нить будет не натянута и непонятно тогда будет какое равновесие. Но я уверен, что вам дадут численные данные так, чтобы Я уверен, что вам дадут численные данные так, чтобы это выражение все было положительно, потому что иначе мы бы не решили. Так вот, мы с вами полностью смогли с ней разобраться, и самое главное мы должны были запомнить, глаза боятся, руки делают. Самое главное следовать согласно строгой нашей математике и понимать, что если возникла какая-то страшно непонятная сумма, и вам известно какое-то выражение для нее, то максимально это используйте. Максимально пробуйте все выражать через эту сумму, чтобы все благополучно решилось.

30:39 Так что, если хочешь, так же в виде всей этой фишечки шарить за задачи, шарить за теорию, уметь решать задачи, то ссылочка в описании. Присоединяйся, давай ботать вместе. Я тебя научу. Ну, конечно, при условии, если ты готов жестко ботать. Пока-пока! Счастья, мира, добра, любви!