Занятие 3.5. Решаем задачи: Интеграл, первообразная — Математика в Физике 2026

0:01 Отлично! Тогда всем большой-большой привет! С вами Глеб Орел, олимпиадный препод по физике. И сегодня мы с вами продолжаем наше занятие по интегралам, а именно продолжаем наш некий экспериментальный курс математика в физике. Пробуем рассказывать некоторые элементы высшей математики, пробуем что-то такое жесткое местами, может быть что-то легкое, чтобы посмотреть на то, а что вам интересно, Что бы вы хотели видеть в этих стримах? Поэтому есть некое примерное расписание нашего данного курса. Можете примерно это расписание найти в моем телеграм-канале по ссылочке в описании для Парел Ченнел.

0:47 Там оно выложено. Также у нас уже выложено, что на ютубе, что в телеграме, записи этого курса. У нас прошли занятия по аналитической механике. Попробовали и поняли, что требуется, конечно, больше на это часов И интересно будет, хотели бы вы, как раз таки, может быть, некий курс по аналитической механике Потом по производным мы с вами провели два прекрасных вебинара Где сначала познакомились с теорией и порешали задачи А потом очень-очень-очень много нарешали задач именно из физики Вчера у нас с вами был вебинар по интегралу Мы с вами начали изучать интегралы К сожалению, вчера неожиданным образом для всех нас Компьютер сказал до свидания, три года подряд прекрасно себя чувствовал, прекрасно все трансляции вывозил, что-то произошло.

1:40 Поэтому вчера связь оборвалась, сегодня мы пробуем на том же компьютере, надеемся, что все будет ок. Если что-то произойдет, у нас уже подготовлен план Б, чтобы резко перенестись на него и все благополучно допровести. Я сейчас начну тогда с некого небольшого повторения и будем просто сейчас решать задачи. Ориентировочного вебинара будет примерно на 2-2,5 часа, ну плюс-минус 30 минут, то есть в среднем будем отсчитывать где-то 2,5 часа. Плюс-минус 30, то есть может быть 3 часа, может быть 2 часа, где-то в этом районе. Также, если мы хотим запись данного стрима, то набираем 60 лайков и остается запись. Не набираем, то сегодня в 9 вечера, к сожалению, тогда данная запись удаляется.

2:30 Вот как-то так. Ну, логично, да? Такая вот логика. Ладненько. Так, верю, что вам все должно быть видно, поэтому прошу вас, напишите мне плюсики-семерочки, если все окей. О, I'm watching from Brazil. Это классно, это круто. Bonjour, hello, hello тоже можно отметить. Ну, это классно. Поэтому напишите плюсики-семерочки, как там меня видно, слышно. Я предлагаю тогда на всех пожарных, чтобы точно было все ок, чтобы приятно там сшилось, начать с некого разговора в плане неопределенного интеграла. Просто я со второго пунктика немножечко заново начну, таким образом, как бы вспомнив основные наши моменты.

3:15 Так, давайте, то есть сначала, то есть это у нас с вами будет как бы интегралы часть 2. Интегралы часть 2. Или некое продолжение такое. Подложим сюда.

3:39 Давайте напомню основные нам вещи и такие вот основополагающие для нас. Смотрите, то есть еще раз, вот что такое, вот как мы с вами можем смотреть на интеграл. Просто напомню. Интеграл вот такой вот крючочек как бы. С одной стороны, мы с вами сказали, что на это можно смотреть как некое обратное действие к производной.

4:08 Обратное действие к производной.

4:15 К производной.

4:22 Так, давайте я, наверное, чуть ниже опущу. Хотя, ну ладно, да, давайте так. Обратное действие к производной. То есть, смотрите. О, привет, давно не виделись. Да, вчера буквально, да. День я там, да. Так вот. Ой, что-то у меня тут ешка это. Действие. Все, рука что-то не хочет нормально писать. Ладно, нормально. Обратное действие к производной. Смотрите. То есть, вот допустим, мы с вами берем какую-то функцию f от x плюс какая-то константа c, берем производную, получаем f от x, правильно?

5:11 То есть мы от какой-то функции, взяв производную, получаем нашу функцию f от x. То есть это как бы прямое действие. Это вот производная. Можно получить обратное действие. То есть, зная функцию f от x, мы можем получить как раз-таки первообразную. То есть ту функцию, взяв производную от которой, мы получаем нашу функцию f от x. То есть вот здесь у нас берем производную, получаем нашу f. А можно пойти как раз таки по обратному, то есть это было прямое наше действие.

6:01 Взяли производную от функции, получили нашу. А можно пойти обратно. Что значит обратно? Обратно это значит, что есть функция f, имеем f от x, и получаем первообразную.

6:27 Получаем первообразную.

6:37 Первообразная это та функция, взяв производную, от которой мы получаем нашу. То есть, например, вот эта штука, это первообразная. Видите, мы взяли от нее производную, получили нашу, нашу заветную, нашу прекрасную. То есть поставьте, не знаю, на эту функцию f от x корону. Вот она, корона. Это наше главное. С одной стороны, мы вот так к ней пришли, а теперь, зная эту нашу корону, мы пробуем найти первообразную. То есть, от кого мы пришли. И это как раз-таки получается действием взятия, например, неопределенного интеграла. И вот это как раз-таки интеграл, неопределенный интеграл, он вам и задает этот смысл обратного действия к производной.

7:23 Неопределенный интеграл. Давайте чуть-чуть левее. что интеграл ваш f от x dx, он вам и говорит, что это та самая первообразная.

7:48 То есть, не знаю, к примеру, вот можно это так смотреть. Вот, допустим, у вас был x квадрат, да, взяли от него производную и получили x, 2x. А можно задаться таким вопросом. Вот у вас было 2x, а вот какая есть функция, взяв производную, от которой вы получаете x квадрат? Оп, да, это будет x квадрат, ну, плюс c. То есть первообразные на самом деле у нас всегда известны с точностью до константы. И можно даже так сказать, что у нас образуется некое семейство первообразных, потому что однозначно точно сказать, что это х квадрат не получится. Ведь добавьте сюда пятерку, не знаю, шестерку, все равно производная от этой штуки будет вам давать 2х, правильно? Потому что производная от константы равна нулю.

8:34 И вот как раз таки вот этим значком как бы интеграла мы с вами показываем, что отдавая тк, мы с вами возьмем что-то обратное по отношению к производной. То есть вот у вас было x квадрат, ой, вот у вас было 2x, и тогда первообразная к 2x, это и будет x квадрат плюс c. Это смысл неопределенного интеграла То есть неопределенным интегралом мы просто как бы назвали действие С помощью которого находить первообразную Вот он смысл Это аналогично, как, не знаю, вот у вас был, например, там, например, что там, 25, да?

9:24 Мы знаем, что это будет 5 и 5 И вот, например, вот вы берете сначала действие квадрат и получаете 25 А можно взять обратное действие, это корень, корень из 25, будет 5 То есть корнем мы с вами назвали действие обратное к взятию квадрата То есть здесь под скриптом, корень, это действие Ну или операция, ну давайте без формализма, я вас очень прошу Действие обратное ко взятию квадрата Квадрата

10:12 И здесь то же самое Неопределенный интеграл Интеграл Это как бы действие Обратное К Производной Производной Ну и да, к сожалению, здесь всегда будет писаться Вот эта константа С, которая определяет, что Ребят, ну возьмите производную от этого, у вас ничего не поменяется Правильно? Так, окей, то есть это как бы первый смысл Давайте я это немножечко так вот перекину Вот сюда Но как вы понимаете, есть также еще и второй смысл

11:01 Как мы с вами вчера изучали Оп, вот сюда чуть-чуть я вот так вот загляну Помимо обратного действия к производной Можно смотреть на интеграл как сумма Сумма бесконечно малых величин Я это показывал в качестве, например, работы Некоторой силы По перемещению с точки 1 в точку 2 Это будет как раз-таки сумма элементарных работ Или же, как можно уже переходить, например, к определенному интегралу

11:46 можно так задать даже давай сумма бесконечно малых величин слэс площадь под графиком давайте сначала сумма бесконечно малых величин то есть напомню что если у вас перемещались из одной точки в другую точку по мере вашего движения вы взяли разбили вашу траекторию на много много маленьких кусочков посмотрели за элементарным здесь перемещением дельта с вектор на этом элементарном перемещении воздействовала сила f вектор то на малом кусочке на малом кусочке

12:39 совершается элементарная работа скалярное произведение f на ds а тогда на всем промежутке на всем промежутке будет работа а которая будет равна как бы сумме всех этих элементарных работ То есть вы берете, считаете элементарную работу здесь, здесь, здесь, здесь, здесь, здесь, здесь, здесь, здесь, здесь, здесь и складываете. Все. И просто как бы показывает, что сумма у вас состоит из бесконечного количества слагаемых, где каждая слагаемая бесконечно маленькая. Вы говорите, ребят, ну давайте запишем так, это просто будет интеграл всех таких малых работ.

13:28 Этот значок просто показывает, что это малая порция работы. Вот вам интеграл FDS А третий момент, который в себе на самом деле как бы все объединяет Это площадь под графиком Ну или геометрические приложения под графиком И здесь мы с вами в прошлый раз, на прошлом занятии как раз таки показали Что если у вас есть какая-то криволинейная трапеция

14:15 Я здесь не буду подробно, просто основные моменты выскажу, напомню вам Вот, например, у вас есть какая-то функция, которая вот так себя ведет на интервале от А до Б. И вот вы хотите найти площадь под этим графиком.

14:45 Так, раз. То есть вас интересует вот такая площадь.

14:55 Вот думаю, чем бы. Давайте так зарисую. Давайте так зарисую. Оп, оп, оп, оп. И давайте... Ай-яй-яй, ты не хочешь, да? Ну вот так. Вот, вас интересует вот эта площадь. То, что мы с вами делали в предыдущем занятии. Мы сказали, что можно взять, разбить на бесконечное количество таких тонких-тонких полосок, очень тонких полосок. Где, как мы с вами в прошлом занятии как раз-таки сказали Что вот здесь, например, там будет значение y

15:51 Здесь там x, здесь там x плюс dx, x плюс dx А мы знаем, что y это и есть как раз-таки ваше выражение f от x Так, я так понимаю, чуть-чуть вот так То мы с вами сказали, что можно посчитать площадь маленького этого прямоугольника По следующему способу, то есть площадь этого маленького прямоугольника ds

16:36 И ds мы с вами можем посчитать как просто произведение f от x на dx Где, считай, f от x это будет высота этого прямоугольника, вот она То есть значение вашей функции вот в точке x Это примерно как раз-таки высота этого прямоугольника Так, вот думаю, здесь бы обозначить А, о чем мне здесь, если я могу здесь? Вот он, считай, вот этот прямоугольничек, примерно прямоугольничек Он, конечно, очень-очень-очень тоненький Вот раз, два, оп, оп

17:21 Вот его высота f от x, а толщина его δx Таким образом, найдя площадь одного, вы можете найти площадь каждого-каждого маленького такого прямоугольничка Просто разбив на бесконечно большое количество тонких-тонких таких полосочек И сказать, что, ребят, площадь под графиком, она же будет выражаться как некая сумма всех этих площадей Но так как этих тонюсеньких полосочек будет бесконечно много То чтобы формально это записать, люди сказали, что, ребят, давайте будем говорить, что вот такая вот сумма будет обозначаться как бы интегралом

18:09 То есть взяли, вытянули как бы букву сигма в такую S Это будет сумма всех таких площадей И это будет интеграл f от x до x Где, конечно, нам нужно поставить границы интегрирования Потому что мы же смотрим площадь в каких-то границах a и b То есть нас же не интересует именно какое-то определенное первообразное Где эта первообразная, она с точностью до константы Нас интересует именно число А чтобы получить число, нам необходимо иметь какие-то границы, правильно? Поэтому пишем здесь от А до Б И таким образом мы с вами получаем определенный интеграл И при этом, как мы с вами вчера считали Мы с вами получили формулу Ньютона-Лейбница

18:56 Ньютона, не там, Лейбница Которая нам сказала, что, ребят Вот такой вот определенный интеграл f от x dx от А до Б Где к этому, как я уже говорил, мы должны относиться как просто сумме, то есть просто сложению таких прямоугольников. Это сумма. Перевожу на русский язык. С. Сумма. Вот сумма.

19:41 Сумма. Сумма. От А до Б. Таких площадей. F от X. Вот она, F от X. DX. Все. Напишите здесь два плюсика, если ну это понятно Она будет нам давать, конечно, площадь под графиком И оказывается, как мы с вами вчера вывели Будет вычисляться как f в точке b То есть первообразная функция в точке b Минус первообразная функция в точке a Класс, очень рад за 94

20:29 Поздравляю Кстати, в каком году сдал Вот где f от x первообразная первообразная к f от x. Что значит первообразная? Это значит, что взяв производную от f большого, вы получаете f маленькая от x. Эту формулу Ньютона-Лемненца мы с вами изучили как раз-таки вчера и вывели ее. И вот здесь обратите внимание, вам четко известны границы интегрирования.

21:14 Вы четко получаете конечное фиксированное число. То есть не что-то там с точностью до константы, а что-то фиксированное. И это и называется определенный интеграл.

21:33 Поэтому финальный как бы смысл, о, в этом, это классно, а куда поступил, кстати. Поэтому финальный смысл таков, то есть как здесь все строится, вот как, вот это все можно воспринимать, то, что мы с вами вчера изучили, какова связь между, там, неопределенным, определенным. Вот у вас есть ваша функция f от x, ваша функция, потом ищем первообразную,

22:17 Ищем первообразную. А что значит ищем первообразную? Это значит, что берем действие обратное к производной. Это значит, что я беру неопределенный интеграл. То есть мы так с вами записываем взятие обратного действия к производной. Как раз таки получаем нашу первообразную с точностью до константы.

22:53 Так, первообразная. Так, сейчас я немножечко вот так вот это перенесу, чтобы место было Вот, ищем первообразную А что значит первообразную? Это значит, что если я возьму как бы производную от f от x плюс c То получаю f маленькая от x А уже зная первообразную, то есть вид этой первообразной

23:41 Вы уже благополучно используете для подсчета чего-то фиксированного То есть, например, для подсчета площади или для подсчета там суммы. И вот получается определенный интеграл.

24:03 То есть площадь под графиком от a до b, f от x до x. Ведь чтобы вам посчитать эту площадь под графиком, как вы понимаете, вам необходимо знать первообразную. Так что хочешь не хочешь, изначально надо ее посчитать первообразную.

24:34 Вот как эта связь здесь происходит. Поэтому здесь у нас с вами таится как бы неопределенный интеграл. То есть его еще как бы не применили. Неопределенный интеграл. А здесь уже таится определенный. То есть мы его уже определили к чему-то. Определенный интеграл. Так, здесь напишите мне тогда 40. Если мы с вами вспомнили вот этот рассказ вчерашнего дня. Как раз мы это с вами вчера обсуждали. Что такое интеграл. Какие у него есть три вещи.

25:23 а именно на самом деле два главных смысла. Два главных смысла это как раз сумма бесконечно малых, и это обратное действие к производной. Просто если мы говорим про сумму бесконечно малых, это значит, что мы говорим про определенный интеграл, то есть что-то, что тебе дает фиксированное конечное число, а обратное действие к производной это как раз таки то, что тебе дают ту самую первообразную, потому что именно за счет первообразной мы можем посчитать конечное число. Вот, это так, краткие издержки вчерашнего дня. Жду от вас тогда здесь еще раз 40, если с этим согласны. Если это мы с вами себе зафиксировали, очень буду рад вашим сороковникам. Да, напомню, что мы набираем 60 лайков, запись остается. Не набираем, в 9 вечера запись случайно пропадает.

26:12 Чисто случайно. Славик, запись же в 9 вечера, если 60 лайков не наберем, случайно пропадет?

26:22 Вот, совершенно случайно. Случайно. Даже не знаем почему Отлично Вот, и теперь давайте научимся считать интегралы Давайте начнем вот такие вспоминания То есть сначала мы с вами будем работать вот с этим Будем пробовать понимать, а как у нас считается вот этот, например, тот самый неопределенный интеграл Так, или к этому, знаете, можно относиться так еще Это как бы типа сумма вот таких площадей Просто непонятно, типа, от чего до чего Ну вот, да, мне поделили еще некоторые границы суммирования

27:08 Так, будем считать Будем учиться считать Первое важное свойство, то есть свойство линейности Я это уже вчера, конечно, писал, но давайте еще раз То есть если у вас есть там сумма f от x плюс g от x И вы ищете как бы первообразную от этих двух штук то, конечно, вам нужно будет просто взять и написать сумму двух первообразных.

27:57 Элегантно, все достаточно легко. Взяли, хотите первообразной от суммы, значит, сумма первообразных. Гениально, да? Вот. Ну и как раз-таки это еще можно понимать там с точки зрения суммы. Ну, взяли, сложили, какая разница, сумма от суммы дает сумму. Также, конечно, если вы умножаете какое-то число α на вашу функцию f от x И берете от этого интеграл То альфа можно вынести Да пожалуйста Еще раз, вот чтобы было вам проще воспринимать Воспринимайте это не какая-то такая вот Закорючка А вот например как здесь Это сумма как бы таких произведений То есть мы как физики будем воспринимать

28:43 Что это взяли f от x умножили на dx И взяли складываем такие площади Потому что ну просто удобно Правильно? Просто складываешь площади всего И там подразумевается, как бы, вот это умножение. Прекрасно, и как я вам уже вчера показывал пример, но я предлагаю просто еще раз его тогда записать.

29:12 Хотя давайте здесь что-нибудь простое. Здесь, например, можно это все попробовать применить вот таким образом. То есть, допустим, у вас есть там, вы хотите посчитать интеграл от чего? Ну, допустим, sinx плюс cosx. также давайте я здесь вот так вот сделаю опять как будем считать интеграл или по-другому как будем находить первообразную от этой штуки но во первых воспользуемся линейность

30:00 Ну, во-первых, воспользуемся линейностью и выносом нашей константы, то есть это получается 5 интегралов sinx dx плюс интеграл cosx dx. Таблицу интегралов я вам сейчас еще предоставлю. Пока давайте вот здесь, например, подумаем. Вот что это такое? Это, раз это неопределенный интеграл, значит мы должны просто сюда подставить первообразную. С точностью это констант. Вот давайте вспоминать, чему равна первообразная от синуса. То есть здесь я как бы делаю действие обратное к производной для синуса. То есть у меня была какая-то функция, взяв производную, от которой я получаю синус.

30:45 То есть у меня есть закрытый ящик, от нее я беру производную и получаю синус. И вот чтобы получить закрытый ящик, я должен сделать как бы вот это действие, взять неопределенный интеграл. Вот напомните мне в чате, от какой функции я должен взять производную, чтобы получить синус То есть кто у меня является тем самым закрытым ящиком Напишите мне в комментариях, кто является закрытым ящиком для синуса Так, во, минус косинус, верно

31:50 То есть у меня закрытым ящиком будет являться минус косинус Давайте здесь я, наверное, вот так вот прям поточно буду писать То есть синус x dx Это тот самый закрытый ящик, взяв производную от которого я получаю синус Это конечно будет минус косинус x Потому что взяв производную от минус косинуса То есть вот возьмите производную от минус косинус x Минус выносится, это значит производная косинуса А это значит, что будет минус синус Минус на минус дает плюс, получаете синус Но, это вся ли та самая первообразная? Нет Потому что можно еще добавить любую константу c Давайте здесь обозначим c1

32:37 Потому что взяв производную от этого, вы получаете тот самый синус, правильно? То есть черным ящиком в данной ситуации, или вот этим грозным ящиком, это будет минус косинус x плюс c1. Потому что вот возьмите производную от этого черного ящика, получите синус. Так как производная константа равняется нулю. Поэтому всегда первообразная нам известна с точностью до константы. То есть пока мы с вами не говорим про конкретные значения чисел, а говорим про первообразные в целом, то мы находим некое семейство первообразных. Так, что же в случае косинуса? Здесь ровно по аналогии вы получаете синус, но плюс какая-то своя константа c2.

33:24 Потому что, вот возьмите производную от синуса х плюс c2, вы получите как раз-таки косинус. А что я так пишу, предлагаю это так написать. То есть, вот минус косинус х плюс c1 штрих мне выдает синус х. Здесь тоже синус х плюс c2 штрих мне дает косинус х. Берем, подставляем. И тогда получаем тогда вот этот незамысловатый интегральчик. А, не то сделал. Мне же копировать надо было. Будет равен 5 умноженный на интеграл синус.

34:10 То есть, это будет минус косинус х. Так, плюс сразу предлагаю написать 5c1, буду немножко дотошным Так, и потом плюс синус х плюс c2 Ну, ребят, 5c1 плюс c2, это что, это константа, да, это просто какое-то фиксированное число, не знаю Число пи, число Эйлера, 5, 2, 0, 10, миллион, 20, 20 триллионов, не знаю, состояние Илона Маска Ладно, нет, у него не константа, у него все-таки это растущая функция Миллион, миллиард, 10 миллиардов, число 3 Просто любая константа Поэтому я получаю итогово Что если вот это обозначить, ну вот этот интеграл как бы

34:56 Чтобы его каждый раз не тащить Буквы Ж То получаю, что буква Ж нам выдает Минус 5 косинус fx плюс синус x И плюс c Все, таким образом мы как бы взяли и нашли этот интеграл Так, напишите мне тогда ж, если мы с этим согласны Второе, давайте здесь напомню таблицу интегралов Таблица интегралов, таблица интегралов

35:42 Что слышу, то и говорю Так вот, да, как вы заметили, до этого мы с вами пробовали, например, как самостоятельно придумать вот такую первообразную Чтобы получить наш синус, например Ну, по сути своей, за вас это уже сделали И когда вы в дальнейшем будете искать вот такие интегралы, где будут более какие-то сложные функции, то ваша всегда задача будет сводить более сложные функции к простым. Да вообще, на самом деле, все вот эта гениальная мысль, она максимально общая. То есть всегда в основном большую часть проблем нужно сводить к простым.

36:30 Да. То есть, например, одна огромная цель, она сводится к большому количеству много маленьких целей. Или, например, большая компания, на самом деле, она состоит из большого просто количества небольших таких вот дел Главное просто организовать правильное направление этих дел Вот здесь то же самое То есть, ладно, нам здесь, например, повезло, мы с легкостью посчитали Но возьмите, нам что-то посложнее, уже пострашнее А все Давайте я вам напомню таблицу интегралов Я опять сделаю вот так вот Оп, немножечко у вас пропадет Так, где эта таблица?

37:15 Вот она. Сейчас мы ее сюда вставим.

37:31 И аналогично я сделаю следующее, чтобы вам было проще.

37:38 Ну, или приятнее на это смотреть.

37:49 Так, так, так, так, так, во. Возвращаю.

38:05 И что здесь вы имеете? Как раз-таки ваш f от x, вот первообразная. Ну, или по сути, там, интеграл вашей f от x, неопределенный интеграл. Ну, там, конечно, точность до константы, но константы всегда можно приписать. Ну вот смотрите, вот для синуса, для косинуса мы уже написали, то есть получается здесь должен быть минус косинус x, а здесь должен быть синус x. Ну оно и так и получается. Оп-оп, минус косинус, синус. Так, что, например, будет для шинуса? Ну, здесь можно всегда запомнить так, вот это гиперболический просинус, это гиперболический косинус. Там с точки зрения производства просто очень удобно, там никакого минуса никогда не возникает. То есть, производная шинуса, это будет чосинус, производная чосинуса, это будет шинус.

38:51 Это очень удобно. Поэтому здесь будет просто противоположность. Чосинус, шинус. Далее. Что будет в случае e в степени х? Слава богу, есть прекрасная такая вещь, что e в степени х производная дает e в степени х. Значит, первообразная к e в степени х будет сама же e в степени х. Так, вот немножечко дальше идет поинтереснее. Давайте немножечко поговорим про 1 на x. Что делать про 1 на x? Ну вот смотрите, мы же помним, что есть такая великолепная функция, как логарифм x. И вот производная от логарифма, это же будет 1 на x. Правильно? Ну конечно, чтобы там учитывать, что x там может быть любым, в основном здесь еще модуль пишут.

39:36 Вот. Там и будет плюс-минус 1 на x, например. Поэтому здесь будет писать модуль. Но если рассматривать нормальные x, которые будут больше нуля, то логарифм x. Поэтому здесь, бам, да что ж такое, логарифм модуля x, просто как некая формальность. А это значит, что можно как бы так себе записать, там, интеграл 1 на x dx, это будет логарифм, ну, модуля x, я предлагаю просто x писать. Ну, конечно, еще в идеале добавлять плюс c, потому что вот первообразная к функции 1 на x, это будет логарифм с точностью до константы.

40:22 Потому что возьмите от этого производную, вы получите 1 на x. Интеграл e в степени x dx, то есть первообразная, то есть это читайте так, неопределенный интеграл или первообразная для функции e в степени x, это будет e в степени x, но с точностью до константы. Кто там еще? Ну, мы уже с вами раскрыли некоторые вещи, предлагаю тоже написать. То есть интеграл sinx dx, это как уже написано, минус косинус x, плюс константа c, первообразная к косинусу, это будет синус.

41:08 Ну и так далее. Давайте попробуем понять, а что, например, будет подходить сюда. То есть, допустим, у вас есть x в степени альфа, где альфа не равен минус 1. Вот кто будет являться первообразной для x в степени альфа? Надо подумать. Мы помним, что если у нас есть х в степени α, от него берем производную То я же получаю α на х в степени α-1, да? То есть у меня как бы понижается степень на единицу Так, как я могу получить, например, х в степени α? Это значит, что у меня однозначно степень первообразной, ну или как бы степень х должна быть на единицу больше

41:53 Давайте посмотрим, то есть, например, вот х в степени альфа плюс 1 Берем от этого производную Это что? Это будет альфа плюс 1 на х в степени альфа, правильно? Так, ну вот смотрите, я же могу это переписать так Х в степени альфа, это по сути своей будет х в степени альфа плюс 1 Деленое на альфа плюс 1 штрих Правильно же, да? Я немножечко это закрыл. А это значит, что тот самый черный ящик, взяв производную, от которого ты получаешь x в степени альфа, вот он. Вуаля, x в степени альфа плюс один, деленное на альфа плюс один.

42:39 То есть тогда получается такая запись, что первообразная к x в степени альфа dx. Она будет выражаться как x в степени α плюс 1 на α плюс 1, ну, конечно, там с точностью до константа c Здесь напишите, пожалуйста, 18, если с этим согласны, то есть поняли, как, например, там была получена вот эта формула Как вот эта, как вот эта, как вот эта, как вот эта, как вот эта Далее, к этим вещам нужно просто вспомнить, как у нас с вами выражается таблица производных И вот по таблице производных было известно, что чтобы получить 1 на косинус квадрат, вам нужно было взять производную от тангенса.

43:30 Чтобы получить 1 на синус квадрат, вам нужно было взять производную от минус катангенса. Чтобы от этого, чтобы это получить, вам нужно было взять производную от арксинуса. Чтобы это получить, нужно было от аркотангенса. Это, кстати, все у нас с вами было. Остается только вот эта пока непонятная вещь, а что, как, кого. А здесь можно немножко либо поэкспериментировать, либо что хотите, то и делайте. Ну вот, например, а в степени х можно было бы представить как е в степени логарифм а в степени х. О как! Но что такое, я не знаю. Ну и ничего страшного.

44:15 То есть шинус и чосинус, они в школьной не сильно нужны. Вот, то есть если писать, то есть если кому интересно, давайте здесь под скриптом я напишу, как бы шинус х это просто гиперболический синус, он выражается как е в степени х минус е в степени минус х деленное на двойку, а чо синус х это е в степени х плюс е в степени минус х деленное на двойку. Вот, то есть как бы это такие гиперболические функции Вот, ну на данный момент они нам не нужны, честно скажу То есть просто я привел их в вид формулы и все И вот это называется гиперболический синус

45:00 Я привел их в вид формулы, и все. И вот это называется гиперболический синус, это гиперболический косинус. По-другому как синус, чосинус. Ну так, в народе считай. Но оно нам и не нужно. Вот. А что здесь? Вот смотрите, по сути своей можно воспользоваться правилом логарифма. И получается это будет х на логарифм а. Класс. Где логарифм а, по сути, это какая-то константа. То есть к логарифму а я предлагаю относиться напрямую как к обыкновенной константе. И, как вы понимаете, производная здесь как-то кроется около экспоненты. То есть, смотрите, если, например, я возьму производную от этой штуки,

45:49 просто поэкспериментирую, я получаю то же самое, а потом еще умноженное на логарифом А, потому что здесь производная сложной функции. Это мы с вами подробно изучали в производной, поэтому здесь, если не помните, то очень советую сначала про производную посмотреть, потому что мы очень много будем пользоваться производными. То есть у вас здесь вот внешняя функция, а вот внутренняя функция. Поэтому взял от внешней, это получается та же самая экспонент, умножаю на производную внутреннюю, получается логарифом. То есть, получается, если я хочу получить вот это, то смотрите, что у меня выходит. У меня выходит, что e в степени x логарифом a мне выдает по сути своей e в степени x логарифом a, деленное на логарифом a штрих.

46:34 То есть вы вот эту константу просто занесите сюда под знак производной Вот вы получите, что вот это e в степени x логарифм а Получается из производной вот этой штучки Ну вуаля, то есть получается неопределенный интеграл a в степени x dx То есть первообразная от a в степени x, от показательной функции Вам выдает a в степени x логарифм а плюс c Видим, да? Потому что это а в степени х, это как раз и а в степени х. Давайте глянем, да, да, да, ну и получается а в степени х на логарифм а. Напишите здесь 18, если мы с вами поняли, как вся эта таблица производных у нас с вами берется.

47:20 И откуда она берется.

47:26 То здесь немножечко воспользовались вот хитростями логарифма. Вообще здесь очень часто, если не знаешь, что делать с показательной частью, бери логарифм и все с кайфом. Так, жду от вас тогда 18 или 30, что хотите там ставьте. Получается, у нас с вами есть таблица производных, и сейчас мы с вами будем учиться как бы пользоваться этой штукой, учиться везде пихать эту таблицу интегралов и считать, потому что все основное у нас как бы почти с вами есть. И давайте пока, например, сделаем вот такой примерчик.

48:08 То есть, например, я хочу найти интеграл. Вот давайте самое ужасное, например, там 5 на 1 плюс x квадрат плюс, не знаю, 6x квадрат плюс 3 деленное на x. Вот хочу найти первообразную к такой функции. Что делаем? Ну пользуемся стандартной линейностью и табличными интегралами Смотрите, во-первых, я помню, что интеграл от суммы, это будет сумма интегралов Все по стариночке, вот как в производном, потому что здесь относитесь, считаю, всегда к интегралу так же, как просто обыкновенная сумма

48:59 Просто здесь нам не даны границы суммирования, то есть нам неизвестно откуда, докуда мы суммируем Просто какая-то сумма, поэтому говорим просто, ну вот какая-то первообразная Так, получаем, что пятерочку я могу вынести, у меня будет интегральчик от dx на 1 плюс x квадрат. Также я очень вам советую относиться как к dx, ну вот если мы как физики, с физиком, то dx типа умножения на dx. Все, то есть это как бы сумма таких элементарных площадей. Так, dx, математики сейчас заклюют просто, они бы уже заклевали меня. Ну ладно, x квадрат dx, так, и плюс, троечку тоже выношу, интеграл dx к x

49:45 То есть, что я здесь получаю? Я получаю, что мне нужно найти первообразную k1 на x, первообразную kx квадрат, первообразную k1 на x Ну и что у меня выходит? Это будет пятерочку, множное на что? Что такое? О, о, о, о, о, здесь квадрат Что вот это такое? То есть, это читаем, найдите первообразную к единице, деленное на 1 плюс х квадрат Такое есть в табличке? Есть, это будет арктангенс Значит, будет 5 на арктангенс х, ну, плюс какая-то своя константа, c1 Плюс 6 на что?

50:30 Х квадрат, чему равна первообразная вот х квадрат? Смотрим, о, есть х степень альфа, это х степень альф плюс 1 на альф плюс 1 То есть я получаю, что это будет 1 деленное на 2 плюс 1 на х степени 2 плюс 1 плюс, ну, какая-то константа, то есть 6c2. Так, плюс 3 на, что такое первообразное вот 1 на х? Вот она, это просто логарифм. То есть плюс 3 логарифма х плюс 3c3. Но вот эти все константы, вот это, вот это, вот это, ну в сумме это просто константа, ребята, это обыкновенная константа. Поэтому итогово вы получаете, что весь этот интеграл, g, который я назову, он будет вам выдавать.

51:21 Это будет 5 арк тангенсов плюс 6 деленное на 3, то есть это 2х в кубе, плюс 3 логарифма х, плюс c. И все. То есть, как можно будет к этому относиться, это значит, что это тот самый черный ящик, взяв производную от которого, вы получаете вот это. То есть, если возьмете производную от G', то вы получите ту самую функцию, которая вам была дана изначально.

52:04 Напишите здесь два плюсика, если вам понятно, как мы взяли вот этот примерчик. Что дальше? Дальше уже будут некие трудности. То есть, конечно, вот мы уже с вами можем считать уже такие интегралы, то есть можем находить такие первообразные, это очень классно, но есть проблемки. Есть проблемки, когда, например, то есть вот пока, то есть пока все классно, круто, но как считать такое? Там, например, интеграл косинус х плюс 5 dx, или интеграл от х плюс 8 в сотой степени dx,

52:59 или интеграл от синус х косинус х dx, или, например, интеграл от тангенс х dx. Ну вот как? Как это посчитать? И вот честно вам признаюсь, от того, чтобы посчитать вот такие уже интегралы, нас отделяет буквально один шаг Буквально один шаг на самом деле Вот такой малюсенький шаг Но вот этот малюсенький шаг нам придется сейчас изучить Это называется метод замены переменной То есть до этого все было достаточно легко Нам нужно было просто брать, раскладывать в линейность Или просто брать, выносить константу и дальше пользоваться таблицей

53:44 Но теперь немножечко придется головой подумать Да, к сожалению, интеграл это та вещь, где придется думать головой Вот давайте будем говорить про это А как минимум я еще прочитаю вопрос Можно ли dx заносить какие-то константы? Например, у меня есть интеграл sin 5x Я просто умножу на 5 и разделю на 5 Да, можно, да, да, да И как раз про это я сейчас и буду разговаривать И, например, про это мы вчера болтали Я предлагаю просто об этом сейчас еще раз как раз и поговорить То есть это и будет наша сейчас тема Метод замены переменной Так, третий метод замены переменной Метод замены переменной

54:39 Так, напишите мне, пожалуйста, два плюсика Если вот до этого момента у нас пока что все ясно, что происходит То есть как мы считаем, что мы делаем То есть вот до этого момента очень прошу два плюсика, чтобы мы точно были все на одной волне Также напомню, что, конечно же, 60 лайков набираем Запись остается Не набираем, случайно Славик в 9 вечера удаляет запись Чисто случайно Просто так получилось А я пока напишу как раз Запись остается Так Вот, закрепить Все, прекрасно

55:28 Два плюсика, прекрасно, спасибо Смотрите Я здесь попробую немножечко прям Вам пояснить просто что С чем можно работать, потому что бывает Здесь как бы Относится к этому по-разному Некоторые люди рассказывают по-разному Здесь, конечно, есть универсальная формула Но, конечно, ее сходу как-то не понимаешь То есть ее нужно как бы переводить На русский язык Я бы так это сказал Или переводить на нормальный язык Вот, потому что смотрите Давайте так начну Вот здесь, конечно, формула Формула К И формула К та же выглядит Следующим образом

56:16 Я даже хочу, чтобы максимально страшно было. То есть смотрите, вот есть формула, я ее сейчас напишу, не поймете, это будет нормально. Просто хочу вас напугать, а потом мы с вами будем прям разбираться. То есть смотрите, всегда, когда говорят про метод замены переменной, говорят так. Вот есть формула замены переменной.

56:45 Она типа выглядит так. Интеграл от f от φ от x φ' от x dx равен интеграл f от φ от x d φ И получается, это считай, интеграл f от t dt при t равном φ от x Вот в основном просто такое пишут После чего говорят, ну ребят, ну все, теперь вы знаете замену переменной И дальше типа ну а чеф по ней идем Ну кому сходу это понять Я честно сходу такой

57:30 Вот у меня всегда реально ступор был После такой формулы Я такой сижу типа А? Кого? Чего? Вот как-то вот так я это всегда воспринимал Помню когда впервые с этим знакомился Потому что слишком много каких-то непонятных символов Конечно если у вас есть Навалом времени и вы готовы Вчитываться в эту формулу Вы сможете понять, но как-то сходу оно не понимается И вот давайте мы с вами просто будем идти последовательно, полностью разбираясь вот с тем, а как можно как бы подбираться к этой формуле И как она как бы чувствуется, как она понимается, что здесь типа подразумевается, вот, и как это типа применяется на практике Вот к этому мы с вами сейчас будем стремиться, договорились? Да-да-да, похоже на эльфийский, вот честно, вылитый эльфийский

58:18 Поэтому у меня сейчас будет такой достаточно, местами может быть долгий рассказ, но приятный, надеюсь Надеюсь, приятно Так, давайте, вот смотрите, начну я с следующего Первое Я хотел бы пару слов поговорить про дифференциал Вот, дифференциал Вот, смотрите, что можно здесь сказать Давайте, наверное, вот так Первое, дифференциал Вот первое, что бы здесь говорилось Вот смотрите, есть понятие такое изменение, правильно?

59:03 Изменение В физике используют это такое понятие дельта ты что-то меняется и вот например дельта то есть дельта она как выражается нам всегда выражается как конечно минус начальная всегда во веки веков и вот например если у вас есть дельта x то это например там x конечная минус x начальная или если вы берете дельту например от функции f от x то это что это изменение функции то есть это получается f конечная минус f начальная

59:51 f от x конечного минус f от x начального дальше просто будет удобнее писать вместо x начать Вместо х-начального сам по себе х, а вместо х-конечного будет удобно писать х плюс дельта х, потому что, обратите внимание, как раз х-конечное, это будет х-начальное сюда переносите и будет дельта х плюс х-начальное. Это вот почему-то не для всех очевидная вещь, но я с этим абсолютно согласен, но она максимально логичная, то есть вы берете к начальному, прибавляете изменения, получаете конечную величину. Таким образом, дельта f от x будет записываться как f от x плюс дельта x, так, минус f от x.

1:00:51 К сожалению, у меня не помещается, поэтому я давайте это перенесу. Напишу так. То есть, получаем, что некий такой финал. Дельта от f от x, это f от x плюс дельта x минус f от x.

1:01:13 Напишите слово дельта, если вы согласны с тем, что такое дельта. Это изменение функции То есть допустим у вас была какая-то там функция Вот Вот там было ваше начальное какой-то x Теперь вы шагнули на дельта x Оказалось x плюс дельта x И вот вы смотрите за изменением функции Дельта f То есть как у вас функция изменилась В двух каких-то точках Дельта, спасибо Вот

1:01:58 Давайте потренируемся, чтобы вы привыкли То есть что это означает Ну например, вот смотрите Дельта, не знаю, от синуса x То есть, как это записывается? Ну, это, по сути, x синус от x плюс дельта x Минус синус от x Просто я знаю, что не всем сходу легко понять Вот, что значит мы в функцию подставляем новый аргумент Ну, это, по сути, вот там, где x, вы просто ставите x плюс дельта x Все, элементарно Или, например, там, дельта от x квадрат То есть, изменение от x квадрат Что это такое? Это берете в функцию x квадрат поставляете x плюс дельта x и вычитаете старое значение x квадрат. Ну, логично, да? Давайте еще.

1:02:43 Что можно еще? Допустим, 5x. Ну, давайте так, вот дельта от, вот, корень из x плюс 10. Вот, корень из x плюс 10. Беру изменение, например, такой функции. Ну, что это будет? Это будет корень из х плюс дельта х плюс 10. Отсюда вычитаю старое значение х плюс 10. Вот здесь напишите, пожалуйста, 20, если мы поняли, как это записывается. То есть изменения. Это, конечно, вы просто из конечного вычитаете начальное.

1:03:28 Логика предельная. Предельно простая. О, логика предельная. Гениально.

1:03:38 Так, жду от вас 20. Ды-ды-ды-ды-ды-ды-ды-ды-ды-ды-ды-ды-ды-ды-ды-ды-ды-ды-ды-ды. Как наши двадцаточки?

1:03:57 Спасибо. Так, что делаем дальше? Дальше, давайте просто вот здесь как минимум покажу. То есть смотрите, а вот что будет, если я возьму дельту от, например, х плюс 5? Или вот давайте х квадрат плюс 5. Это будет что? Это будет х плюс дельта х в квадрате плюс 5 минус х в квадрате плюс 5. Логично? Я думаю, логично. Заметьте, что у вас пятерочка сокращается Или как бы можно так сказать На самом деле дельта от суммы будет равна сумме дельт Это легко, я думаю, здесь заметить

1:04:43 И у вас получается, что это просто будет выражаться как x плюс дельта x в квадрате Минус x в квадрате, потому что пятерка сократилась И получилось дельта от x в квадрат То есть здесь на самом деле вы получаете, что Внесение как бы константы под дельту ничего не меняет Потому что дельта от константа равняется нулю. Ну и по сути своей это можно еще так сказать, то есть дельта от двух функций, это будет дельта от одной функции плюс дельта от второй функции.

1:05:32 А также, если у вас дельта идет от альфа, например, f от x, то альфа можно выносить за дельту, за изменения. Тоже максимально логично. То есть как раз-таки, например, берете Δ от х2 плюс синус х, то и получается это будет Δ от х2, как мы выше с вами записали, плюс Δ от синус х. Логика предельная. Там, не знаю, вот еще Δ от х2, давайте Δ от х2 тоже плюс 6. Ну это получается Δ от х2 плюс Δ от 5.

1:06:20 но просто дельта от пяти равна нулю все но это ноль у вас пятерка меняется в жизни она не меняется она равняется константе как пять было как вот пять пальцев не знаю там миллион лет назад у человека было или когда он там появился ну ладно как короче как пять пальцев 40 как пять пальцев тысячу лет назад у нас было так осталось уже 2000 лет и уж как минимум точно у нас есть пальцы 55 пальцев Поэтому изменение равняется 0. Вот вы отсюда и получаете как бы дельта от х квадрата. То есть оказывается у вас как бы изменение не влияет на константу. То есть взяли изменение от константа, получили 0. Что еще? Ну давайте допустим возьмем изменение от 5х плюс 3.

1:07:07 Ну что это будет? Ну послушайте, своей это будет изменение от 5х плюс изменение от 3. Ну изменение от 3 это 0, а пятерку можно вынести. То есть, это будет просто 5 дельта x. То есть, 5 изменений x.

1:07:28 Вот как-то так. Надеюсь, вот это доказывать не требуется, потому что просто вот ровно так же разложите, у вас просто будет как раз-таки сумма. То есть, вот это с этим, и это с этим. Аналогично и здесь. Ну, или давайте так, вот дельта от f плюс g. Это, по сути, f от x плюс дельта x плюс g от x плюс дельта x. минус f от x, g от x, плюс g от x. Берете, это с этим группируете, это с этим группируете. Так, ну вот хотелось бы еще, наверное, так написать. Вот смотрите, δ от, там, x квадрат, умноженное на sin x, плюс 5.

1:08:16 Чему будет равна эта δ? Ну, эта δ будет от x квадрат sin x, плюс δ от пятерки. Δ от пятерки равна нулю. А что такое, то есть давайте вот это напишу, это 0. А вот это кто? Ну это будет, конечно, минус начальное, то есть это будет x плюс Δx в квадрате. Синус от x плюс Δx минус x квадрат на синус x. Вот. Надеюсь, что более-менее с пониманием того, что такое Δ, мы разобрались. Да, было много примеров, но просто это очень важный такой момент, чтобы мы точно здесь не пугались. И относились к Δ как к изменению.

1:09:01 Понятно? это обыкновенное изменение функция в конце минус функция в начале напишите 18 если все нормально потому что это я сейчас буду применять так жду от вас 18 сейчас вот этот пройдем и дальше уже по накатами с интегралом потому что я чувствую вчера я почувствовал что по дифференциалам конечно могут некоторые вылетать вот смотрите но дельта на самом деле она как бы в общем случае теперь задержит любые изменения то есть это изменение может быть как большим так и маленьким и чтобы

1:09:46 Чтобы обозначить, что дельта, давайте мы будем рассматривать бесконечно малым, вместо дельта, стремящейся к нулю, мы будем писать такой индекс d. Ну не индекс, а такое обозначение d, дифференциал d. И таким образом я получаю, что df от x, это тоже будет изменение f, просто бесконечно маленькое. Это будет f от x плюс dx минус f от x. Вот как к этому будем относиться. И по сути это ровно все то же самое, что у нас до этого и было. Вот, все то же самое, просто дельту теперь будем брать бесконечно маленькой. И спасибо производным было получено, что, например, f' от x, это кто?

1:10:37 Это, конечно же, у вас там df по dx. Ну, а здесь я вам напомню, здесь и скрывается изменение f, изменение x. Вот и получится, что df, с одной стороны, по определению, это x плюс dx минус f от x. Ну а с другой стороны, это просто можно посчитать как f' от x умноженное на dx Спасибо производному, слава богу, у нас существуют производные И они нам пояснили, что оказывается можно делать так Здесь напишите 40, если с этим согласны И вот это и будет наш с вами дифференциал Дифференциал функции или дифференциал нашего x И к этому нужно относиться как просто бесконечно малое изменение

1:11:24 Очень вас прошу именно так к этому относиться Бесконечно малое изменение Так, напишите 40, если согласны И вот теперь, вот теперь Мы с вами как раз будем это тогда и использовать И тогда давайте вот такие быстрые два примера

1:12:12 Несколько примеров И пойдем как раз уже считать интеграл Смотрите, вот d от x плюс от x квадрат Давайте сначала так, элегантненько То есть, например, d от 3x плюс 5. Что это будет? То есть, это изменение от 3x плюс 5. С одной стороны, можно на это смотреть как бы обыкновенные изменения. Правильно? Или давайте так. Давайте, ладно, x в кубе. d от x в кубе. Это, по сути своей, будет x от плюс dx в кубе минус x в кубе. Но с другой стороны, согласно производным, это просто будет производная х в кубе.

1:13:02 Это 3х квадрат на dx. Где dx это то самое изменение х. Но на самом деле вы это и получаете, если просто раскроете вот этот кубик. Это мы с вами делали на занятии по производной. Так, d, например, от 3х плюс 5. Ну как к этому можно относиться? Это можно сделать так. Это же изменение 3 от х плюс dx плюс 5 минус 3х плюс 5. Ну или если проще, то просто вот у вас же здесь сумма. Поэтому возьмите изменение от 1 и 2. Изменение от этого достаточно легко посчитать, это будет 3dx, а изменение от этого это будет 0.

1:13:49 Пятерок это не меняется. То есть это будет 3dx плюс 0. Отсюда вы получаете 3dx. Давайте еще чуть-чуть. d, например, от 5х в кубе плюс синус х. Берем, это получается d от 5х в кубе плюс d от синус х. Можно еще написать так, 3dx в кубе плюс d от синус х. А каждую эту d, то есть каждое это изменение функции, можно посчитать согласно вот этой формуле через производную. то есть что вы получаете вот это кто это будет 3 x квадрат на dx а вот это это

1:14:44 будет косинус x на dx вот вы получаете что это будет 5 давайте вот так 5 они 15 x квадрат dx Квадрат dx плюс косинус x dx. Вот так на всякой пожарной я это отметил. Так, напишите мне 18, если с этим разобрались, то есть поняли, как работать с этим дифференциалом, и в голове всегда держите вот эту запись, а именно, что это просто вы исконечно читаете начальное, и отсюда просто напрямую следует, что там, например, константу можно заносить, констант ни на что не влияет, там умножать и выделить, так какая разница, потому что просто вот так вот возьмите, распишите, и все у вас будет с кайфом.

1:15:31 Либо, если что, просто всегда через производную записываем.

1:15:39 И поэтому теперь я верю, что мы потихонечку подготовились ко второму пунктику. Это как раз-таки подсчет интегралов.

1:15:55 Напишите, пожалуйста, 18, если с дифференциалом более-менее разобрались. Как мы там. Потому что дифференциал от наших будет сейчас все. На этом будет сейчас все держаться. Поехали считать. То есть, смотрите, вот допустим. Вот хочу, например, посчитать интеграл косинуса от х плюс 5 В чем прикол? В чем проблема?

1:16:41 Интеграла, то есть табличного интеграла косинуса х плюс 5 у нас нет У нас есть табличный интеграл от косинуса х Так, что делать? А на самом деле нужно просто вспоминать, что вот это вот dx Это обыкновенное изменение х Ну а раз это обыкновенное изменение х Ну кто вам мешает сказать, что это будет d от х плюс 5 Согласны? Потому что изменение от х плюс 5 То есть такой функции Это будет изменение функции х плюс изменение от пятерки Но изменение пятерки это ноль

1:17:27 Поэтому вставляете эту константу вовнутрь, ни на что это не повлияет То есть вот такие вот изменения, они одинаковые То есть возьми изменение от х плюс 5 и возьми изменение от х. Ничего не поменяется. Но в чем зато оказался главный плюс? В том, что смотрите, можно это обозначить как φ. Да, это будет некая функция от х, это правда. Но зато будет выглядеть так. Это будет интеграл косинус φ на dφ. А это уже табличный интеграл, который мы посчитать можем. И таким образом я получаю, что это будет синус φ плюс константа c. Напишите φ, если согласны. А дальше просто остается взять и подставить наше φ.

1:18:14 А кто такое φ? φ это х плюс 5. Поэтому тогда я получаю, что вот этот интеграл, чуть-чуть давайте я смещу, вот этот интеграл ж, он будет нам выдавать синус от х плюс 5 плюс константа с. Видали, как классно? Хорошо. То есть вот, надеюсь, у нас более-менее начинается вот эта вот чуйка возникать к этому dx. То есть относитесь к этому типа как умножение, а d это изменение. То есть здесь умножение, здесь d изменение.

1:19:00 Все. Так, давайте потруднее что-нибудь. Ну, давайте возьмем, теперь будем искать интеграл вот такой. Интеграл от синуса, например, 3х. Как такой считать? Ну, не проблема, но проблема. Давайте возьмем, вспомним, что ведь по сути к этому можно относиться, Как мы берем, здесь суммируем произведение синуса на изменение dx Ну а значит, здесь считаю умножение Хочется, чтобы здесь под дифференциалом было вот это Чтобы свести к табличному

1:19:45 Ну так давайте возьмем и воспользуемся методом умной единицы Что это за метод? это умножим и поделим на 3 синус 3x на dx и вот эту тройку мы возьмем занесем сюда потому что мы с вами понимаем что d от 3x да это просто д ой 3d x потому что троечку можно брать и выносить как

1:20:34 бы за это изменение правильно да правильно то есть ну например вот вы берете d например от 3x квадрат Это что? Это 3 от x плюс dx в квадрате минус 3 от x в квадрат. Тройку выносим, получается x плюс dx в квадрат минус x в квадрат. То есть это и будет 3 от dx в квадрат. То есть я взял, тройку вынес. Так, что выходит? Да, получаем, что g нам выдает, это будет 1 треть интеграл синуса 3x на d от 3x. Теперь, как всегда, обозначаем вместо 3х фи, здесь тоже фи, это получается 1 треть от интеграла синуса фи на dфи.

1:21:30 А это кто? Да это минус косинус. Минус косинус фи плюс c. То есть мы получаем, что это будет минус 1 треть косинус, кто такой фи? Да это было 3х, ну и просто плюс константа c. Вуаля, то есть таким образом мы с вами посчитали наш интеграл. То есть смотрите, как красиво, именно за счет того, что мы относимся к d, как обыкновенное изменение Умножение на dx нам позволяет просто умножать, делить на тройку и так далее Так, напишите мне 18, если мы с вами согласны с этим выражением Давайте немножечко посложнее

1:22:20 Посложнее Вот смотрите Вот бывает, например, вот такой интеграл Интеграл от единицы, деленное на 3х плюс 2 по dx Как я уже отмечал, это самый сложный интеграл, который может встречаться на перечневых олимпиадах в России по физике Раньше я думал, что это самый сложный интеграл и вплоть до всеросса, но сейчас, мне кажется, там уже может чуть-чуть потруднее что-то встречаться

1:23:10 Но раньше это было так В мой год, я помню, у меня это было на МОШе И я тогда именно на МОШе научился это интегрировать Оперируя как раз вот этим пониманием того, что происходит с этой дельтой Так, пишем, что делаем? Вот смотрите, мы с вами знаем, что я знаю интеграл вот такой Это будет логарифм x Значит, нам нужно как-то вот это вот свести к этому Как к этому сводить? Хым-хым-хым А, так вот оно как Предлагаю сделать следующее Во-первых, умножить, поделить на 3

1:23:57 И тогда я получаю, что это будет 1 треть А, хотя зачем так? Это муторно, можно гениальнее поступить Предлагаю тройку вынести То есть я беру, выношу тройку Да, я так и делал Получается x плюс 2 трети И что мне понравилось здесь? Что можно просто константы занести То есть это будет 1 треть от интеграла d от чего? x плюс 2 трети Ведь мы же с вами поняли, что Внесение константы в дифференциал ни на что не влияет

1:24:48 И здесь будет x плюс 2 трети И вот это можно обозначить просто как φ И это тоже будет φ И вот у вас получается, что это будет 1 треть от интеграла dφ деленной на φ Ну а интеграл dφ на φ я знаю Это по сути своей просто будет логарифм Таким образом, наш интеграл g выдает нам 1 треть от логарифма φ плюс c Ну там еще модуль бы надо поставить Ну ладно, я не люблю здесь модули ставить Так, это получается логарифм от чего? x плюс 2 трети плюс c Вуаля, таким образом вы смогли посчитать. Так, Федор, ты про что? Ты про вопрос к выше или про вопрос ко мне? Мы же по сути и сделали замену переменной. Вот у нас как бы замену переменной, мы на фи заменили. То есть по сути дела я это и делаю.

1:25:59 Ну ты мог бы сразу, например, да То есть можно по-другому То есть в целом это одно и то же То есть способ 2 Это когда в падлу там может быть что-то лишнее придумать Можно просто сказать, типа Вот у меня интеграл 1 деленное на 3х плюс 2 Я говорю, типа, пусть φ это будет 3х плюс 2 И далее я такой А что такое там, например, dφ Ну dφ это будет производный этого умножить на dx То есть это будет 3dx Значит dx это будет dφ деленное на 3 Ну вот и получается, что интеграл будет от 1 3 dφ на φ

1:26:46 То есть получается ровно то же самое Но пока что я просто хочу некую логику показывать Мы еще потихонечку к этому φ вернемся Это будет у нас Самое главное, вот сейчас я хочу, чтобы мы с вами это осознали Вот такую логику То есть, например, отношение к дифференциалу как обыкновенное изменение. Поэтому напишите мне 15, если мы согласны. К замене φ в самом начале я это еще буду делать, просто чуть-чуть позже. Хочу немножечко, чтобы мы хотя бы понимали, что такое d, а не боялись этого d. Сейчас к φ, так сказать, подойдем. То есть к замене переменной в начале подойдем. Сейчас буквально 2-3 минутки.

1:27:31 что значит можно ли сложно как можешь решить считай ой не считай не можешь не считай так давайте дальше будем немножечко усложнять так сказать я хочу вам просто показывать несколько способов того как можно размышлять в этом типа методе замены перемен потому что здесь тоже некий метод замены переменной просто некоторые так например размышляют некий по-другому вот хочу прям сразу кругу кругосторонно здесь показать потому что если делать стандартным образом кто-то делает другим образом бывает люди начинают теряется вот хочу такую разносторонний

1:28:18 чтобы мы точно чувствовали что такое d вот это вот все это почувствовали как мне писать так вот смотрите например возьмем такой интеграл синус x косинус x вот что здесь вот здесь уже нечто интересное, потому что сходу непонятно, да? Но смотрите, конечно тут можно двойной угол, вот это все, но можно и проще. Заметьте, вот у меня здесь стоится cos x dx. Очень хочется, чтобы было все под синусом. И вот смотрите, тут мы вспоминаем, что вот кто такая производная

1:29:03 синуса это косинус значит это означает d синус x pdx мне дает косинус x это означает что изменение синуса и будет выражаться как косинус x нужно на dx то есть вот интеграл можно переписать как интеграл синуса на d синус смотрите как красиво круто да я что это очень красиво то есть по сути свои вопросы взяли вот это косинус x dx заменили на

1:29:48 d синус и в чем тогда плюс можно опять сказать что это просто интеграл считая некого фи дфи а это легко уже считается будет обыкновенный фи квадрат Фи квадрат. Получаем, что это у нас будет 1 2 фи квадрат плюс константа С. Фи подставляем, поэтому это будет 1 2 синус х квадрат плюс константа С. Смотрите, как элегантно. То есть вот таким образом можно просто немножечко как бы смотреть на д-шку с некого другого ракурса и себе облегчать жизнь.

1:30:44 жизнь его облегчать жизнь так напишите 44 если мы согласны не знаю для китайской какой-нибудь подойдет на российской еще не видел так но для олимпиад по физике это уже сложный так напишите мета 44 если мы согласны с тем как посчитали этот интеграл давайте наверное еще такое посмотрим вот например интеграл у вас идет синус x квадрат умноженное на x и умноженное на dx страхолюдина

1:31:31 да просто уже жесть что делать а тут как раз таки вот хочется как-то брать и сводить к чему-то знакомому к чему-то хорошему вот вот не нравится этот x квадрат в аргументе синуса хочется чтобы он был здесь можно это сделать вот вот что-то по аналогии с этим можно смотрите ведь у нас здесь таится x dx x dx а смотрите получается вот если я возьму производную x квадрат это же у нас

1:32:16 вами dx 2x правильно то есть тогда я получаю что d от x квадрат d от x квадрат это будет кто это будет 2x умноженное на dx о как она потому что напомню что дифференциал функции это будет f штрих умноженное на dx так а здесь и таится тот самый x dx то есть получается это произведение x dx будет выражаться как одна вторая d от x квадрат и смотрите как красиво то есть получается это можно переписать как интеграл синуса от аргумента x квадрат умноженное на одну вторую на d от x

1:33:08 квадрат вот оно что вот оно что поэтому предлагаю теперь взять и сказать что вот это будет фи и вот Вот это будет φ, все, получается интеграл от 1 и 2, синус φ до φ. А этот интеграл мы уже знаем, как считать, это достаточно легко.

1:33:37 Это будет 1, 2, просто выносим, интеграл синус, это косинус, поэтому, ну или минус, это будет минус косинус φ, плюс константа С. А, следовательно, весь этот итоговый интеграл будет выражаться как минус 1 вторая, фи подставляем, то есть косинус х квадрат, и далее плюс константа с. Смотрите, как элегантно. Увидали? То есть за счет того, что к этому относиться как к умножению, вы смотрите, ага, ну вот у меня что-то такое знакомое было. И это красиво, и оно как раз и облегчает мне жизнь. Вот напишите мне тогда 55, если мы поняли, как я нашел здесь этот интеграл

1:34:22 И заметьте, конечно, в основном вот этот φ, который я делаю замену Просто мне, ну я лично люблю φ в конце подставлять Есть люди, которым приятнее, например, сразу сказать Я хочу вот х квадрат заменить Они говорят, давайте мы с вами возьмем вот это обозначим φ А нам уже все-все-все-все пошло и оно преобразилось То есть они как бы идут вначале обозначают А потом уже проделывают все те же самые действия. Просто мне нравится видеть вот эту красоту, то, к чему мы с вами сводим. То есть, конечно, есть иной путь.

1:35:11 Сразу как бы увидеть замену.

1:35:19 Сразу увидеть замену.

1:35:25 И как бы писать так. То есть, вот у вас, например, ну давайте то же самое, ладно. Вот интеграл sin x² x dx. И человек такой, ага, хочу сделать замену. И говорит, типа, пусть φ от х это будет х квадрат Тогда вот этот интеграл g будет выражаться как интеграл от sin φ x dx Но, конечно, пока не ладится, поэтому нам нужно взять дифференциал от φ

1:36:10 Что такое dφ? dφ это будет φ' на dx То есть это будет 2х на dx А дальше, взяв этот дифференциал, вам нужно его как-то запихнуть вот сюда Чтобы был интеграл синуса φ от чего-то по dφ А здесь мы видим, что да, x dx оно и заменяется Поэтому x dx это будет 1 вторая от dφ И тогда ваш интеграл g будет преобразовываться в интеграл синус φ на 1 вторую на dφ Ну и получается тот же самый результат Минус 1 вторая косинус φ плюс c Или минус 1 вторая Косинус x квадрат плюс c

1:36:56 Поэтому здесь можете действовать как хотите То есть я, например, любитель вот так вот замечать А потом делать эту замену А есть ребята Ну потому что мы же вот То есть ты же можешь Вот видишь, ты абстрагировался У тебя интеграл φ до φ То есть как бы ты берешь И как раз таки Тебе важно, чтобы Здесь в аргументе Как бы у тебя аргумент функции совпадал с аргументом в дифференциале Вот оно что То есть, вот что такое интеграл sinx по какой-то dφ Вот кто такой φ? Да кто его знает, что за φ?

1:37:42 То есть, конечно, если они никак не связаны друг с другом То sinx можно вынести Это да А если они как-то связаны, то нужно как-то по-другому Потому что вот это можно подразумевать по-разному То есть, что за φ, что за x, как они друг с другом связаны То есть, когда ты интегрируешь, вот заметь, я же везде беру как бы интеграл вот функции, где аргумент x по дифференциалу от x. То есть, мне важно, чтобы и слева был аргумент x, и в дифференциале был аргумент тот же.

1:38:18 А если я говорю именно про φ, то есть, если тебя интересует, почему мы все время дифференциал именно заменяем на φ, именно на такую букву. Ну, потому что мне удобнее на такую букву. Бывает на буковку t, но буковка t мне не нравится, мне нравится φ. Так, Фокси, напиши 7, 6, если я ответил на вопрос. Или я, может быть, его не до конца допонял.

1:38:52 Так, продолжим некую игру. Давайте вот такой. Что еще можно красивого?

1:39:11 Давайте вот такой. Интеграл от x в кубе плюс 1. Интеграл от x в кубе плюс 1. x квадрат dx. Что делать? Как всегда, можно двумя путями, либо сразу понять, на что заменять. Просто мне, например, бывает не сходу, там понятно, на что на кого заменять. Мне удобнее как раз действовать так немного последовательно. Бывает людям проще, да, сразу сказать, ой, давайте мы такую сделаем замену. Но я постараюсь, наверное, двумя путями тогда идти. Кому как будет удобнее. Путь первый. Как я действую. Ну вот смотрите. Вот что я здесь вижу, то есть как бы я размышлял.

1:39:57 То есть вот этот путь будет G. Я вижу, ага, у меня здесь x3 И мне мешает, что здесь еще слагаемое То есть я хотел бы, чтобы это как-то, ну, хотелось бы там под дифференциал запихнуть Вот можно ли что-то с этим сделать? Да, можно Ведь у меня же здесь x2 таится А это что-то похожее с x3 Поэтому интеграл корень x3 плюс 1 Можно бы записать так Вот это что такое?

1:40:36 Вспоминаем, что производная x3 Это будет 3х квадрат А значит, если мы с вами будем записывать как бы дифференциал от х в кубе Здравствуйте Да, одна секунда меня это отнимает Бум-бум-бум-бум

1:41:38 Да, поехали Это будет по сути 3х квадрат dx Поэтому я вижу, что у меня х квадрат dx Можно переписать как 1 треть от dx в кубе Я бы это сюда и подставил То есть получается, что это будет интеграл от корня x в кубе плюс 1 на 1 треть от dx в кубе. Так, что-то красивое можно ли? Так, интеграл корень x в кубе плюс 1 dx в кубе. Да, можно. Ведь заметим, что вот такую единицу, например, можно сюда занести, и тогда интеграл приятно посчитается.

1:42:24 g, это будет 1 треть от интеграла корня x кубе плюс 1, d от x кубе плюс 1. Потому что видим, и слева это, и справа это, все прекрасно. Как будто я говорил. Вот. Вот теперь удобно это обозначить за φ, то есть мы видим, на что можно заменять. 1 треть интеграл корня из φ на dφ. Это считается уже легко, потому что это 1 треть от интеграла φ в степени 1 вторая. Так, что это будет? 1 треть на 1 деленное на 1 вторая плюс 1.

1:43:11 1 вторая плюс 1. На φ в степени 1 вторая плюс 1. То есть это будет 3 вторых. Ну еще плюс константа С, конечно нужно про нее не забыть. То есть, итогово интеграл g будет выражаться 1 треть на 1 3 вторых φ в степени 3 вторых плюс c. Подставляем наш φ. φ, напоминаю, у нас с вами выражается как x в кубе плюс 1. И тогда получается, что это будет 2 девятых x в кубе плюс 1 в степени 3 вторых плюс c. Вот нам с вами сразу красивый интеграл. Обратите внимание, как классно.

1:43:56 Напишите мне 18, если мы с вами согласны с тем, как получили Ж Так, путь 2, это, например, сразу увидеть, на что заменять То есть в этом примере я согласен, конечно, видно сразу Просто бывают примеры, где, например, мне там не сходу видно Вот, здесь, конечно, сходу видно, что, конечно, вот это хочется заменять Чтобы под корнем была какая-то одна стандартная вещь Но давайте просто запишу, как бы можно, как по-другому можно оформлять интегрирование

1:44:44 То есть вы такие, ага, хочу избавиться, например, от х кубик плюс один Ну, дайте-ка я это обозначу Ну, давайте буковкой Т Можно фи обозначать Так, что так? Тогда хочется, чтобы здесь было dt, а не dx. А что тогда делать? Ну тогда вспоминайте, что раз t это x в кубе плюс 1, то dt это будет производное от этого, 3x квадрат, умноженное на dx. Значит, я знаю, как выражается dx, или в данной ситуации тоже знаю, как это выразить, потому что они вот они. Получаем итог. Тогда g это интеграл от корня из t на 1 треть dt.

1:45:39 Получаю 1 треть на интеграл корня из t. Это как мы уже с вами записали, это будет единица деленная на 3 вторых на t в степени 3 вторых плюс c. Получается 2 девятых, t подставляю, 3 вторых плюс c. Ву-у-ля. То есть, если вы сходу увидели, на что можно заменить, да заменяйте на здоровье Если не сходу, то можете играться, например, как я это выше представил Но основной смысл таится в следующем Что бывает удобно заменить на какую-то другую букву, чтобы к ней все это свести И на самом деле, вот эта вот запись, которую я вначале предоставил, вот эта формула

1:46:26 Она в себе это и содержит То есть, как бы вам и сказали, ребят Вот бывает очень удобно как раз-таки свести вот к такому виду Где у вас будет интеграл там f от t до t Где t это на самом деле просто некая функция И чтобы математичное записать, говорят, что t вот это некая функция от x Потому что это будет записываться так И вот сам дифференциал φ это будет φ' от x Просто это более таким тяжелым математическим языком Просто пояснили, что, например, мы с вами здесь делали Потому что если русским говорить, то мы делаем так Ребят, смотрим на что-то красивое, хотим это, например, заменить на буковку t, далее хочу, чтобы был dt, для этого ищу дифференциал dt, dx выражаю через dt, то есть dt деленное на 3x квадрат, и подставляю сюда.

1:47:18 Все, вуаля, получается интеграл, то есть как бы в той записи подразумевается чисто этот стандартный алгоритм. Напишите мне 15, если с этим согласны, если с этим разобрались. Давайте так же вот так. Жду от вас 15. Тогда давайте дальше смотреть примеры. Так, 7. 15. Шикарно. Это шикарно. Давайте решим такой интеграл. Например, у вас будет 3х-5, 10 степени dx.

1:48:18 Так, что хочется? Честно вам скажу, здесь сходу видна вот эта замена Потому что хотелось бы, чтобы это была обыкновенная буковка Либо можно сразу вносить в dx, как хотите То есть можно сказать, типа, пусть φ, это будет 3x-5 Тогда что такое dφ? dφ, то есть дифференциал нашей функции, это будет φ' на dx Значит, это будет просто 3dx Так, dx выражаем через dφ Это 1 треть dφ И тогда я получаю, что наш интеграл будет выражаться Интеграл φ в 10 степени умноженное на 1 треть dφ

1:49:06 Элегантно? Да элегантнее не бывает Получается, g будет выражаться как 1 деленное на 11 на φ в 11 умноженное на 1 треть Даже давайте, ладно, да, напишу 10 плюс 1 10 плюс 1 И плюс константа c То есть получаем φ в 11 делим на 11 Плюс c Ой, делим на 33 Так, 8 Давайте дальше Например, интеграл x квадрат Корень пятой степени

1:49:52 5x в кубе Плюс 1 На dx Видим, что здесь тоже хотелось бы сразу вот эту штуку заменить Поэтому предлагаю вот этого чудика под крышком обозначить за φ Потому что так, вероятно, будет удобнее То есть, наверное, что-то будет красивое Ведь не просто же так, например, здесь стоит x² Я хотел бы сегодня успеть и определенные интегралы тоже взять Так, пишем φ5x³ плюс 1 Так, что такое будет dφ? Это будет производная этой штуки, то есть это будет 5 умноженное на 3х квадрат, да и плюс 0

1:50:39 То есть получается это будет 15х квадрат Ой-ой-ой-ой Ладно, давайте так напишу, это будет фи-штрих А тогда dфи, это будет фи-штрих на dx То есть это будет 15х квадрат на dx Тогда, как у нас выражается dx? Это будет dфи на 15х квадрат Тогда просто подставляем, то есть получаем, что наш интеграл будет выражаться Интеграл x² корень пятой степени от φ

1:51:24 Что такое dx? То есть я просто беру вместо этого dx, подставляю вот это Получаю, это будет dφ на 15x² 15x² у меня уходит, ой, просто x² уходит И получаю 1 пятнадцатую интеграла корень из φ пятой степени d φ. 1 пятнадцатая на, это получается 1 деленное на 1 пятая плюс 1 на φ в степени 1 пятая плюс 1 и плюс константа c. Потому что, обратите внимание, я взял как бы интеграл от φ в степени 1 пятая. А это значит, что у меня идет 1 пятая плюс 1 сюда и 1 пятая плюс 1 сюда.

1:52:11 Тогда я получаю, что наш интеграл будет иметь вид. Что такое 1 пятая плюс 1? Это, как вы помните, 6 пятых. Значит, это будет 1 пятнадцатая, 6 пятых, то есть 5 делим на 6, на φ 6 пятых и плюс c. Так, тогда я получаю, у меня, кстати, здесь более-менее что-то красивое, то есть пятерочка и здесь троечка, остается 1,18, φ, 6,5, плюс c. Вспоминаем, что такое φ. φ это было 5х3 плюс 1, и таким образом ж мне выдает 1,18, 5х3 плюс 1, в степени 6,5 плюс c.

1:53:05 Вот оно что. Так, напишите мне тогда 88, если мы поняли, как я получил этот интеграл Ж. То есть, обратите внимание, я как бы сразу такой, ага, ну вероятно, можно вот эту ФИ заменить, чтобы вот под крышком чисто вот была фишка. Потому что, ну как-то красиво же будет, да? И получил. В целом, вы могли бы на самом деле действовать просто последовательно, согласно тому, как я, например, здесь проделал. Это все аналогично. Так, жду от вас тогда 88. Если с этим согласны Напоминаю, кстати, про 60 лайков и запись остается Так, как мы там?

1:53:54 Жду от вас 88 Давайте дальше, 9 пунктик Чтобы точно было с этим все ок Давайте найдем интеграл тангенса О, интеграл тангенса, вау Что делать? Как искать интеграл тангенса? Ой, dx, конечно же Для этого предлагаю... Ну, что будет, если я потолще буду писать? Сейчас посмотрим. Записать это так. По сути своей это будет интеграл sinx деленное на cosx.

1:54:44 Нет, это, конечно, мне кажется, очень толсто. Мне кажется, но хотелось бы 0,4. Давайте вот так. Так, это что будет? Это будет, по сути своей, интеграл от sinx, деленное на cosx, на dx. Вспоминаем, что есть что-то знакомое. Так, если что, напишите 88, если мы точно с предыдущим примерчиком поняли, если что, пишите минус. Здесь предлагаю воспользоваться следующим. Что такое sinx dx?

1:55:30 Вот что-то знакомое уже есть, да? То есть здесь вот так вот сходу понять, какая замена, может быть тяжело, Но вот такие вот штучки при бомбасике я советую сразу видеть. Ведь по сути своей, что такое d от косинуса x? Это производная косинуса на dx. Что такое производная косинуса? Это будет минус синус dx. То есть, таким образом, я понял, как мне синус x dx, например, выразить через d косинус. И тогда я получаю, что это будет интеграл от минус d от косинус х на косинус х.

1:56:22 И теперь мне, например, приятно реально вместо косинуса подставить тот же самый какой-то φ. То есть это будет минус интеграл d φ на φ. Получаю минус логарифм, ладно, там модуль φ плюс константа c. Фи подставляем, получаем это будет минус натуральный логарифм, модуль косинус х плюс константа С Красиво, да? То есть вот и все, мы нашли интеграл тангенс Хотя выглядит, что с лету это выглядит страшно, я согласен, даже реально непонятно Так, напишите мне тогда 99, если мы поняли, как нашли этот интеграл

1:57:07 Давайте 10, ой, дернул Давайте вот такой интеграл x в седьмой dx на корень из единицы минус x в шестнадцатый. Уже выглядит страшно. Уже ужасно. Что делать? Вот кажется, что что-то должно быть же красивое. Что-то же должно быть красивое.

1:57:54 Конечно, возникает, как всегда, желание вот это заменить на обыкновенную букву φ. Но, боюсь, там до φ может быть, навряд ли получится. То есть dφ это что будет? Это будет, считай, минус 16x в 15, да? Ну, не связывается. То есть вот так вот сходу на фишку заменять тяжело. Поэтому мне вот здесь дальше нравится вот такой просто анализ. Я бы какой бы сделал анализ? Я бы заметил бы следующее. То есть давайте вот a маленькая. Вот x седьмой dx. Можно ли с чем-то хорошим связать? Вероятно, можно. А именно, ведь по сути своей это будет связано с dx от 8, то есть dx8, это будет 8x в 7 дx.

1:58:50 А это значит, что x в 7 дx можно, например, заменить на 1 восьмую от d от x в 8. А здесь уже смотрите, что интересно проклевывается. Если у меня здесь х в степени 8, а здесь х в 16, то это же считай х в 8 в квадрате. О-о-о-о! Давайте это подставим. То есть b. Получается, наш интеграл g будет нам выдавать. Это будет интеграл от 1 в 8, d от х в 8, пока напишем.

1:59:29 Далее идет корень из 1 минус х в 16. Но х в 16 это х в 8 в квадрате. Вот здесь я хотел бы сказать, что это будет 1 восьмая от интеграла, как раз таки от dφ, то есть делать вот замену, что φ это будет x восьмой. То есть честно, вот сходу я бы не додумался, что нужна такая именно замена. Но вот когда вот так немножечко проанализируешь, оп, и оно красиво тогда вылазит. И оно красиво тогда вылазит, потому что это будет единица минус φ в квадрате. А это уже табличный, кстати, интеграл. Это уже будет арксинус. То есть это 1 восьмая от арксинуса φ плюс константа С.

2:00:22 Ну и получается, что наш интеграл Ж будет выражаться 1 восьмая от арксинуса x в восьмой плюс константа С. Так, напишите мне, пожалуйста, 10-10, если мы согласны с тем, как мы нашли интеграл вот этот g. То есть, как нашли интеграл вот x в степени 7 и так далее.

2:00:56 Потому что видно, что это достаточно красиво.

2:01:12 Так, жду от вас 10-10. Как вы там? Как мы поживаем?

2:01:31 Так, я вот думаю, сейчас нам еще один вот такой дать, интересный интеграл. Ну, давайте попробуем. Согласны. Давайте номер 11 такой финальный попробуем Он со звездочкой небольшой будет То есть, конечно, бывает интеграл, который, ну, не сходу видно dx на синус x Как найти интеграл от dx на синус x? Вот напишите по 10-бальной шкале, насколько это выглядит страшно Вот как вы считаете, насколько это выглядит страшно

2:02:16 То есть, ладно, мы привыкли там Синус x, вот это все А тут какая-то страхлюдина непонятная так будет интересно по 10-балльной шкале как вы как вы на это смотрите так вот я думаю здесь например например там умножать на какую-нибудь ну кстати кажется что можно сейчас только там у нас давайте табличку посмотрим вот к чему можно попробовать привести корень из единиц

2:03:02 минус либо к 1 плюс x квадрат да либо если например на косинус косинус то получается синус двойного d синус x некрасиво вот тут немножечко нужно покумекать вот например как бы можно было бы еще покумекать вот давайте так попробуем поиграться следующим образом не знаю что делать раскладывай я взял бы так сказал бы что это будет синус x на 2 на косинус x на 2

2:03:49 дальше вот думаю можно ли например что-нибудь с косинусом то есть вот смотрите а что будет если я сделаю так вот у меня здесь dx кстати уже очень красиво выходит то есть я двойку могу перенести у меня будет d от x на 2 вот смотрите а но я вот эту . перенес вот сюда давайте сделаем такой хук мы снизу поделим и умножим на косинус то есть как бы я сделаю так умная единица косинус

2:04:37 x на 2 на косинус x на 2 здесь остается синус x на 2 на косинус x на 2 вот да да смотрите Смотрите, получается следующая красота, это получается d от x на 2, и у нас здесь возникает следующая вещь. С одной стороны будет тангенс x на 2, а с другой стороны это будет косинус в квадрате x на 2. А здесь предлагаю вам вспомнить, что, вот заметьте, у вас здесь стоит единица, деленная на косинус квадрат.

2:05:22 Я бы вам напомнил, что при этом у нас с вами производная от тангенса это 1 на косинус квадрат А это значит, что если я беру производную тангенс х на 2 То это у меня будет 1 на косинус в квадрате х на 2 Но еще я должен умножить на 1 вторую, как производную сложной функции То есть у нас вот раз функция, а внутри еще одна функция, это х деленная на 2

2:06:08 А это значит, что d тангенс х на 2 у меня будет выражаться как 1 вторая единица на косинус в квадрате х на 2 на dx.

2:06:28 Смотрите, как приятно. Одну вторую, как всегда, могу занести. То есть получается 1 на косинус в квадрате х на 2 на d от х на 2. То есть вот что я еще раз сделал. Я сначала посмотрел на производную тангенса, это же 1 на косинус квадрат, правильно? И вот у меня возникает какая связь между косинус квадрат и тангенсом. Смотрю на производную тангенс х на 2, это же будет 1 на косинус квадрат, а дальше я еще должен умножить на производную внутренней функции. Это получается 1 вторая. А это означает, что если я беру дифференциал от тангенса половинного угла, это будет 1 вторая от 1 на косинус квадрат, то есть это производная на dx. Двойку могу сюда занести, и получается вот это

2:07:13 А заметьте, эта часть, она чтоится здесь Это означает, что тогда наш интеграл g от dx на sinx Можно представить как интеграл от d от tanx на 2 деленное на tanx на 2 То есть интеграл от dφ на φ Где φ, это будет тангенс. Красота! Просто ля-по-та.

2:07:59 Да-да-да-да-да-да, не тяжело заметить, что. А это значит, что у нас с вами логарифм модуля φ плюс c. Или по-другому, мы с вами получаем, что интеграл dx на sinx, это будет логарифм модуля тангенс х на 2 плюс c. Ну вот до таких интегралов мы сегодня также вплоть дошли. Вот, но это и было со звездочкой. Так, напишите 18, если мы с вами поняли, как у нас решился интеграл. То есть, как мы с вами пробовали как раз-таки находить интеграл с помощью метода замены переменной. Напишите 18.

2:08:51 Так, я плюс c-то поставил, я уже забыл. Да-да-да, плюс c поставил.

2:09:03 Так, это хорошо. Так, у нас с вами примерно час, я вот думаю, на что сейчас потратить время. По сути своей есть еще такие интегралы, дробно-рациональные функции. Кстати, такое тоже может встречаться. Так, потом, конечно, интегрирование по частям, это будет у нас сейчас главный такой ванлав, который мы тоже с вами сейчас пройдем. Я вот думаю, что кого сейчас брать, потому что времени у нас не сильно, много остается, около часа. Так, и рациональные. Ну это ладно, это вам оставим на изучение. Кстати, вот здесь напишите в комментариях, вот хотелось бы вам увидеть такое хорошее пособие, например, на 60 страниц, где основная такая теория по практике и представлены примеры решения задачи и в особенности также очень много сделано примеров.

2:10:04 То есть вот мы взяли, сделали такое некое пособие. Если интересно, то как раз-таки в моем телеграм-канале по ссылочке в описании вы и можете потом посмотреть это пособие. Но, конечно, если там, я думаю, наберем какое-то количество приятных реакций. Так что посмотрим. Так, вот думаю, сейчас или не сейчас. Вот кого бы сейчас. Давайте пару слов про другие методы. То есть, вот это наш с вами, это был первый наш такой основополагающий метод подсчета интегралов, а именно методом замены переменных, методом замены переменной.

2:10:57 Так, метод замены переменной.

2:11:08 Замены переменной. Так, как мы там? Да, хотели бы. Ну, все, тогда по ссылочке в описании будет. Так, вот думаю, может быть, какую-то часть дробно-рациональных попробовать с вами высказать. То есть, если у нас, конечно, нижняя часть там приятно раскладывается.

2:11:59 Давайте, тогда часть 3.

2:12:04 Это будет метод, или как бы так сказать, интегрирование дробно-рациональных функций.

2:12:13 Интегрирование дробно-рациональных функций. Здесь некую часть с вами обзучим, изучим рациональных. функций вот но предлагаю перед тем как к этому перейти сделать буквально такой быстренький перерыв чтобы я себе хотя бы налил чаечек а то уже чувствую что хотелось бы что-то выпить из водички либо чая поэтому давайте сделаем небольшой перерывчик и например там 18 примерно 16 продолжим или 18 18 хорошо перерыв поду себе чай налью хотя бы перерыв до 18 18 либо 18 9 19 давайте

2:13:06 небольшой перерыв как понимаю только в тригонометре нас сидеть перебирать варианты да да как вы там слышно видно вот это все вот все давайте тогда интегрирование дробно-рациональной функции смотрите Как я уже отмечал, время у нас примерно будет точно до 3 часов, поэтому мы чуть-чуть задержимся, но я постараюсь местами что-то основное тогда высказать про интегрирование дробно-рациональных, либо про интегрирование по частям и про определенный интеграл Ньютона-Лейбница.

2:13:53 Смотрите, сразу обозначу, будет полноценное большое пособие по интегрированию. Если будет не хватать, то мы его также сможем дополнить, но мы более-менее его подготовили. Там будут как раз-таки разобраны еще некие дополнительные случаи того, как можно интегрировать. Там же будут примеры для самостоятельного решения, также будут примеры, которые будут разобраны, везде там будут ответы, и по нему также сможете потренироваться для интегрирования. Я же сейчас приведу некоторые такие основные моменты, которые часто могут встречаться, если мы говорим в случае физики. И вот, например, интегрирование дробно-рациональной функции бывает, может, пригодиться. Это правда. То есть, например, я помню, как в одной задаче из домашки физтеха в первом семестре,

2:14:42 даже где-то в первые три недели она попалась, где приходилось интегрировать дробно-рациональную функцию. Так, поехали. Смотрите, нас в очередь будет интересовать следующий пласт... Нас в очередь будет интересовать следующий пласт задач, то есть будет интеграл вида p от x, q от x, dx, где p и q это многочлены. Тут конечно прям есть большой-большой такой пласт теории того, как это можно делать, как можно находить этот интеграл,

2:15:36 потому что здесь очень много разных некоторых подводных камней. Об этом вы как раз и можете тогда ознакомиться в этом пособии, которое я прикреплю в своем телеграм-канале, там при необходимых условиях. И что нас в ближайшее время будет интересовать? Нас будет интересовать на самом деле случай, когда это будет, во-первых, правильная дробь, Нас интересует случай, когда у нас P от X, Q от X — это правильная дробь. Или хотя бы ее можно свести к правильной дроби. То есть, если степень многочлена P больше либо равна, чем степень многочлена Q,

2:16:25 то нужно будет, например, поделить столбиком, выделяя целую часть, и найти как раз правильную дробь. Вот нас будет интересовать правильная дробь. Если степень P у нас будет меньше, чем степень Q. То есть меня будет интересовать случай, когда здесь, например, полином третьей степени, а здесь будет полином четвертой степени, к примеру. То есть мне важно, чтобы полином нижний имел степень больше, чем верхний. Ну или многочлен нижний имел степень больше, чем верхний.

2:17:11 Это то, что нас будет интересовать. Это как раз и будет правильная дробь. Также нас будет интересовать случай, когда Q можно как бы разбить на произведение со множителей. Q можно разложить.

2:17:45 Разложить на произведение со множителей. Конечно, там бывают разные квадратные, вот это все, это отдельная тема. Я как минимум предлагаю сейчас что-то такое более-менее элементарное рассмотреть. Вот элементарный случай, когда мы можем разложить q от x на простые-кратные корни.

2:18:14 Потому что, если мы говорим про физику, то точно что-то выше вряд ли встретится. Простые-кратные корни.

2:18:24 Так, и что тогда? Тогда, вот кстати, в случае простых корней, что мы будем делать? Тогда у нас будет часть А. Ну, давайте так. Первое, если q можно разложить на простые корни Давайте так, если простые корни То есть q от x можно представить как x-x1, x-x2 и так далее, x-xn

2:19:09 То в этой ситуации наша цель вот эту правильную дробь будет раскладывать вот в таком виде Вот в теории это выглядит ужасно, непонятно Но на деле вы поймете, как это элементарно будет делаться То есть это будет раскладываться как некоторый коэффициент а1, деленное на x-x1, плюс а2 на x-x2, плюс и так далее, а n, деленное на x-xn. Вторая же ситуация, это если, например, кратные корни, такие максимально частные случаи.

2:19:58 То есть, если, например, у нас будут какой-то кратный корень, где у нас q, то есть в разложении q содержится x минус какой-то корень a в степени каком-то k. И тогда множителю с x-a в степени k отвечает сумма.

2:20:44 Сумма такого вида. a1 деленная на x-a в первой степени плюс a2 на x-a в квадрате плюс и так далее. Акатый на x-a в степени k. Сходу вообще не ясно, о чем этот Глеб тут болтает. Ну вот я просто хочу пару слов об этом вам сказать, чтобы вы, когда будете читать это пособие, на это все-таки обратили внимание. И вот давайте здесь как раз-таки попробуем решить эту задачу. Вот смотрите, как это будет применяться. То есть, допустим, вот пример. Я просто хочу на это обозначить. Если вам захочется подробнее, то либо в пособие, либо потом просто пишите.

2:21:32 Глеб, хочу еще, хочу еще. Вот смотрите, допустим, от вас требуется найти интеграл x dx, деленный на x плюс 1, на x плюс 2, на x плюс 3 Вот допустим, вам попался вот такой интеграл В чем прикол? Вот x, деленное на x плюс 1, x плюс 2, плюс x3, это как раз-таки правильная дробь то есть а маленькая, x, деленное на x плюс 1, на x плюс s2, x плюс 3, это правильная дробь.

2:22:17 Правильная дробь. Почему она правильная? Потому что, обратите внимание, у вас степень числителя меньше, чем степень знаменателя. Это как выше здесь было отмечено. То есть правильная дробь, если степень числителя меньше, чем степень знаменателя. Вот она. Здесь напишите правильное, если вы согласны с тем, что это правильная дробь. Во-вторых, вот этот квад x вам, считай, и разложили в произведение простых со множителей. То есть у вас здесь оказались везде простые корни. Только простые корни.

2:23:04 Что значит кратные? То есть, например, кратный корень, если бы, например, здесь было бы квадрат. То есть тогда двойка, ну или минус 2, это был бы кратный корень.

2:23:16 Но у нас этой двойки нет, поэтому никаких кратных корней здесь нет. Это значит, что у нас только простые корни. Это как раз вот эта первая ситуация, тогда она с вами здесь реализуется. А что тогда? Тогда считается, что вот такое отношение многочленов, а именно вот этой правильной дроби, в случае q, разлагаемой в простые корни, можно представить в виде такой суммы, где a1, a2, aN находятся с помощью метода неопределенных коэффициентов. Так, давайте я это укажу. Мне понравилось, кстати, 0,4 писать. Нет.

2:24:02 Да что, что такое? А? Ладно, 0,3 так 0,3.

2:24:18 Во. Так. А1, А2, АН. Находим методом неопределенных коэффициентов. Сейчас покажу как.

2:24:44 Смотрите. То есть, что у меня происходит? Пунктик B. Я хочу сказать, что вот эта вот дробь. x, деленное на такую страхолюдину, она у меня будет раскладываться как некий коэффициент а, деленное на первый множитель, плюс коэффициент b, деленный на второй множитель x плюс 2, плюс коэффициент c, деленный на множитель x плюс 3. Видим, да? И получается, а, b, c хочу найти.

2:25:31 То есть вот, согласно вот этому первому правилу, у меня а1 на x минус x1 и так далее. Значит, я должен таким образом разложить. Хочу найти А, Б, С. Как это делаем? Приводим к общему знаменателю.

2:25:50 Приводим к общему знаменателю. Что у нас тогда получается? У нас выходит, что вот эта левая часть оказывается равна правой части, где здесь А умножается на х плюс 2 на х плюс 3, Потом плюс b умножается на х плюс 1 на х плюс 3 И плюс c х плюс 1 на х плюс 2 Так, и давайте здесь снизу получаю эту часть

2:26:42 И в чем прикол? Нам необходимо, чтобы для любых х это равенство выполнялось Это значит, что мне нужно, чтобы х Я же так напишу То есть 0 умноженное на х квадрат плюс 1 умноженное на х плюс 0 должно мне выдавать как раз-таки вот эту верхнюю часть. Ах плюс 2, х плюс 3, плюс b на х плюс 1 на х плюс 3.

2:27:24 Так, и дальше плюс c на х плюс 1, х плюс 2. То есть мне важно, чтобы вот эта верхняя часть, вот x, тождественно равнялся вот этой части Но чтобы это более было красиво, я немного x переписал в таком виде Где 0 стоит перед x квадрат, 1 перед x и далее 0 Напишите 0, если мы согласны с этим выражением Так, я так понимаю, минутку сюда Так, жду от вас 0 Славик купил какой-то очень вкусный чай Ну вот, кстати, прикольно Ну да, мы в пакетиках пакетик чё тут написано стремись вдохновлять у прикольно то есть вот так сказать вот тут

2:28:16 пакетик я не ожидал что кстати у этого чая не буду скрывать ахмати тут написано на английском spa spa to inspire с обратной стороны как раз этот самый перевод стремит вдохновлять прикольно какой вкусный славик купил еще зашибись ладно и что мы теперь делаем теперь смотрите можно взять и найти эти коэффициенты тремя способами господи тремя двумя способами первый способ это как раз вот этот метод неопределённый коэффициент который я здесь записал второй способ быстрее давайте

2:29:05 вам представлю оба способа чтобы вы понимали так и давайте бахать чуть-чуть ярче хотел бы такой так находим bc способ 1 он более такой муторный но все-таки есть способ первый способ это прям приравнять все необходимые коэффициенты а именно справа нам нужно будет разложить тогда все эти квадраты то есть смотрите вот правая часть я предлагаю так написать правая часть чему она

2:29:54 равна то есть некоторые так поступают они говорят что ребят здесь будет x квадрат плюс 22 x 3 x то есть это 5 x И далее они говорят, что, ребят, правая часть она будет равна коэффициент перед х квадрат это будет а плюс b плюс c, коэффициент перед х это будет 5а плюс 4b плюс 3c и коэффициент Без x это будет 6a плюс 3b и плюс 2c.

2:30:45 И это мы с вами разложили правую часть. Но левая часть у нас выглядит так.

2:30:55 Так, хочу другой цвет. Тогда мы берем и сопоставляем. То есть вот у нас нолик, это вот это. И дениса, это вот это. Здесь нолик, это вот это. То есть нам необходимо, чтобы коэффициент перед каждой степенью был одинаковый. Это на самом деле связано с тем, что у нас x, x2, x3 и так далее, они независимы с некоторой точки зрения Но будем так это здесь оставлять за кадром И что получается? Тогда у нас с вами оказывается некая система уравнений То есть a плюс b плюс c равен нулю

2:31:40 Потом 5a плюс 4b плюс 3c равны единице 6a плюс 3b плюс 2c равны нулю Вуаля, остается просто решить эту систему уравнений Так, давайте ее решим, найдем эти коэффициенты a, b, c Бум, что бы я сделал, что бы я сделал Я хочу найти связь между b и c Очень хочу, очень хочу Потому что у меня, благо, есть вот эти две вещи Из них, благо, я найду какую-то связь Предлагаю тогда Вот это первое. Третье — это второе.

2:32:25 Из третьего уравнения вычесть два первых. Что я тогда получаю? У меня будет 6а минус 2а, то есть это будет 4а, плюс 3b минус 2b, это будет b, ну и плюс 0, это будет 0. То есть таким образом я знаю, что 4а или минус 4а — это будет b. Вот. А что тогда? Тогда B могу подставить и получается A минус 4A плюс C равнее с нулю То есть я взял, подставил это выражение вот сюда Смотрю, как у меня C будет выражаться

2:33:10 И таким образом я получаю, что C будет у меня выражаться как 3A То есть у меня есть связь между C и A и между B и A Берем все, подставляем Ну, подставляем во второе Получается 5а минус 16а плюс 3с, то есть плюс 9а, равняется единице. Так, получаю минус сколько? 5а минус 7а, это единица, значит а это будет минус 1 вторая. Так, b это будет тогда просто двойка, а с это будет минус 3 вторых.

2:33:59 вуаля то есть тогда наше разложение то которое было мы провели давайте я так напишу пэг у нас будет раскладываться как минус единица деленное на 2x плюс 1 потом плюс двойка деленное на x плюс 2 потом минус 3 деленное на 2 x плюс 3 во смотрите как красиво да да да это у нас и вышло напишите пожалуйста 15 если мы поняли как я нашел вот это разложение мне кажется результат очень классный

2:34:47 очень добротный сейчас мы еще с вами поймем почему мы это было сделано потому что обратить внимание как это сильно облегчает на самом деле интегрирование то есть вы же будете интегрировать по сути себе dx умноженное на вот эту дробь, а дальше это будет dx вот здесь, dx вот здесь, dx вот здесь. Это значит логарифм, логарифм, логарифм. Нашли. Так, смотрите, есть способ 2 такого подсчета. Способ 2. Используйте тот, который вам удобнее. Способ 2 следующий. На самом деле просто напрямую исследовать вот эту форму записи.

2:35:35 Я, к сожалению, еще раз тогда выпишу x плюс 3 плюс b x плюс 1, x плюс 3 плюс c x плюс 2, x плюс 1 Смотрите, второй способ Следующий, это просто подставлять удобный x То есть давайте подставлять Подставляем удобный x А именно, смотрите, вот давайте подставим x равный Сколько? Ну, допустим, минус 1

2:36:20 В чем будет плюс? У вас вот эта часть занулиться, вот эта часть занулиться Останется только эта Следовательно, у вас будет минус 1 слева А умноженное на минус 1 плюс 2 Ай, плюс 2 Минус 1 плюс 3 Плюс 0, плюс 0 Значит, А у вас находится как? Так, у вас здесь единица Здесь двойка, значит, а это будет минус 1 вторая Смотрите, как быстро Далее, подставляем аналогично х, равный минус 2 Просто вот такие корни подставляем Тогда у вас будет минус 2

2:37:07 А у нас занулится, потому что вот сюда нолик подставьте, у вас будет нолик Ой-ой, не то Это нолик Потом в b подставляем, это b Минус 2 плюс 1 Минус 2 плюс 3 И плюс нолик Следовательно, чему будет равен b? Обращаем внимание, что здесь минус 1, а здесь просто 1. И тогда вы получаете, что это будет минус 2, деленное на минус 1. То есть будет 2. Да, так гораздо быстрее. Теперь x давайте подставим минус 3, финальный.

2:37:56 Так, получаем минус 3, подставляем в a, у нас получается здесь нолик, Потом опять нолик, потом плюс c, так, минус 3 плюс 2 и минус 3 плюс 1. Что я получаю? Здесь будет минус 1, здесь будет минус 2, то есть это будет чисто двойка. А значит c будет выражаться как минус 3 деленное на двойку, то есть будет просто минус 3 вторых. И смотрите, как быстро мы с вами определили эти коэффициенты. Поэтому делайте, как вам удобнее. Можно вот так, а можно вот так. 22.

2:38:45 Все. То есть, таким образом мы с вами смогли определить, как можно брать и раскладывать данную дробь. Поехали дальше. Теперь А, Б, В. Да, давайте Г. Ну, а по сути, теперь остается интеграл посчитать. Достаточно легко. Пишем, что теперь наш интегралчик вот такого вида. x деленный на такое произведение из плюс 2 из плюс 3 dx будет высчитываться это интеграл от так мы с вами сделали разложение значит будет минус 1 деленное на 2 x плюс 1 на dx потом плюс интеграл

2:39:39 второе слагаемое вот я обращаю ваше внимание вот сюда вот мы сюда смотрим так 2 на x плюс 2 тоже идет dx и далее идет последний интеграл от минус 3 вторых от x плюс 3 dx то есть таким образом суммарный насто наш такой начальный интеграл разбился в 3 интеграла давайте я чтобы нам было дальше проще писать обозначу это все за интеграл же и получаем же будет равен минус 1 2 выношу за первый интеграл интеграл dx на x плюс 1 потом плюс двойку выношу интеграл dx на x плюс 2 потом

2:40:35 минус 3 вторых на интеграл dx на x плюс 3 смотрите как красиво потому что теперь эти интеграл считается вот так вот так считаются эти интегралы почему до стандартная замена переменной то есть вы можете написать что это же будет минус 1 2 интеграл от d от x плюс 1 x плюс 1 согласны то есть какая разница вы единицу внесли в этот дифференциал или нет но с точки зрения как бы обозначение да вы не должны сюда внести чтобы у вас получилось достаточно красивый интеграл так потом плюс двойка интеграл d от x плюс 2 на x плюс 2 потом минус 3 вторых на

2:41:33 интеграл d x плюс 3 на x плюс 3 так эти интегралы посчитать можем можем с радостью посчитаем и получаем что наш же будет выражаться как минус 1 2 на логарифм модуль x плюс 1 плюс 2 на логарифм модуль x плюс 2 потом минус 3 вторых на логарифм модуль x плюс 3 все а ну конечно еще к не плюс константу так напишите здесь тогда мне же если мы поняли как посчитался вот такой интеграл то

2:42:21 есть смотрите сходу вот когда смотришь на такое ну непонятно что делать кого что делать а в Действительность это просто сумма логарифмов. О как! Прикольно.

2:42:40 Так что такое вам очень советую взять себе на заметку.

2:42:51 Спасибо. Так, теперь давайте второй примерчик возьмем тоже. То есть я вам показал пример на простые корни, теперь давайте на кратные корни. Так, пример номер 2.

2:43:18 Интересно, что так он не дает. Только так. Пример номер 2 будет таким. То есть мы хотим найти интеграл х в четвертый плюс 1 на х в пятый плюс х в четвертый минус х в третий минус х во второй на dx.

2:44:07 О, страхолюдина, да? Ужас. Ну, во-первых, давайте увидим, что это, конечно, простая дробь. Ну, или как бы не простая, а правильная дробь, потому что у вас степень выше, меньше, чем в знаменателе. Остается только разобраться с этими дробями. Пока что как-то неприятно. Ну, ладненько, поехали играться. Так, а маленькая. Наш квад x будет выражаться как x в пятый плюс x в четвертый минус x в третий минус x во второй Предлагаю немножечко здесь пошаманить, вынести x квадрат

2:44:53 Что я получаю? Здесь у меня будет x куб плюс x квадрат минус x Минус х и минус 1. Уже хоть какое-то шаманство нам здесь помогает. Что дальше? Посмотрим, можно ли это как-то разложить. По сути, да. Если я х, например, сделаю равной единице, 1, 1, минус 1, минус 1. Будет 0. То есть единица является корнем. Предлагаю тогда пошаманить тоже с ним. х3 плюс х2 минус х минус 1. Предлагаю это записать, наверное, так. x куб минус x плюс x квадрат минус 1. Конечно, да, можно в целом взять столбиком, поделить на x плюс 1,

2:45:41 или на x минус 1, но как-то неохота. Давайте более хитрым способом. Более хитрый будет таким. x здесь выношу, будет x квадрат минус 1 плюс x квадрат минус 1. Так, получаю, что x в квадрате минус 1 я могу вынести. Здесь будет x плюс 1 То есть тогда наш код x преобразуется в следующий вид Это будет x квадрат на Теперь x квадрат минус 1 это значит x минус 1 на x плюс 1 Но у нас же x плюс 1 уже есть, поэтому будет x плюс 1 в квадрате

2:46:28 То есть здесь x минус 1, x плюс 1 А вот еще один, поэтому возникает квадратик Здесь напишите мне тогда квадрат Если мы поняли, как я смог взять и разложить наш q от x Так, напишите мне слово квадрат Если мы поняли, как мы смогли взять и разложить наш q от x b Что тогда я получаю? Наша дробь p от x на q от x Принимает следующий вид Это будет x в четвертый плюс 1 Деленое на x в квадрат

2:47:16 На x минус 1 На x плюс 1 в квадрате Обратите внимание У вас q от x разложен в случае кратных корней, то есть есть кратные корни. А именно, обратите внимание, у вас кратным корнем здесь является как раз-таки минус один кратный корень и нолик кратный корень, потому что у вас здесь x квадрат и x плюс один два раза встречается. Вот квадратик. А это значит, что нужно будет раскладывать каждый этот кратный корень по своей кратности. А именно, у нас, то есть имеет кратные корни, то есть это будет выглядеть так, а1, то есть сначала давайте по х разложим, это будет а1 на х плюс а2 на х квадрат, это я взял, разложил для кратного корня, корня 0.

2:48:47 Так как степень кратности у нас двойка, здесь оказывается два слагаемых То есть вот здесь, обратите внимание, вот эта запись, она это и обозначала Вот смотрите Если кратные корни, в разложении q содержится вот xa, x-a в степени k Я сказал, что множителю x-a в степени k будет отвечать вот такая сумма Где вот здесь будет k слагаемых Это как раз и здесь и происходит То есть вот у вас x в квадрате Это нолик кратности k Значит, у вас будет два слагаемых При этом сначала идет первая степень А потом будет идти как раз и вторая степень Та, потом b, деленная на x-1

2:49:36 Здесь никакой кратности нет А далее идет, у нас опять вторая кратность Значит, это будет c1, деленная на x плюс 1 А далее c2 на x плюс 1 в квадрате То есть вы берете, как бы здесь раскладываете по вашей кратности. То есть у вас кратность равняется 2, значит у вас будет 2 слагаемых, где у вас увеличивается просто степень нижнего знаменателя до вашего необходимого квадрата. И здесь мы уже разложили, разложил для кратного корня минус 1.

2:50:34 Так, напишите мне тогда здесь минус 1, если мы поняли, что я здесь разложил.

2:50:44 Остается только найти теперь эти коэффициенты. То есть ищем теперь коэффициенты а, вот это, а1, а2, b, c1, c2. По сути своей очень удобно здесь ровно аналогичным образом все делать.

2:51:04 Так, минус 1, спасибо. Так, v маленькая, ищем коэффициенты. Ну смотрите, с одной стороны, конечно, тут можно сделать тем же самым первым способом Но как будто это будет очень громоздко, очень громоздко Поэтому будем идти вторым способом Но сначала, конечно, нужно будет привести к общему знаменателю Поэтому записываем, что x4 плюс 1, деленное на вот этого красавчика Нам выдает справа

2:51:51 Это будет a1 умноженное на что? x квадрат, x минус 1, x плюс 1 в квадрате, плюс а2. Так, это будет просто x, x минус 1, x плюс 1 в квадрате. Так, плюс b на всех этих оставшихся чудиков, а по сути своей. Так, да, я так понимаю, мы прям максимально к общему.

2:52:36 То есть, а хотя, мне кажется, здесь есть лишнее. Сейчас, подождите, вот к общему знаменателю я же буду приводить, да? Мне же здесь нужно будет умножить только на x. Далее, x минус 1, x плюс 1 в квадрате. Потом плюс а2 на x мне уже умножать не надо, но у меня идет x минус 1, x плюс 1 в квадрате. Далее, плюс c1. Надо будет на 1 x плюс 1 умножить, на x квадрат умножить, на x минус 1 умножить. Ох, вас много.

2:53:23 Так, и плюс c2. Кто здесь? x квадрат на x минус 1. Все.

2:53:35 Так, и общий знаменатель x квадрат, x минус 1, x плюс 1 в квадрате. Вуаля. Что ж, теперь делаем правильно. Давайте делать следующее. Скажем, что у нас x четвертый плюс 1. Тождественно, как раз таки просто будет равен вот этой части. Так, цвет возьмем какой-нибудь другой И теперь начнем подставлять То есть сначала попробуем везде подставлять Я сделал как в прошлый раз, получил алгоритм откуда?

2:54:24 Типа после интегрирования или после чего? Так, теперь подставляем То есть давайте подставлять x равный 0 Удобно, это будет единица слева, справа У меня a1 зануляется, a2 остается То есть это будет a2 минус 1 и 1 в квадрате c1 у меня зануляется, c2 зануляется, о, то есть я получаю, что a2 равен минус единице, а, это после интегрирования, да, напишу, пожалуйста, потом x, давайте подставлять единица, получается a1 зануляется, ну, или слева что у меня будет, у меня будет двойка, справа нолик плюс нолик плюс нолик, так, какой-то перебор, а где коэффициент b?

2:55:20 Мне кажется, я еще не вставил коэффициент b. Так, b умноженный на x квадрат на x плюс 1 в квадрате. Извиняюсь. Да-да-да-да-да-да. Я коэффициент b потерял.

2:55:39 Так, плюс b x квадрат на x плюс 1 в квадрате. Ой, господи, а. Короче, не 0 у нас с вами будет только при коэффициенте b. Значит, это будет b на 1 в квадрате на 2 в квадрате, то есть на 4. То есть я получаю, что b это будет 1 вторая. Так, ну и финальное. Подставим x равный минус 1. Получаем, что это будет 1 плюс 1 слева. Справа кто? Занулится, занулится, занулится, кроме c2. То есть у нас все занулится, кроме c2. То есть c2 на минус 1 в квадрате и минус 2.

2:56:24 Получаем, что c2 будет выражаться как двойка, деленная на минус 2. То есть это будет минус 1. То есть, смотрите, a2, b, c2 мы с вами нашли. У нас остается только две части.

2:56:42 Здесь можно, на самом деле, перемножить, либо просто какие-то другие чиселки подставить. Вот какие захотите. Потому что вы получите, по сути, как раз-таки два уравнения. Поэтому предлагаю тогда и записать. То есть, у нас с вами получается, что x4 плюс 1 нам выдает. А1 я не знаю пока, ну и ладно. Это x на x минус 1 на x плюс 1 в квадрате. А2 это будет минус 1. Так, минус x минус 1, x плюс 1 в квадрате. Ой, так, b-шку я знаю. b это 1, 2. 1, 2, x квадрат на x плюс 1 квадрат.

2:57:32 Так, c2 я знаю. c1 только не знаю. c1 на x плюс 1, x квадрат, и остается c2, а c2 это минус 1, то есть минус x квадрат на x минус 1. Фух, сколько неизвестных? Ну, слава богу, две неизвестных. Две неизвестных. Так, давайте подумаем, можно ли какой-нибудь красивый x подставить, чтобы быстренько все получить. Предлагаю, наверное, подставить x равный двойке и x равный минус двойке. вот как раз и для двух разных иксов мы с вами что-нибудь здесь найдем потому что уже 0 1

2:58:20 минус 1 у нас занято к сожалению ну вот а потом еще как-то при каких-то коэффициентах не в целом можно наверное посчитать знаете при наибольшем коэффициенте или при коэффициенте 4 что у нас будет у нас же здесь степень 4 здесь здесь максимальная степень 4 максимальная степень здесь 3 максимальная здесь степень 4 максимальная здесь степень 3 максимальная степень 3 а это значит посмотреть что будет при максимальной степени что будет при минимальной степени можно так то есть в правой части он так наверное уже будет поприятнее в правой части вот x 4 какая

2:59:15 там будет степень по сути вот здесь нам нужно просто везде взять максимальную степени ну значит будет просто x 4 и вот идет а1 так далее здесь нет 4 здесь есть 4 будет 1 2 плюс 1 2 здесь максимальная 3 здесь максимальная 3 степень правильно так c1 нет нет неправильно вот при c2 3 до при c1 господи как вас много напиши это километр

3:00:00 Напиши это в километрах просто. Я ошибся. Ну и подправляйте. Хотя я согласен, кто тут будет подправлять? Так, здесь х, какой ты там? При c1, ты кто? х-1, во. Надеюсь, все верно. Потом здесь максимальная четвертая степень, это будет как раз C1, то есть здесь плюс C1. Так, все. Потом плюс Ахалай-Махалай при третьей степени, плюс кульбита второй степень, там, не знаю, вот такой полосатик при первой степени. Теперь при нулевой степени, вот то, что меня будет сейчас интересовать.

3:00:48 Так, это что будет? Вот здесь в нулевую степень мы никак не попадем. Да, потому что этот x стоит. Вот здесь на любую степень мы получим. Если вот эту единицу, то есть если у нас там единица умножится на себя же, потом минус 1 умножится, и пишем. То есть это будет плюс 1. Да, просто плюс 1. Здесь взяли, здесь ничего. Здесь c1 не возьмем. Ай, c1 не возьмем. Нет, значит при...

3:01:38 Что, x кубе искать? Давайте так, получается при первой степени там, да, будет единица плюс 1, оно и так уже сделано. Ладно, ну хотя бы при x4, то есть я точно могу сказать, что a1 плюс 1 вторая плюс c1 нам дает единицу.

3:02:09 Это раз, теперь, наверное, все-таки давайте при третьей степени я попробую найти, ну раз начал, то давайте дорешаю. Жесть, ну ладно, вот что-то такое громоздкое. Да можно чиселки, наверное, двоечку подставить какую-нибудь. Ну ладно, давайте третью степень найду. Так, третья степень, ты кто? Третья степень, это значит, я x вот здесь, наверное, возьму. Так, с одной стороны это будет x, x, x, x в кубе, а один.

3:02:48 То есть, когда потом умножаю на единицу. Либо x отсюда.

3:02:59 Нет, вот это тяжело. Давайте просто двойку подставлю, я хочу двойку подставить. Задолбался. так с другой стороны давайте x равны 2 подставим тяжело так двойку подставляем ладно давайте мы надо досчитать надо 22 степени 4 сколько это 16 вроде бы 16 плюс 1 потом а1 умножаем на двойку на единицу на 9 потом минус единица на 9 потом плюс 1 2 на четверку на 9 поэтому плюс c1 на 3 на 4 на единицу потом минус 4 на единицу так как-то попроще что ли так 17 мне выдает это получается

3:03:49 18 а 1 минус 9 плюс 18 так потом плюс 12 c 1 и минус 4 дай бог получится ли не независимое равнение так получается этого дает 99 минус 4 будет 5 то есть таким образом я получаю 17 это будет 5 плюс 18 а 1 плюс 12 c 1 получается 12 мне выдает 18 а 1 плюс 12 c 1 значит делим все на 6

3:04:34 Да, делим на 6 2, 3, а1 3, а1 Плюс 2, c1 Во Так, а отсюда я знаю, что у меня будет 2, а1 Плюс 1 Плюс 2, c1 И это дает мне двойку То есть отсюда я хотя бы вижу, что 2, а1 Плюс 2, c1 Выдает единицу Во Вот вам будет 2 уравнения, слава богу ты как написал так ой находим тогда все коэффициентики предлагаю из одного вычесть

3:05:35 другое то есть я получаю я из нижнего вычитаю верхней у меня 21 сокращается 31 минус 21 будет один и остается единица все один равняется единица значит 21 плюс тройки это будет двойка значит 21 это будет минус 1 c1 будет минус 1 2 аллилуйя аллилуйя ура так давайте быстренько пройдемся че я сделал а то мало лично я понимаю уже все многие могли вылететь напишите мне пожалуйста 15 если мы с вами поняли что я здесь делал то есть я давайте так начнем вот что я

3:06:25 что я здесь сделал вот напишите 15 если вы поняли что здесь сделал я вот вот это напишите 15 сейчас просто выстроим у вас логическую цепочку потому что здесь просто было очень много вычислений я абсолютно вас понимаю что вы могли потеряться вот вольтер проблема в том что нужно учесть кратность корней то есть если ты пишешь как ты написал то там сверху нужно там где x квадрат нужно написать ax плюс b и где x плюс 1 квадрат тоже надо bx плюс c ну или точнее ax а1x плюс

3:07:11 а2 а там где x плюс 1 квадрат там b1x плюс b2 то есть необходимо все-таки добавлять то есть вольтер это необходимо потому что возникает кратные корни они вносят свой вклад ну а почему по теории так возникает предлагаю здесь сейчас не разбираться так прекрасно 15 есть далее напишите 10 если вы поняли что я здесь просто привел к общему знаменателю и потом просто вот эти две штуки приравнял ждут вас здесь 10 потому что я хочу чтобы хотя бы логика нам точно было здесь везде ясно то жду 10 если мы поняли как я это сделал то есть просто привел к общему знаменателю

3:08:04 потом напишите 11 если мы поняли как я нашел первую связь между коэффициентами через x0 x1 x-1 То есть взял 3 корня, подставил. Потом, как вы понимаете, мне остается найти a1 и c1. Это 2 главных, 2 главные штуки, которые пока были неизвестны. Для этого я пошел уже напролом. То есть дальше уже, да, извините, нужно что-то придумывать. Поэтому 12 напишите, если вы поняли, что, как я нашел вот этот коэффициент. То есть что я сделал? Я подставил сначала a2bc2, записал вот это выражение И просто хотел найти коэффициент перед x в четвертой степени Как найти коэффициент перед x в четвертой степени?

3:08:52 Я здесь беру x, умножаю на x и здесь два раза умножаю на x Вот все Здесь такой нет x квадрат умножаю на x квадрат И коэффициент одна вторая А здесь x на x квадрат на x Вот получается таким образом c1 Вот это коэффициент перед x в четвертой степени И он с другой стороны тоже равен единице Потому что перед x4 у нас была единица, это мы записали А потом, ну, я не хотел перед x3 искать, как-то впадлу Поэтому я просто взял, подставил в это выражение двойку Вот, посчитал И напишите 13, если вы поняли, что я просто взял, подставил двойку И нашел вот это второе уравнение Таким образом, a1, c1 у нас с вами найдены А я также, кстати, хочу проверить, у меня правильно или нет

3:09:38 Так, то есть здесь минус 1, минус 1, 1, 2 здесь 1 минус 1 вторая есть я правильно сделал я молодец меня с моими решениями совпадает и я молодец вот все таким образом что я получаю итогу итог следующий вот такая страхолюдина кто там был

3:10:31 то x квадрате на x минус 1 из плюс 1 в квадрате у нас разложилась фух единица деленная на x плюс а2 ты кто а 2 минус 1 это будет минус 1 деленное на x квадрат потом коэффициент b 1 2 плюс единицы деленное на 2 x минус 1 потом минус 1 2 на x плюс 1 так как эфициент c2 это минус 1 и минус единицы деленное на x плюс 1 в квадрате фух во посмотрите как красиво вышло то есть вот

3:11:23 такая непонятная страхолюдина превратилась что-то адекватное и вот это мы с вами получили за счет от того, что мы нашли вот эти коэффициенты a1, a2, b, c1, c2 И вот заметьте, как раз таки вот a1 давайте попробую их здесь выделить, вот a1, да a2, b, c2 Вот и получилось, что a1 у меня чему равен единице, вот 1 на x a2 у меня равен минус единице минус 1 на x квадрат b это 1 вторая x минус 1, c1 это минус 1 вторая и c2 минус 1 все четенько слава богу а б в г да теперь получается g это считаем интеграл

3:12:15 получается наш интеграл будет равен интеграл dx на x потом минус интеграл dx на x квадрат плюс 1 но вторую я предлагаю сразу вынести интеграл dx на x минус 1 минус 1 вторая интеграл dx на x плюс 1 минус интеграл dx на x плюс 1 в квадрате. Ву-а-ля! И вот смотрите, как этот интеграл превратился реально в что-то приятное. Так, пишем тогда на g. Будет выражаться. Предлагаю сразу воспользоваться компьютером

3:13:04 Написать, что здесь можно написать минус 1 Здесь можно написать плюс 1 А здесь тоже плюс 1 Потому что у вас дифференциал от константы равен 0 Тогда я получаю, что этот интеграл будет равен В эгрифу модуля x Потом минус интеграл Давайте пока так оставлю Интеграл x минус второй степени dx Потом плюс 1 вторая от логарифма модуля x минус 1 минус 1 вторая логарифма модуля x плюс 1 и далее минус интеграл x плюс 1 в степени минус 2 d от x плюс 1.

3:13:49 Ну и там, конечно, плюс константа c. Остается эти оставшиеся написать. Ну а чему они будут равны, это достаточно уже отчев. Потому что вам нужно просто вспомнить, что вот эта штука, например, будет выражаться. Это будет единица деленная на минус 2 плюс 1 на х степени минус 2 плюс 1. А это что? Это, по сути, будет минус 1 умноженное на х степени минус 1. То есть минус 1 на х. Ой, будь здоров, спасибо, конечно. Так вот, получается, g нам будет выдавать логарифм модуль х, Потом минус 1 на х

3:14:34 Плюс 1 вторая логарифм модуль х минус 1 Минус 1 вторая логарифм модуль х плюс 1 Минус интеграл Ой, здесь тоже Ой, какой интеграл Здесь по аналогии это будет минус 1 деленное Теперь на х плюс 1 Все То есть ровно по аналогии с тем, что мы Теперь на х плюс 1. Все. То есть ровно по аналогии с тем, что мы с вами здесь получили. Обратите внимание, здесь минус возникает просто от интеграла, потом еще один минус возникает. Поэтому теперь, я уверен, мы готовы записать итоговый ответ. Что у нас с g выражается?

3:15:19 Логарифм модуль x плюс 1 на x плюс 1 вторая логарифм модуль x минус 1 Потом минус 1 вторая логарифм модуль x плюс 1 и плюс 1 на x плюс 1 Вот так Это будет выражение для интеграла Причем можно, кстати, чуть-чуть его преобразовать, то есть написать его немножечко в таком виде Логарифм я предлагаю вынести И логарифм будет от произведения x, умноженное на x-1 под корнем.

3:16:16 Вот так вот. Корень x-1 на x плюс 1. Далее плюс 1 на x и плюс 1 на x плюс 1. Во. Это, считай, некий такой финальный ответ. Вот этот корешок, он взялся от этой 1-2 степени. То есть одну вторую вы можете сюда как бы перенести И у вас будет Да, и плюс c, спасибо Да, а то 0 баллов Спасибо Во, вот такая красота Ну вот представьте, вот как сходу Конечно понять, что вот такой интеграл Что вот такой интеграл Будет давать тот ответ Ну красиво же, очень красиво Вот здесь напишите 10, если вы согласны с этой красотой

3:17:03 Или напишите по 10-балльной шкале насколько вот оказался этот интеграл красивым. Да, считать долго, но зато прикольно. То есть, оказывается, вот такие рациональные штуки мы можем посчитать. Я думаю, это классно.

3:17:25 Так, напишите по 10-балльной шкале, как вам оно. Только не говорите, что я плюс c забыл выделить, иначе тоже плюс 0 баллов. Десятка. Вот. Что ж, я надеюсь, что сегодняшнее занятие вам более-менее помогло адаптироваться к подсчету интегралов к взятию этих интегралов то есть мы с вами посмотрели как работает метод замены переменной да конечно я тут немножечко понудил с вот этими дельтами это правда понудил ну что ж поделать я считаю это нужно было чтобы вы точно осознавали что такое дельта и что такое да маленькая что к этому можно относиться как к некому изменению и смотреть на решение задач

3:18:12 вот с некого такого другого ракурса потом мы с вами изучили вот этот метод интегрирования дробно-рациональных функций это два таких в основном часто встречающихся метода конечно там есть еще например метод взятия производная знаменателя можно еще брать и использовать комплексные числа там есть еще разный метод метод астроградск вот это все но это я считаю уже за рамками нашего курса целом можете это конечно изучите в нашем пособии которые я тогда прикреплю в телеграм-канал при некоторых условиях которые я придумаю на днях вот на сегодня я считаю что тогда достаточно конечно очень хотелось бы еще посмотреть взятие определенного интеграла нахождение площадей нахождение работы криволинейных интегралов и думаю что можно тогда будет привести

3:19:02 провести вторую часть с дорежкой интегралов если у вас будет такое желание чтобы мы с вами дорешали эти интегралы еще посмотрели всевозможные интегралы потому что вот покажу вот это пособие здесь вот кстати в этом пособии что я выложу у вас тут будут задачи для самостоятельных примеров будут также ответы необходимые да вот это пособие вот оно так выглядит также вот дробно-рациональная функция вот как разки простые корни как вы можете заметить кратные корни то что тут тут можно еще да как раз рассмотрите дискриминант меньше нуля то в этой ситуации нужно работать как его взятием производные от знаменателя вот выделение производные знаменателя и так далее дальше

3:19:51 мы конечно к сожалению ну вот есть еще тригометрические функции там универсальные подстановки здесь некоторые лайфхаки есть когда там t косинус t синус там t тангенс подставлять вот тут еще некоторые страхолюдины беном чебышева это точно так где-то где-то пораньше еще интегрирование по частям точно то еще интегрирование по частям там где взять и логарифма взятия вот этого взять x квадрат и в степне x я вам также будут предоставлены примеры чтобы вы самостоятельно порешали вот например взять интеграл от логарифма в квадрате вот это все то есть конечно я бы например очень хотел бы вам рассказать интегрирование по частям там может

3:20:41 быть тригонометрическую замену потом просто в чем плюс вот у нас идет конечно определенные интеграл его геометрические свойства форму ньютона лебница конечно же там вот площадь фигуры то есть например вот я очень хотел бы решить задачу где у вас есть фигура которая ограничена двумя изломами вам нужно найти площадь ну классно же да потом например вот такая фигурка нужно найти площадь там в этих не сферические координаты забыл в полярных координатах например можно задать кривую вот она кривая найти ее площадь вот очень хотелось бы например длина дуги кривой тут формула тоже хотелось бы вам предоставить как не выводится все-таки например здесь это тоже прописано хотел

3:21:28 бы это вам объем тела вращения тоже может пригодиться то есть у вас есть например кривая Вы берете эту кривую, вокруг оси Х вращаете, и у вас возникает такой некий объемчик. Вот, например, как находить этот объем. Вот все это очень хотелось бы, конечно, вам рассказать. Потом, кстати, тут идут немножечко криволинейные интегралы на плоскости. Это криволинейный интеграл первого рода. Это если мы хотим найти, например, массу, если нам известна плотность. Ну, правда, линейная плотность. Потом интеграл второго рода. Где он тут? Нет, это первого рода. О, кривление интеграл второго рода, его можно, кстати, записывать так, либо это как раз и будет та самая работа, вот это очень хотелось бы рассказать, и в этом плане по работе там еще есть некая формула Грина, так сказать, мне, вот они тоже хотели пару слов отметить, то есть она просто может вам немножко помогать в плане подсчета тех же самых этих работ, вот, то есть подготовлено там, но очень много,

3:22:32 Тут потенциальность в этом плане поля возникает и так далее. Поэтому, если вам очень хочется увидеть вторую часть, то пишите в комментариях «хочу часть 2» или «хочу решать, вот хочу решать». Давайте наберем тогда 20 комментариев и проведем тогда вторую часть. Вторая часть, вероятно, будет уже после тогда проведенного всего этого экспериментального курса математика-физики, чтобы вы посмотрели, что еще у нас запланировано. Но как минимум, если захотите, то тогда будем с вами допроводить и поговорим как раз-таки о крепленейных интегралах, о интегрировании по частям, вот это все-все-все.

3:23:19 Так что в комментариях буду ожидать, хочу решать. Набираем 20 комментариев и будет как раз-таки продолжение этих интегралов. А это пособие я выложу в телеграм-канале при определенном условии, которое я вот сейчас на днях придумаю, потому что хотелось бы его придумать. И тогда выложу. Все. Так на этом тогда все. Всем спасибо большое за занятие. Напишите по стубальной шкале, как вам сегодняшнее занятие, как мы с вами сегодня, вчера поработали. Слава богу, сегодня компьютер себя уже нормально ввел. Я не знаю, что с ним вчера произошло. Как-то он так себя странно повел. Но верю, что занятие должно было быть успешным. И за счет этого мы с вами по интегралам в итоге разобрались со смыслом,

3:24:05 поняли, как у нас выражается, например, площадь под графиком, смогли вывести формулу Ньютона-Лебница, познакомились с вот этими двумя основными смыслами, то есть интеграл, а именно неопределенный интеграл, можно воспринимать как обратное действие к производной, также можно воспринимать как сумму бесконечно малых величин, и вот сумма бесконечно малых величин, на самом деле, очень хорошо как раз-таки иллюстрируется в виде площади под графиком, как это мы с вами выводили, и, конечно, перед тем, как переходить к определенному интегралу и находить ту самую площадь под графиком, в идеале нам научиться находить первообразную. Первообразная, потому что она лежит в определенном интеграле. Вот. Ну и на это мы с вами посвятили сейчас большую часть времени, чтобы учиться искать этот неопределенный интеграл, а именно искать первообразную.

3:24:53 Так что, надеюсь, это было полезно. Вот так. А если хотите также ботать и другие темы, помимо математики, а именно физику, где в физике я стараюсь на своих курсах также параллельно вводить необходимую математику для наших вебинаров, то переходите по ссылочке в описании и давайте ботать вместе, смело, жестко ботать к перечням, местами ко всеросу, потому что некакие смены, а именно, например, смена Тесла, смена по электростатике, смена Фарадей 2.0, смена Снеллиот 2.0, ориентированные на все розы. Если же мы говорим про перечень, то это как раз Киньютон, Карно, хотя местами там мы стараемся затрагивать темы всеросса, например, энтропия там есть, поверхностное натяжение там есть.

3:25:38 Кстати, поверхностное натяжение на моем канале бесплатно еще выложено. Это как раз запись с Карно. Также смена ампер электрической цепи, все это готовит вас на перечень плюс. Так что боты вместе, и все будет классно. Также, кстати, у меня есть смены уже более вузовского уровня, это смена Fourier и смена Eller по динамике твердого тела и по колебаниям, так что можете там тоже найти у меня на сайте, вот так. Все, так что всем счастья мира, добрые люди, пока-пока, пусть все у вас будет прекрасно, тогда до встречи и также в телеграм-канале, где не пропускайте все необходимую информацию. Спасибо за вебинар, спасибо всем тем, кто был в онлайне.