Кольцо с Межнара: ВНЕЗАПНО на вступительных в сборную Москвы по физике | Туймаада

0:00 Большой привет! С вами Глеб Орел, олимпиадный репетитор по физике. И сейчас мы с вами зарешаем мощную, жесткую задачу с международной олимпиадой Туймада. И при этом отмечу, еще эта задача была у меня на отборе в кандидаты сборной Москвы. И она, как по мне, безумно, безумно красивая и насыщенная физикой. Поэтому давайте сейчас все вместе получим это эстетическое удовольствие от физики и заботаем эту задачу. Так что всем приятного просмотра, давайте начинать. Ну что, приступим тогда к разбору нашей мощной задачи. На столе вертикально стоит невесомый обруч. В данном случае я его изобразил, вот он, невесомый обруч на этом столе.

0:48 В верхней точке которого жестко закреплен небольшой массивный груз массой маленькая. То есть в чем прикол, вот этот массивный груз, он первоначально располагался здесь, в верхней точке. Радиус обруча R большой, коэффициент трения о стол равен μ. От очень слабого толчка обруч приходит в движение в своей плоскости. Ну вот в данном случае я изображаю какое-то произвольное время, когда у нас происходит вот это движение. Какую скорость VMAX приобретет центр обруча к тому моменту, когда обруч перестанет катиться без проскальзывания? Обратите внимание, насколько важна эта фраза. Как обруч перестанет катиться без проскальзывания. Это мы с вами обсудим чуть позже. Но уже здесь, напишите в комментариях, что это будет обозначать.

1:33 То есть, что обозначает этот вопрос. Ну а мы тогда давайте приступим к разбору. Заодно ссылочка на мой мощный телеграм-канал по Олимпиадам будет в описании. Переходи, подписывайся, будет много классных и крутых плюшек для тебя. А второе, да-да-да, интенсив. Интенсив, интенсив! Мы будем мощно, интенсивно готовиться к Олимпиадам. Так что ссылочка на регистрацию будет в описании. Присоединяйся. Мы с тобой интенсивно и мощно все повторим и заботаем перед Олимпиадами. До встречи. Ну что, давайте перейдем уже к самому решению. Давно я изобразил масса нашего грузика, потому что, как вы помните, кольцо у нас без массы, оно невесомо.

2:19 Коэффициент трения между кольцом, то есть этим образом, и нашим столом. Р большой, это радиус этого кольца, или же этого обруча. От нас требуется найти максимальную скорость центра кольца, когда наше кольцо перестанет двигаться без проскальзывания. Обратите на это внимание, именно просто перестанет двигаться без проскальзывания. То есть вам не сказали, что оно определенно должно двигаться с проскальзыванием, или что-то там другое. Но об этом давайте мы с вами чуть позже поговорим, а сейчас просто проанализируем модель. Таким образом, давайте изобразим как раз-таки произволь Майон-3, То есть у меня первоначально этот грузик располагался в наивысшей точке, то есть вот здесь. И после этого вот мое кольцо начинает вот так вот двигаться вправо от легкого толчка.

3:06 Тогда при этом произвольном моменте времени у меня здесь будет скорость центра моего кольца, какая-то маленькая, и скорость груза какая-то у. И давайте как раз мы с вами рассмотрим произвольное моменте времени, когда мы еще двигаемся без проскальзывания. То есть ничего другого у нас еще не произошло. Поэтому давайте это мы с вами запишем. То есть рассмотрим. Или же по-другому. То есть рассмотрим произвольный момент T при движении без проскальзывания. Так будет лучше. При движении без проскальзывания. То есть таким образом, еще раз, я рассматриваю произвольный момент времени, когда у меня еще движение без проскальзывания.

3:51 И сейчас всю механику я записываю именно для этого момента времени. Прекрасно. Что мы можем здесь фиксировать самое первое? Ну, конечно, как раз-таки связь между этими скоростями. Ведь что мы с вами здесь видим? Так как у нас движение без проскальзывания, то вот эта вот точка соприкосновения нашего кольца с горизонтальной поверхностью, она имеет ровно такую же скорость, как у этой горизонтальной поверхности. То есть как у стола. Но мы с вами знаем, что скорость стола равняется нулю, а значит скорость этой нижней точки будет равна нулю. То есть давайте мы с вами запишем движение без проскальзывания, без проскальзывания, а следовательно скорость точки С у нас равняется нулю.

4:43 А что это будет обозначать? Это будет обозначать, что в данном интерьере мне эта точка является мгновенным центром скоростей для этого обруча. А тут есть такая теорема, которая гласит, что скорости наших точек твердого тела, они распределены так, как будто тело вращается вокруг мгновенного центра скоростей. Поэтому с помощью этой теоремы мы сами понимаем, как у нас будут изображаться вот эти вот скорости v и u. И при этом мы еще найдем на них связь. Но сначала давайте как раз-таки запишем, что, следовательно, точка c это мгновенный центр скоростей. А тогда, тогда запишем следующее. Что наше кольцо, получается, как бы в данный момент времени проворачивается с угловой скоростью омега, как бы вокруг точки С.

5:33 То есть мы представляем такое вращательное движение в данный момент времени вокруг точки С. Тогда давайте найдем связи между скоростями v и u. Во-первых, эти скорости, конечно, будут перпендикулярны расстояниям до точки С. То есть получается v перпендикулярна отрезку OC и u перпендикулярна отрезку CA. Потому что, напомню, что скорости точек твердого тела распределены так, как будто твердое тело вращается с точки С. То есть, таким образом, как будто они совершают вращательное движение вокруг точки С. Но важно отметить, что именно как будто. Об этом мы с вами чуть позже поговорим. Так, тогда, если мы с вами вспомним, что радиус нашего кольца выражается как r большое, верно? То таким образом я могу найти связь между скоростью и угловой скоростью.

6:21 То есть, это будет ω на r. Ну а тогда мы с вами можем записать, как у нас будет выражаться U. То есть U в свою очередь будет выражаться как произведение угловой скорости на расстояние от мгновенного центра скорости до точки А. То есть наша задача теперь поискать вот это расстояние. Как его в свою очередь здесь можно выразить? Ну смотрите, я знаю, что вот эта длина равна R большому. И при этом я знаю, что эта длина у нас также равна R большому. Это мы можем также и здесь в свою очередь отметить. вот здесь у нас также будет r классно что тогда тогда давайте мы с вами возьмем и введем какой-нибудь здесь уголочек такой уголочек альфа в этом случае мы с вами

7:08 заметим что у нас здесь есть равнобедренный треугольник а таким образом здесь у меня будет также уголочек альфа классно это будет обозначать что если я хочу найти длину этого отрезка то что мне нужно сделать мне просто можно взять, опустить вот так вот перпендикулярчик и понять, что эта сторона выражается как r на косинус, эта сторона выражается как r на косинус. То есть таким образом мы с вами получаем, что вся длина этого отрезка Са у нас будет выражаться как 2r косинус альфа. Это давайте как раз мы с вами здесь себе изфиксируем. То есть получается весь этот отрезок будет выражаться как 2r на косинус альфа.

7:54 Ну и в этом случае я могу выразить нашу скорость у. Это будет омега на 2r косинус альфа. Великолепно. Обращаем внимание, что и там, и там омега одна и та же. Это угловая скорость вращения нашего обруча. Ну, а таким образом, если мы с вами выразим омегу в первом случае, мы получим отношение v к r. А во втором случае омега это будет выражаться как у деленное на 2r косинус альфа.

8:26 Ну что будем делать? Конечно, давайте накрест перемножим. И таким образом я получаю следующее выражение, что скорость u у меня будет выражаться как 2v маленькая на косинус альфа. И это мега-мега классный результат. То есть таким образом мы с вами взяли и связали скорость нашего груза в этот произвольный момент времени со скоростью нашего центра кольца. Это классно. Это очень главный результат. Очень важный для нас. Так, что можем дальше записать? Дальше давайте как раз-таки уже анализировать силы. И понимать, что у нас происходит с точки зрения динамики. И в этом случае давайте я буду изображать силы, действующие именно на кольцо. Это будет наш розовый маркер.

9:13 И буду также отдельно изображать силы, действующие на наш грузик. Даже не знаю, каким цветом. Давайте буду желтым. То есть желтым цветом я буду обозначать силы, действующие отдельно на груз. То есть как отдельные два объекта. Ну, поехали. Во-первых, конечно, мы должны с вами указать, что у нас здесь существует сила N. Верно? Давайте ее как раз-таки здесь укажем. То есть нормальная составляющая силы реакции опоры. N-вектор. Вместе с этим здесь будет действовать еще сила трения. Но возникает вопрос, а куда будет направлена эта сила трения покоя? Потому что в данном случае нет проскальзывания, значит это будет сила трения покоя. Можно определить таким образом. Сила трения покоя всегда направлена против возможной относительной скорости нашей точки

10:02 относительно краски вот этой поверхности. Что значит возможной? А это значит, что давайте мы с вами представим на мгновение, что у нас трение пропало, то есть в данном случае все стало гладким. Что тогда? Тогда, как мы с вами понимаем, у нас из-за этого грузика этот обращ захочет вот в этом направлении вращаться. А значит, относительная вот эта возможная скорость этой нижней точки, относительно горизонтальной поверхности будет направлена влево ну а таким образом я получаю что конечно же сила трения у меня будет смотреть вправо в данном случае у меня будет моя сила трения after vector пока что на вот этот пунктирчик не обращаю внимание они мы с вами поговорим чуть

10:47 позже просто хотел чтобы сразу было красиво все изображено ну и вместе с этим конечно давайте изобразим силу, с которой будет действовать наш грузик на наше кольцо, но вот только как будет действовать, ну даже не знаю, то есть может быть под каким-то непонятным углом, куда-то что-то туда, ладно, давайте произвольно изображу вот сюда, ну а там есть что поймем, то есть пока произвольно изображу так, это у нас будет сила F вектор. Теперь же давайте поговорим про направление сил действующих именно на грузик на грузик напомню что это будет желтенький цвет желтенький

11:34 в этом случае конечно у нас будет вниз действовать сила тяжести m маленькая же вектор и вместе с этим еще будет действовать сила взаимодействия с кольцом и уже давайте мы с вами возьмем и обозначим как f со звездой вектор ну из третьего закон ньютона она будет равна минусов вектор все обозначили Ну и, конечно, F со звездой будет смотреть против силы F. Так, ну что ж. Тогда давайте дальше писать то, что мы умеем, то, что мы знаем. Ну, на самом деле, первым делом в голову приходится записать второй закон Ньютона для груза и посмотреть, а может быть здесь что-то некрасивое получится. Поэтому давайте запишем второй закон Ньютона для M маленького.

12:22 Это у нас все-таки материальная точка, поэтому второй закон Ньютона здесь спокойно пишется. Получаем масса на ускорение. Это будет сумма всех сил. То есть f с звездой вектор плюс m маленькая же вектор. Ну, написали. И что? На самом деле ничего. То есть это нам ничего не дает пока что. Тогда давайте рассмотрим отдельно наше кольцо. То есть рассмотрим обруч и динамику обруча.

13:02 Вот здесь, мне кажется, уже будет поинтереснее. Ведь смотрите. Нам известно, что обруч невесом. То есть масса обруча равна нулю. или обруч он легкий. Можем даже в данном случае это и записать. Обруч легкий, обруч легкий, следовательно масса обруча равна примерно нулю. А что тогда? А тогда оказывается будет очень крутая связь между силами. Тогда давайте мы с вами запишем первый пунктик А. И в данном случае мы с вами давайте воспользуемся либо вторым законом Ньютона для системы материальных точек, из которых

13:49 И состоит наше кольцо Или же просто запишем теорему движения центра массы Но это одно и то же Для нашего кольца Что мы здесь можем тогда получить Если есть теорема движения центра массы Получаем, что масса нашей системы Масса нашего кольца Помножается на ускорение центра масс Это будет сумма всех сил, действующих на наше кольцо А в чем тогда будет прикол? А прикол в следующем Что масса нашего кольца Или нашего обруча Она равна нулю А значит, произведение массы на ускорение центра масс будет равняться нулю. А таким образом мы получаем, что сумма всех сил будет равна нулю. Это давайте мы схематично запишем таким образом. То есть сумма всех сил, действующих на наше кольцо, будет равняться нулевому вектору.

14:36 Или же отсюда мы можем написать, что вектор n плюс силы трения F3 вектор плюс еще сила F вектор. Это все будет нулевой вектор. это зафиксировали но уже отсюда на самом деле мало что можно на данный момент сказать потому что вот хоть и оба Вот хоть я и обозначил силу f вдоль этого направления, но я вам сказал, что я произвольно обозначаю, то есть я на самом деле не знаю, вот сюда бы смотреть или сюда. Я не знаю пока что. Я пока же так, просто произвольно нарисовал, ну так совпало. А вот теперь будет самый главный пунктик, это пунктик b маленького. Вот он самый ключевой в данном случае.

15:21 Так что давайте здесь прям выделю некоторый наш восклицательный знак. смотрите давайте вспомним что у нас есть такая вещь как правило моментов и правило моментов у нас выполняется для твердого тела которая в равновесии верно но здесь важно вспомнить еще такую теорию что правило моментов относительно любого полюса можно применять для любого твердого тела у которого масса равна нулю это на самом деле следует из уравнения динамики вращательного движения для твердого тела там просто оказывается что момент инерции будет равен нулю и значит правило моментов будет выполняться и давайте как раз к этому с вами запишем что выполняется правило моментов выполняется

16:09 выполняется правило моментов правило моментов относительно любого полюса относительно любого полюса и это классно и почему это классно потому что с С помощью вот этого пунктика B мы с вами вспоминаем, что если у нас выполняется правило моментов для твердого тела, и на твердое дело действует три силы, только три, то в этом случае у нас выполняется теорема о трех силах.

17:00 То есть давайте мы с вами запишем, что из пунктика B у нас следует теорема о трех силах.

17:13 Что нам будет гласить теорема о трех силах? что если у нас действуют три силы, то линии действия этих трех сил пересекаются в одной точке. Ну а тогда мы с вами получаем, что вот у нас линия действия первой нашей силы, вот у нас линия действия второй нашей силы, и мы с вами видим, что у нас уже есть точка пересечения между двумя этими линиями действия, а значит линия действия третьей силы, вот эта сила F должна попадать в эту точку. Поэтому я отсюда и получаю, что вот так должна идти у меня сила F и попадать вот сюда. Поэтому на самом деле я не

17:58 случайно изобретил силу F, смотрящую в этом направлении, то есть в направлении этой точки С. Понятно? То есть давайте еще раз напомню, что теорема трех сил гласит, если у нас действует три силы, то линии действия этих трех сил пересекаются в одной точке. Первая линия, вторая линия, вот на пересечении. Значит сюда пойдет линия действия третьей силы. Это классно. Поэтому пишем, что следовательно f-вектор направлен в точку С. Но конечно здесь стоит упомянуть, что именно направление вот сюда, а не сюда. Я это понимаю с

18:44 точки зрения вот этой суммы сил, потому что если у меня сила f-вектор будет смотреть сюда, то никто не будет компенсировать силу n. И получится так, что у меня просто колесо улетит. Вот. То есть, конечно, это здесь этим воспользовался. Отлично. То есть, таким образом мы с вами получили первую, очень главную и крутую связь на то, что сила f направлена вдоль этой линии c. Это классно. Потому что, таким образом, давайте мы с вами поймем с точки зрения связи сил, что у нас будет получаться. То есть теперь давайте я воспользуюсь пунктиком А и начну писать разные формулки. Так, из А у меня будет следовать следующее, что вектор n плюс сила трения F тыр вектор у меня будет все

19:33 это равняться минус силе F. Верно? То есть я просто F перекинул направо. Теперь вспоминаем, что n плюс F тыр еще по-другому обозначается как вектор Q, то есть как вектор силы реакции опоры. потому что n это нормальная составляющая этой силы реакции, а вот q это как раз таки сила реакции опоры. Таким образом я получаю, что вектор q у меня просто будет равен минус f вектор. Но это, кстати, мне в свою очередь будет давать, что q по модулю будет равен f. Но еще при этом, что вектор q у меня смотрит ровно против направления f или же по-другому, мы тогда с вами получаем, что сумма

20:18 сила F и N будет давать мне вектор Q, который будет смотреть также вдоль направления AC. Вот, изображаем. То есть это в данном случае у меня будет вектор Q. Очень классно. Это невероятно крутой результат. Ну и таким образом мы с вами получаем, что вот у нас вектор Q, вектор F, который у меня смотрит сюда. Ну и таким образом я могу на самом деле изобразить векторный треугольник и понять, что у меня будет здесь выражаться с точки зрения геометрии. Так, рисуем вектор N, вектор силы трения. Сюда у меня будет направлен вектор N, а сюда у меня будет направлен вектор

21:06 силы трения. Берем, складываем эти вектора. Ну и таким образом я получаю, что суммарный вектор Q у меня будет смотреть вот сюда, вот он, вектор Q. И при этом, какую связь мы с вами в данном случае имеем с точки зрения углов? Давайте обратим внимание, что уголочек альфа это угол между вектором N, то есть вертикалью, и направлением AC. А это будет угол между вектором N и вектором Q. Значит, я здесь смело рисую, что вот он альфа. Ну или еще по-другому, мы получаем, что уголочек альфа также будет здесь.

21:53 И что тогда мы с вами можем отсюда зафиксировать? То есть получаем, что тогда, во-первых, мы с вами можем записать определение косинуса, из которого получаем, что отношение n ку мне выдает значение для силы n. То есть ку это будет ку на косинус альфа. А во-вторых, мы с вами можем записать тангенс альфа. Что это такое? Это будет отношение противолежащего катета к прилежащему. А противолежащим катетом у нас является длина силы трения. То есть это просто будет f тыр.

22:38 И все это мы с вами делим на n. Ой, как классно. Ой, как волшебно. Таким образом, я получаю, что f тыр у меня выражается как просто n на тангенс альфа. Во. Это два очень крутых результата. Ну и, кстати, здесь будет не лишним отметить, что у нас сам q по модулю равен f. То есть таким образом мы с вами получаем, что n у нас выражается как произведение f на косинус угла альфа. Класс, просто волшебно. Хорошо, то есть таким образом мы с вами смогли осознать все, что происходит с точки зрения динамики для этого кольца. Теперь же давайте попробуем поговорить на тему динамики, связанных с нашим грузом, что в этом случае будем получать.

23:28 Но, кстати, вот здесь единственный момент, который я забыл упомянуть, что, конечно, я рассказал про теорему трех сил, все классно, и мы с вами поняли, как тогда направлен вектор Q и вектора силы F. Но на самом деле можно было бы понять вот эти вот направления еще из другой теоремы, из теоремы о двух силах для невесомого твердого тела. Там как раз таки гласится, что если у вас есть твердое тело, масса которого равна нулю, ну или если это твердое тело, оно легкое, то в этом случае при действии двух сил на наше твердое тело, эти силы лежат на одной линии. И они либо направлены в одну сторону, ну, к друг другу, либо против друг друга. В данном случае они смотрят к друг другу и лежат как раз на одной линии.

24:15 Тоже важный момент. У меня, кстати, есть также отдельный видеоролик на вот такую тюрему о двух силах для легкого твердого тела. Задача с финала России на вот такой треугольник. Можете посмотреть. Ссылочка будет в описании. Ну, а сейчас давайте как раз-таки продолжим тогда рассмотрение нашего грузика. То есть запишем пунктик теперь 3 и рассмотрим груз. почему я возвращаюсь к рассмотрению груза а потому что таким образом за счет рассмотрения чисто обруча мне стало намного понятнее что происходит сила f со звездой и смотрите я знаю что сила f вектор у меня смотрит вдоль вот этого направления отце значит f со звездой также будет смотреть вдоль этого

25:04 направления но в чем главный прикол так в том что у у меня перпендикулярно этому направлению, а значит у меня сила f со звездой будет перпендикулярна скорости у. Это давайте мы попробуем с вами записать. То есть пишем, что из третьего закона Ньютона f со звездой у нас выражается как минус f вектор. Ну а следовательно, следовательно, я получаю, что f со звездой у меня параллельно ac. Ну и из этого условия я понимаю, что в этом случае у меня сила f со звездой вектор, конечно же, будет перпендикулярно вектору скорости u. И это очень-очень-очень важный

25:57 результат, ведь с помощью него я понимаю, что у меня работа этой силы будет равна нулю, потому что у меня всегда, видите, это же произвольный момент времени, значит в каждом момент времени у меня эта сила перпендикулярна скорости. А следовательно, следовательно, мы получаем, что работа нашей силы f со звездой, она равна нулю. Опа! Ну а что тогда? Тогда если вы рассматриваете чисто этот груз, то какие силы действуют? Это сила f звездой, которая является непотенциальной, и сила THTMG, которая является потенциальной. Ну и в этом случае, раз мы с вами получаем, что работа всех непотенциальных сил,

26:42 а это работа только одной этой единственной силы равна нулю, значит у нас выполняется закон сохранения механической энергии для нашего груза верно потому что напомню что у нас закон об изменении механической энергии гласит что изменение механической энергии это есть работа всех непотенциальных сил в данном случае вот она одна непотенциальная сила ее работа равна нулю значит е начальная будет равняться е конечному или же по-другому верен зсе то есть давайте мы напишем что Аверен ZSE то есть E начальная будет равняться E конечному. Но это конечно механическая энергия чисто одного грузика только для одного грузика. Ну

27:28 тогда давайте расписывать какая была механическая энергией в начале какая будет в конце. Но я то напомню, что в начальном интервении у меня грузик располагался здесь, он был здесь. И конечно в начальном интервении у меня кольцо было так, что груз располагался в наивысшей точке и при у меня все было неподвижно. То есть таким образом я получаю, что скорость в начале моего времени равнялась нулю. Ну и вместе с этим кинетическая энергия в начале моего времени равнялась нулю. То есть мы получаем ноль. Дальше теперь давайте запишем потенциальную энергию, которая у нас была в начале моего времени. Для этого конечно же нам нужно выбрать где-то уровень нуля потенциальной энергии. Где бы выбрать уровень нуля потенциальной энергии? Давайте мы с вами возьмем и выберем

28:16 уровень нуля вот здесь вот, чтобы просто было удобнее. Вот здесь будет уровень нуля потенциальной энергии. Укажем, что πmg у нас равняется нулю. Тогда наша задача будет понять, какая высота была относительно этого уровня в начальном времени и какая будет в конечном времени. Ну, в начальном времени все отлично. Вот эта высота, она равна просто диаметру, или же по-другому, как 2r. Это все АЧФ. Поэтому давайте это мы с вами в данном случае запишем, что у нас будет плюс МЖ на 2Р. Что будет как раз и в этот произволь момент времени? Мы получаем, что у нас есть уже не нулевая

29:08 кинетическая энергия. Как мы с вами видим, это будет МУ в квадрате пополам. А потом я добавляю потенциальную энергию вот этого грузика. И в данном случае у нас уже высота будет немного другой. Так, попробуем ее здесь теперь расшифровать. Где бы только здесь зафиксировать. Давайте сюда пойдем. Ну и указываем теперь эту высоту. Чему она будет равна? Обратите внимание, что здесь у нас уголочек с вертикалью, альфа, да? И я могу взять и здесь все это продлить по вертикали до

30:00 По вертикали до нашего нуля. И тогда вот этот отрезочек, вот он, он в свою очередь будет равен вот этому отрезочку, который мы с вами здесь как раз изобразили пунктирной линией. Ну а как этот отрезочек вертикальный можно в свою очередь найти? Да все элементарно. У нас в данном случае есть вот такой прямоугольный треугольник. Вот он. Тин-тин-тин, тин-тин-тин, тин-тин-тин, тин-тин-тин, верно? Вот он, прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза АС и угол альфа при прилежащем катете, как раз к той необходимой нашей высоте H.

30:45 То есть давайте я пока напишу, что здесь будет та самая высота H, и эта высота H у нас как будет измеряться? Как просто произведение качества АС, и вот эта высота H как в свою очередь будет вычисляться? Как просто произведение гипотенузы АС на косинус угла альфа. Попробуем также в данном случае это здесь и записать, потому что H маленькая. Это будет произведение АС на косинус нашего угла альфа. Но мы с вами вспоминаем, что вся эта гипотенуза АС у нас выражается как 2R косинус альфа. То есть таким образом я получаю, что h это будет 2r на косинус в квадрате альфа.

31:35 Вот и все. Значит теперь подставляем сюда нашу конечную потенциальную энергию вида mg на 2r на косинус в квадрате альфа. Класс! Ну и попробуем выразить тогда нашу скорость u. Записываем. В этом случае что у меня выходит? Что mu в квадрате пополам это будет 2mgr минус 2mgr на косинус квадрате альфа. Пишем mu в квадрате пополам это будет 2mgr на здесь у меня коэффициент 1, а здесь косинус квадрат. Значит будет 1 минус косинус в квадрате альфа. А здесь давайте вспомним математику и вспомним, что у нас есть тригонометрическое

32:27 тождество, которое говорит, что синус квадрат плюс косинус квадрат это единица, значит синус квадрат выражается как единица минус косинус квадрат. Вуаля, то есть таким образом у меня здесь на самом деле таится синус в квадрате альфа. Это мега-мега классно. Давайте это мы с вами здесь зафиксируем. Синус в квадрате альфа. Волшебно! Значит, если еще массу m здесь уберу, я получаю, что у в квадрате у меня будет выражаться как 4 жр на синус в квадрате альфа. Таким образом, я нашел связь между нашей скоростью у и вот этим углом альфа, который здесь образует наш отрезок

33:12 АС. Ну и что тогда, кстати, можно сразу понять, что по мере роста этого угла альфа у нас у будет расти. То есть у в каждом момент времени будет расти. Ну и давайте сразу же воспользуемся нашим соотношением для u выраженным через v и подставим сюда. То есть тогда вспоминаем, что u с другой стороны это 2v на косинус альфа, значит будет 4v в квадрате в косинус в квадрате альфа и это будет мне выдавать как 4gr на синус в квадрате альфа. Ага. Ну четверочка говорит до свидания, то есть мы говорим good bye, good bye, а синус квадрат на косинус квадрат, это будет в нашем

33:57 случае тангенс квадрат, а значит записываем, что v маленькая в квадрате у нас выражается как g на r на тангенс квадрате альфа. Ну и давайте как раз-таки подытожим результат из u и v, напишем, что тогда у нас получается, что u у нас выражается как корень из жр, помноженное на 2 синус альфа, а v маленькая у нас будет выражаться как корень из жр, помноженное в свою очередь чисто на тангенс угла альфа.

34:46 И что можно здесь заметить? Что, конечно, при росте угла альфа, по мере роста угла альфа, наша скорость u и наша скорость v маленькая, они будут расти. То есть, еще раз, по мере роста угла альфа, то есть, по мере того, как грузик будет сюда вот вправо двигаться, наша скорость V маленькая и скорость U будет расти. Давайте это мы с вами здесь зафиксируем. То есть, U, V маленькая, растет при угле альфа, который будет расти. Ну и таким образом, если от нас будет требоваться максимальная скорость, например, в момент, когда возникнет проскальзывание, то это значит и будет требоваться та скорость, которая будет у кольца в момент возникновения проскальзывания. Потому что по мере всего этого поворота у нас всегда скорость растет.

35:34 Значит она будет и максимальной в момент, когда у нас наконец-то повернется этот грузик на такой уголочек, что возникнет проскальзывание. Ну и таким образом, что мы с вами получили? Мы получили, во-первых, связь нашей скоростей с углом альфа, получили динамику для кольца. И теперь остается записать динамику для груза и идти анализировать. Анализировать и еще раз анализировать. понимать когда у нас прекратится движение без проскальзывания давайте немного сотру и запишем дальше ну а теперь же как я и говорил давайте рассмотрим динамику именно отдельно этого груза поэтому запишем пятый пунктик в котором укажем что второй закон ньютона для м маленького только

36:20 давайте его просто еще раз зафиксируем и теперь запишем в проекциях на оси окей то есть данном случае я как раз-таки заново изобразил весь этот рисунок, чтобы нам было понятнее. Вот наш грузик, сила F со звездой и сила THMG. И давайте мы с вами возьмем, введем ось, которая будет параллельна скорости u и ось, которая будет идти как раз-таки вдоль вот этого отрезка AC. Вот здесь вот я и обозначу x, y. Что тогда? Тогда в проекции на fx я получаю, что mAx это будет проекция всех сил. Так как мы сами вспомним, что здесь у меня таится уголочек альфа, то проекция силы TH это будет минус, а не в данном случае это будет плюс, mg на косинус альфа.

37:08 Сила F со звездой направлена в свою очередь против Cx, поэтому ее проекция будет отрицательно выражаться как минус F со звездой. И что здесь я бы вам хотел напомнить? Что наше вектороскорение конечно будет смотреть под каким-то непонятным углом. углом. Но можно будет удобно выразить через составляющую нашего вектора ускорения. То есть сказать, что здесь у нас, конечно, будет нормальная составляющая, an-вектор. Из-за этой нормальной составляющей наш вектор скорости поворачивается вниз. А во-вторых, у нас есть тенгенциальная составляющая нашего ускорения, от ao-вектор. Из-за нее в данном случае наш модуль скорость увеличивается. Но я это, на самом деле, смог понять из этого условия. Альфа растет, у растет,

37:58 Значит, у нас увеличивается, значит, АТА у меня обязана смотреть сюда. Ну и что тогда? Тогда проекция нашего ускорения А на УСХ, это будет чисто проекция вектора АН. Значит, я делаю вывод, что у меня получается МАН, выражается как МЖ косинус альфа, минус Ф со звездой. Но Ф со звездой по модулю у нас выражается как Ф. Это следует из третьего закона Ньютона. Великолепно. Тогда давайте попробуем выразить нашу силу Ф. Она будет выражаться как m маленькая на g косинус альфа минус a n. Ну а здесь давайте как раз таки вспомним, как у нас выражается нормальная составляющая нашего ускорения. Верно, a n у нас просто выражается как v в квадрате,

38:46 только в данном случае это будет u в квадрате деленное на радиус кривизны ρ. Ну а следовательно, сила f будет выражаться как m маленькая на g косинус альфа минус u в квадрате деленное на ρ. Где важно отметить, что Ро это радиус кривизны траектории нашего груза. Что такое радиус кривизны? Радиус кривизны это радиус той окружности, по дуге которой мы двигаемся в течение малого промежутка времени. То есть наш грузик здесь двигается по какой-то траектории. Об этом чуть позже скажу, это называется циклоида. И в течение малого промежутка времени мы можем считать, что участок этой циклоида или этой траектории, он является участком дуги окружности.

39:38 С радиусом как раз-таки ρ. И на это отдельно как раз-таки нужно брать и решать эту задачу. Но вы можете мне сказать, Глеб, так ведь ρ это равняется как раз-таки вот этому расстоянию АС. 2R на косин с альфа. Ведь мы же знаем, что это мгновенный центр скоростей, и в данном случае как будто бы эта точка вращается вокруг мгновенного центра скоростей. Все же логично. Но нет, оно не так работает. Я вам напомню, что мгновенный центр скоростей гласит, что у вас скорости всех точек твердого тела распределены так, что как будто тело вращается вокруг этой точки, ну или вокруг этой оси. Как будто. Это важно. И мгновенный центр скоростей будет действительно являться центром кривизны, то есть центром вот этой окружности по дуге, которой мы с вами двигаемся.

40:31 Если мгновенный центр скоростей, хотя бы в течение промежутка времени, какого-то хоть ДТ, он будет неподвижен. Но в нашем случае это не так. Мгновенный центр скоростей в каждом момент времени в разных местах, в разных. И он не является центром кривизны. И вы такие, что, кого? А вот так, да. То есть центр кривизны на самом деле будет располагаться в другом месте. И в данном случае он будет располагаться вот здесь. Если я вот это расстояние хоп проведу, да, вот сюда. То здесь у меня будет располагаться ОА, центр кривизны, траектории для нашей материальной точки. И при этом вот это расстояние ρ, оно будет выражаться как 4 r косинус альфа.

41:20 Здесь давайте я это приведу без вывода, потому что у меня был отдельный видеоролик на то, как нужно искать радиус кривизны у циклоида. Если будет нужно, я его заново перезапишу, но об этом напишите мне тогда в комментариях, окей? Просто в данном случае тогда у нас выйдет видеоролик слишком огромным, и это будет чересчур. Поэтому я решил, что этим фактом давайте мы с вами сразу воспользуемся, а вывод этого факта вы увидите в другом видео, окей? Поехали, тогда как раз и запишем, что важно, ну и в важно запишем следующее, что при движении без проскальзывания при движении обруча без проскальзывания, без проскальзывания, точки обруча движутся по циклоидам

42:23 точки обруча движутся по циклоиде. По циклоиде. И, как было сказано в этом другом видеоролике, ссылочка будет в описании, радиус кривизны циклоида вот в этой области, он будет вычисляться следующим образом. ρ будет выражаться как 2, помноженное на 2r cos α. То есть здесь 2r cos α, здесь 2r cos α, и центр кривизны будет здесь. То есть это будет центр этой

43:10 окружности по дуге которой мы с вами двигаемся в течение маленького промежутка времени. А значит можно это подставить сюда и получить результат, что f у нас будет выражаться как m маленькая на g косинус альфа минус u в квадрате деленное на 4r косинус альфа. Вот так. Ну и теперь наша задача будет немного это упростить, ну а дальше самое главное и самое ключевое это будет анализ. Анализ того, когда и в какой момент времени у нас прекратится движение без проскальзывания. Но для этого, конечно, мне сначала нужно будет все стереть и перейти к анализу. Погнали. Ну что,

43:57 мы с вами все стерли, теперь давайте перейдем к немножко алгебрическим преобразованием нашей формулы и к дальнейшему анализу. Так, что мы тогда с вами получаем? Давайте перейдем к общему и я тогда получаю, что f у меня будет выражаться как m, деленное на 4r косинус альфа, и все это в свою очередь помножается на 4gr косинус в квадрате альфа минус u в квадрате. Здесь будет не лишним поставить, конечно, наше великое u в квадрате, как 4gr на синус в квадрате альфа. И таким образом мы с вами получим связь между силой f и углом альфа. Так, также давайте напишем следствие.

44:45 Получаю, что m будет выражаться как m, маленькая, деленная на 4r, косинус угла альфа. Все это я я помножаю на 4gr косинус в квадрате альфа минус у, ты кто? Это получается 4gr В квадрате альфа минус u, так то это получается 4gr на синус в квадрате альфа. 4gr на синус в квадрате альфа. Здесь давайте теперь 4gr вынесем и таким образом получим косинус квадрат минус синус квадрат. То есть последнее математическое преобразование нам скажет, что m на 4gr, все это деленное на 4r косинус альфа, будет мне выдавать косинус квадрат.

45:34 Давайте мы его с вами перепишем как 1 минус sin2, то есть я таким образом получаю, что здесь будет 1 минус sin2 альфа, а потом минус, вот это как раз синус квадрат, то есть еще минус sin2 альфа. Или же мы суммарно получаем следующий результат. 4 у нас уходит, R у нас уходит и остается как MG деленное на косинус альфа, а здесь будет 1 минус 2 на sin2 альфа. Классный результат, да? Так что давайте, наверное, еще двоечку здесь вынесем, и вообще будет удовольствие. То есть я таким образом получаю, что у меня будет 2 МЖ на косинус угла альфа.

46:19 И здесь будет 1 вторая минус синус в квадрате альфа. Во. То есть таким образом я получил связь между силой F и углом альфа. Это очень классно. Почему? Потому что у вас F напрямую связано с как раз-таки N. И таким образом вы получите связь между силой n и углом альфа. И тогда вы увидите, что на самом деле не зря я это искал. То есть в этом будет некоторый физический смысл. Поэтому здесь давайте запишем, что тогда у нас n, как вы помните, выражалось как произведение f на косинус альфа. Помните, я это именно здесь как раз и писал. То есть у меня получилось, что n это есть q на косинус альфа, а так как q равняется f, значит будет f на косинус альфа.

47:07 то видим здесь косинус, вот f. Берем, домножаем на косинус, таким образом вот эта штучка у нас уходит. То есть мы получаем, что n у нас чисто будет выражаться как 2м маленькая g на 1 минус синус в квадрате альфа. Только, конечно, здесь не только единица, здесь 1 вторая. Это давайте как раз-таки здесь и припишем. То есть я получаю, что n это будет 2м g на 1 вторую минус синус в квадрате альфа. Классно? Даже мне кажется, очень классно. И какие тогда здесь можно будет делать итоги? И какие вообще анализы? Смотрите. От вас требуется понять максимальную скорость центра вашего кольца в момент, когда у нас прекращается движение без проскальзывания.

47:56 Заметили? Прекращается движение без проскальзывания. Когда это может прекратиться? Ну, конечно, во-первых, когда возникнет проскальзывание. То есть когда у вас вот это неравенство как f тыр меньше или равняется мин н, оно станет просто равенством. А есть вторая ситуация, когда у вас тело оторвется. То есть заметьте, по мере роста альфа эта штука у вас уменьшается. И таким образом вы можете достигнуть того, чтобы эта вещь равнялась нулю. То есть того, чтобы н стало равным нулю. То есть таким образом у вас есть два случая того, когда у вас прекращается движение без проскальзывания. Первое, возникает проскальзывание. Второе, это ваше кольцо отрывается.

48:42 И вот тут возникает вопрос, а что из этого начнется раньше? То есть у вас раньше тело оторвется от поверхности или же раньше у вас возникнет проскальзывание? Что здесь делать? Чем заниматься? И вот как раз именно сейчас вот в этом и будет вся соль. То есть сейчас мы с вами будем заниматься вот этим анализом, что будет раньше, понятно? Поэтому давайте мы с вами будем писать. Тогда пишем шестой пунктик и давайте как раз все это формализуем. То есть, во-первых, напишем, когда прекращается движение без проскальзывания, без проскальзывания.

49:39 Пишем тогда случай один, случай первый. Возникает проскальзывание. То есть это первая ситуация, когда у вас прекращаются движения без проскальзывания. Возникает проскальзывание. А второй случай это обруч отрывается. Но что из этого раньше. Что будет раньше из этого раньше? То есть что из этого произойдет первым? В этом

50:43 главный вопрос. И вот здесь наша задача будет понять, в каких ситуациях у нас возникает проскатывание, в каких ситуациях возникает отрыв, и тогда мы с вами сможем понять, а при каких соотношениях может быть между этими ситуациями мы сможем понять, что у нас будет возникать раньше. и в основном это соотношение будет завязываться на этом угле альфа окей так что давайте как раз этим и займемся но сначала я возьму вот эту часть сотру и тогда перейдем к этой финальной части разбора ну что мы все теперь подтерли и давайте тогда поймем при каких углах альфа у нас с вами произойдет отрыв и запишем наш седьмой пунктик так когда будет отрыв когда

51:28 будет отрыв здесь удобнее всего идти от обратного то есть давайте мы с вами найдем все такие углы альфа при которых у нас нет отрыва нет отрыва при n большим 0 верно то есть когда у нас нормальная составляющая силы реакции опора по модуле она не нулевая это и будет обозначать что наше кольцо давит на эту поверхность то есть у нас есть не нулевая сила взаимодействия между этой поверхностью и кольцом. Следовательно, мы получаем, что вот это выражение как 2mg на 1,2 минус синус в квадрате

52:17 альфа должно быть положительным. То есть я получаю, что 2mg на 1,2 минус синус в квадрате альфа должно быть больше нуля. А это будет обозначать, что вот эта подскобочная часть должна быть положительно, или же по-другому, как одна вторая должна быть больше, чем синус в квадрате альфа. То есть синус угла вот этого альфа при движении без отрыва, синус квадрата должен быть меньше, чем одна вторая. Или же сам синус альфа, он должен быть меньше, чем один деленный на корень с двух. Но тогда мы с вами понимаем, что сам по себе альфа должен быть меньше, чем 45 градусов,

53:04 Потому что синус альфа, здесь я не подписал, вот, синус альфа будет равен 1 и 2, если альфа будет равен 45. То есть таким образом я получаю, что альфа у меня должен быть меньше, чем 45, чтобы мы с вами не отрывались от этой поверхности. Верно? Верно. То есть это мы с вами здесь как раз-таки указали. Классно. И вот эти 45 градусов мы можем обозначить как угол отрыва, то есть альфа отрыв. То есть когда мы с вами достигаем уголочек в 45 градусов, у нас происходит отрыв. Логично? Логично. Прекрасно. Теперь давайте попробуем понять, а при каких альфа у нас возникает проскальзывание. Поэтому пишем восьмой пунктик и пишем, когда будет проскальзывание.

53:53 Или просто давайте, когда проскальзывание.

53:59 Здесь аналогично, удобнее всего идти от обратного. То есть давайте сначала поймем, при каких углах альфа у нас нет проскальзывания. То есть у нас движение без проскальзывания. Так, движения без проскальзывания, без проскальзывания, Скальзывание. Выполнение следующего неравенства. f Теперь, как вы помните, у нас должно быть меньше либо равняться, чем mi на n. То есть, в этом случае тогда у нас никакого проскальзывания нет, верно? То есть когда у вас f Aquí меньше либо равняться или просто меньше, чем mi на n, то в нашем случае сила трения, она будет являться силой трения покоя.

54:45 Это обозначает, что никакого проскальзывания в данном случае нет. То есть это неравенство должно быть и верным, чтобы у нас было движение беспросказовое. Ну и тогда давайте как раз сюда подставим выражение для силы трения. Мы его с вами помним. Оно выражалось как n тангенс альфа. То есть мы получаем, что n тангенс альфа должно быть меньше либо равное, чем мю на n. Ну что мы тогда с вами видим? Что мю у нас должен быть больше либо равен, чем тангенс альфа, или же я отсюда получаю, что при альфа меньших или меньше либо равных, чем Arctangens m, при таких альфа, давайте меньших либо равные, при таких

55:31 альфа, у нас проскальзывания нет, при таких альфа нет проскальзывания. Значит, в пограничном случае у нас проскальзывания возникает при альфа равном, чем Arctangens m, потому что когда α равен arctangens μ, там просто пограничная ситуация, там может быть ситуация, когда есть проскальзывание и нет проскальзывания. Но вот как раз-таки будем считать, что возникает проскальзывание при α равном arctangens μ. То есть, следовательно, α проскальзывание, то есть это угол, с которого начинается проскальзывание, это будет arctangens μ. Или же по-другому, как тангенс α проскальзывание у нас будет выражаться μ. Ну и таким образом мы с вами поняли, чему равен угол отрыва, то есть при каком угле у вас происходит отрыв этого кольца, это будет угол 45 градусов, и мы с вами поняли, при каком угле у вас возникает проскальзывание.

56:29 То есть в этом случае у вас альфа-проск будет выражаться как артангенс мю, или по-другому как тангенс альфа-проск равен мю. И на самом деле теперь расписав это, мы с вами сможем понять, а что будет раньше, то есть у нас с вами раньше будет проскальзывание или же отрыв, потому что это пока что самый главный вопрос, что из этого будет раньше. Ну а для этого мне нужно будет некоторую часть стереть и продолжить наш анализ. Ну что, теперь расписав это все, давайте мы с вами проанализируем, что будет раньше, отрыв или проскальзывание. Для этого запишем девятый пунктик и напомню, что n у нас выражается как 2mg на 1 вторую минус синус в квадрате альфа.

57:16 И теперь давайте попробуем изобразить график в зависимости n от альфа. Ну, конечно, изобразим это качественно. Получаем, вот у нас будет n, вот у нас будет уголочек альфа. И мы с вами понимаем, что если альфа равен нулю, то n у нас просто выражается как mg. синус будет равен нулю, 1 втраве на 2 МЖ это будет чисто МЖ а потом по мере роста альфа синус растет и так мы доходим до нуля вот то есть таким образом мы с вами здесь получаем как раз тот самый угол отрыва альфа отрыв и мы поняли, что он выражается как 45 градусов то есть в данном случае эта штука у нас равна 45 градусов

58:01 и вот теперь как раз таки главный анализ он заключается в следующем это сказать, что у вас есть две ситуации Первая ситуация Это когда проскальзывание возникнет раньше То есть альфа проскальзывание Как я его назвал? Альфа проск Будет здесь Тогда в этом случае, как вы видите, правда У вас проскальзывание возникнет раньше То есть вы начнете проскальзывать раньше, чем произойдет отрыв И значит именно в этот момент времени Вы будете искать ту самую скорость v Когда у вас прекращается движение без проскальзывания Потому что возникает сначала проскальзывание

58:46 Давайте здесь запишем, что это как бы первый случай, первая ситуация. А есть второй случай. Второй случай следующий. Это здесь. То есть альфа-проск может оказаться здесь. Это что за ситуация? Это такая ситуация, что у вас в действительности раньше начнется отрыв. То есть вы такие думаете, ага, ну у меня точно начнется проскальзывание, но нет, оно просто не начнется, потому что раньше у вас произойдет отрыв. Видим? Вот мы дын и оторвемся. Все. И оторвемся, поэтому до этого момента мы даже не дойдем. И это будет вторая ситуация. И как раз в этих двух ситуациях мы с вами будем искать ту самую нашу скорость центра обруча.

59:33 Первая еще раз ситуация, это когда у вас сначала произойдет проскальзывание. А вторая ситуация, это когда у вас сначала произойдет отрыв. Это даже давайте попробуем здесь прописать. То есть у нас как бы ситуация, либо случай один.

59:51 Это когда альфа проскальзывание у нас меньше, чем альфа отрыв. Альфа проскальзывание меньше, чем альфа отрыв В этом случае у нас проскальзывание будет раньше, чем отрыв. Давайте тогда попробуем найти скорость в этом первом случае. Давайте еще при этом попробуем это как-то математически оформить.

1:00:39 То есть, что в этом случае получается? Альфа-проскальзывание меньше, чем альфа-отрыв. Это что обозначает? проскальзывание это arctangens mu, это должно быть меньше чем 45 градусов, потому что альфа отрыв, как вы помните, 45 градусов. А тогда вы получаете, что если на все это вы навесите тангенс, то у вас выходит, что mu будет меньше, чем тангенс 45 градусов. Но здесь давайте вспомним, что тангенс 45 равен 1, значит mu должно быть меньше, чем 1. То есть у вас проскальзывание возникнет раньше, чем отрыв, если μ будет меньше, чем единица. Но в этом случае давайте как раз и найдем значение скорости вашего центра кольца. Получаем, что v это будет как корень sgr, помноженное на что?

1:01:32 Помноженное, как вы помните, на тангенс, угла в данном случае, проскальзывание, потому что раньше возникнет проскальзывание. То есть у вас движение без проскальзывания начнется в этот момент времени, Потому что мы рассматриваем первый случай. То есть таким образом я получаю скорость центра кольца в момент, когда у вас прекращается движение без проскальзывания. И оно прекращается в момент, когда возникает проскальзывание. Потому что оно раньше, чем отрыв. Вот как раз и та самая скорость. Ну вот берем, подставляем, получаем, что тут будет корень жр. На. Тангенс угла проскальзывания. Потому что у вас сначала начнется проскальзывание. Иначе при этом угле у вас прекращается движение без проскальзывания. Тангенс альф проскальзывания равен мю.

1:02:18 Это мы с вами помним отсюда. Значит, я получаю, что это корень жер помноженный на мёд. А теперь давайте запишем ситуацию 2 или случай 2. Так, случай 2. Если у вас произойдет так, что альфа-отрыв будет сам по себе меньше, чем альфа-проскальзывание. Это будет обозначать, что по мере вот этого поворота у вас раньше возникнет отрыв. А значит, движение без проскальзывания прекратится в момент отрыва. То есть это будет ваша вторая ситуация. Давайте, наверное, чтобы было лучше понятно, про что я веду речь, вот так обозначу, наверное.

1:03:09 Так, получаем альфа-отрив меньше, чем альфа-проскальзывание. Тогда давайте мы запишем, что отрив раньше, чем проскальзывание.

1:03:32 Тогда сначала математически это характеризуем. Получается альфа-отрив это 45 градусов. Он будет меньше, чем альф-проскальзывание. Это арктангенс мю. Ну или отсюда, если тангенсы навешу, у меня получается, что единица, то есть тангенс 45, будет меньше, чем μ Вот мы получаем, что μ у нас должно быть больше, чем единица Но это на самом деле логично, то есть если μ меньше, чем единица, то у нас просказывание раньше Если μ больше, чем единица, то отрыв будет раньше А μ равен единица, это просто пограничная ситуация, где у вас одновременно происходит и отрыв, и прекращение, ну и возникновение просказывания Так, ну и тогда пишем, что скорость в маленькой нашего центра кольца В момент в этом случае возникновения сначала отрыва

1:04:19 Потому что именно в этот момент у вас прекращается движение без проскальзывания Будет выражаться как g на r Помноженное на тангенс альфа отрыва Но альфа отрыв равен 45 градусам Значит тангенс 45 будет равен единице Или по-другому мы получаем просто g на r Вот и все Поэтому таким образом давайте мы с вами здесь подпишем ответ Ответ Получается, если у вас мю меньше, чем единица В этом случае у вас проскальзывание возникнет раньше, чем отрыв, а значит движение без проскальзывания прекратится при возникновении проскальзывания. А тогда эта скорость, Vmax, будет выражаться как μ на корень жр.

1:05:13 А если у вас μ будет больше, чем единиц, то есть в этом случае у вас отрыв произойдет раньше, чем проскальзывание, а значит у вас движение без проскальзывания прекратится в момент отрыва, то ваше VMAX будет выражаться как просто корень GR. Вуаля. Вот такой мы с вами получаем в данном случае результат. Мне кажется, очень классно. Просто безумно круто. И при этом, кстати, мы с вами видим, что μ у нас меньше единиц. То есть это VMAX будет меньше, чем корень GR. Но это и получается, что по мере, конечно, увеличения угла альфа у нас скорость будет расти. Ну вот и все. То есть таким образом мы с вами полностью зарешали эту задачу. Заодно ссылочка на мой мощный телеграм-канал по Олимпиадам будет в описании.

1:05:59 Переходи, подписывайся, будет много классных и крутых плюшек для тебя. А второе, да-да-да, интенсив, интенсив, интенсив, мы будем мощно, интенсивно готовиться к Олимпиадам. Так что ссылочка на регистрацию будет в описании. Присоединяйся, мы с тобой интенсивно и мощно все повторим и заботаем перед Олимпиадами. До встречи!