Занятие 1. Векторное произведение, кривые второго порядка — Математика в Физике 2026

0:00 Запуск трансляции, мы ждем, мы ждем этого начала. Вы в эфире! Всем большой-большой привет! С вами Глеб Орел, олимпиадный препод по физике. Напишите мне плюсики-семерочки, если меня видно и слышно. И давайте мы с вами приступим к нашему очередному прекрасному вебинару, на котором давайте мы с вами начнем, знаете что? Ой, мы с вами начнем немножечко говорить про математику и физики. Мне кажется, в последнее время это начало хайпить у ребят, и многие начали это использовать, как мы это можем заметить, математику и физике. Да и вообще, в целом, в последнее время очень часто многие говорят про математику и физику, что типа, ой, прошу вас, прошу вас, расскажите нам математику использующейся физики.

0:57 Как мы берем эти производные, все необходимое по интегралам, все необходимое по векторному произведению, чтобы все это было в каком-то одном едином месте. Потому что иначе мы типа не понимаем. Поэтому в данной ситуации я решил тоже предпринять некое решение по созданию такого курса математика и физики. Сразу отмечу, какого он будет уровня и что мы в нем будем проходить. Этот курс, математика и физика, он тоже абсолютно бесплатный Все стримы будут проводиться на ютубе У меня также на платформе, кто у меня учится на курсах Им тоже все это будет доступно в Канископе

1:42 Все это вы сможете получить в бесплатном доступе Смотрите, получаете удовольствие и так далее Какие будут темы? Всего занятий я примерно рассчитал где-то 7 Так, планшет, ты что? Ты что не пишешь? Во, все, он пишет И запланировано следующее. У нас с вами сначала, я хочу, чтобы мы с вами обсудили некие элементы аналитической геометрии.

2:18 Затем посмотрели бы, что такое производная формула Тейлора, приближенные вычисления. Затем познакомились с интегралом, что такое определенный интеграл, как его считать. Все основные методы мышления определенного интеграла. Потом кривилинный интеграл первого рода, кривилинный интеграл второго рода, все это на плоскости. Затем, я очень хочу с вами обсудить вместе с этим функции многих переменных. Меня просили, я не знаю зачем, а нет, знаю зачем, да, функции многих переменных. Некие элементы теории поля, а именно ротари, дивергенции, кратные интегралы

3:06 В основном сначала ротари, дивергенции, потом как раз и кратные интегралы Кратные интегралы первого рода, второго рода, уже в 3D Для чего это? Для того, чтобы, например, некоторым было проще воспринимать тот же самый электромагнетизм Чтобы уже начали знакомиться с этим тяжелым мотопаратом А вместе с этим еще комплексные числа и элементы теории дифференциальных уравнений Если хватит времени и будет у вас желание, может быть, обсудим еще элементы уравнений математической физики И там для этого нам еще потребуются ряды фурье, но это совсем прям если у вас будет лютое желание Если эти стримы кому-то сильно как-то понадобятся, не знаю, но посмотрим То есть в целом план таков, что этот курс будет рассчитан для тех, кто очень хочет углубиться

3:59 Прям сильно углубиться в математику, физике И для тех, кто вот всегда спрашивает, типа, ой, а где мне прям заботать вот это? Ну вот если боишься и хочешь как-то разобраться с ротерами, дивергенциями, вот этим всем Я считаю, этот курс будет для тебя То есть, так-то, если быть правдивым перед вами, в реальности, в школьной физике, отдельного изучения, я считаю, здесь этого не требует. То есть, я считаю, что это все можно и нужно проходить вместе с физикой, параллельно задачам, и как раз-таки на них этому учиться. Но возникает желание всегда, конечно, отдельно что-то изучить, а может быть всегда что-то сверх этого изучить, и вот это будет для вас.

4:45 В особенности я уверен, что для всероссников это подойдет. Межнарники, я не знаю, вы смотрите меня или нет. Может быть, я уверен, вы там в отдельном мире живете, поэтому не готов говорить прямо на межнар. Но для всероссников точно подойдет, для тех, кто, может быть, МОЖ хочет. И здесь и то все равно этот курс будет рассчитан выше этого уровня, выше СОШа, выше МОЖа. Но зато вам станут понятны очень многие моменты физики, которые, бывает, используются как в общей физике в ВУЗе, так и в олимпиадной физике. То есть, например, механика твердого тела точно вам станет проще осознаваться, а именно через векторное произведение вы лучше начнете это воспринимать.

5:33 Затем электромагнетизм, волновая оптика. Вот это прям must-have. Я уверен, что здесь я смогу вам помочь в плане восприятия этого материала, так как вас познакомили с этим некоторым математическим аппаратом для этих тем. Вот. Это что если про этот курс. Попробуем его провести. Еще никогда эти темы не рассказывал. Узнаем, что будет. Уверен, что если мне как-то что-то не понравится, я буду рад еще раз это перезаписать, Чтобы было еще более понятнее, еще более красиво и так далее Поэтому здесь сразу ориентируемся, что я готов учиться, готов улучшать свой навык рассказа Таких тем уже с высшей математики как бы вуза

6:21 Преподнося, может быть, его в каком-то другом формате Так что будем пробовать, я только за, чтобы экспериментировать, чтобы пробовать и помогать вам и вместе с вами расти Вот, если что, отмечу У меня не будет некоторых фундаментальных вещей Именно как, может быть, решение системы равней Либо тригонометрия, либо планиметрия То есть я буду сразу идти по некоторым моментам Именно из высшей математики И здесь, если у кого-то прям полный ноль по математике и для физики А именно, вот вы не знаете, что такое вектор Хотя в основном я вектор всегда на своих курсах рассказываю Но если у вас, например, ступор в поиске решений для системы каких-то уравнений элементарных,

7:08 то есть я не говорю про решения методом Крамера, или же тригонометрию хотите познать недавно, как я увидел, есть курс у Алексея Свинцинского, можете у него тоже посмотреть. А мы давайте тогда приступать. Попробуем сегодня начать с элементов аналитической геометрии. Напишите мне по десятипальной шкале, насколько вы готовы стартовать. Расписание курса выложим, я думаю, где-то в течение трех дней. Оно примерно намечено. Если никаких там сбоев не планируется, то в целом оно должно так и пройти. Давайте. Элементы аналитической геометрии.

7:53 Элементы аналитической геометрии. Аналитической геометрии.

8:06 Так, дайте-ка я себе открою этот... Как тебя зовут-то? Я уже забыл. Как тебя зовут? Чат. О, тебя зовут Чат. О, Чат. Ха, я все это время не видел Чат просто. Я просто так болтал. Так, привет, а где в гему, когда перевел? Не-не-не-не-не, ребят. Я больше скажу. У меня на ФОПМИ не было дифференциальной геометрии. Я ее пока что не изучал. Так, привет, а запись будет? Будет, все это будет. Так, эквивалентные замены. Не-не-не, я так жестко не буду. Ну, нифига, я думаю, этот курс будет в далеком будущем. Я хочу пробовать, да, вот в плане курса в далеком будущем я хочу пробовать.

8:53 Будет выходить классно, я буду рад. Если что-то как-то мне не так пойдет, я перезапишу. Ну, вот, я хотел бы так. Так, будут вычеты? Нет, не будет. Варитационное исчисление спецфорта? Не будет. Я же говорю, это немножечко для олимпиадной физики. Вот, то есть некоторым заделом на олимпиадную физику. И то, что встречается в теории под олимпиадную физику, там жалко, там вариационных исчислений, спецфункций или обобщенных функций там нет. Вот, если вы хотите что-то прям под матан, прям такой серьезный матан именно для вуза, я могу попробовать. Я недавно ГОС дал, у меня отлично, все на отлично, могу попробовать. Но это только если вы сильно-сильно-сильно начнете просить.

9:38 Вот. Я потому что пока что не знаю, насколько это вам нужно, не нужно. Я хочу так, сначала попробовать для олимпиадной физики. Так. Пу-пу-пум. Что-то с интегрированием было. Что значит было? Не знаю. Спецфункции на Всероссе третьей задачи 25-го года были. Кстати, я не смотрел последние года. Уравнение в частных производных на Всероссе, честно, кстати, сейчас не знаю. Но я уверен, что вы должны как бы знать для некоторых уравнений просто некие базовые, может быть, решения. Но именно прям знать, как решать через метод разделения переменных, либо с помощью метода Фурье,

10:23 такие, ой, давай ряд Фурье подставлять и искать решение. Ну, навряд ли, навряд ли. А так могу что-то рассказать для элементов уравнений математической физики. То есть рассказать в целом, как решается уравнение струны, уравнение теплопроводности, могу попробовать рассказать. То есть такое я хотел бы, но это если вот эти сейчас 7 занятий как-то успешно более-менее пройдут и вы сильно-сильно захотите. Посмотрим. Пока что нет, то есть если требуется что-то серьезное, если вы сильно-сильно попросите, то можно попробовать

11:13 А пока так, для общего расчета Так поехали, у нас 12 минут прошло, так что давайте начинать, а то за 12 минут я еще даже не начал Давайте мы с вами поговорим про элементы аналитической геометрии Пробегусь быстро, то есть не буду прям все-все-все подробно рассказывать Я буду делать акцент на какие-то определенные вещи, и вот посмотрим, как такое подходит нам под формат или нет. Если вы захотите еще подробнее, прям углубиться в эти темы, то можете написать в комментариях, хочу еще больше, еще больше, еще больше. Окей, я подумаю, может быть и вправду я сделаю больше материала по этой теме, я буду экспериментировать.

11:58 Поехали. Так сказать, это, знаете, введение в высшую математику для школьников. Так, элементы аналитической геометрии, с чего мы будем начинать? Давайте начнем со скалярного произведения В целом наш план на сегодня это скалярное произведение, векторное произведение Это, конечно, я уже рассказывал, но давайте еще раз Как раз-таки через векторное произведение мы с вами еще раз познакомимся с детерминатом матрицы 3х3 Этого нам выше крышка хватит Дальше про базис я рассказывать не буду, оно нам незачем Я не думаю, что вам нужно пока мучить голову с линейной зависимостью, либо не линейной зависимостью, ой, с линейной зависимостью, либо линейной независимостью. Думаю, об этом мы с вами поговорим на теории дифференциальных уравнений.

12:46 Там это нам уже сильно как пригодится. На данный момент пока мы можем про это забыть. Также на сегодня это кривые второго порядка и разговоры про расстояние. А именно, какое расстояние от плоскости до точки, либо расстояние между прямыми Попробуем это как-то уместить в часа два И посмотрим, что будет Я буду пробовать, поэтому не судите строго Рассказывайте темы, некоторые из них впервые Так что будем экспериментировать Пишите по стубальной шкале, насколько готовы и поехали Сначала давайте начнем со скалярного произведения Я здесь пробегусь немножечко побыстрее, потому что есть отдельный у меня вебинар по скалярному векторному произведению.

13:32 Там я максимально подробненько про все это рассказывал. Прям one love, mad love. И причем у доски это все делал. Можете загуглить, как скалярное векторное произведение или просто векторное произведение Глебарел и посмотреть. Так, скалярное произведение. Произведение. Можешь, пожалуйста, подсказать учебники. Я могу просто подсказать по уравнению математической физики. Можешь посмотреть вообще Константину. У него прям огромный такой, ух, прям максимально общий учебник. Вот, так что там можешь глянуть. Так, скалярные, да, скалярное произведение. Поехали.

14:21 Бум, бум, бум. Так, что у нас там? 16, 45, но давайте попробуем как-то за 10 минут что-то основное уложить. первое что хотелось бы сказать да запись будет у нас с вами ребят а запись будет если наберется 50 лайков вот такое вот условия не хитрая так вот сначала давайте проговорим про определение наше определение скалярного произведения будет следующим что ребят если у вас есть два вектора Допустим, вот есть вектор А.

15:02 Есть вектор b. С вашего позволения, не буду тогда отдельно рассказывать, что это такое. Если по-взрослому элемент линейного пространства, если так, то это направленный отрезок. Такого тогда хватит нам. Есть два вектора. Мы будем с вами определять скалярное произведение, а именно некой операции как произведение двух векторов мы будем сопоставлять числом. У скалярного произведения, конечно, есть определенные правила. То есть, чтобы данную операцию называть скалерным произведением в Гильбертовом пространстве, мы должны задать несколько правил, и данная операция должна задаваться этими правилами, и если это выполнено, то она является скалерным произведением. Давайте пока без этого, просто наше базовое скалярное произведение, что А на Б, будем записывать это так, выражается как произведение мудрой этих векторов на косинус угла между ними.

16:03 Все, это наше базовое школьное скалярное произведение, мы к нему должны привыкнуть. В чем его смысл? В том, что я беру произведение двух длин наших векторов, то есть длина этого вектора плюс длина, умноженная на длину этого вектора, под модулем вектора я обозначаю длину, и умножаю на косинус угла между этими векторами. Обозначать я буду в скобочках и запятая между ними, договорились? В целом вы можете, конечно, еще обозначать как A вектор, точечка B вектор, как вам удобно, мне удобнее так. В чем плюс калярного произведения в том, что все основные свойства, которые вы знаете для обычного вашего произведения действительных чисел, здесь все то же самое выполняется. Выполняется линейность, дистрибутивность, коммутация, все-все-все это выполнено.

16:53 А именно, чтобы продемонстрировать это в виде какого-то одного выражения, сразу давайте напишем, наверное, так. Если я ищу скалярное произведение αa вектор плюс βb вектор на вектор c, то вы смело всегда можете записывать это сразу так. a вектор на c вектор плюс β на b вектор c вектор. Все. То есть этим выражением я сразу хочу продемонстрировать, что вы можете делать любые операции с данным произведением. Отлично. Что хотелось бы еще отметить, что здесь φ это угол между векторами. Это меньшее из двух углов, который образуется между векторами, если вы берете и соединяете в начальной точке эти два вектора a и b.

17:51 То есть хотел бы сразу здесь обозначить некие два пунктика, то есть такие a, два примерчика. То есть, если, допустим, у вас есть вот вектор А, и вам бахнули, допустим, вот так вот, вектор B, то угол между векторами, это будет не вот этот угол, не А, а немножечко другой. То есть, для этого вам нужно будет, как бы в идеале, все это в одну точку соединить и получить, что здесь А вектор, здесь B вектор, и тогда угол между векторами будет вот он. Это очень важно.

18:36 То есть вам важно будет ваши вектора начинать из одной точки, а именно в одной точке должно быть начало ваших векторов, и тогда здесь меньше из этих двух углов это и будет угол между векторами, который будет использоваться в определении нашего скалярного произведения. Отлично. Но что следует из этой формулы? Из этой формулы будет появляться следующее, что вы тогда можете находить угол между векторами cos φ. Косинус φ в свою очередь будет находиться как а на b вектор И все это деленное как раз на длины векторов а на b Так что можете это тоже использовать для поиска углов между какими-то двумя векторами

19:22 Оно нам еще пригодится Здесь кстати в негласном можно получить как бы так сказать неравенство как Шубанюковского Но оно нам здесь сильно как-то не нужно Но чтобы переходить дальше нам потребуются координатки поэтому давайте напишу второе, это немножечко разговор про координаты, координаты и система координат. В идеале здесь поговорить, что такое базис, как мы можем построить базис, но давайте вкратце, давайте мы будем жить в нашем школьном мире, в котором мы с вами привыкли,

20:08 что мы с вами работаем в прямоугольной декартовой системе координат, или по-другому как ПДСК. Так, будем жить в нашем курсе в прямоугольной декартовой системе координат. Потому что я считаю, если уже говорить про разные системы координат, или как бы так сказать, про то, что у нас будет образовывать наши базицы, то мы тогда уже с вами должны делать целый полноценный курс по аналитической геометрии.

20:54 Так, x, y, z, o. И к чему мы с вами привыкли Что вот у вас есть Три взаимно перпендикулярные оси И у нас здесь будет водиться Три вектора А именно, можно водить как ИЖК, как вам удобно Либо можно водить, например, Е1, Е2, Е3 Давайте для тех, кому привычнее Я напишу тогда ИЖК На тему почерка, да, извиняюсь В последнее время приходилось в ВУЗе Очень много писать Вот, аж пальцы на самом деле не мели, и после чего, не знаю, как-то почерк сильно ухудшился, стало очень тяжело писать.

21:45 Ну, я думаю, потихонечку почерк вернется. Так, G-вектор и K-вектор. К этим векторам будем относиться так же, как и вы начали относиться в девятом классе. Это наш базис, причем орто-нормированный базис. Орто-нормированный базис Нормированный Базис ИЖК Базис это значит, что данные три вектора у нас Линии независимы

22:30 И при этом Любой вектор В нашем трехмерном пространстве Будет выражаться через эти три вектора Это значит базис Орто-нормированный Что это значит? Орто это значит, что все эти три вектора Они перпендикулярны А нормированный, это значит, что длины всех этих векторов равны единице. Я это давайте попробую показать. Так, ну вкратце как раз напишу, то есть, что значит базис, на самом деле, это означает, что I, G, K, они линии независимы. Здесь попробуйте про это немножечко, ну, мимо ушей это оставить. То есть, для тех, кто знает, окей. Для тех, кто не знает, ну, окей. Просто будете знать, что это как бы линии независимы набор векторов.

23:18 Причем каждый вектор в нашем пространстве выражается через них И каждый вектор в R3, в нашем трехмерном пространстве, выражается через них Для школьников можно это просто пропустить Ну так, для полноты картины я это написал Потом orto, что это значит? Это означает, что все эти вектора у нас перпендикулярны друг другу И g вектор у нас перпендикулярен вектору k А нормированный, это означает, что длина каждого вектора у нас равна единице.

24:23 Так к этому будем относиться.

24:29 Да, это мерное пространство, в данной ситуации это трехмерное пространство. Но в целом на эти фразы вы можете не обращать внимания. То есть самое главное, что для себя запомните, это орто и нормированный. Это то, что скрывалось всегда на самом деле за этими тремя векторами. И что мы с вами знаем? Мы знаем, что каждый вектор, какой бы то ни было, который вы будете рассматривать в вашем пространстве, например, вектор А, он будет иметь координаты, как раз таки связанные с этими тремя векторами. То есть вектор А, он будет выражаться как АХИ вектор плюс АУЖ вектор и плюс АЗК вектор, Где данные чиселки будут как раз обозначать координаты вашего вектора А в этом ортонормированном базисе

25:26 В идеале как бы здесь написать еще x1, x2, x3, либо ax, y, z Здесь без разницы, потому что так как у нас ПДСК, то в данной ситуации проекции на эти вектора будут совпадать с координатами Так, бывает еще как раз запись Какая? Да, можно записывать там x1 То есть без разницы, как вы записываете координат То есть вот получаете ax, ay, az Это координат нашего вектора Ax, ay, az Координаты нашего вектора Координаты вектора Так, это сюда, вектора А

26:14 Так, и что тогда примечательного Мы можем с вами получить? Тогда давайте попробуем Записать скалярное произведение через координаты И посмотреть, а что же такое будет?

26:33 Это векторные проекции. Вот смотрите. Да, и давайте третье. Попробуем тогда посмотреть на скалярное произведение в некотором другом виде. То есть, допустим, у вас есть вектор А, который как раз-таки задается набором чисел АХ, АЮ, АЗ. То есть это будет АХ и вектор плюс АЮ, G вектор плюс АЗ, К вектор. И вектор b, который будет выражаться как bx и вектор, плюс byg вектор, плюс bz к вектор Давайте перемножим, посмотрим что будет

27:19 Тогда скалярное произведение a на b нам выдаст Здесь нам придется немножечко просто это все переписывать Я предлагаю воспользоваться магией планшета Бахну сюда Потом запятая, бахнуть вектор b Запятая И раскрывать скобочки Что тогда получаю? Тогда на самом деле мне придется просто все это поскобочно записать И учитывая, что ax, bx это просто будут мои чиселки Что тогда будет?

28:05 Ax, bx на скалярное произведение i на i-вектор Плюс, какой ужас тут Тут будет много Ax, by, i-вектор на g-вектор плюс ax, bz и вектор на k-вектор так, плюс ух ты да, тут многовато ну давайте попробуем, наверное, так записать ay, g-вектор далее я беру умножение на g-вектор

28:51 давайте так перепишу я первой частью вот это сюда переставим Потому что у нас впереди еще много всего И, как я уже сказал, здесь немножечко я побыстрее буду это рассказывать Так как впереди у нас с вами самые важные части таятся А, Z, K-вектор И еще вот эта часть То есть, что мы с вами получаем? Я сначала расписал произведение этой части со всеми тремя слагаемыми Вот, раз, два, три А далее я предлагаю записать AYG вектор, то есть второе слагаемое, умноженное сразу на 3

29:37 И AZK вектор, умноженное сразу на 3 последнего вектора Да, но как я уже сказал, я не буду пока школьников сильно мучить И матрицы граммы им незачем Так вот, что мы тогда с вами получаем? Так вот, что мы тогда с вами получаем? Давайте посмотрим на первые три слага, потому что в оставшихся выражениях будет все аналогично. Вот смотрите, в этом выражении мы видим, что у нас а на b это будет а на b на косинус фи. А что тогда интересного происходит? А тогда, оказывается, есть очень важное такое свойство, которое я здесь запишу пунктиком b.

30:24 Важно. Ага, ты немного съехал. Важно следующее, что оказывается у вас скалярное произведение а на b Будет равняться нулю тогда и только тогда, когда выполнено или, или, или То есть или, конечно, вектор а там равен нулю, то есть это будет нулевой вектор Или вектор b у нас является нулевым вектором Или же у вас, как вы понимаете, φ будет равняться 90 градусов То есть а вектор у вас будет перпендикулярен вектору b То есть оказывается у вас всегда скалярное произведение 0 Если, например, два вектора у вас не нулевые, но они будут перпендикулярны друг другу

31:11 Давайте здесь вспомним Я воспользовался тем, что у меня в прямоугольной декарте системе координат Мы в основном выбираем ортонормированный базис как ИЖК Это наши стандартные базисные векторы Мы знаем, что они перпендикулярны друг другу А это значит, что скалярное произведение ИЖ нам дает 0 И k нам дает 0 А также, спасибо большое Так, дайте-ка я это напишу То есть я получаю, что эта часть у меня зануляется Она мне говорит, до свидания, эта часть зануляется И как вы понимаете, когда я буду раскрывать скобочки здесь Когда я буду раскрывать скобочки здесь

31:56 То у меня также, когда g-вектор умножится на i-вектор Тоже все занулится g-вектор умножится на k-вектор Тоже все занулится Поэтому эта часть у меня станет 0 Когда произойдет раскрытие скобочек Вместе с этим в последней скобочке аналогично эта часть уйдет Эта часть уйдет из-за того, что вектор i и вектор k перпендикулярны друг другу А также вектор j и вектор k также перпендикулярны друг другу И таким образом у нас остается запись axbx на вектор i Потом ayby на вектор j на вектор j Так, и плюс финальное

32:42 А, Z, B, Z Вектор К, вектор К Вуаля А здесь финалочка следующая Давайте подумаем А что будет, если я беру и делаю произведение одинаковых векторов? Вот здесь можно посмотреть Вот смотрите, если я беру вектор А, умножаю на вектор А Ой, лишнее Да что ж это такое То я получаю модуль вектора А на модуль вектора А на косинус нуля, то есть умноженное на единицу. То есть я получаю, что это будет длина вектора А в квадрате.

33:28 То есть оказывается скалярное произведение вектора на самого себя нам будет давать длину этого вектора в квадрате. Давайте это использовать. То есть тогда я получаю, что это будет длина моего вектора И в квадрате. Здесь будет длина вектора Ж в квадрате. А здесь будет длина вектора k в квадрате. А чему равны их длины? Их длины равны единицам. Значит, отсюда я получаю важное свойство. Что в случае скалярного произведения вектор a на вектор b мне будет выдавать как просто x, b, x плюс ау, b, y плюс аз, b, z.

34:15 Смотрите, как красиво. Я считаю это очень приятно. Этим мы с вами будем очень много пользоваться. Но очень важно, что, конечно же, эта запись, она верна только в ситуации ПДСК То есть только в ситуации, когда у нас с вами прямоугольная декартовая система координат То есть наши стандартные x, y, z Оси, которые перебендикулярны друг другу и при этом образуют правую тройку А также выбран стандартный ортонормированный базис В этом ситуации, да, у нас скалярное произведение А на Б будет выражаться стандартным для нас образом Ну и тогда интересный момент, следующий. По волной оптики, честно, я не подскажу чего-то хорошего. Я много чего смотрел, много чего читал, мне в итоге пока что ничего не понравилось.

35:18 Ну, говорят, Борна можешь почитать, если я правильно запомнил. Вроде Борна, оптика Борна. По квантовой механике Тернов есть введение, есть основа релятивистской квантовой механики, ведь Тернова очень классная. Также советуют еще, можешь почитать еще Киселева, я не читал пока что, и можешь в целом по учебникам, я вот читал пока что только Тернова, ну и смотрел его, поэтому с точки зрения лекции могу порекомендовать, это Алексей Игоревич Тернов, можешь загуглить у него лекции, семинары, можешь посмотреть также Парфенова, в Teach In выложена квантовая механика от него,

36:08 квантовая теория, что ли, называется. Можешь там посмотреть, там полноценные годовые курсы, также там затехано, так что в целом можно там как бы книгу за это посмотреть. И у Киселева еще можно посмотреть. Вот так вот. Так, при этом, что при этом? Я говорил, что если я хочу находить косинус угла между векторами, то нужно взять а на b и поделить на длины этих векторов. Можно это переписать еще в таком виде, То есть если вы еще возьмете, подставите разложение через координаты, вы получаете, что косинус угла φ у вас будет выражаться как АХБХ плюс АЮБЮ плюс АЗБЗ.

36:58 Так, все это деленное на А на Б, на длину этих фильтров. Это нам в один момент сегодня еще пригодится, мы это будем с вами использовать. Пока что я уверен, что этого достаточно, с чего-то такого первого. Поэтому здесь предлагаю сразу перейти, наверное, к четвертой части.

37:24 Это векторная проекция, после чего мы с вами перейдем тогда к векторному произведению. Пока же напишите мне 15, если мы с вами с этим согласны. Еще раз отмечу, что подробный рассказ про это все на самом деле у меня уже выложено в одном стриме. Можете загуглить скалярное произведение, либо векторное произведение Глебарел. Там все это будет, можете там посмотреть. Я попробую сейчас это чуть быстрее рассказывать, а то, как я уже понимаю, 30 минут я что-то об этом болтаю, хотя уже об этом болтал, и болтаю даже медленнее. Ой, короче, тут все это рассказываю. Векторная проекция, смысл следующий,

38:09 что у вас, допустим, есть два вектора, вектор B, есть вектор A, и вы хотите, например, найти вектор, который будет смотреть вдоль вектора B, И который будет как бы образовываться вектором А То есть вы берете и проецируете вектор А на В Только делаете это векторно То есть вы как бы смотрите за тенью вектора А на вектор В То есть представьте, что здесь у вас светит солнышко

38:55 Вот он вектор А, и вы смотрите за тенью вдоль вектора В И причем как раз-таки смотрите, а где же у него голова Ну так вот, вот она у него голова И вот этот вектор и будет называться векторной проекцией Давайте я пока обозначу вектор С Будет это еще называться как проекция вектор А на вектор Б Вот так вот Как мы это с вами будем считать? Считаться будет следующим образом Вот здесь на самом деле можно неким алгоритмом попробовать как-то догадаться, как это будет делаться Но смотрите, моя цель, чтобы вектор С смотрел вдоль вектора Б

39:41 То есть я как минимум здесь, тогда это должен воспринимать так У меня есть какой-то единичный вектор, вектор b, деленный на длину вектора b. Давайте я длину вектора b, или длиной какого-то вектора, буду обозначать просто букву b. Хотя, ладно, давайте вот так вот. То есть, это у меня единичный вектор, смотрящий вдоль вектора b. И чтобы получить вектор c, мне нужно не только направление, а еще и длину. То есть, мне нужно этот единичный вектор умножить на длину этого вектора c. Так, а как мне получить длину вектора С? Ну, по сути, если так немножко здесь посмотреть, то как будто бы, вот в черновике можно себе написать под скриптом Вроде в черновике мы можем увидеть, что длина вектора С, она записывается как длина вектора А на косинус угла φ

40:33 И есть что-то похожее, это значит, что давайте косинус φ выразим через скалярное произведение А это мы уже делали, это вектор А, вектор Б На длину вектора А, на длину вектора Б И тогда длина вектора С достаточно легко вроде бы ищется Поэтому давайте, хотя, наверное, что я здесь под скриптами Давайте попробую здесь это и записать Так, Глеб, как вы думаете, выходит на... Я, честно, не знаю что-то в МАИ и никогда не читал Лансберга Мне говорят, что там просто очень много всего написано И все. Это единственное, что я знаю. Да, если ты говоришь про элементарный учебник, как я понимаю, для школьников.

41:22 Давайте тоже, наверное, здесь я это отмечу. Вектор С. Все равно на первый курс, да, не знаю, честно. Когда придешь, узнаешь. То есть, еще раз, смысл как бы таков. Что такое вектор С? Вектор С это направленный отрезок. То есть, это значит, есть длина, вот модуль вектора С, и есть направление. Направление это вектор b деленное на длину вектора b То есть это как раз как бы единичный вектор Можете для себя это воспринимать как один вектор Смотреть как раз вдоль вектора b И когда вы единичный вектор умножаете на длину Вот вы и получаете ваш вектор c Давайте поработаем с вектором c Это кто? Это по сути очень вам напоминает модуль а на косинус φ

42:07 А что такое косинус φ? А косинус φ мы с вами знаем из скалярного произведения То есть если сами векторы не нулевые то получается скалярное произведение А на Б на длину первого, на длину второго. А у нас сокращается, остается А на Б, остается подставить, и получается итог. Итог таков. Вектор С, как проекция вектора А на вектор Б, в ответе нам будет выдавать как скалярное произведение А на Б,

42:55 Все это деленное на длину вектора b в квадрате И все это еще умноженное на вектор b Вот так будем задавать с вами скалярную векторную проекцию Вот оно что Смысл будет прост, то есть если вы хотите разложить, например, какой-то вектор по каким-то векторным проекциям То, пожалуйста, просто пользуйтесь этой формулой и будет нам польза Все, поехали тогда дальше давайте переходить к векторному произведению да да да да да да то есть это будет наша первая

43:44 часть запись если 50 лайков как нам сказали а вторая часть векторное произведение так вектор но я произведение и так давайте выделять сейчас дайте подумать про векторную проекцию нужно ли что-нибудь еще посмотреть свою поргалочку план дальше у нас на урок поговорить про векторное

44:42 произведение про кривые 2 порядка и да и про расстояние от одной точки до другой

45:07 Да. Хотя, может быть, здесь добавить... Давайте про векторное произведение я чуть-чуть попозже. Просто здесь сделаю некоторые маленькие моментики. Может быть, тут будет хорошо и красиво. Да. Вот смотрите, мы с вами хоть и живем... Ладно, давайте все-таки добавлю, хоть и у себя-то уж там говорил... Хоть мы с вами живем в ПДСК, но бывает некое различие на самом деле между числовой проекцией и координацией.

46:02 И вот здесь, может быть, это отметить? Думаю, нужно ли здесь это отмечать? Ладно, здесь давайте вас мучить не буду. Одну скажу. Очень подробно об этом я как раз говорил в своем стриме «Векторное произведение векторов». И там об этом было. В идеале мне, чтобы об этом лучше сказать, как раз потребуется тогда говорить в целом про базис, про линейные независимые вектора. Но это у нас сейчас сильно сожрет время, поэтому, наверное, я все-таки подробно про это сейчас останавливаться не буду А просто отмечу, что за счет таких вот проекций вы можете всегда еще так же быстренько, например, находить вот эти вот числовые проекции

46:52 Потому что если у нас ортонормированный базис, то есть все длины наших базисных векторов равны единицам То тогда числовая проекция, она будет совпадать с координатой нашего вектора И здесь и правда будут наши числовые проекции вектора. Их можно будет находить с помощью знания векторной проекции. Потому что это у нас векторная проекция, а числовая проекция, это у меня просто в свою очередь длина вектора С, если это расписывать.

47:41 Но только там в зависимости плюс-минус. Плюс-минус длина вектора С. И это получается плюс-минус скалярное произведение А на Б на модуль Б. И здесь по модулю. Плюс-минус всегда будет содержаться в скалярном произведении. Поэтому можно будет просто ставить как длину вектора Б. Об этом предлагаю долго не задерживаться и переходить дальше. Как раз к векторному произведению. Так, векторное произведение.

48:24 Произведение. Могу прям так же, наверное, тайм-код сказать, если бы его сохранял. То есть об этом я писал немножко подробнее 1.48.07 в стриме. Можете здесь чуть-чуть подробнее посмотреть. Так вот, векторное произведение. Здесь уже нам предстоит некий более интересный момент с точки зрения математики.

49:01 Прикольно. Ну, запись, да, это хорошо. Векторное произведение. Давайте немножко про него тогда тоже поговорим. Обозначать я его буду уже немного другими значочками, именно квадратными скобочками. Для этого давайте я сначала изображу некую плоскость. Попробую это сделать. То есть у меня будет плоскость, ну как ее можно обозначить? Ну давайте скажем гамма. Вот у меня будет плоскость гамма. Давайте на этой плоскости мы с вами изобразим вектор А и вектор Б. И вектор b Угол между векторами у меня будет выражаться как α

49:47 Меня будет интересовать некий вектор c Как векторное произведение а на b И под этим я буду подразумевать наше векторное произведение Заметьте, теперь у меня будут квадратные скобочки То есть теперь так я буду обозначать векторное произведение Что же можно будет сказать про это векторное произведение? Давайте сначала скажем, а как у нас будет определяться длина нашего вектора Потому что любой вектор задается длиной и направлением. Вот длина вектора С у нас будет задаваться как модуль векторного произведения А на Б. И это в свою очередь по определению будет задаваться как длина вектора А на длину вектора Б на синус угла между ними, то есть на синус угла альфа.

50:42 Где альфа это угол между векторами. Это мы с вами сказали про длину вектора. Что же говорить про направление вектора? Вектор С у нас обязан быть направлен вектору А Вектор С у нас обязан быть направлен вектору Б Плюс правило Буравчика Правило Буравчика Ну что ж такое, почему я с большой буквы? Ладно, Буравчика А именно, что значит правило Буравчика? Вот здесь вот давайте я вам подробно Это, наверное, здесь пока еще не буду Потому что там я об этом очень подробно говорил В том стриме про векторное склярное произведение СА перпендикулярно вектору В, да

51:27 То есть, как вы понимаете, у меня вектор С обязан как-то лежать на вот этой прямой, проходящей через эту точку Где эта прямая перпендикулярна вектору В и перпендикулярна вектору А Остается только вопрос, а куда смотрит вектор С, вверх или вниз? Для этого необходимо правило буравчика Что нужно сделать при правиле буравчика? Взять четыре пальчика, четырьмя пальчиками вращать от первого вектора ко второму, и большой палец вам покажет направление вектора С. А именно, вы берете первый вектор, берете второй вектор и вращаете четырьмя пальцами от вектора А к вектору В.

52:14 То есть это будет происходить так. Вот раз палец, вот два палец, три, четыре, вот как-то так. Только они закручены. как бы как бы это изобразить вот так вот что ли вот так вот так вот не знаю честно вам скажу ну вот берете четыре пальчика и завинчиваете вот сюда я попробовал почему-то тут рисовать

53:17 у меня как-то не получилось, хотя я давно уже рисую. А я забыл, а как я рисую? Так, вот, вот, вот, вот. О, во, слава богу, изобразил. Ага. Вот, ну, что-то типа такого. Где вы берете вот так вот четырьмя пальчиками, вращаете от вектора А к вектору Б и получаете направление вектора С. Вуаля. Таким

54:11 образом мы поняли куда он смотрит теперь что по до урок рисования такой вышел что-то переклинило меня на этой руке вот четыре пальчика вращаются сюда большой палец показывает направление расческа и расческой будет потом какие у нас есть основные свойства свойства данного векторного произведения они достаточно простые с одной стороны вы можете делать все основные операции с этим векторным произведением к чему вы привыкли то есть допустим вы можете написать как раз таки там какое-то число

54:56 альфа ладно альфа занята ну допустим какое-то число бета на а вектор плюс какое-то число фи на b вектор и умножить на вектор c допустим какой-то другой то вы можете раскрыть хотя Хотя, ну ладно, пусть будет φ Можете раскрыть данное векторное произведение И получить, что это будет β на векторное произведение А на С Плюс φ на векторное произведение Б на С То есть вы как бы получаете стандартное правило Вы можете раскрывать ваши скобочки, можете перемножать по элементу К чему привыкли, так и действуйте Но есть одно главное различие Главное различие в перестановке мест

55:44 А именно, если вы записываете, что вектор А на вектор Б вам дает вектор С, то ай-яй-яй писать наоборот. То есть нельзя писать, что Б на А тоже С. А-а. У вас Б на А выдаст вектор минус С. Заметьте, минус С. Почему? Потому что теперь вам нужно будет вращать 4 пальчика от вектора Б к вектору А. И тогда большой пальчик у вас будет смотреть вниз. И это уже будет векторное произведение Б на А. То есть на векторное произведение мы с вами смотрим как первый вектор, второй вектор, четыре пальчика. Вращаем от первого ко второму, большой палец показывает направление.

56:29 Также третье, что хотелось бы сказать, это когда у вас вектора коллинеарны. Ну или даже давайте напишем, когда у вас векторное произведение равняется нулю. Вот оказывается векторное произведение равняется нулю тогда и только тогда, когда вектор А коллинеарен вектору Б, ну при условии того, что они не нулевые. Если кто-то из них 0, то, конечно, там уже очевидно, что это 0. Коллинеарно, значит, параллельно. Почему так? Это достаточно легко, потому что у вас вектор С будет нулевым, если так получится, что синус альфа равен нулю. А это будет выполняться, если альфа либо равен нулю, либо 180 градусов.

57:15 Вот и получается, что у вас вектор А либо смотрит сюда, либо смотрит сюда, то есть параллелен, либо коллинеарен вектору В. То есть у вас в данной ситуации возникает некий критерий к линеарности Это то, что здесь хотелось бы отметить Но это не все, давайте это обозначу как первый пунктик Второй пунктик, давайте я запишу, как можно векторное произведение считать через координаты То есть через наши координаты в неком базисе В данной ситуации я буду работать именно с ПДСК, с прямоугольной декартовой системой координат И попробую сразу получить эту готовую формулу После чего, я думаю, мы будем потихонечку тогда переходить уже к следующей нашей теме

58:05 Давайте через координаты Так, через координаты Как будем действовать через координаты? Как всегда, зададим нашу прямоугольную декартную систему координат Которая у нас с вами здесь и была Та самая любимая, родненькая со школы, к которой мы с вами благополучно привыкли Давайте скажем, что вектор А как раз будет записываться как АХ, АУ, АЗ Либо я еще предлагаю записать как А1 и вектор Так же знаете, что сделать?

58:51 Я предлагаю ИЖК, наверное, так же заменить То есть сказать, что ИЖК, давайте мы их просто по-другому будем называть, как Е1 вектор Ж это будет Е2 вектор А К это будет Е3 вектор Я предлагаю так сделать чисто для удобства, для некоторого сокращения

59:13 Возражаю для сокращения или к чему?

59:22 Потом вектор b, это будет bx вектор i плюс by вектор g плюс bz на вектор k. Где bx, by, bz и ax, ayz в нашей ситуации будут являться координатами наших векторов в данном базисе. И при этом, так как у нас артономированная базис, то данные координаты, конечно, совпадают с числовыми проекциями. Давайте искать векторное произведение. Записываем. Векторное произведение А на Б. Что я тогда получаю? Тогда мне нужно поставить верхнее, нижнее в векторное произведение и получать результат. Предлагаю записывать. Рез, копировать, вставить.

1:00:11 Два. Использовать левую руку, чтобы четыре пальца было направо. Просто можно позапутываться. Я честно скажу, я использую одно стандартное правило. Все, правило буравчика. Можно еще использовать на правой руке вот такую правую тройку. Некоторые в ней не путаются, ну и хорошо, я всегда путаюсь, кого куда крутить. Четыре пальчика, правило буравчика во всем спасает. Так, далее, я могу так сказать, кому удобно, что-то другое, используйте, да, на здоровье.

1:00:59 Давайте раскрывать. У нас стандартные разложения нам известны, мы ими можем пользоваться. И пошли-поехали. Сейчас будет уйма чего написано. Готовимся к этому, только... Ладно, давайте расписывать. Ужас какой сейчас будет. Так, А на Б. Раскрываем. Сначала я эту штуку умножаю на это, на это, на это. Я помещу здесь три строчки. Так, получается АХБХ на векторное произведение И, И плюс АХБУ на векторное произведение И,

1:01:47 Ж плюс АХБЗ. на векторное произведение ИК потом плюс иду ниже да, можно как угодно плюс идет АЙБХ вектор Ж, вектор И так, плюс АЙБИК идет вектор Ж так, и плюс еще финально

1:02:32 АЗ Аз, ой, какой Аз? Ай. Ай, Бз, g вектор, k вектор. Так, и плюс финально Аз, Бх на вектор К, на вектор И. Ой, дай нам терпение. Аз, Б, Игрик, k вектор, g вектор. Плюс, кто у нас там? Тут еще. А, З, Б, З, А, З, Б, З, вектор К и вектор К. Да. Теперь давайте раскроем, посмотрим, что мы с вами здесь получаем.

1:03:19 Во-первых, я помню, что у меня нулевое векторное произведение тогда и только тогда, когда у меня вектора коллинеарны. Правильно? Мы это должны с вами помнить. Тогда в этой ситуации я получаю, что вот это сразу до свидания, потому что два вектора одинаковые, значит они, конечно же, коллинеарны, то есть они параллельны друг другу. Поэтому и здесь я получаю нолик, и здесь я получаю нолик, сразу же Что же в других ситуациях? Дальше я предлагаю немножечко поиграться И позаписывать наше векторное произведение в ином виде То есть попробовать найти векторное произведение и Ж, и К, ЖК, вот это вот все Так, ну вот сначала давайте немножко продолжим нашу запись

1:04:10 А именно, получим, что вот здесь что у нас выходит? Давайте сначала, кто у нас тут? Ижи. Вот мне, наверное, потребуется ЖК. То есть давайте я начну некие вещи группировать. При векторном произведении ЖК, что у меня будет? Так, чуть позже объясню, почему именно так ЖК. Так, ЖК, ЖК. Это получается Ай, Бз. Ай, Бз. Вот у меня ЖК, все, я его использовал Где у меня еще ЖК? ЖК, ЖК, вот здесь Только обратите внимание, здесь К, Ж Мне нужно будет поменять местами элементы в векторном произведении

1:05:00 А это значит, что у меня здесь возникает минус АЗБЮ Вот здесь Далее Минус, минус К вектор И Или, наверное, даже давайте пока что-то напишу как ИК Так, плюс ИК Теперь здесь буду выносить Почему именно это я вынес? Это для красоты Вот так я познаю, для красоты Так, ИК Где у меня тут ИК, ИК, ИК? Вот ИК Получается АХ, БЗ

1:05:48 Вот у меня ИК И здесь еще ИК Только здесь КИ, значит мне надо поменять местами Я получаю АЗ, БХ Затем плюсик, плюсик Остается последнее Это, что у меня? ЖИ Да, плюс векторное произведение Ж на И Так, вношу, получаю, что у меня вот здесь Таится Ж на И, вот оно таится Поэтому будет АУБХ Сейчас подниму И еще вот здесь, сверху Еще одно место, где оно таится Только мне нужно знак минус сделать Поэтому минус АХБУ

1:06:33 Во! Вот что я получаю Не задавайте вопросы, почему именно вот это Я отвечу так, для красоты, чтобы сразу было готовое, красивое выражение для нас в будущем. Что теперь? Теперь давайте посмотрим на эти векторные произведения ЖК и КЖИ. Смотрите, здесь достаточно легко. Вот давайте я запишу, наверное, здесь. Вот что мне дает векторное произведение, например, ИНЖИ.

1:07:12 Нет, они не равны единице. ИНЖИ. Я должен вспомнить, что длина этого вектора, конечно же, будет равна единице, потому что модуль этого вектора равен единице, синус 90 градусов единиц, то есть длина этого вектора равна единице. А куда смотрит этот вектор? Этот вектор смотрит по правилу буравчика от ИЖ к РУТИ, и большой палец вам показывает направление вдоль К. То есть я получаю единичный вектор, смотрящий вдоль вектора К. Но вектор К сам у меня единичный, поэтому я получаю, что здесь у меня будет чисто вектор К. Аналогично, давайте вот ЖК. Беру, смотрю, длина этого вектора чему равна?

1:07:57 Длина вектора Ж равна единице, длина вектора К равна единице. Угол между ними 90 градусов, синус 90 дает единицу. То есть я получаю, что длина этого вектора ЖК равняется единице. Отсюда выходит, что у меня будет единичный вектор, который будет смотреть, причем по правилу буравчика. Вот крутим от вектора ЖК, получаем по правилу буравчика И. И получаю, что смотрю вдоль И Единичный вектор, смотрящий вдоль И Ну, конечно, это будет чистый вектор И И аналогично я получаю ИЖ Будет выдавать мне вектор Ой, ИЖ было КАЙ

1:08:45 О, КАЙ Да, аналогично КАЙ мне выдает вектор Ж Я этим предлагаю здесь воспользоваться И как раз-таки записать, что Что такое ЖК Это будет вектор И Что такое ИК Это будет минус вектор g А что такое g и это будет вектор k То есть таким образом я получаю, что векторное произведение а на b Мне будет выдавать что? Что мне будет выдавать? Это будет вектор И умноженный на АУБЗ минус АЗБУ минус вектор Ж умноженный на АХБЗ минус АЗБХ и плюс вектор К умноженный на АУБХ минус АХБУ.

1:09:51 Немножко так я, получается, упростил нашу жизнь. Упростил. Это очень хорошо. Но мы с вами видим, что очень некрасиво все это выглядит. Невозможно это все записывать, невозможно это все читать. Правильно? Неудобно. Значит, нужно придумать что-то другое. То есть, вероятно, нужно как-то записывать это по-другому. Ага. Ну, люди ленивые. Математика ленивая. ЖИ. Да, ЖИ, кстати, минус. ИЖИ. Это будет К. Так, а я ЖИ выносил, да? Да-да-да-да-да, это минус К. Да, согласен. Тогда давайте я поменяю здесь местами. Спасибо большое. Да, это будет минус К. Да-да-да-да. Надо было мне тут сразу К вектор писать. Ошибся. Спасибо.

1:10:56 Так вот, люди ленивые, поэтому им хотелось бы немножечко себе облегчить жизнь. И как это записывать по-другому? Как это можно записывать по-другому, чтобы короче это выглядело, чтобы не так длинно, чтобы запомнить хоть как-то можно было. Потому что хоть и здесь видна некая красота, то есть есть вектор И, а координаты как раз при других базисных векторах. И вот вопрос, что как делать? Оказывается, способ, то есть часть первая. Я писал там? Первая. Оказывается, можно переписать некую запись. в виде, например, АУБЗ минус АЗБУ,

1:11:46 можно это переписать вот в таком виде.

1:11:54 АУАЗ, БУБЗ.

1:12:00 То есть, давайте мы с вами скажем, что вот такая запись будет на самом деле по-другому записываться вот так. Вот так. И как это можно будет читать? А читается это следующим образом. АУ умножается на БЗ диагонально. А потом вычитается из этого умножение by на az То есть по диагонали как бы идем То есть op минус op Но аналогично и все другое То есть я тогда получаю, что конечно ax bz минус az bx То есть это вторая наша часть

1:12:48 То есть это была вот эта первая Теперь вот эта вторая Она будет записываться тогда, когда AX, AY, BX, BZ И аналогично, она идет ровно так же То есть вы берете OP минус OP То есть вы этот элемент умножаете на этот На диагональке, которая находится Вы считаете из этого произведения этого элемента на этот элемент И обратите внимание, как лаконичнее это все записывается Причем, кстати, очень интересно, что здесь идут компоненты первого вектора, а тут идут компоненты второго вектора.

1:13:37 Ну и финальное еще АХБУ минус АУБХ.

1:13:48 Это будет записываться как АХАУБХБУ. Это была как раз вот эта финальная форма. И смотрите, как тогда преобразуется наша запись векторного произведения. Тогда векторное произведение АВ можно переписывать как вектор И То есть базисный вектор вдоль оси Х И при нем у меня будет АУАЗБУБЗ И причем, заметьте, здесь будут записаны компоненты вектора А и вектора Б без Х координаты

1:14:40 Видим, да? Х Да Потом идет минус вектора Ж И идет аналогичное ax, az на bx, bz.

1:15:01 При векторе, смотрящем вдоль оси Y, идут компоненты векторов A и B без Y-ковой компоненты, где ровно так же вектор K смотрит вдоль оси Z, но здесь, как вы можете заметить, нет компонентов вдоль оси Z, но есть оставшиеся, и это запомнить намного проще, и читается как-то намного приятнее, если запомнить просто вот это правило, мы записали выше. Но все равно

1:15:46 это очень длинно. Хотелось бы покороче. Пока напишите два плюсика, если мы с этим согласны. Если мы видим, что так приятнее. И вот теперь будет еще красивее. Потому что пока все равно как-то страшно, громоздко. А теперь самый просто кайф. Люди настолько, ну, настолько нам реально бывает лень вот это все писать, что мы хотим короче. Вот короче будет выглядеть так. А на Б Будет записываться вообще вот так

1:16:32 И, Ж, К Я себя почувствовал ленивцем из Зверополиса Такой И, Ж, А, Х, А, Y, А, Z Б, Х, Б, Y, Б, Z Так вот, оказывается, вот та запись Которая здесь продемонстрирована Она очень красиво переходит в такую запись Представляете? То есть не надо тут какие-то минусы Плюсчики запоминать

1:17:18 Нет, все Просто написал сначала набор базистых векторов Потом AX, AY, AZ А потом BX, BY, BZ Смотрите, как классно Да, только не надо быть, наверное, ленивцем И говорить, типа I, G, K И так далее Так вот, представляете, насколько это круто, да? Я считаю, это волшебно. Только давайте просто поясню немножечко, а почему так? То есть, как вот эта запись, она связана с этой записью? Как так-то? Какое есть правило перевода из одной записи в другую? Ну вот смотрите, давайте я немножечко это просто левее поставлю. Запись достаточно легкая.

1:18:03 Делается следующее правило. Запомните, вы идете слева направо. То есть вы начинаете с некого главного. Вы говорите, ребят, у нас есть какой-то главный чел, главная буковка. Вот главной буковкой мы будем называть вот эту сначала первую буковку. И если говорить наперед, то смысл таков. Выбираете главного, делаете манипуляции, переходите к следующему главному. Делаете опять манипуляции, переходите к еще одному главному и так далее. Вот этим мы с вами и займемся. Сначала наш главный будет вектор i. Как мы им будем пользоваться?

1:18:52 Берем сначала пунктирную линию и говорим, ребят, раз он у нас с вами главный, то мы сейчас берем и вычеркиваем всех, кто находится на одной строчке и на одном столбце с этим главным. И тогда начинаем смотреть за оставшимися. И причем, когда мы рассматриваем главного, мы его сначала выписываем, а потом его умножаем на как раз вот этот типа квадратик, который здесь остается. Вот он, квадратик. Просто я его переношу сюда. Будет записываться как А, У, А, З, Б, У, Б, З.

1:19:37 Заметьте, это ровно то, что здесь и записывалось. Видите? То есть я взял сначала главного, вычеркнул строчку и столбец, и то, что у меня осталось, я пишу сюда. Потом, важно понимать, что когда вы переходите к следующему главному, у вас меняется знак. К главным мы переходим вдоль верхней строки. То есть движение у нас происходит вот сюда.

1:20:08 Так мы переходим от одного главного к другому. И теперь наш главный будет вот здесь. Вот он наш главный. Когда мы переходим к следующему главному, я меняю сначала знак и выписываю его. Далее делаю те же самые манипуляции Я убираю элементов из столбца и убираю элементов из строки Тогда кто у нас с вами остается? У нас с вами остаются ax, bx и вот эти И теперь я делаю из них квадрат

1:20:54 Раз, два, ax, az, bx, bz И таким образом, теперь мы с вами полностью обработали второго главного Но это не все, пора переходить к третьему главному Мы всегда идем вдоль этой прямой Теперь я рассматриваю последнего главного, вектор k Теперь он главный Но, когда я перехожу к нему, я всегда меняю знак и выписываю его После чего пишу умножение И у меня вектор k умножается теперь на что? На то, что остается после вычеркивания в строке и в столбце

1:21:45 А что у меня остается? Остается вот это То есть это будет вектор К на АХ, АУ, БХ, БУ Вот что у меня осталось Обратите внимание, у меня вот эта часть осталась, когда я был главным в векторе К Вот и все Обратите внимание, как оно очень элегантно на самом деле выстраивается согласно этому алгоритму. И таким образом, обратите внимание, как мы вместо вот этой ужаснейшей записи, в которой очень трудно запомнить, что, где и как стоит, мы переходим к такой записи. Поэтому итог, что в случае векторного произведения,

1:22:34 когда мы с вами говорим про координатное представление, Я получаю, что векторное произведение А на Б У меня будет записываться как Сначала набор базисных векторов ИЖК АХ АУ АЗ И БХ БЮ БЗ Ву-а-ля Круто, да? Да, конечно, тут нужно говорить про миноры То есть это на самом деле миноры 2 на 2 А тут мы на самом деле считаем Детерминат матрицы 3 на 3 Но пока что я предлагаю просто без этих слов, потому что оно больше нам нигде не пригодится.

1:23:22 То есть мы с вами используем только вот это. Поэтому я не думаю, что мне здесь сильно как-то важно говорить, что такое мино, что такое детерминат, вводить это для произвольной ситуации. Предлагаю на этом как раз-таки остановиться. То есть вот сказать, что, ребят, правило вычисления веховного произведения просто вот такое. Нужно просто запомнить, что вот такая вот штучка. Просто сначала переписываются в такие квадратики, в миноры, как их называют А потом переписываются в такой, детерминат 3 на 3 То есть переписываются в такой достаточно большой квадратик Но это же красиво И таким образом мы с вами видим, как математики, как люди ленивые Просто берут и ужасную запись переписывают в красивой записи

1:24:08 Так, напишите мне тогда 15, если мы с вами согласны с тем, как это получили Как это было нами выведено Так, жду от вас 15 Бу-бу-бу-бу-бум Так Да Произведение Тут честно вам скажу И задача к навалам Вот думаю, что давать-то Потому что хочется Все рассказать как-то 15, отлично

1:24:57 Что, задача давать Не давать, теорию пора Давайте попробуем по теории дальше пройтись Что придет в голову, то будет хорошо Так, тогда Да, давайте про геометрическое приложение еще векторного произведения

1:25:46 То есть заметьте, что мы с вами до этого получали Мы из скалярного произведения получали такое полезное свойство, как векторная проекция То есть проекция некого вектора на другой вектор Очень было удобно, было очень красиво. Это был наш геометрический смысл. В случае векторного произведения, на самом деле здесь, я думаю, можно добавить еще один пунктик. Именно геометрический смысл.

1:26:17 Геометрический смысл здесь тоже достаточно прост.

1:26:25 Он будет таким, геометрический смысл.

1:26:33 Когда вы берете, рассматриваете как раз вот эти два вектора, А и Б, и угол между ними, то если вы возьмете, достроите это все до параллелограмма и захотите посчитать площадь этого параллелограмма, то вам, оказывается, хватит чисто подсчета векторного произведения.

1:27:15 То есть, если площадь у данного параллелограмма, то площадь параллелограмма будет находиться как длина векторного произведения А на Б. А знаете почему? Потому что это и будет как раз-таки А на Б на синус угла альфа. Где? Если вы берете Б синус, это будет вот эта высота, высоту умножаете на А, вот и получаете площадь параллограммы. Очень удобное, классное свойство, которым необходимо нам пользоваться и важно уметь использовать. Так, что здесь бы, наверное, хотелось бы дополнить? Сейчас дайте-ка подумать, как нам.

1:28:01 уже два часа прошло ешь вот это да вот это да да все-таки в один вебинар как будто это не поместишь в один вебинар это как будто не поместишь давайте тогда здесь озвучу еще одно свойство такое важное третье что случае векторное произведение есть bc которую мы с

1:28:59 вами будем расписывать то есть бывает очень удобно это переписать или раскрыть это векторное произведение его можно доказать как раз ки через координаты и предлагаю пока этого не делать потому что времени у нас на данный момент сегодня нет и предлагаю просто записать его без вывода и И написать, что это будет B, A на C. Ой, не обахнул. Так, бац, минус цап. Бац, минус цап.

1:29:34 Во. Правило называется, как знаете, бац, минус цап. Вот тебе, бац, минус цап. Все элементарно. И его можно как раз-ки применять для разных ситуаций, чтобы облегчить себе жизнь. Очень часто применяется в механике. То есть, например, у нас мини-эйлер, мы это очень часто применяли, использовали при решении наших задачек, что делало, конечно, все... Это не наша задачка, что делало, конечно, все это очень-очень красиво. Так, давайте тогда попробуем перейти к третьей части. Это некое смешанное произведение.

1:30:24 Будет записываться оно так. У вас есть три вектора А, В, где вектора А и В лежат в одной плоскости, а вектор С лежит в другой плоскости. То есть он не лежит в этой плоскости. А, Б, С. Угол между ними α, ну и вектор С в какой-то другой плоскости. Так, как бы только мне обозначить, что вектор А и Б лежат в одной плоскости. Вот я попробую это как-нибудь показать.

1:31:10 Во. То есть А и Б в одной плоскости, плоскость γ лежат в плоскости γ, а вектор С не лежит. То есть, как бы таким образом мы с вами получаем, что тройка из этих векторов, она не комплонарна. Комплонарность, это означает, что все три вектора лежат в одной плоскости. Вот что означает комплонарность. Например, два вектора, они всегда комплонарны. Хотя нет. А, нет, комплонарны. Для них мы всегда можем найти плоскость, которая будет проходить через два вектора. В случае трех векторов, то здесь комплонарность у нас не всегда выполняется. И вот смешанным произведением мы будем называть вот такую штучку как А, Б, С.

1:32:02 Как это будет записываться по-другому? На самом деле это будет скалярное произведение А на векторное произведение Б на С. Это будет смешанное произведение. Смысл его это уже ориентированный объем. То есть до этого как бы у нас была ориентированная площадь, если как бы говорить, что А, Б, это будет вектор С, и вектор С называть некоторым вектором площади. Это будет ориентированная площадь. Вот здесь будет, знаете, некоторый ориентированный типообъем, но очень важно, что это уже число, потому что здесь идет скалярное произведение с векторным. И у вас получается скалярно вы перемножаете вектор А с вектором ВС

1:32:51 И таким образом получаете число То есть это же, конечно, нам выдает число По-другому это будет выдавать как В плюс-минус То есть это будет плюс-минус объем параллелограмма Который можно построить на этих трех векторах Но я попробую как-нибудь это проиллюстрировать Так, вот так вот теперь здесь сверху нет чуть не то да да да не то в этом плане вот так вот они не не сюда куда

1:33:58 это я пошел вот так так и вот так вот ну чё тип такого вот сиди и думай как бы это изобразить есть сразу прилаграмм и тут прилаграмм нет пупом пупом пупом ладно давайте изображу нормально сделаем так так у меня идет раз на вас и вот как раз таки идет дальше пунктерная линия потом 1 2

1:35:12 так вот и все только нужно сместить до вас tris так и вот эта часть копирует ставить первой ставить копировать ставить так и копировать ставить вот вроде бы так я попробовал честно

1:36:01 я попробовал это изобразить это конечно здесь наверно нужно вот так сделать вот так вот так и вот так в учет получается да получается в данной ситуации параллограмм и вот его объем там с точностью до знака и будет задаваться данным скалярным произведением о очень классно но если на самом деле они образуют правую тройку то есть abc но примерно там правая тройка то в этой ситуации у нас будет со знаком плюс если же будет не левая тройка то там будет со знаком минус но

1:36:50 но оно нам не сильно принципиально. Вот такие дела. Да, это вот что такое для нас смешанное произведение. Здесь, наверное, сразу предоставлю некоторые моменты. Во-первых, свойства давайте выскажу.

1:37:18 Первое наше свойство, что стандартная наша линейность, она выполняется. То есть, какого бы здесь вы линейность не делали, все будет выполнено, потому что и скалярное произведение линейное, и векторное произведение линейное. Поэтому линейность выполнена. Линейность выполнена. То есть стандартные формулы, там, а умножить на b плюс c, там, что-то перемножить и сложить, это все стандартно вы можете использовать. Ну, а теперь что с точки зрения смены. Как вы понимаете, можно менять здесь некий порядок, а именно делать, например, bc на a, никто не запрещает.

1:38:03 Но если вы в векторном произведении меняете направление, то у вас меняется знак А именно, то есть как бы это так можно записать Вот А, Б на С Как вы понимаете, конечно, ничего не поменяется, если вы возьмете и вот так вот сделаете Потому что в случае скалярного произведения там все на месте Но у вас кое-что поменяется, а именно знак Если вы, конечно, внутри поменяете местами С, Б То есть, если вы, например, будете записывать, что А, Б, С, то это будет вам выдавать минус А, С, Б.

1:38:57 Как бы это грустно ни звучало. Но, есть очень важное свойство, must have. То есть, вот здесь, со знаком минус, просто всегда, а также давайте так. Здесь возникает следующее очень важное правило, давайте я вам пока что без вывода предоставлю. Важное правило следующее, важно. Если вы делаете циклический сдвиг, то у вас знак не меняется При циклическом сдвиге, циклическом сдвиге, знак не меняется Не меняется О как!

1:39:42 То есть вы можете делать вот так в вашем смешанном произведении А, Б, С Можете это написать как То есть возьмите вот так вот, сдвиньте Оп, и С вот сюда С, А, Б. Можно написать, еще сдвинув. Б, С, А. Кстати, обратите внимание, вы получаете как раз вот эту картину. Так, а можно еще раз сдвинуть. Вот у вас и получится как раз А, Б, С. То есть циклический сдвиг ничегошеньки не меняет. Но знак всегда у вас будет меняться, если вы будете переставлять какие-то соседние элементы.

1:40:30 То есть если вы соседние эти переставите, знак поменяется Если соседние эти элементы поменяете, знак поменяется То есть объем в этом плане будет менять свой знак Попробую это как-то записать Правило достаточно легкое То есть любой циклический сдвиг в смешанном произведении ничего вам не меняет Ну очень удобно Так, что у меня получается Это будет минус, если там b, c и так далее То есть как бы попарные перестановки меняют знак Попарные перестановки Меняю знак

1:41:17 Вот так Так, кто вроде бы здесь сказал Да, и последнее Как я уже отметил На самом деле у вас Смешное произведение уже необходимо Для критерия Компланарности То есть у вас возникает следующее То есть А, Б, С Лежат в одной плоскости лежат в одной плоскости гамма, но при условии того, что они не ноль, тогда, только тогда, когда их смешанное произведение

1:42:02 будет равняться нулю. Но оно и логично, то есть у вас объем такого параллелограмма, параллелепипеда, конечно, будет равен нулю, только в той ситуации, если вектор С как-то у вас не торчит. То есть если он лежит в этой плоскости, то все, какой там объем он, конечно, там будет лежать в этой плоскости, поэтому смешанное произведение будет равняться нулю. Еще одно свойство, я в данной ситуации предлагаю его написать уже без вывода, потому что там запись будет делаться аналогично тому, что мы с вами проделывали здесь выше. И запись будет выглядеть так, что смешанное произведение у вас будет записываться, оказывается, следующим образом.

1:42:47 Это очень важно в PDSK, в прямоугольной декартовой системе координаты. Это будет AX, AY, AZ, BX, BY, BZ и CX, CY, CZ. Видали? Видали, как удобно, видали, как красиво. То есть, хоп-хоп-хоп, и у нас все записано. То есть, если расписывать ровно по аналогии, как это было сделано в векторном произведении, то вы получаете вот такую запись. Где, конечно, уже просто остается раскрыть этот детерминат матрицы 3 на 3 и получить ваше выражение для ориентированного объема.

1:43:33 Ну, я думаю, можно здесь что доказать? Давайте попробуем решить пример, чтобы потихонечку к этому привыкать.

1:43:49 Пример сделаем таким. Векторное произведение АВ, векторное произведение СД. Так, С на смешанное произведение АВД минус D на смешанное произведение АВС. То есть наша с вами задача как бы доказать данное отождество. Ну, будет доказываться достаточно легко. Вам нужно просто воспользоваться бац-минус цап И все И все, бац-минус цап Давайте мы с вами скажем, что как бы вот это Типа А А это как раз таки

1:44:37 Типа Б А это типа С И воспользуемся бац-минус цап Бац, то есть это С вектор на скалярное произведение А на Б То есть это векторное произведение А, Б На Д и минус ЦАБ, то есть это Д. Умноженное на скалярное произведение ЦБЦАВ. А это АВ, АВ и С. Вот и все. А здесь, на самом деле, у нас состоится смешное произведение АВД и смешное произведение АВЦ. Все как и положено.

1:45:31 То есть вы получаете, что это будет вектор c на a, b, d и минус d на a, b, c. Вот так вот.

1:45:54 tx, tx, tx, tx. Ну, в целом, на самом деле, по произведениям здесь достаточно. Я вот думаю, что бы здесь высказать. Я думаю, можно попробовать. Давайте пока напишите мне 10, если здесь более-менее мы это себе зафиксировали. Ух ты, что тут? По-моему, жаль, почти никто не зашел. Так, аналитическая геометра целой семестр. Да-да-да, я согласен.

1:46:40 Да, все верно, аналитическая геометра, она целая семестр. Это абсолютная правда, поэтому я сейчас не претендую ее полностью рассказывать. Я претендую хоть как-то ее затронуть и попробовать что-то в ней сказать Вероятно, вот что я обещал, я то в целом расскажу сегодня И просто по итогам этого экспериментального вебинара, как я уже отметил Это же эксперимент по тому, как это рассказывать Я подведу итог и пойму, а как это может быть лучше будет Либо перезаписать, либо что-то дополнительно сделать Либо может быть целый курс здесь провести по аналитической геометрии, посмотреть Но я думаю так, вот пока наш план такой, у нас просто уже 2 часа как раз ушло на это, здесь в идеале нужно еще задачи порешать, вот это все сделать.

1:47:28 Было запланировано на вебинар это обсудить скалярное векторное произведение, обсудить, что такое плоскости, прямая, расстояние от прямой до плоскости, а также обсудить кривые второго порядка. Вероятно, мы с вами поступим так. Сейчас я просто пройдусь как раз по всей примерной теории Практику навряд ли мы тогда сегодня уже успеем И после сегодняшнего вебинара, ну в конце вебинара, кто останется Можем вместе как раз решить, что будет здесь лучше для нас Как это можно будет оптимизировать Просто я честно, если говорить с точки зрения олимпиадной физики Я считаю, что там всегда должно все проходиться параллельно вебинарам

1:48:14 Параллельно вебинарам по физике То есть, вот ты рассказываешь что-то по математике, и оп-оп, это как раз ты начинаешь вводить физику. И так сразу на примере это и познаешь. Но многие всегда очень часто просто почему-то хотят отдельно, типа, ой, а есть ли что-то отдельно, какой-то курс. И вот хочу что-то такое попробовать сделать, но будем экспериментировать. Поэтому начало будет пока что таким. Давайте, смешанное произведение здесь в целом готово. Просто я буду сейчас показывать, как оно у нас с вами на практике будет применяться. И тогда давайте продолжим наш экскурс. И пятый пунктик будет следующим. Сейчас я себе вот это сделаю.

1:49:03 Наверное, вкратце я попробую сказать, как нам можно применять. То есть применение мнения в геометрии.

1:49:25 Применения будут следующими. Вот смотрите, сначала поговорим про прямую. Прямая.

1:49:43 Я сразу буду, наверное, работать в 3D ситуации. То есть, конечно, там можно вводить сначала прямую на плоскости, потом прямую в 3D, как раз-таки записывать там разными способами. Вот попробую сначала в неком общем виде записать, потому что все из этого будет следовать. Вот смотрите, у нас есть какая-то прямая L. Я буду жить в PDSK. То есть у меня есть прямоугольная декартовая система координат. pdsk и gk давайте попробуем понять а вот как мы можем с вами описать прямую вот как то есть что это за геометрическое место точек ну вот смотрите вам например сказали что вот ваша

1:50:36 задача как-то описать вот все точки располагающиеся на этой прямой то есть цель описать геометрическое место точек образующих прямую писать прямую то есть то есть все точки как бы лежащие на прямой ну ладно это это конечно уже очень странно будет звучать короче описать прямую ну вот смотрите давайте я изображу какой-то вот такой произвольный вектор р маленький вектор р маленький вектор это

1:51:27 будет радиус вектора, проведенный из начала координат до точек нашей прямой. И вот моя задача наложить какие-то такие условия на вектор r, чтобы его конец этого радиуса вектора был всегда расположен именно на прямой. Хочу наложить такие условия на r, на r вектор, чтобы его конец описывал все точки нашей прямой. Его конец описывал все точки нашей прямой

1:52:19 Как я это могу сделать? Ну вот смотрите, я же могу, наверное, какой-нибудь задать вектор Хотя, зачем мне вектор? Наверное, могу... Ну да, вектор То есть давайте мы зададим некоторый вектор Вектор будет называться А Это будет вектор направления для нашей прямой Вектор А мы зададим как параллельный вектор для прямой L Этот вектор мы сами зададим Вот сами его возьмем, сюда бахнем

1:53:05 Точно зная, что он параллельный L Без разницы какая у него длина Да вообще, да любая длина, главное не 0 То есть зададим вектор А Параллельный нашей прямой L Далее возьмем допроизвольную любую, любую точку напрямую Вот какую хотите, но главное фиксированную Давайте возьму, как бы, давайте вот такую Вот фиксированную точку напрямую Точку M0

1:53:50 Так, возьмем фиксированную точку напрямую Точку напрямую M0 И как можно будет тогда описать, наверное, эту прямую? Вот как? Вот какому условию r-вектора должен удовлетворять? А вот смотрите. Вот мы с вами видим, что если я возьму разницу между r-вектором и r0-вектором, то что мы можем про него сказать? Он будет лежать напрямую, правильно? r-вектор минус r0-вектор лежит напрямую.

1:54:36 А он же, в свою очередь, параллелен вектору а. Важное наблюдение.

1:54:48 Так, наблюдение. r вектор минус r0 вектор параллелен прямой L, а это в свою очередь параллельно вектору A. Так, а можем ли мы как-то написать условия того, что r вектор минус r0 вектор параллельны с вектором A? Ну да, можем. То есть условие того, что r вектор минус r0 вектор параллелен вектору а, можно записать двумя путями. Первый путь это сказать, что r вектор минус r0 вектор, это есть просто некий вектор а, умноженный на, ну наш вектор а, на какое-то число.

1:55:33 То есть t это просто какое-то число. r это множество действительных чисел. Это параметр. Какое-то число. А можно записать как? Через векторное произведение. Мы же не просто так проходили векторное произведение. Если занятие один смотрел, можно скалярное и векторное не смотреть. Привет, Глеб. Слышал ли ты о Олимпиаде Дарын? Не слышал. Хорошо. Если будет время, порешаю. Я не слышал.

1:56:19 Так, что делаем теперь? Теперь можно записать так. Векторное произведение r маленькое минус r0 вектор, вектор а. Это векторное произведение обязано равняться нулю. Правильно? Правильно. Потому что оно и показывает, что у нас они должны быть коллинеарны, то есть они обязаны быть параллельны. Ну, как-то так. Вот и все. Красотулечка. Второе условие можно немножечко еще попереписывать То есть здесь мы с вами как бы говорим о том, а как это можно попереписывать Ну вот можно переписать это еще так Если раскроем векторное произведение, то я получаю, что это будет r0 на a

1:57:07 То есть получаю некий вектор b То есть оказывается, я могу переписать еще в таком виде, что r вектор на a вектор Это будет просто какая-то константа То есть b-вектор. Где b-вектор, ну, какое-то число. И отсюда мы с вами получаем как бы три способа записи нашей прямой. Первая запись стандартная, r-вектор минус r0 вектор, а вектор t. Вторая запись через векторное произведение. А третья запись просто сказать, что, ребят, если rA равняется константе, то вот все, у вас описывается прямая. Ну, константа, в свою очередь, это какой-то вектор b.

1:57:54 Вот ваш констант. Вот, это про прямую. Напишите мне тогда здесь десяточку, если мы согласны с этой прямой. Теперь же давайте дальше. Попробуем проговорить про плоскость.

1:58:20 Так, жду от вас тогда десяточку, если мы с этим согласны.

1:58:46 После чего давайте поговорим про плоскость. В случае плоскости тоже просто обозначим, как ее можно задавать. Попробуем, попробуем. Пару слов здесь сказать. Что такое плоскость? То есть плоскость, это будет следующее.

1:59:07 Допустим, у меня есть плоскость α, к примеру, и есть то самое начало координат, наше стандартное, ИЖК. И вот моя задача как-то взять и с помощью вектора R описать геометрическое место точек этой плоскости. То есть сделать какое-то условие на вектор R, чтобы описывать эту плоскость Тяжело, тяжело Но смотрите, здесь есть несколько способов

1:59:54 Можно задавать с помощью, во-первых, плоскость можно задать двумя Плоскость можно задать двумя векторами. Можно задать двумя векторами, допустим, у вас есть вектор А и есть вектор В, которые не коллинеарны. То в чем тогда будет прикол? Да прикол тогда будет в следующем, что если возьмете, рассмотрите какую-то произвольную точку, М0, вот М0, вот вы получите вектор Р0, то тогда вы можете увидеть, что вектор R-R0, вектор A и вектор B, они, в свою очередь, комплонарны.

2:00:48 То есть, они будут лежать в одной плоскости. Правильно? Мы это с вами как раз и здесь сразу и видим. Что вектор R-R0, вектор A и вектор B просто лежат в одной плоскости. Это одно из условий, которое можно наложить. То есть, вы можете взять, рассмотреть два произвольных вектора AB, Взять, рассмотреть произвольно какую-то точку вашей плоскости И таким образом вы можете описывать все ваши точки Поэтому здесь сразу приходит на ум следующее Что все R-векторы, которые удовлетворяют данному равенству Для смешанного произведения Они будут описывать вашу плоскость То есть все такие R-векторы, которые удовлетворяют данному равенству Вам выдают плоскость Все такие R-векторы, которые удовлетворяют данному равенству

2:01:34 Вам выдают плоскость Это же еще можно записать так, R это есть R0 вектор, ну или R-R0, это есть просто как линейная комбинация A вектора и B вектора. A вектор T плюс вектор B, ну например на число K, где T и K это просто какие-то действительные числа.

2:02:07 Вот два способа, они на самом деле просто эквивалентны друг другу, один из таких способов. Но возникает вопрос, а можно ли как-то еще? А я честно скажу, да, можно. Можно. Если еще внимательнее посмотреть. Обратите внимание, вот что здесь написано. Здесь написано скалярное произведение r-r0 на векторное произведение a на b. А что такое векторное произведение a на b? О, ну это элементарно. Ватсон, это будет нормаль к вектору. Нормаль к плоскости Которая просто не единичная

2:02:52 Почему? Потому что вектор n как раз перпендикулярен вектору а Вектор n перпендикулярен вектору b Это и будет в свою очередь нормаль к нашей плоскости Вектор n равняется 0 n вектор нормаль Просто не единичная Поэтому еще один способ записывать так r-r0 на вектор n Это будет нолик. Это новый способ описания плоскости.

2:03:40 Ну, можно это еще чуть-чуть переписать. Можно сказать, что, ребят, скалярное произведение r на n вам дает, получается, r0 на n. Но это просто какая-то константа d. Поэтому еще один способ описания вашей плоскости, это будет скалярное произведение r на n, которое равняется константе. То есть это просто будет d. Просто обыкновенное число. Видали? То есть плоскость, в свою очередь, мы можем с вами охарактеризовать стандартным таким образом через скалярное произведение. Где, если у вас так получается, что r на n это просто какая-то константа, какое-то чиселко, то тогда r вектор описывает геометрическое место точек данной плоскости с вектором нормали n.

2:04:26 Круто, очень круто. Здесь напишите d, если мы с вами с этим согласны.

2:04:35 d, если это для нас согласны. Так, векторное произведение, скалярное произведение в разных геометрических ситуациях. Ну, а вдруг пригодится. Так, это была часть первая.

2:05:04 Теперь часть вторая. Формулы для расстояний.

2:05:16 Для расстояний. Тут будет несколько частей. Первая часть, например, от точки до плоскости.

2:05:32 До плоскости. Ну, как-то так. Если я возьму, рассмотрю какую-то плоскость. Эй, что-то ты вперед уехал. Вот, то есть, допустим, у меня есть какая-то плоскость α. У меня есть какая-то точечка, родненькая, вот она точечка. То как я могу взять и найти, например, расстояние от этой точечки до плоскости? То есть, вот это расстояние ρ. Вот как мне находить ρ? Расстояние от точечки до плоскости. Точечка у меня m0. Ну, смотрите, давайте мы возьмем и скажем, что в свою очередь, как бы так сказать, у нашей точечки есть свой вектор R0, правильно?

2:06:41 То есть если я вот здесь задам начало координат, где бы только задать, давайте здесь, начало координат, то тогда вот у меня есть R0 вектор, он будет задавать им 0. r-вектор, который будет соответствовать некой формуле, некой формуле ограничения.

2:07:28 То есть, если вам известно, что плоскость задается вектором нормалью, вот вектор нормали n, то что мы с вами можем, во-первых, сделать? Во-первых, зададим, конечно же, плоскость. Плоскость у нас будет задаваться скалярным произведением r на n, где это будет какое-то число d, которое нам выдали. То есть, это число d нам выдали, и таким образом я могу описывать нашу плоскость. Это формула описания нашей плоскости. А второе, как я могу находить ρ? ρ могу, наверное, выделить так. Вот смотрите, если я проведу вот этот вектор, найду векторную проекцию на нормаль,

2:08:14 а потом найду длину этой векторной проекции, это и будет расстояние. То есть я бы так сказал, что ρ это будет длина векторной проекции вектора r0-r на вектор нормали. Давайте вот так напишем. r0-r на вектор нормали. Видали? Попробую это здесь как-нибудь показать. Вот у меня r0-r.

2:08:53 И если я буду проецировать вот этот вектор на вектор нормали, вот он вектор нормали, который перпендикулярен. Проецирую, получаю вектор, смотрящий вверх, который перпендикулярен этой плоскости И его длина будет мне выдавать, конечно, ρ Ну а как считается проекция, ну или векторная проекция, мы с вами сегодня уже записывали Оно выражалось как скалярное произведение r0-r на вектор n Потом это все делилось на длину вектора n вроде в квадрате что ли

2:09:45 Да-да-да-да, то есть у вас был n-вектор, а здесь была модуль n-вектора в квадрате. От этого всего берем модуль. И тогда я получаю, что если я здесь возьму, навешу на это модуль, то у меня один модуль сократится, и я получаю, что ρ будет мне выдавать скалярное произведение R0-R на вектор n, и все это деленное на модуль n. Вот так вот. Это один из способов как раз-таки нахождения вашего расстояния от точки до прямой. Но если вы раскроете данное скалярное произведение, то вы получаете, конечно, что здесь у вас будет R0 на N скалярное произведение

2:10:32 минус то самое число D, деленное на модуль вектор N. Вот так вот. Это один из способов как раз-таки нахождения расстояния от точки до плоскости. Потом у нас идет от точки до прямой И, например, там еще можно находить между скрещивающимися прямыми Но я думаю, здесь от точки до прямой нам пока будет достаточно От точки до прямой Ну, смотрите, допустим, у вас есть какая-то прямая L Сейчас, сколько у нас там?

2:11:25 У нас с вами прошло, прошло И где оно посмотреть? Вот оно, 2.12 Так, ставим сюда, сюда, сюда Допустим, у вас есть прямая L Эта прямая L как раз-таки будет задаваться вектором A Вот зададим вектором A И меня интересует расстояние от точки до прямой Вот у меня будет та самая точка Как вы понимаете, я могу эту точку как раз-таки задавать следующим Вот у меня будет центр O Здесь у меня будет вектор R0

2:12:14 Какую-то произвольную точку я могу задать вектором R все это будет наш вектор r как будем задавать прямую прямую как вы помните мы с вами могли задавать вот таким образом как r0 плюс от и нам никто это не запрещает делать вот только наверное r1 давайте здесь вот r1 вот здесь вот произвольно вот этот вектор r то есть r1 у нас будет соответствовать какой-то произвольной фиксированной точки на нашей прямой r вектор будет как раз и описываю все точки на нашей прямой. Вот и получаем, что R-вектор это будет

2:13:00 R1-вектор только, плюс AT. Возникает вопрос, а как же найти расстояние от данной точки до прямой? Далеко. Вам нужно как-то взять и найти вот это расстояние, то есть опустить вот этот перпендикуляр.

2:13:25 А вот здесь мы с вами можем поступить следующим образом.

2:13:33 Вот мы можем, наверное, попробовать сделать так. У нас же есть фиксированные точки r1 и r0 мы можем попробовать вот рассмотреть наверное вот этот вектор потом здесь например задать вектор а правильно вот он достроить это до параллелограмма найти площадь этого параллелограмма и и все и тогда если вы поделите на длину а вы получаете высоту это вот такой некий не хитрый способ то есть сделаем еще раз так раз потом здесь отложим тот самый вектор а

2:14:23 2 3 получается образовался параллелограмм так и вот эту беру вот так образовался наш параллелограмм здесь как раз китоса то самое расстояние ро и я получаю что площадь этого пролограмма, она у нас как Я получаю, что площадь этого параллограмма будет вычисляться. Это будет длина векторного произведения, то есть модуль векторного произведения R0 вектор минус R1 вектор и взятого с вектором А.

2:15:16 Во как! А с другой стороны, с другой стороны, чему равняется эта площадь? Но, конечно, это просто будет длина вектора А, умноженная на данное расстояние ρ. Вот и все. То есть, вот ваш вектор А, и как раз вот эта площадь параллелограмма, она будет себе задержать как ρ, умноженная на длину вектора А. Поэтому ρ можно находить как модуль векторного произведения R0-R, умноженная на вектор А. И все это мы с вами берем и делим на длину вектора А.

2:16:06 Добро пожаловать, используйте, удовольствие. Вот так вот. Это как некий такой способ нахождения. Кстати, что-то похожее можно использовать в случае скрещивающихся прямых. То есть, например, в данной ситуации я использовал случай, когда я искал расстояние от прямой до точки. А можно находить расстояние между двумя скрещивающимися прямыми. Но в этой ситуации там уже будет использоваться смешанное произведение. Но я думаю, здесь пока вот таких примеров достаточно по векторному произведению.

2:16:47 Да, нельзя разность вектора тоже спроецировать. Спроецировать на какой вектор только? То есть тебе же нужно задать вектор. Вектор перпендикулярный получается вектору А. И нужно его именно вот как-то вдоль этого направления задать. Вопрос, как ты его задашь. Я уверен, что, наверное, что-то можно придумать. Потому что в чем прикол? У прямой у тебя же этих нормалей тут бесконечно много. Куда угодно не смотри, тут целая плоскость будет состоять, на самом деле, из таких прямых, которые перпендикулярны.

2:17:36 Так, дайте-ка подумать, что мы дальше. Я предлагаю тогда потихонечку, то есть раз мы с вами здесь, хотя... Ну давайте, ладно, я дам формулу для скрещивающихся прямых и перейдем к кривым второго порядка. И как раз-таки в целом некий обзор на аналитическую геометрию у нас такой выйдет на сегодня. Так, между скрещивающимися прямыми. Так, между скрещь прямыми.

2:18:15 Да, сделаем так. вот у нас есть раз прямая вот нас есть два прямая скрещиваются это значит что они лежат в разных плоскостях я думаю боюсь боюсь пока нам рано ладно давайте все-таки ладно к кривым 2 порядка то есть перейдем кривым 2 порядка у нас третий будет пунктик кривые 2 порядка 2 порядка попробую

2:19:03 поместить. Вот что обещал, то попробую поместить, конечно, как я понимаю, за 3 часа все это и вправду, даже в беглом виде с хоть некоторыми задачами не получится нам успеть. Ну, раз обещал, давайте дорасскажу. Там уже обдумаю. Так, кривые второго порядка. Здесь, смотрите, на самом деле всего у нас с вами как я помню, 9 кривых второго порядка. Да, 9 кривых, то есть там 3 лептического типа, два гиперболического типа, четыре параболического типа, и все это можно выводить просто из одного уравнения, ну или из одного выражения, из одной формулы. И получая все эти 9 типов, рассматривая разные ситуации, рассматривая как раз-таки повороты там нашей системы координат, параллельный

2:19:52 перенос системы координат и так далее. Я предлагаю здесь без этого, то есть это уже чисто как раз аналитическая геометрия здесь предлагаю просто рассмотреть три самых базовых случая 3 главный кривых это будет сначала эллипс давайте рассмотрим попробуем там уже подумаем эллипс что мы в этом случае можем сказать ну стандартном виде каноническом виде у нас будет запись эллипса в следующем виде x квадрат на а квадрат плюс y квадрат на b квадрат нам дает единицу таким образом мы будем описывать геометрическое место точек который будет располагаться в следующих

2:20:41 местах так давайте вот это немножечко я удлиню во здесь будет x y тогда здесь раз хотя наверно так с вас здесь сколько 5 до 1 давайте 4 4 3 ну вот надо чуть развернуть дай-ка еще раз попробую

2:21:31 Я не помню, у меня нет что ли? Что-то должно быть же. А, ну вот, да, да, да, да, да, все, достаточно. А, и так сойдет. И так сойдет. Чуть-чуть только смещу. так у нас а и b это будут полуоси а это у нас будет большая полуось бы это будет меньшая полуось здесь у нас будет центр о в основном будем считать что конечно а у

2:22:22 нас там больше либо равняется чем бы в каноническом виде но это не принципиально то есть так то эллипс по сути своей можно и задавать просто когда у вас об этом разные но в каноническом виде а больше равняется чем b и конечно а вас больше 0 и b больше ну и то иначе было бы как странно что мы с вами здесь можем увидеть что конечно если а и b у нас будут будут одинаковы то мы с вами получим просто стандартную окружность больше ничего также в чем прикол эллипса эллипс на самом деле характеризуется фокусами а именно фокусами f1 и f2 чем их прикол Прикол следующий в том, что если вы возьмете какую-то произвольную точку на вашем эллипсе

2:23:14 И будете смотреть за этими длинами L1 и L2 То их сумма окажется одинаковой Она будет постоянной То есть L1 плюс L2 будет равна константе В целом так на самом деле эллипс вы построить и можете То есть вы можете просто взять, вбить два гвоздя в стол Взять одну нитку Концы нитки прикрепить к этим гвоздям И далее карандашиком за счет вот этой нитки, то есть сюда вставить карандаш, вот так вот елозить, елозить, елозить. И таким образом при натянутых нитях вы изобразите эллипс.

2:23:54 То есть главный смысл, вот первое, L1 плюс L2 равняется константе. А маленькая. L1 плюс L2 равняется константе. Ну и кстати, в целом можно даже попробовать как-то посчитать, чему будет равняться A. Из-за учета того, что вот здесь, например, можно учесть вот это фокусное расстояние и вот здесь Но сразу могу сказать, что как раз L1 плюс L2 Или по-другому как MF1, MF2 Давайте вот так напишу MF1 плюс MF2 Оказывается, нам всегда будет выдавать две большие полуощи 2А

2:24:43 Это связано с тем, что есть как раз вот это второе свойство что MF1 можно, оказывается, находить как? А, ну, хотя вот здесь немножко рано. Да.

2:25:02 Вот. То есть, таким образом, можно просто брать и строить ваш эллипс. Чем еще любят характеризовать? Ну, вот, характеризуется, в свою очередь, эллипс, как я уже сказал, конечно же, изначально это фокусами. Фокусы. Это, в свою очередь, две точки. Вот такие F1 и F2. F1 и F2. Они будут располагаться, на самом деле, на расстоянии, как любят некоторые обозначать, на расстоянии c. То есть вот здесь вот как бы c. Можно называть расстояние как f, без разницы. Но сами точки f1, f2, например, расположены в координатах плюс-минус c в точке 0. Если мы к f1 и f2 будем относиться как просто точки.

2:25:51 Как будут c находиться? c будут находиться как a2-b2 и все это под корнем. В свою очередь это можно как раз найти из условия того, что взять и рассмотреть вот такой треугольник, рассмотреть здесь теоремию Пифагора, и вы получите, что у вас как раз здесь будет тогда А, здесь будет С, а вот будет ваше В. И таким образом вы получаете, что А квадрат плюс А квадрат, это будет В квадрат плюс С квадрат, и мы находим наше С.

2:26:33 Почему здесь, если рассматривать эту ситуацию, потому что, как я уже отметил, вот ваши длины L1 и L2, они в сумме должны давать константу, они должны давать всегда 2A. И таким образом, если вы рассматриваете вот эту ситуацию, то у вас будет здесь АА, потому что каждая из них, они же будут одинаковые, поэтому L1 будет равняться L2, будет давать вам А. И тогда вы просто рассматриваете вот этот прямоугольный треугольник ABC. а квадрат будет давать вам b квадрат плюс c квадрат здесь наверное я буду вот так немножечко быстрее проходить чтобы было уложиться в некоторые наши тайминги дженову не называется потому что у

2:27:33 нас это понимает три еще штучки сколько у нас там 228 да да да да мне нужно будет немножечко тогда ускоряться еще здесь можно будет вводить такое понятие как x центриситет центре си тет Он является некой характеристикой эллипсов, параболы, киперболы и имеет определенные свои значения. И с помощью эксцентриситета можно найти в полярных координатах выражение для записи положения наших точек кривых второго порядка.

2:28:21 Здесь пока без вывода, просто напишу, что эксцентриситет как раз записывается как просто c делен на a. То есть мы просто берем, делим вот это значение на вот это значение. То есть мы смотрим затем, во сколько раз у нас отличается c от a. Вот и все. И в нашей ситуации, когда мы с вами работаем с эллипсом, эксцентриситет обязательно должен быть меньше единицы. Эксцентриситет как тогда еще будет записываться? С учетом верхней формулы это будет а квадрат минус b квадрат деленное на а. И возникает такой момент, а что если, например, эксцентриситет равняется нулю? Что в этой ситуации будет?

2:29:07 Тогда будет просто окружность. Потому что обратите внимание, в этой ситуации у вас а и b будут просто одинаковые. И никаких вот таких фокусов различных двух у вас не будет. Потому что в окружности этих фокусов нет. У вас f1 и f2 это будет просто центр вашего эллипса. Что же еще можно здесь, наверное, отметить? Также здесь есть такие вещи, как директрисы. Директрисы. Давайте я их правее напишу.

2:29:49 Директрисы. Тоже некие вспомогательные наши прямые. Они у нас возникают в следующем виде. Их координаты будут... Их координаты будут выражаться как плюс-минус А деленное на эпсилон. Вот, наверное, попробую вот здесь еще отобразить. Жалко, я думаю, куда бы это все вставить. Этсю дыма, этсю дыма, этсю дыма, этсю дыма, этсю дыма, этсю дыма, этсю дыма. Так, я тогда изображаю вот этот эллипс. Ага, конечно, он мне позволил изобразить эллипс.

2:30:38 вот изображаем эллипс я попробовал так 1 2 и 3 с так x y здесь конечно наверное мне вдаль нужно сейчас дайте-ка я могу сжать о могу могу отлично так что-то ты не не тот вот так

2:31:30 эксцентриситет и ой наши директрисы будут находиться где-нибудь да здесь конечно здесь мне нужно еще нормальнее их сообразить но положение этих точек будет располагать будет такое здесь будет минус а деленное на епсилон здесь будет плюс а деленное на епсилон и в чем будет смысл директрис так в том что у вас если возьмете какую-то произвольную точку вот например взяли какую-то произвольную точку давайте возьмем вот здесь например фокусы f1 и в 2 а здесь произвольную точку м то тогда будет фокус следующим что вот если вы теперь возьмете

2:32:20 ухты возьмете опустите перпендикулярно вашей директрисы и получите здесь k2 а здесь к 1 то тогда при рассмотрении еще дополнительного таких прямых мы получаем следующее свойство что оказывается mf1 к mk1 будет вам выдавать mf2 на mk2 это будет вам выдавать эксцентриситет о как то есть мы с

2:33:06 вами получаем что отношение этой стороны к этой потом этой стороны к этой стороне у вас одинаковые вам выдает эксцентриситет ого как она в этом смысл директрис то есть у вас возникает некое геометрическое свойство между такими кусочками, между такими ломанами. Также V, что хотелось бы здесь отметить, это некое оптическое свойство, оно связано с тем, что если вы теперь здесь будете проводить какую-то касательную, то есть, например, вот здесь, ну давайте снизу я проведу касательную, вот здесь вот так, вот так, это будет касательное, то возникает некое еще одно геометрическое свойство.

2:34:04 Если возьмете, пустите здесь лучик, то он обязательно попадет в другой фокус. Видали? Мне кажется, это очень круто. Это такое свойство фокуса, ой, фокусов. Пускайте один луч из одного фокуса, попадает это в другой фокус. Это связано с тем, что вот если вы проведете вот здесь нормаль, то этот угол будет равен этому. Фи, фи. Это будет ваше оптическое свойство. В, оптическое свойство. Оптическое свойство. Это очень важно знать, особенно для физиков. Так, что еще в целом можно сказать? Ну еще, как некие фанфекты, которые в идеале вывести, но в качестве уже упражнения,

2:34:54 Выводить нужно следующее, что оказывается вот эта длина MF1 или L1 та же самая Она будет находиться как A плюс εx, MF2, A минус εx То есть таким образом, если вам известна ваша точка M и вы смотрите за MF1 То оказывается всегда это можно находить, просто зная A, эксцентриситет и положение координаты Очень удобно Так, про эллипс, какие-то основные слова я вроде здесь попробовал высказать, предлагаю здесь тогда пойти дальше, перейти к гиперболе, а то и параболе, да, давайте немножечко пару слов скажем про гиперболу, а после чего мы уже перейдем к параболе.

2:35:40 Пока здесь напишите тогда 40, если мы просто в целом познакомились с такими понятиями, как фокус, эксцентриситет, директриса, пока просто познакомились и узнали, что, о, ну да, x это координата, x это координат нашей точки m, вот, x это координат нашей точки m. То есть мы просто с этим познакомились, узнали, что прикольно, оказывается, есть такие некие формулки, которые в свою очередь, конечно, в идеале нам вывести, но сегодня, мне считай, остается сейчас 20 минут, я навряд ли все это успею вывести. И в целом, как я уже понял, конечно, для этого нам потребуется намного больше времени, чтобы с этим всем, если мы хотим подробно разбираться, то подробно разбираться, намного больше времени.

2:36:35 Поэтому пока я буду просто доводить до конца и вкратце бегло вас знакомить с основными понятиями.

2:36:47 Услышали, потом если что в другом месте изучить, вам было проще. Либо если захотим сделать что-то максимально подробное, полноценный какой-нибудь большой рассказ, то будет проще восприниматься. Так, что у нас гипербола? Гипербола, в свою очередь, будет задаваться как х квадрат минус у квадрат на b. Да, в каноническом виде это будет выглядеть именно так. И в каноническом виде нас будет интересовать в случае оси y, x. Вот они, оси y, x. Так, попробую как-нибудь изобразить. Конечно, мне, как всегда, здесь первоначально нужно будет начать с директрис.

2:37:33 Ой, не с директрис, а с асимптот. Я предлагаю их такими сделать.

2:37:44 Так, асимтота, и пошло-поехало. О, та же что-то нормально получилась. Так, и вот здесь.

2:38:05 Вот здесь приподниму. Отлично. Да, нормально. Так, это будут наши гиперболы. Теперь здесь, в чем будет смысл? Мы будем здесь пересекать А плюс-минус А. А, кстати, у нас будет называться как вещественная полуось, А, Б, мнимая полуось Вещественная полуось А, Б, мнимая полуось Полуось Конечно, мы под ними будем подразумевать что-то положительное Также у нас будут с вами асимптоты Это такие прямые, к которым наша гипербола будет на бесконечности стремиться

2:38:54 То есть наша гипербола никогда за них не зайдет И она всегда будет лежать вот здесь, просто будет стремиться к ним Это наши асимптоты Уравнение для асимптот будет записываться как y плюс минус bax Записать это достаточно легко То есть по скриптуме, знаете, как это можно для себя отметить То есть если у вас x, y устремились в бесконечность То в этой ситуации вы можете считать, что у вас x квадрат минус a квадрат минус y квадрат b квадрат Ну примерно равняется нулю, потому что единица много меньше по сравнению с ними Ну вот отсюда вы и получаете ваше выражение, что у квадрат на b квадрат будет равняться х квадрат на а квадрат,

2:39:39 а значит у на b будет равняться плюс-минус х на а. Вот они ваши асимптоты. Какие основные свойства, чем будет характеризоваться ваша гипербола? Ну, в свою очередь фокусы. Первоначально это будут фокусы f1 и f2. Давайте попробовать немножечко здесь сместить.

2:40:10 Вот так. Так, фокусы f1 и f2, к ним можно относиться как к точкам, и мы получаем, что это как бы такие две точки, и f1 и f2, у которых тоже будут координаты как бы плюс-минус c0. То есть здесь вы получаете расстояние c, и здесь расстояние c, то есть фокусы будут характеризоваться вот этим расстоянием c. В данной же ситуации c, кстати, будет вычисляться как корень из a2 плюс b2 Для себя это можно, наверное, пометить так То есть так как у вас b типа мнимая полуось, то там здесь вот минусик Значит где-то типа мнимый единица возникает

2:40:57 Из-за чего вот в предыдущей ситуации у нас был минус Где ты, где ты, где ты, где ты Вот был минус А теперь станет плюс Потом будет характеризовываться, конечно, эксцентриситетом.

2:41:20 Эпсилон у нас будет ровно аналогичным. С деленное на А. Но, как вы понимаете, теперь это будет А квадрат плюс Б квадрат деленное с очередь на А. А значит, это будет строго больше теперь, чем единица. Поэтому эпсилон меньше единицы у нас характеризует наш эллипс. Эпсилон больше единицы у нас будет характеризовать вот некую такую гиперболку. Ну и финальное, что можно еще ввести, это, конечно, директриса.

2:41:52 Это будут также две прямые с x плюс-минус a деленное на ε. Но их никто никуда не выкидывал. Только теперь, так как ε у нас больше, чем 1, поэтому директрисы будут находиться вот здесь.

2:42:10 Так, вот они. a деленное на ε минус a деленное на ε. Так, и вот сейчас давайте посмотрим, а какие-то геометрические красивые свойства у нас с вами будут возникать. Ну вот, свойства будут следующими. Попробуем их высказать. Я думаю, может быть, еще раз изобразить. Давайте еще раз продублируем.

2:42:48 Так, копировать, вставить.

2:42:55 Так, эту часть, это мне нужно. Эта часть я убираю, вот эту часть убираю, вот эту часть убираю. Давайте вот эту часть я уберу и вот эту часть уберу. Да. Теперь я беру, рассматриваю какую-то точечку M, произвольную с координатами x, y. У меня тогда будет MF2, у меня будет MF1. А также у нас будет расстояние до каждой из этих директрис. То есть Mk2 и Mk1.

2:43:42 В случае директрис свойства будут достаточно простые. То есть аналогично у вас mf1, деленное на mk1, будет вам выдавать mf2 на mk2. То есть у вас отношение вот этих сторон mf1 к mk1 будет ровно такое же, как mf2 к этой стороне. И ровно таким же ε. Просто в данной ситуации у вас ε будет больше, чем 1. Далее. Дополнительное свойство еще следующее. Вот оказывается модуль разности mf1 минус mf2 теперь будет вам выдавать 2а То есть до этого в случае эллипса у нас была сумма mf1 плюс mf2 вам выдавала 2а Теперь мы будем смотреть за модулем разности и будем получать также 2а

2:44:29 Такое интересное свойство мы имеем как раз у гипербол И финальное, что хотелось бы здесь отметить, это также оптическое свойство Про него не будем забывать Давайте изобразим здесь касательную, вот она будет касательная, и в этой ситуации у нас данный уголочек обязан будет равняться вот этому уголку. Фи-1, Фи-2. Вот Фи-1 равен Фи-2. Оптическое свойство. Так, вот как-то так. Да вроде бы все. Про гиперболу здесь мы все основное сказали. Предлагаю тогда финальные слова сказать про параболу. Давайте парабола. И тогда на сегодня хватит. Получилось такой, знаете, считай, вся аналитическая геометрия за три часа.

2:45:41 Так, y квадрат можно записать как 2px То есть уже в этой ситуации, если мы с вами говорим про параболу В случае аналитической геометрии То здесь, конечно, парабола будет задаваться немножко по-другому Не как мы привыкли к этому в школе И будет вид следующий Оп, вот сюда Так, наша параболка Здесь, конечно, будет p больше нуля

2:46:26 Что можно будет высказать здесь? Здесь аналогично будут вводиться самые основные моменты. Первое, это, конечно, будет фокус. У фокуса координаты будут P на 2.0. В чем плюс фокуса? Вот я, кстати, сегодня на смене с Nellius 2.0 как раз это показывал, доказывал. Плюс фокуса в том, что если у нас оптический луч падает сюда, то он всегда будет попадать в наш фокус. То есть если вы пускаете параллельный пучок света, то он здесь окажется в фокусе, Но, конечно, если вы выпускаете параллельно оси симметрии вашего фокуса Вашей гиперболы, ой, вашей параболы Все, заговариваюсь Так, сюда

2:47:14 И пошли, поехали сюда Так, фокус есть Также у нас вводится эксцентриситет Эксцентриситет ε в данной ситуации Он оказывается равным единице То есть для параболы У вас, как бы, считай, типа вот те самые c и a, они одинаковы. И просто мы говорим, что, ребят, в случае параболы у нас эксцентриситет равен единице, а в этой ситуации, как мы с вами понимаем, если я буду говорить про директрису, директриса, она будет находиться в координате как раз-таки минус p на 2.

2:48:01 Ну, это как раз-таки, считай, минус a деленное на ε, ε равняется единице, а это будет наше p на 2 в данной ситуации. Изображаем нашу директрису. Прикол с директрисой будет следующий. Как мы с вами до этого привыкли? Если я рассматриваю какую-то произвольную точку m, то у меня расстояние mf, деленное на mk, должно мне давать ε. Но у меня ε равняется 1, поэтому mf мне будет давать mk. То есть оказывается, что в случае параболы у меня расстояние от фокуса до точки на параболе будет равняться расстоянию от директрисы до моей точки на параболе.

2:48:52 Это очень важное свойство. За счет этого свойства можно придумывать задачи по баллистике, по кинематике. Честно признаюсь, сам с этим впервые в жизни познакомился на курсе Всеросплюс от отделения физики. Это правда. Там как раз и узнал, что была целая большая конференция на эту тему. И сейчас, как я понимаю, более-менее набирает обороты, такая кинематика. И также многие просят. Может быть, даже и вправду, можно будет об этом тоже поговорить. И там раскрыть все эти свойства параболы, как это можно красиво применять в задачах. Вот как-то так. Все. В целом у меня, слава богу, как раз и получилось, что задача.

2:49:40 И вот я думаю, нужно ли вам полноценный какой-нибудь курс по аналитической геометрии? То есть нужно ли как-то это все полноценно, например, рассказывать на ютубе? Или же, допустим, по аналитической геометрии хотелось бы именно привязанное к физике? То есть как-то попробовать это так сократить, что именно посмотреть в принципе физике, как это применяется. Вот надо подумать, как это будет реализовывать. Но некоторые, знаете, экспериментальный план на сегодня, я считаю, выполнен. То есть это некоторый эксперимент, пробуем, пробуем как-то знакомить с некоторыми азами высшей математики, которую просто почему-то очень многие сильно хотят, хотя в действительности в школьной физике она не сильно нужна, если мы говорим про перечневые олимпиады.

2:50:25 Ну, в Сиросе, может быть, местами некоторые, но, честно вам скажу, там все, я считаю, достаточно и на векторном произведении. Все, значит, векторное произведение, и все, и там нормально. Но многие как-то просят, многие как-то хотят, типа, ой, расскажите, давайте прям, ух, вы шмат, ух, давайте функции многих переменных, ух, давайте прям подробно. И вот, не знаю. Если вам нужно, то давайте. Вот если мы как раз, я увижу как-то активность под комментариями, что вам прям хочется что-то более жесткое, более тяжелое в плане вышмата, вам прям хочется прям подробный вышмат, то пишите подробный вышмат, но я подумаю, может быть, что-то и вправду бесплатное, сделаю какой-нибудь бесплатный рассказ, либо, не знаю, либо, может быть, как-то обдумаю этот момент.

2:51:13 Вот, буду рад вашим мыслям, буду рад, если мы с вами совместно сейчас будем что-то придумывать новое, классное, что для вас будет очень-очень полезно На этом я скажу всем спасибо большое за занятие, буду очень признателен вашим сообщениям в комментариях, либо в личных сообщениях Пишите ваши предложения на тему того, что бы вы хотели видеть от меня Потому что этим вебинаром Я надеюсь, я смог показать, что я готов Экспериментировать, я готов что-то новое Вам рассказывать, так что пишите Я буду обдумывать И может быть что-то новое для нас Вводить по математике Все, так что вам

2:51:58 Спасибо огромное за занятия Всем счастья, мир, добра, любви Прекрасного вам вечера Завтра у меня будет два занятия Снеллиус и Фарадей 2.0, так что кто еще Кстати, не присоединился, присоединяйтесь, буду вас ждать. Будем мощно, много ботать оптику и магнетизм. Так, как ты думаешь, какая сфера в науке сегодня привнесет сравнительно большой вклад в будущее? Я боюсь, я не имею, я боюсь, я не имею, как бы, всех, не имею такого статуса, чтобы пока что говорить, что в науке сейчас будет стрелять. Потому что я только вхожу в этот мир науки, я только начинаю с ним знакомиться. То есть я на самом деле с точки зрения науки сейчас вот такой вот младенец, поэтому я не знаю, я еще не сильно в это не вдавался.

2:52:48 Конечно, многие говорят, что вот, там нужен искусственный интеллект, там типа, но это в основном некий маркетинг, местами хайп, потому что на самом деле я считаю в науке очень много разных перспектив, очень много разных направлений, где чем можно заниматься. Самому мне интересно что-то в физике изучать Буду как-то пробовать это изучать С точки зрения науки Посмотрим Когда познакомлюсь, тогда я расскажу Что, на мой взгляд, будет наиболее сейчас популярно Так, как думаешь, курс по олимпиадам физики И твой, одни из самых мощнейших Ну, я считаю, мощнейших у нас очень много Конечно, Парфенов Мой. Пенкин нельзя отрицать. Михаил Александрович Пенкин. Шикарный преподаватель, я сам у него учился. У него, я считаю, тоже очень-очень-очень сильный курс, тем более я могу увидеть, как он сейчас сильно его расширяет, это очень-очень круто.

2:53:49 Так что тоже считаю его один из самых мощнейших. Отделение физики сильный. Единственное, я у них проходил только в Серос Плюс, так что не знаю, что там по другим предметам. По самим вот таким годовым курсам. По тому, как маркетинг, ну, наверное, хорошо. Отлично. Преподаватели там сильные, крутые. Лично я сам смотрел, вот у них в Серос Плюс, классный, крутой. Вот сам смотрел Парфенова, во, топчик. Я у него на Сириус-Курсах это ботал. Сириус-Курсы, топчик. Ботал Бенкина, во, топчик. Так что вот так, да. Могу сказать, что и у Лёгких Сминцисков очень классный канал.

2:54:36 Можете тоже смотреть. Так что вот так, вот всех прорекламировал как-то. Вот, ну, выбирайте сами, смотрите сами. Выбирайте, кто вам больше нравится, либо ботайте сразу и везде, потому что всегда, в целом, знания мы должны получать все вместе. Все, так что всем пока-пока, я побежал, подумаю, когда проведем открытый стрим с ответственными вопросами, постараюсь на грядущей неделе, но это если получится. Так что все, всем пока-пока, счастья мира, добра, любви, спасибо большое за занятие, вот, до встречи.