Плоский конденсатор

Возьмём два проводника и сообщим им равные по модулю разноимённые заряды \(\pm Q\). Почти все силовые линии, которые вышли с одной обкладки, заканчиваются на другой: поле «живёт» в зазоре и почти не вылезает наружу. Такую пару и называют электрическим конденсатором, а сами проводники — его обкладками.

Ёмкость конденсатора определяют так: \[ C=\frac{Q}{\varphi_1-\varphi_2}=\frac{Q}{V}, \] где \(V\) — разность потенциалов именно между обкладками. Это отношение не зависит от \(Q\): если удвоить заряд, удвоится и поле в зазоре, удвоится и \(V\).

У уединённого проводника второй «обкладки» нет. Потенциал считают от бесконечности, где \(\varphi_\infty=0\), и пишут \(C=Q/\varphi\). Поле такого проводника заполняет всё пространство, поэтому его ёмкость мала и зависит от того, что стоит вокруг: соседняя стена, рука, другой проводник. У конденсатора поле заперто в щели толщины \(d\ll\sqrt{S}\), внешние тела его почти не чувствуют, и \(C\) определяется только геометрией зазора.

Порядок величин полезно держать в голове. Уединённый шар радиуса \(R=10\) см имеет \(C=4\pi\varepsilon_0 R\approx 11\) пФ. Плоский конденсатор той же «площади» \(S\sim 3\cdot10^{-2}\) м\(^2\) при зазоре \(d=1\) мм даёт \(C=\varepsilon_0 S/d\sim 270\) пФ — в десятки раз больше. Именно поэтому конденсатор и выигрывает: мы «приблизили бесконечность» на расстояние \(d\).

Ёмкость Земли как уединённого шара \(4\pi\varepsilon_0 R_\oplus\approx 710\) мкФ. Конденсатор в 1 Ф — шар радиуса \(9\cdot 10^9\) м, больше орбиты Луны. Пара пластин выигрывает не размером, а тем, что вторая обкладка сидит в миллиметре, а не на бесконечности: поле не разбегается, и те же пикофарады собираются на ладони.

Ёмкость плоского конденсатора (вывод — в следующей задаче) \[ C=\frac{\varepsilon_0 S}{d}. \] Поле в зазоре однородно, краевыми эффектами пренебрегаем: \(d\) много меньше поперечного размера пластин.

а. «Размеры пластин увеличили в два раза» — это про линейные размеры \(a\) и \(b\). Площадь \(S=ab\) вырастет в \(2\cdot2=4\) раза. Зазор \(d\) не трогали. Значит, \[ C'=\frac{\varepsilon_0\cdot 4S}{d}=4C: \] ёмкость увеличилась в четыре раза.

Если бы увеличили все размеры, включая зазор, получилось бы иначе: \(S\times4\), \(d\times2\), \(C\times2\). Ёмкость имеет размерность длины, и при подобном растяжении всего конденсатора она растёт пропорционально масштабу. Но в пункте «а» зазор не меняли.

б. Площадь прежняя, зазор удваиваем: \(d\to 2d\). Тогда \(C\to C/2\). Если зазор увеличить в \(n\) раз, \(d\to nd\), \[ C\to\frac{C}{n}. \] Физика простая: при том же заряде поле \(E=\sigma/\varepsilon_0\) не зависит от \(d\), а разность потенциалов \(V=Ed\) растёт вместе с зазором — за тот же \(Q\) «платим» большим \(V\), ёмкость падает.

Растянуть только одну сторону пластины вдвое — площадь \(\times 2\), ёмкость тоже вдвое, не вчетверо. Сенсор телефона ловит изменение \(\sim 5\) пФ, когда палец увеличивает эффективную площадь. Зазор в знаменателе жёстче: микронный люфт на \(d=1\) мм уже даёт процент ухода \(C\), поэтому плоские эталоны ёмкости держат пластины на жёстких прокладках.

а. На обкладках заряды \(\pm Q\), поверхностная плотность \(\sigma=Q/S\). Поле одной бесконечной плоскости равно \(\sigma/(2\varepsilon_0)\), но внутри проводника поле должно быть нуль: вторая плоскость как раз гасит «своё» полупространство и удваивает поле в зазоре. Итого между пластинами \[ E=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}=\frac{Q}{\varepsilon_0 S}, \] снаружи — почти нуль (краевым полем пренебрегаем).

Поле однородно, поэтому \[ V=\varphi_+-\varphi_-=Ed=\frac{Qd}{\varepsilon_0 S}. \] По определению \(C=Q/V\): \[ C=\frac{\varepsilon_0 S}{d}. \] В системе СГС та же геометрия даёт \(C=S/(4\pi d)\), и ёмкость измеряется в сантиметрах.

б. \(S=20\) см\(^2=20\) см\(^2\), \(d=3\) мм \(=0{,}3\) см. В СГС \[ C=\frac{S}{4\pi d}=\frac{20}{4\pi\cdot 0{,}3}=\frac{20}{3{,}77}\approx 5{,}3\ \text{см}. \] В СИ: \(S=20\cdot10^{-4}\) м\(^2\), \(d=3\cdot10^{-3}\) м, \(\varepsilon_0=8{,}85\cdot10^{-12}\) Ф/м, \[ C=\frac{8{,}85\cdot10^{-12}\cdot 20\cdot10^{-4}}{3\cdot10^{-3}} =5{,}9\cdot10^{-12}\ \text{Ф}=5{,}9\ \text{пФ}. \] Связь единиц: \(1\) см \(_{\text{СГС}}=1{,}11\) пФ, и \(5{,}3\cdot 1{,}11\approx 5{,}9\) пФ — сошлось.

Пробой воздуха \(\sim 30\) кВ/см: зазор 3 мм держит не больше 9 кВ. На наших 5,9 пФ это энергия \(CV^2/2\approx 0{,}24\) мДж — искра слышна, ожога нет. Школьный воздушный конденсатор сидит в пикофарадах не потому, что «ёмкость мала по природе», а потому что \(d\) миллиметровый, а \(S\) — со спичечный коробок.

а. Сплошная металлическая пластина толщины \(d/3\) и площади \(S\) вставлена параллельно обкладкам. Внутри металла \(E=0\), поэтому разность потенциалов набирается только на двух воздушных щелях суммарной ширины \[ d_{\text{эфф}}=d-\frac d3=\frac{2d}3. \] Это всё равно что два плоских конденсатора с зазорами, в сумме равными \(2d/3\), соединённых последовательно (заряд на них один и тот же). Итого \[ C'=\frac{\varepsilon_0 S}{2d/3}=\frac32\cdot\frac{\varepsilon_0 S}{d}=\frac32\,C. \] Ёмкость выросла в полтора раза: часть пути «даровая», металл его не считает.

б. Пластина той же толщины, но площади \(S'<S\). Над площадью \(S'\) работает схема пункта «а», над остатком \(S-S'\) — исходный воздушный конденсатор. Эти два куска стоят рядом и имеют общую разность потенциалов — параллельное соединение: \[ C'=\frac{\varepsilon_0 S'}{2d/3}+\frac{\varepsilon_0(S-S')}{d} =C\Bigl(\frac{3S'}{2S}+\frac{S-S'}{S}\Bigr) =C\Bigl(1+\frac{S'}{2S}\Bigr). \] При \(S'=S\) возвращаемся к \(1{,}5\,C\); при \(S'=0\) — к исходному \(C\).

в. Пластина коснулась одной обкладки. Металл стал просто утолщением этой обкладки: зазор \(d/3\) «приклеился» к проводнику и исчез из игры. Эффективный воздушный зазор снова \(2d/3\), ёмкость та же, что в пункте «а». Касание ничего не меняет относительно уже вставленной сплошной пластины.

Фольга 0,1 мм в зазоре 1 мм «съедает» только десятую воздуха: \(C\) растёт на 11 %, а не в полтора раза. Полтора получается только при толщине \(d/3\), как в условии. Касание обкладки не добавляет этой десятой — металл и так эквипотенциаль, приклеивать его незачем. Весь зазор металлом — уже короткое замыкание, \(C\to\infty\).

Пусть на внутренней сфере заряд \(+Q\), на внешней \(-Q\). По теореме Гаусса поле есть только в зазоре \(R_1<r<R_2\): \[ E(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}, \] внутри металла обеих сфер \(E=0\), снаружи вся система нейтральна и поле тоже нуль.

Разность потенциалов \[ V=\int_{R_1}^{R_2}E\,dr=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\int_{R_1}^{R_2}\frac{dr}{r^2} =\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl(\frac1{R_1}-\frac1{R_2}\Bigr) =\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{R_2-R_1}{R_1 R_2}. \] Ёмкость \[ C=\frac{Q}{V}=4\pi\varepsilon_0\frac{R_1 R_2}{R_2-R_1}. \] (В условии внутренний радиус \(R_1\), внешний \(R_2\). Если в задачнике стоят \(a\) и \(b\), формула та же.)

Численно: сферы \(R_1=5\) см, \(R_2=6\) см дают \(C=4\pi\varepsilon_0\cdot 0{,}05\cdot0{,}06/0{,}01\approx 33\) пФ — втрое больше уединённого шара того же радиуса (\(4\pi\varepsilon_0 R_1\approx 5{,}6\) пФ). Близкие обкладки сильно поднимают ёмкость, в этом и смысл конденсатора.

Шар Ван-де-Граафа радиуса 20 см сам по себе 22 пФ. Надеть на него оболочку с зазором 1 см — \(C=4\pi\varepsilon_0\cdot 0{,}20\cdot 0{,}21/0{,}01\approx 470\) пФ, в двадцать раз больше. Близкая вторая сфера «приближает бесконечность», и в этом весь выигрыш сферического конденсатора против уединённого шара.

Слой толщины \(d\) с внешним радиусом \(R_0\) занимает область \(R_0-d\le r\le R_0\). Внутри металла слоя поле нуль, поэтому этот кусок «выпадает» из интеграла для \(V\). Остаются два воздушных промежутка, и через оба идёт один и тот же заряд \(\pm Q\) — последовательное соединение.

Ёмкость внутреннего конденсатора (сферы \(R_1\) и \(R_0-d\)) \[ C_1=4\pi\varepsilon_0\frac{R_1(R_0-d)}{(R_0-d)-R_1}, \] внешнего (сферы \(R_0\) и \(R_2\)) \[ C_2=4\pi\varepsilon_0\frac{R_0 R_2}{R_2-R_0}. \] Последовательное соединение: \(1/C=1/C_1+1/C_2\). Удобнее сразу сложить разности \(1/R\): \[ V=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl(\frac1{R_1}-\frac1{R_0-d}+\frac1{R_0}-\frac1{R_2}\Bigr), \] откуда \[ C=4\pi\varepsilon_0\Biggl(\frac1{R_1}-\frac1{R_2}-\frac{d}{R_0(R_0-d)}\Biggr)^{-1}. \] Слой «украл» кусок \(d/[R_0(R_0-d)]\) из скобки \(1/R_1-1/R_2\), и ёмкость стала больше исходной — как и у плоского конденсатора с металлической вставкой.

Слой 2 мм при \(R_0=5{,}5\) см между сферами 5 и 6 см крадёт из скобки \(d/[R_0(R_0-d)]\approx 0{,}70\) м\(^{-1}\) при исходных \(1/R_1-1/R_2=3{,}3\) м\(^{-1}\). Ёмкость растёт примерно на 25 % — тот же мотив, что пластина в плоском зазоре, только в \(1/r\)-метрике. Тонкий слой \(d\to 0\) крадёт нуль, касание внутренней сферы выключает внутренний конденсатор целиком.

Длина \(l\gg R_2\), краевыми полями у торцов пренебрегаем. Заряд на единицу длины внутренней жилы \(\lambda=Q/l\), на внешней оболочке \(-\lambda\). Теорема Гаусса на цилиндре радиуса \(r\), \(R_1<r<R_2\): \[ E\cdot 2\pi r l=\frac{\lambda l}{\varepsilon_0}\qquad\Longrightarrow\qquad E(r)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}. \] Снаружи система нейтральна, \(E=0\); внутри металла жилы и оболочки — тоже.

Разность потенциалов \[ V=\int_{R_1}^{R_2}E\,dr=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\frac{R_2}{R_1}. \] Ёмкость всего куска длины \(l\) \[ C=\frac{Q}{V}=\frac{\lambda l}{V}=\frac{2\pi\varepsilon_0 l}{\ln(R_2/R_1)}. \] Это формула коаксиального кабеля: чем ближе оболочка к жиле, тем больше \(C\).

Коаксиальный кабель 50 Ом имеет как раз \(C\sim 100\) пФ/м и \(L\sim 0{,}25\) мкГн/м, произведение даёт \(1/c^2\). Наша формула — половина этой конструкции (вторая половина — индуктивность). Для \(R_2/R_1=2\), \(l=1\) м: \(C=2\pi\varepsilon_0/\ln 2\approx 80\) пФ — типичный метровый кусок телевизионного кабеля.

Сотня метров телевизионного коаксиала — это уже 8–10 нФ. На 1 В в них сидит наноджоуль, на 100 В — 50 мкДж. Ёмкость задают на метр именно потому, что кабель — распределённый конденсатор: чем длиннее линия, тем больше \(C\) и тем дольше фронт импульса. Формула \(2\pi\varepsilon_0/\ln(R_2/R_1)\) — это и есть те самые пикофарады на метр из справочника.

Пока ленты лежат плашмя, \[ C_0=\frac{\varepsilon_0 a l}{d}. \] Свернём их в многовитковый рулон внешнего радиуса \(R\gg d\). Локально зазор по-прежнему \(d\), и главный вклад — та же плоская ёмкость \(C_0\): площадь обкладок не изменилась.

Поправка возникает из кривизны. Виток радиуса \(r\) — это цилиндрический конденсатор высоты \(a\): \[ dC=\frac{\varepsilon_0 a\,rd\varphi}{d}\cdot\frac{d/r}{\ln(1+d/r)}. \] Раскладываем \(\ln(1+d/r)\approx d/r-d^2/(2r^2)\), откуда \[ \frac{d/r}{\ln(1+d/r)}\approx 1+\frac{d}{2r}. \] Интегрируя по длине ленты и заменяя характерный радиус на внешний \(R\), получаем относительную добавку \(ld/(2\pi R^2)\): длина \(l\) «намотана» на площадь торца порядка \(\pi R^2\). Итого \[ C=\frac{\varepsilon_0 a l}{d}\Bigl(1+\frac{ld}{2\pi R^2}\Bigr). \] Если рулон намотан плотно, объём диэлектрика \(ald\) сравним с объёмом рулона \(\pi R^2 a\), и поправка порядка единицы. При \(R\gg\sqrt{ld}\) рулон «почти плоский», поправка мала.

Две ленты фольги 4 см \(\times\) 5 м через кальку 50 мкм дают \(C_0=\varepsilon_0 al/d\approx 35\) нФ — уже радиодеталь, не учебный пикофарад. Рулон радиуса 2 см добавляет поправку \(ld/(2\pi R^2)\approx 0{,}10\), десять процентов. Сворачивают не ради поправки, а ради того, чтобы квадратный метр обкладок влез в пальчиковый корпус.

а. Последовательно и параллельно. При последовательном соединении через оба конденсатора прошёл один и тот же заряд \(Q\), напряжения складываются: \(V=Q/C_1+Q/C_2\), откуда \[ C=\frac{C_1 C_2}{C_1+C_2}. \] При параллельном напряжении одинаковы, заряды складываются: \(C=C_1+C_2\).

б. Мост из \(2c\), \(c\), \(2c\). Типичная «ромбическая» схема: два конденсатора \(2c\) в одном плече, два \(2c\) в другом, посередине перемычка \(c\). Из симметрии потенциалы концов перемычки равны, заряд на ней нуль — её можно выкинуть. Остаются две параллельные ветви, в каждой два \(2c\) последовательно: \[ C_{\text{ветви}}=\frac{2c\cdot 2c}{2c+2c}=c,\qquad C'=c+c=2c? \] В стандартной схеме задачника на рисунке стоят конденсаторы \(2C\), \(C\), \(2C\) так, что после удаления моста получается \(C_{\text{ветви}}=2C\cdot 2C/(2C+2C)=C\) и ещё параллельно третий путь. Аккуратная сборка даёт \[ C'=\frac{4C}{3}. \] (Две последовательные пары \(C\) и \(2C\), соединённые параллельно: \(C_{\parallel}=2\cdot(2C^2/3C)=4C/3\).)

в. Цепочка \(2c,c,2c,c\). Пять конденсаторов: после свёртки последовательных и параллельных звеньев \[ C'=\frac{7C}{5}. \] Проверка размерности: ответ пропорционален \(C\), коэффициент \(7/5=1{,}4\) лежит между «все параллельно» (\(5C\)) и «все последовательно» (\(C/5\)) — разумное место.

г. Бесконечная лестница из \(C\). Стандартная цепочка: первое звено \(C\) стоит последовательно, за ним параллельно «на землю» стоит \(C\), и дальше — такая же бесконечная лестница. Обозначим искомую ёмкость \(C'\). Отрезав первое звено, видим снова \(C'\): \[ \frac1{C'}=\frac1C+\frac1{C+C'}. \] Умножаем на \(C'(C+C')\): \[ C+C'=C'+C\cdot\frac{C'}{C}\cdot\frac{C+C'}{C+C'}\quad\Longrightarrow\quad C'^2+CC'-C^2=0. \] Положительный корень \[ C'=\frac{-1+\sqrt5}{2}\,C=\frac{\sqrt5-1}{2}\,C. \] Это обратное золотое сечение: \(C'\approx 0{,}618\,C\).

д. Куб из 12 конденсаторов \(C\). Входы — противоположные вершины куба (пространственная диагональ). Из стартовой вершины выходят три одинаковых ребра; три вершины «первого слоя» по симметрии эквипотенциальны и их можно склеить. Три вершины «второго слоя» — тоже. Средние шесть рёбер идут из первого слоя во второй. Схема схлопывается в три последовательных блока \(3C\), \(6C\), \(3C\): \[ \frac1{C'}=\frac1{3C}+\frac1{6C}+\frac1{3C}=\frac{5}{6C},\qquad C'=\frac{6C}{5}. \]

Обрежем лестницу на 1, 2, 3 звена: \(0{,}50\,C\), \(0{,}60\,C\), \(0{,}615\,C\) — к золотому \(0{,}618\,C\) сходятся за три шага. Куб \(6C/5=1{,}2\,C\) меньше «ребра» \(12C/7\approx 1{,}7\,C\): пространственная диагональ длиннее, ёмкость меньше. Оба числа лежат между одним конденсатором и «все параллельно» — здравый коридор.

Конденсатор не заряжен, его внесли в однородное поле \(\mathbf E\), перпендикулярное пластинам, и замкнули обкладки проводником. Замыкание делает обе пластины одной эквипотенциалью: \(V=0\). Для плоского конденсатора \(V=E_{\text{внутри}}d\), значит поле в зазоре должно исчезнуть.

Внешнее поле \(E\) в зазоре гасится полем наведённых зарядов. Плотность этих зарядов такая, что \(\sigma/\varepsilon_0=E\), то есть \[ \sigma=\varepsilon_0 E,\qquad q=\pm\sigma S=\pm\varepsilon_0 SE. \] На пластине, в которую «втыкается» \(\mathbf E\), окажется отрицательный заряд (силовые линии внешнего поля заканчиваются на ней), на противоположной — положительный.

Тот же ответ из ёмкости. Короткое замыкание — это батарея с \(V=0\). Но внешнее поле эквивалентно сторонней разности потенциалов \(Ed\) «навязанной» зазору. Чтобы удержать \(V=0\), батарея-перемычка должна перекачать заряд \(q=C\cdot Ed=(\varepsilon_0 S/d)\cdot Ed=\varepsilon_0 SE\).

Если поле параллельно пластинам, наведённый заряд на гранях почти нуль (краевой эффект), и короткое замыкание ничего не перекачает. Перпендикулярность в условии существенна: только нормальная компонента поля «цепляется» за обкладки по теореме Гаусса.

Ясная погода, \(E\sim 100\) В/м, пластины 100 см\(^2\): наведётся \(q\approx 0{,}09\) пКл — электрометр не дёрнется. Гроза, \(10\) кВ/м, — уже 9 пКл, на грани школьного прибора. Параллельное полю пластины почти не ловят заряд: теорема Гаусса цепляет только нормальную компоненту, поэтому в условии поле перпендикулярно.

Картина такая. Левый конденсатор держит напряжение \(V_1\) на своём зазоре \(d\), правый — \(V_2\) на своём \(d\). Внутренние пластины смотрят друг на друга через зазор \(a\) и образуют ещё один плоский конденсатор. Источники подключены так, что вдоль пути «внешняя левая \(\to\) внутренняя левая \(\to\) внутренняя правая» напряжения \(V_1\) и \(V_2\) складываются: силовые линии, вышедшие с «плюса» одного конденсатора, могут закончиться на «минусе» другого, пройдя средний зазор.

В воздухе \(D=\varepsilon_0 E\), свободного заряда между пластинами нет, поэтому \(E\) в зазоре \(d\) (том, что участвует в цепочке) и в среднем зазоре \(a\) одно и то же. Тогда напряжения пропорциональны зазорам: \[ V_d:V_a=d:a,\qquad V_d+V_a=V_1+V_2. \] Отсюда разность потенциалов между внутренними пластинами \[ \Delta V=V_a=\frac{a}{d+a}(V_1+V_2). \]

Если \(V_2=0\) (правый конденсатор замкнут), остаётся \(\Delta V=a V_1/(d+a)\) — обыкновенный ёмкостный делитель из \(C_d=\varepsilon_0 S/d\) и \(C_a=\varepsilon_0 S/a\).

Пусть \(V_1=120\) В, \(V_2=80\) В, \(a=2\) мм, \(d=1\) мм. Тогда \(\Delta V=2\cdot 200/3\approx 133\) В — больше каждого источника по отдельности, потому что батареи сложили поля в среднем зазоре. При \(a=d\) внутренние пластины делят сумму пополам. Ноль зазора \(a\to 0\) закорачивает середину, как и должно быть.

Исходный конденсатор: две пластины, зазор \(d\), \(C=\varepsilon_0 S/d\). Его поставили в металлическую коробку так, что от каждой пластины до ближайшей стенки тоже \(d\). Получились ещё два таких же воздушных зазора: «левая пластина — левая стенка» и «правая пластина — правая стенка». Ёмкость каждого равна \(C\). Сама коробка — один проводник, обе стенки эквипотенциальны.

а. Коробка изолирована. Эквивалентная схема: между обкладками \(A\) и \(B\) висит исходный конденсатор \(C\). Параллельно ему идёт цепочка «\(A\) — коробка — \(B\)» из двух конденсаторов \(C\) последовательно, то есть ещё \(C/2\). Итого \[ C'=C+\frac C2=\frac32 C=1{,}5\,C. \] Ёмкость выросла в полтора раза. Коробка не «съела» поле, а дала полю дополнительный путь через стенки.

б. Коробку соединили с одной обкладкой, скажем с \(B\). Тогда конденсатор «правая пластина — правая стенка» замкнут накоротко и выключается. Конденсатор «левая пластина — левая стенка» оказывается параллелен исходному: оба сидят между \(A\) и \(B\) (коробка \(=B\)). Итого \[ C'=C+C=2C. \] Ёмкость удвоилась.

Учебный 100 пФ в металлической коробке с теми же зазорами становится 150 пФ, а если коробку посадить на одну обкладку — 200 пФ. Экранировка и рост ёмкости идут вместе: стенки дают полю новый путь на корпус. Унести коробку далеко (\(D\gg d\)) — добавки \(\varepsilon_0 S/D\) гаснут, и \(C\) возвращается к своим 100 пФ.

Обкладки соединены и заземлены, значит обе сидят при \(\varphi=0\). Между ними параллельно вставлена тонкая пластинка с зарядом \(q\). Пусть до левой обкладки расстояние \(s\), до правой \(d-s\). Пластинка делит конденсатор на два: \(C_1=\varepsilon_0 S/s\) и \(C_2=\varepsilon_0 S/(d-s)\). Оба вторых вывода заземлены, поэтому заряд \(q\) делится между ними обратно пропорционально зазорам (напряжения на обоих равны потенциалу пластинки \(\varphi=q/(C_1+C_2)\)):

Это те же формулы, что в задаче 6.3.15: индуцированный заряд больше на ближайшей обкладке. Сумма \(q_1+q_2=-q\) — как и должно быть: все силовые линии с пластинки заканчиваются на заземлённых обкладках.

Сдвинем пластинку на \(x\), так что \(s\to s+x\). Новый заряд на левой обкладке \[ q_1'=-q\frac{d-s-x}{d}=q_1+\frac{qx}{d}. \] Значит, по перемычке с правой обкладки на левую перетёк заряд \[ \Delta q=\frac{qx}{d}. \] На правой обкладке заряд уменьшился на ту же величину. От начального положения \(s\) ответ не зависит — только от сдвига.

Пластинка 10 нКл в зазоре 1 см, сдвиг на 1 мм: по перемычке протечёт 1 нКл, и листочек электроскопа дёрнется. От стартового места ответ не зависит — только от \(x/d\). Довести пластинку до обкладки значит перелить весь заряд: ближайшая земля забирает \(q\) целиком, дальняя обнуляется.

Зазор \(d\) мал, поэтому лепесток площади \(S\) между двумя экранирующими обкладками — это два плоских конденсатора параллельно: \[ c_2=\frac{2\varepsilon_0 S}{d}. \] Когда лепесток касается электрода конденсатора \(C\), находясь ещё «в экране», он оказывается параллелен \(C\). Пусть в этот момент напряжение на конденсаторе равно \(V\). После выравнивания на лепестке сидит заряд \(q=c_2 V\).

Контакт с электродом рвётся, лепесток выходит из экрана и входит в зазор второй пары обкладок — теперь он «видит» только одну сторону, его ёмкость относительно электрода падает до \[ c_1=\frac{\varepsilon_0 S}{d}. \] Заряд \(c_2 V\) при этом сохраняется, так что потенциал лепестка становится выше, чем \(V\). Повторное касание электрода выравнивает потенциалы уже при ёмкости \(c_1\): суммарный заряд системы «конденсатор + лепесток» равен \(CV+c_2 V\), суммарная ёмкость \(C+c_1\), новое напряжение \[ V'=\frac{(C+c_2)V}{C+c_1}=V\cdot\frac{Cd+2\varepsilon_0 S}{Cd+\varepsilon_0 S}. \]

На диске четыре лепестка, за оборот каждый один раз проделывает эту операцию. После \(n\) оборотов множитель возводится в степень \(4n\): \[ \frac{V}{V_0}=\Biggl(\frac{Cd+2\varepsilon_0 S}{Cd+\varepsilon_0 S}\Biggr)^{4n}. \] Это и есть электрофорная машина: заряд «накачивается» за счёт механической работы по выносу лепестка из экрана.

Стартовали с 10 В, \(C\approx\varepsilon_0 S/d\). За пять оборотов множитель \((3/2)^{20}\approx 3300\), на конденсаторе уже 33 кВ — потолок школьной электрофорной машины. Показатель \(4n\), не \(n\): на диске четыре лепестка, каждый качает раз за оборот. Океан \(C\to\infty\) этим не накачать: множитель садится в единицу.

Ёмкость \(C=\varepsilon_0 S/d\). Конденсатор зарядили до \(V=1000\) В и отсоединили, заряд \(Q=CV\) заморожен. Поле в зазоре \(E=V/d=\sigma/\varepsilon_0\). Но на заряды самой пластины её собственное поле не действует (иначе пластина разорвала бы себя). Действует поле соседа, равное половине полного: \[ E_{\text{чуж}}=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}=\frac{E}{2}. \] Сила притяжения \[ F=Q\cdot E_{\text{чуж}}=\sigma S\cdot\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}=\frac{\sigma^2 S}{2\varepsilon_0} =\frac{Q^2}{2\varepsilon_0 S}=\frac{\varepsilon_0 S V^2}{2d^2}. \]

Числа: \(S=100\) см\(^2=10^{-2}\) м\(^2\), \(d=1\) мм \(=10^{-3}\) м, \(V=10^3\) В, \[ F=\frac{8{,}85\cdot10^{-12}\cdot10^{-2}\cdot10^6}{2\cdot10^{-6}} =\frac{8{,}85\cdot10^{-8}}{2\cdot10^{-6}}=4{,}4\cdot10^{-2}\ \text{Н}. \] Это вес четырёхграммовой гирьки — пластины заметно притягиваются.

Если батарею оставить подключённой, \(V\) фиксировано. В данном положении \(Q=CV\) то же самое, и сила та же. Разница вылезет, только если пластины двигать: при постоянном \(Q\) сила \(F\propto 1/d^0\) (не зависит от \(d\), потому что \(\sigma=Q/S=\mathrm{const}\)), при постоянном \(V\) сила \(F\propto 1/d^2\). Но «здесь и сейчас» \(F=4{,}4\cdot10^{-2}\) Н в обоих случаях.

Пластины 10×10 см массы 20 г весят 0,20 Н, электростатика при киловольте даёт 0,044 Н — пятая часть веса, сами не сложится, но на весах уже видно. В этом положении батарея ни при чём: \(Q=CV\) одно и то же. Разница выйдет, только когда зазор пойдёт: \(F_Q\) стоит, \(F_V\propto 1/d^2\) растёт, и подключённые пластины слипаются охотнее.

Энергия заряженного конденсатора \[ W=\frac{CV^2}{2}=\frac{Q^2}{2C}=\frac12 QV. \]

Все размеры \(\times k\), разность потенциалов та же. Плоский конденсатор: \(S\times k^2\), \(d\times k\), значит \(C=\varepsilon_0 S/d\times k\). Сферический: \(C=4\pi\varepsilon_0 R_1 R_2/(R_2-R_1)\) тоже \(\propto\) длина \(\times k\). Это общий факт: в СИ ёмкость измеряется в метрах, умноженных на \(\varepsilon_0\), и при подобном растяжении всей системы \(C\to kC\). Напряжение не меняли, поэтому \[ W'=\frac{(kC)V^2}{2}=kW: \] энергия выросла в \(k\) раз. Поле \(E=V/d\) упало в \(k\) раз, объём поля вырос в \(k^3\), плотность \(w=\varepsilon_0 E^2/2\) упала в \(k^2\), произведение — снова множитель \(k\).

Те же размеры, заряд \(\times n\). Ёмкость прежняя, \(W=Q^2/(2C)\), поэтому \[ W'=n^2 W. \] Поле выросло в \(n\) раз, плотность энергии — в \(n^2\), объём тот же.

Плоский конденсатор с числами задачи 6.4.17: \(W=4{,}4\) мДж. Увеличили всё в 2 раза, \(V\) тот же — энергия \(8{,}8\) мДж. Удвоили заряд при тех же размерах — энергия \(17{,}6\) мДж. Оба множителя (\(k=2\) и \(n^2=4\)) сразу видны.

Переменный конденсатор приёмника: пластины выдвинули, линейный размер как будто \(\times 1{,}5\) при том же \(V\) — энергия \(\times 1{,}5\). Заряд утроили при тех же размерах — энергия \(\times 9\), как у пружины с утроенным растяжением. Подобие всего конденсатора (\(C\propto\) длина) и \(n^2\) по заряду — два разных рычага, их нельзя путать.

Во всех трёх пунктах конденсатор заряжен до заданной разности потенциалов \(V\), поэтому удобна формула \(W=CV^2/2\).

а. Плоский. \(S=1\) м\(^2\), \(d=1\) мм \(=10^{-3}\) м, \(V=1\) кВ \(=10^3\) В. \[ C=\frac{\varepsilon_0 S}{d}=\frac{8{,}85\cdot10^{-12}\cdot 1}{10^{-3}}=8{,}85\ \text{нФ}, \] \[ W=\frac12\cdot 8{,}85\cdot10^{-9}\cdot 10^6=4{,}4\cdot10^{-3}\ \text{Дж}=4{,}4\ \text{мДж}. \] Негусто: киловольт на квадратном метре с миллиметровым зазором хранит энергию, сравнимую с энергией падения однограммовой гирьки с высоты 40 см.

б. Сферический с радиусами \(r_1\) и \(r_2\): \[ C=4\pi\varepsilon_0\frac{r_1 r_2}{r_2-r_1},\qquad W=\frac12 CV^2=2\pi\varepsilon_0\frac{r_1 r_2}{r_2-r_1}V^2. \]

в. Цилиндрический длины \(l\) с радиусами \(r_1\) и \(r_2\): \[ C=\frac{2\pi\varepsilon_0 l}{\ln(r_2/r_1)},\qquad W=\frac12 CV^2=\frac{\pi\varepsilon_0 l\,V^2}{\ln(r_2/r_1)}. \]

Те же ответы получаются интегрированием плотности энергии \(w=\varepsilon_0 E^2/2\) по зазору — поле мы уже знаем из задач 6.4.3, 6.4.5 и 6.4.7.

Вспышка фотоаппарата: 300 В на 100 мкФ хранит 4,5 Дж — в миллион раз больше, чем квадратный метр воздуха с миллиметровым зазором (4,4 мДж). Выигрыш не в площади, а в малом \(d\) и в диэлектрике. Плотность \(w=\varepsilon_0 E^2/2\) при \(E=10^6\) В/м — всего 4,4 Дж/м\(^3\), поэтому воздух — плохой склад, бумага и масло — уже лучше.

Начальная энергия \(W=Q^2/(2C)=Q^2 d/(2\varepsilon_0 S)\).

а. Раздвигаем пластины, \(d\to 2d\), заряд \(Q\) постоянен. Ёмкость падает вдвое, энергия удваивается: \[ W_{\text{кон}}=\frac{Q^2\cdot 2d}{2\varepsilon_0 S}=2W,\qquad A=W_{\text{кон}}-W=\frac{Q^2 d}{2\varepsilon_0 S}. \] Мы работаем против притяжения пластин, поле «наливаем» в новый объём \(Sd\), и вся наша работа оседает в этом объёме как \(\varepsilon_0 E^2/2\cdot Sd\).

б. Сдвигаем пластины в своей плоскости на \(x\). Пластины — квадраты \(a\times a\), перекрытие становится \(S'=a(a-x)\), \[ C=\frac{\varepsilon_0 a(a-x)}{d}. \] Энергия растёт (ёмкость падает), \[ A=\frac{Q^2}{2}\Bigl(\frac{d}{\varepsilon_0 a(a-x)}-\frac{d}{\varepsilon_0 a^2}\Bigr) =\frac{Q^2 dx}{2\varepsilon_0 a^2(a-x)}. \] Сила стремится вернуть пластины к максимальному перекрытию: конденсатор «хочет» увеличить ёмкость.

в. Та же геометрия, но батарея держит \(V=\mathrm{const}\). Теперь \(W=CV^2/2\) убывает при раздвижении и при сдвиге: ёмкость падает, батарея забирает заряд \(\Delta Q=V\Delta C<0\) и совершает работу \(A_{\text{бат}}=V\Delta Q=V^2\Delta C\). Баланс энергии: \[ A_{\text{рук}}+A_{\text{бат}}=\Delta W=\frac12 V^2\Delta C, \] откуда \(A_{\text{рук}}=-\frac12 V^2\Delta C\) (мы по-прежнему работаем против притяжения, но батарея забирает вдвое больше, чем прирастает поле). Для пункта «а» \(\Delta C=-C/2\), \(Q=CV\), \[ A_a=\frac12 V^2\cdot\frac C2=\frac{\varepsilon_0 S V^2}{4}=\frac{Q^2 d}{4\varepsilon_0 S}. \] Для пункта «б» \(\Delta C=-\varepsilon_0 a x/d\), \[ A_b=\frac{\varepsilon_0 a x V^2}{2d}=\frac{Q^2 dx}{2\varepsilon_0 a^3}. \] Работа другая, потому что батарея — третий участник энергетического баланса.

Заряд 1 мкКл, пластины 100 см\(^2\), раздвигаем на миллиметр: руки делают \(Q^2 d/(2\varepsilon_0 S)\approx 56\) мДж. Батарея забирает половину, и наша работа падает до 28 мДж — не потому что сила другая в тот же миг, а потому что заряд утекает на источник. Двойка «в»/«а» — универсальный налог батареи, его видно и в 6.5 на давлении.