Подвижные пластины, силы в конденсаторе

Капля растекается, когда это выгодно энергетически: запишите полную энергию «источник + конденсаторы + поверхность капли» как функцию ёмкости \(C_2\) растёкшейся капли и найдите её минимум. Излом графика — момент, когда минимум впервые приходится на \(C_2 > 0\).

1) \(U_C = \dfrac{4}{3}U_1\);  2) \(\sigma = \dfrac{\varepsilon\varepsilon_0U_1^2}{9h} \approx 0{,}479\) Н/м.

Покажем ниже, что при напряжениях источника меньших \(U_1\) капелька не растекается и конденсатор Глюка представляет собой обычный плоский конденсатор ёмкостью \(C_1\). Заметим, что вклад капельки в ёмкость отсутствует из-за того, что она по условию маленькая.

При напряжениях источника больших, чем \(U_1\), конденсатор Глюка представляет собой два параллельно соединённых конденсатора ёмкостями \(C_1\) и \(C_2\). Конденсатор \(C_2\) имеет в качестве одной обкладки нижнюю плоскость, а его вторая обкладка — это растёкшаяся капелька проводящей жидкости. Обозначим площадь растёкшейся капельки \(S\), тогда: \[C_2 = \frac{\varepsilon\varepsilon_0S}{h}.\]

Проанализируем, чему может быть равна площадь растёкшейся капельки в зависимости от постоянного напряжения источника \(U\), используя энергетический подход, и докажем сделанные выше утверждения. Напряжение источника можно считать постоянным, так как по условию оно изменяется плавно. Рассмотрим систему, состоящую из источника, конденсаторов и растёкшейся капельки. Найдём, как энергия системы зависит от площади растёкшейся капельки: \[W = W_\text{ист} + W_\text{конд} + W_\text{пов} = -qU + \frac{q^2}{2C_0} + 2\sigma S,\] где \(q\) — заряд, протёкший через источник, \(C_0\) — общая ёмкость системы трёх конденсаторов, \(\sigma\) — коэффициент поверхностного натяжения.

Здесь энергия \(W_\text{ист} = -qU = -C_0U^2\), так как при зарядке конденсаторов через источник протекает заряд \(q = C_0U\) и запасённая в источнике энергия уменьшается.

Общая ёмкость системы трёх конденсаторов, когда опорный \(C\) соединён последовательно с конденсатором Глюка (который представляет собой параллельное соединение \(C_1\) и \(C_2\)): \[C_0 = \frac{C(C_1 + C_2)}{C + C_1 + C_2}.\] Для удобства будем выражать энергию поверхностного натяжения не через площадь, а через ёмкость \(C_2\): \[W_\text{пов} = 2\sigma S = \frac{2\sigma h}{\varepsilon\varepsilon_0}C_2.\] Тогда зависимость энергии системы от ёмкости \(C_2\) (по сути, от площади растёкшейся капли) описывается выражением: \[W(C_2) = -\frac{C(C_1 + C_2)U^2}{2(C + C_1 + C_2)} + \frac{2\sigma h}{\varepsilon\varepsilon_0}C_2.\] В равновесии значение \(C_2\) будет таким, чтобы энергия системы была минимальна. Найдём, при каком значении \(C_2\) будет минимум, используя производную и приравнивая её нулю: \[W' = -\frac{C^2U^2}{2(C + C_1 + C_2)^2} + \frac{2\sigma h}{\varepsilon\varepsilon_0} = 0.\] Отсюда находим, что в случае расплющенной капли ёмкость образованного ею конденсатора \(C_2\) зависит от напряжения источника \(U\) как \[C_2 = CU\sqrt{\frac{\varepsilon\varepsilon_0}{4\sigma h}} - C - C_1.\] Так как вторая производная всегда положительна, найденная точка действительно минимум: \[W'' = \frac{C^2U^2}{(C + C_1 + C_2)^3} > 0.\] Заметим, что значение \(C_2\) (и площади \(S\)) больше либо равно нуля при \[U \geqslant 2\frac{C + C_1}{C}\sqrt{\frac{\sigma h}{\varepsilon\varepsilon_0}} = U_1.\] Поведение системы устроено следующим образом. При напряжениях источника от \(0\) до \(U_1\) минимум энергии системы соответствует нулевой площади растёкшейся капельки, а конденсатор Глюка имеет постоянную ёмкость \(C_1\). При напряжениях источника \(U > U_1\) растёкшаяся капелька имеет площадь такую, что ёмкость \(C_2\) можно вычислить по указанной выше формуле. Напряжение на конденсаторе Глюка постоянно: \[U_\text{Глюк} = \frac{C_0U}{C_1 + C_2} = \frac{CU}{C + C_1 + C_2} = \sqrt{\frac{4\sigma h}{\varepsilon\varepsilon_0}} = \frac{2}{3}U_1 = \text{const}.\] Напряжение на опорном конденсаторе при напряжении на источнике \(U = 2U_1\) равно \[U_C = U - U_\text{Глюк} = 2U_1 - \frac{2}{3}U_1 = \frac{4}{3}U_1.\]

Для определения коэффициента поверхностного натяжения воспользуемся найденным выше напряжением \[U = 2\sqrt{\frac{\sigma h}{\varepsilon\varepsilon_0}} = \frac{2}{3}U_1.\] Отсюда \[\sigma = \frac{\varepsilon\varepsilon_0U_1^2}{9h} \approx 0{,}479\text{ Н/м}.\] Очень похоже на то, что Глюк использовал ртуть!