Квадрат и линза
4/10Квадратный предмет у линзы; сторона вдоль оси переходит в изображение той же длины, из формулы линзы для двух его концов получают связь расстояний и увеличение второй стороны Γ2=1/Γ1, затем длину наклонной стороны изображения и отношение площади изображения к площади трапеции (варианты 1–5).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Изображение движущегося насекомого в линзе
5/10Насекомое пересекает ось собирающей или рассеивающей линзы под углом к ней: по формуле линзы найти положение изображения, угол траектории изображения через поперечное увеличение Г, и скорость изображения из условия, что продольная и поперечная скорости изображения связаны с Г и Г². (варианты 1–4)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Насекомое ползёт параллельно оси линзы
5/10Насекомое ползёт со скоростью v вдоль прямой, параллельной оптической оси линзы (собирающей или рассеивающей); для заданного положения по формуле линзы находят изображение, угол движения изображения через tg α=R/F и скорость изображения через продольное увеличение Г². (варианты 5–8)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
«Миллиавтомобиль»
6/10Источник на крыше машинки движется по оси линзы так, что изображение имеет постоянную скорость v0; из продольного увеличения найти скорость и ускорение машинки и по пределу трения указать допустимые расстояния до линзы.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Скорость изображения при сдвиге линзы
6/10Лампочка у оси линзы, изображение на экране: расстояние до лампочки из формулы линзы при заданном L, скорость изображения при поперечном сдвиге линзы через линейное увеличение. (варианты 1–4)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Движущаяся линза и движущийся стержень
6/10Линза и перпендикулярный оси стержень движутся вдоль оси с разными скоростями; по формуле линзы находят расстояние до изображения, его длину (поперечное увеличение) и скорость изображения точки А через относительную скорость и продольное увеличение. (варианты 1–2)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Линза и стержень, движущиеся вдоль оси
6/10Линза с фокусом F и стержень AB движутся вдоль главной оси с разными скоростями; расстояние до изображения и его размер из формулы линзы и увеличения, скорость изображения точки А — через производную формулы линзы по времени. (варианты 3–4)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Поворачивающаяся линза
7/10Источник на оси на расстоянии 2F от поворачивающейся линзы; по формуле линзы для смещённого положения и вращению с угловой скоростью находится скорость изображения в заданный момент.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Две линзы и прямоугольник
6/10Две собирающие линзы с фокусными расстояниями \(f_1 = 20\) см и \(f_2 = 10\) см расположены на одной прямой так, что их главные оптические оси совпадают. Эта система линз формирует действительное изображение прямоугольника со сторонами \(a_1 = 1\) мм и \(b_1 = 2\) мм, также являющееся прямоугольником. Сторона \(a_1\) прямоугольника лежит на главной оптической оси системы. На каком расстоянии \(L\) друг от друга расположены линзы? Каковы размеры изображения \(a_2\) и \(b_2\)?
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаЧтобы изображение осевого и поперечного размеров осталось прямоугольником, система должна быть телескопической. Какое расстояние между линзами этому соответствует?
▶ОтветСкрыть: ответ
ОтветРасстояние между линзами \(L = f_1 + f_2 = 30\) см; размеры изображения \(a_2 = a_1\left(\dfrac{f_2}{f_1}\right)^2 = 0{,}25\) мм и \(b_2 = b_1\dfrac{f_2}{f_1} = 1\) мм, или \(a_2 = a_1\left(\dfrac{f_1}{f_2}\right)^2 = 4\) мм и \(b_2 = b_1\dfrac{f_1}{f_2} = 4\) мм.
Tilt-Shift
6/10Конструкция фотографического Tilt-shift объектива позволяет наклонять и сдвигать оптическую ось объектива относительно линии зрения (линии, соединяющий фотоаппарат и объект съёмки). Наклон оптической оси даёт возможность получать резкие изображения протяжённых предметов, разные точки которых находятся на разном расстоянии от фотоаппарата.
На упрощённой схеме, представленной на рисунке, собирающая линза \(L\) символизирует объектив. Главная оптическая ось объектива \(oo_1\) отклонена на угол \(\varphi\) от линии зрения \(AA_1\), составляющей угол \(\alpha\) с горизонталью. Фотографируемый предмет изображается отрезком \(BC\), \(pp_1\) "— плоскость, в которой располагается светочувствительная матрица фотоаппарата (или плёнка, если речь идёт о плёночной камере).
Пусть известны расстояние \(AB = 5\text{ м}\) по горизонтали между матрицей фотоаппарата и предметом, фокусное расстояние объектива \(f = 50\text{ мм}\), а также угол \(\alpha = \dfrac{\pi}{4}\) между линией зрения и горизонталью. Угол поворота главной оптической оси \(\varphi\) подобран так, чтобы все точки светящегося отрезка \(BC\) изображались в плоскости матрицы фотоаппарата \(pp_1\) максимально резко. Найдите угол \(\varphi\), считая его малым.
Указание. Для малого угла \(\beta\) (\(|\beta| \ll 1\)) справедливы приближённые соотношения \[\sin\beta \approx \beta, \qquad \operatorname{tg}\beta \approx \beta, \qquad \cos\beta \approx 1.\]
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаИзображение отрезка \(BC\) лежит в плоскости матрицы, если прямые, на которых лежат предмет, линза и матрица, пересекаются в одной точке. Используйте это и формулу линзы для точки \(A\).
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ\(\varphi = \dfrac{f}{L\sqrt 2} \approx 7{,}1\cdot 10^{-3} \approx 0{,}4^\circ\) (здесь \(L = AB\)).
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеДля того чтобы изображение предмета получалось наиболее резким, необходимо, чтобы прямые, на которых лежат предмет \(BC\), отрезок, символизирующий плоскость плёнки, и линза пересекались в одной точке. В этом случае изображение предмета будет полностью лежать в плоскости плёнки. Обозначим буквой \(G\) точку, в которой пересекаются описанные прямые (см. рисунок).
Искомый угол обозначен дугой на рисунке; \(a\) и \(a_1\) "— длины перпендикуляров, опущенных из точек \(A\) и \(A_1\) на линзу. Длины \(a\) и \(a_1\) связаны формулой линзы \[\frac{1}{f} = \frac{1}{a} + \frac{1}{a_1}. \tag{1}\] При этом, поскольку искомый угол \(\varphi\) мал (\(\cos\varphi \approx 1\)), справедливы равенства \(a \approx AO\) и \(a_1 \approx A_1O\), и как следствие, равенство \[a + a_1 = AA_1 = \frac{L}{\cos\alpha} = L\sqrt 2, \tag{2}\] в котором введено обозначение \(L = AB\).
Решая уравнения (17) и (18) как систему, отбираем решение, не противоречащее физическому смыслу \[a = L\sqrt 2\cdot\frac{1 - \sqrt{1 - \dfrac{4\sqrt 2 f}{2L}}}{2} \approx L\sqrt 2\cdot\frac{4\sqrt 2 f}{4\cdot 2L} = f. \tag{3}\] При записи последней цепочки равенств была использована приближённая формула \(\sqrt{1 - x} \approx 1 - \dfrac{x}{2}\), справедливая при малых \(x\) (\(|x| \ll 1\)). Поскольку \(\angle A_1AB = \dfrac{\pi}{4}\), отрезки \(AA_1\) и \(AG\) равны, при этом \(AA_1 = AG = L\sqrt 2\). Таким образом, как следует из формулы (19), искомый угол равен \[\varphi \approx \frac{a}{L\sqrt 2} \approx \frac{f}{L\sqrt 2} \approx 7{,}1\cdot 10^{-3} \approx 0{,}4^\circ.\]
Tilt-Shift
6/10Конструкция фотографического Tilt-shift объектива позволяет наклонять и сдвигать оптическую ось объектива относительно линии зрения (линии, соединяющий фотоаппарат и объект съёмки). Наклон оптической оси даёт возможность получать резкие изображения протяжённых предметов, разные точки которых находятся на разном расстоянии от фотоаппарата.
На упрощённой схеме, представленной на рисунке, собирающая линза \(L\) символизирует объектив. Главная оптическая ось объектива \(oo_1\) отклонена на угол \(\varphi\) от линии зрения \(AA_1\), составляющей угол \(\alpha\) c горизонталью. Фотографируемый предмет изображается отрезком \(BC\), \(pp_1\) — плоскость, в которой располагается светочувствительная матрица фотоаппарата (или плёнка, если речь идёт о плёночной камере).
Пусть известны расстояние \(AB = 5\) м по горизонтали между матрицей фотоаппарата и предметом, фокусное расстояние объектива \(f = 50\) мм, а также угол \(\alpha = \dfrac{\pi}{4}\) между линией зрения и горизонталью. Угол поворота главной оптической оси \(\varphi\) подобран так, чтобы все точки светящегося отрезка \(BC\) изображались в плоскости матрицы фотоаппарата \(pp_1\) максимально резко. Найдите угол \(\varphi\), считая его малым.
Указание. Для малого угла \(\beta\) (\(|\beta| \ll 1\)) справедливы приближённые соотношения \(\sin\beta \approx \beta\), \(\operatorname{tg}\beta \approx \beta\), \(\cos\beta \approx 1\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаИзображение предмета лежит в плоскости матрицы, если плоскость предмета, плоскость матрицы и плоскость линзы пересекаются в одной точке. Найдите расстояние от точки \(A\) до линзы по формуле линзы.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ\(\varphi = \dfrac{f}{L\sqrt 2} \approx 7{,}1\cdot 10^{-3} \approx 0{,}4^\circ\), где \(L = AB\).
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеДля того, чтобы изображение предмета получалось наиболее резким, необходимо, чтобы прямые, на которых лежат предмет \(BC\), отрезок, символизирующий плоскость плёнки, и линза пересекались в одной точке. В этом случае изображение предмета будет полностью лежать в плоскости плёнки. Обозначим буквой \(G\) точку, в которой пересекаются описанные прямые (см. рисунок). Искомый угол \(\varphi\) отмечен дугой на рисунке; \(a\) и \(a_1\) — длины перпендикуляров, опущенных из точек \(A\) и \(A_1\) на линзу.
Длины \(a\) и \(a_1\) связаны формулой линзы \[\frac{1}{f} = \frac{1}{a} + \frac{1}{a_1}. \tag{1}\] При этом, поскольку искомый угол \(\varphi\) мал (\(\cos\varphi \approx 1\)), справедливы равенства \(a \approx AO\) и \(a_1 \approx A_1O\), и как следствие, равенство \[a + a_1 = AA_1 = \frac{L}{\cos\alpha} = L\sqrt 2, \tag{2}\] в котором введено обозначение \(L = AB\).
Решая уравнения (4) и (5) как систему, отбираем решение, не противоречащее физическому смыслу \[a = \frac{L\sqrt 2}{2}\left(1 - \sqrt{1 - \frac{4\sqrt 2 f}{L}\cdot\frac{1}{2}}\right) \approx L\sqrt 2\cdot\frac{4\sqrt 2 f}{4\cdot 2L} = f. \tag{3}\] При записи последней цепочки равенств была использована приближённая формула \(\sqrt{1 - x} \approx 1 - \dfrac{x}{2}\), справедливая при малых \(x\) (\(|x| \ll 1\)). Поскольку \(\angle A_1AB = \dfrac{\pi}{4}\), отрезки \(AA_1\) и \(AG\) равны, при этом \(AA_1 = AG = L\sqrt 2\). Таким образом, как следует из формулы (6), искомый угол равен \[\varphi \approx \frac{a}{L\sqrt 2} \approx \frac{f}{L\sqrt 2} \approx 7{,}1\cdot 10^{-3} \approx 0{,}4^\circ .\]
Линза и зеркало с экраном: скорость изображения
4/10Собирающая линза, плоское зеркало под 45° и экран; колеблющийся источник перпендикулярно оси — где ставить экран без зеркала, расстояние зеркало–экран при зеркале (изображение в линзе как предмет для зеркала), максимальная скорость изображения через поперечное увеличение. (варианты 5–8)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Линза и плоское зеркало: положение и скорость изображения
5/10Собирающая или рассеивающая линза и плоское зеркало под 45° к оси; колеблющийся источник — положение изображения в системе (линза, затем зеркало) и максимальная скорость изображения как скорость источника, умноженная на поперечное увеличение. (варианты 1–4)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Линза: два положения при том же увеличении
5/10Тонкая линза даёт то же увеличение при двух положениях предмета (или линзы) по одну сторону; из формулы линзы и Γ = f/d выяснить тип линзы и найти смещение или увеличение через F. (варианты 1–4)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Две линзы, одна из которых движется
5/10Собирающая и рассеивающая тонкие линзы на одной оси, вторая линза движется с постоянной скоростью: положение изображения для данного расстояния между линзами и его скорость как производная по расстоянию (варианты 5–8).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Колеблющийся шарик и его изображение
6/10Шарик на нити малыми колебаниями движется перпендикулярно оси линзы: по формуле линзы находят положение экрана и поперечное увеличение, размах и скорость изображения равны размаху и скорости шарика, умноженным на увеличение; максимальная угловая скорость из энергии маятника, скорость при заданном угле через ЗСЭ в малых углах. (варианты 1–4)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Линза, зеркало под углом 60° (30°) и экран
6/10Источник вблизи линии AB пересекает зеркало под углом 60° или 30° к оси; изображение в зеркале попадает на ось линзы, экран ставят по формуле линзы, скорость изображения на экране — через поперечное увеличение. (варианты 9–12)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Жук (комар) и линза со стеклянной пластиной
6/10Между предметом и линзой стоит плоскопараллельная пластина, смещающая кажущееся положение предмета на H(1−1/n) (малые углы); изображение находят по формуле линзы без пластины и с ней, а скорость изображения — через продольное увеличение. (варианты 5–6)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Изображение в рассеивающей линзе и движущемся зеркале
6/10Источник на оси рассеивающей линзы, за ней — подвижное плоское зеркало; изображение строится по формуле линзы, потом зеркало, потом снова линза (двойной ход лучей), скорость изображения — через продольное увеличение и скорость зеркала. (варианты 1–4)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Собирающая линза и движущееся плоское зеркало
6/10Предмет перед собирающей линзой, за ней плоское зеркало на оси; изображение строится в системе линза–зеркало–линза, скорость изображения находится дифференцированием положения по времени (продольное увеличение). (варианты 5–8)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Паучок и капля масла
7/10Капля масла на бульоне работает как линза с разными средами по сторонам: складывают оптические силы двух поверхностей, находят фокусы, а скорость изображения — через продольное увеличение.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Изображение в движущемся зеркале и линзе
7/10Источник отражается в движущемся плоском зеркале, мнимый источник даёт изображение в линзе; положение изображения из формулы линзы, а направление и скорость — из скоростей движения мнимого источника (продольное и поперечное увеличение). (варианты 1–4)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Рассеивающая линза и движущееся зеркало
7/10Как в предыдущих вариантах: свет источника сначала отражается от движущегося плоского зеркала, затем идёт через рассеивающую линзу; изображение мнимое, находят его положение по формуле линзы, направление и скорость движения. (варианты 5–8)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.