Затухающие колебания

За время порядка \(rC\) конденсаторы быстро перезаряжаются, а ток катушки за это время не успевает измениться. Затем в контуре идут слабо затухающие колебания. Для количества теплоты удобен закон сохранения энергии с учётом работы батарей.

a) \(t_L = \dfrac{3\pi}{4}\sqrt{2LC}\);  b) \(Q = \dfrac{3C\mathcal E^2}{4}\).

a) После перевода переключателя в положение 2 за очень короткое время (порядка \(\tau_C = rC\)) произойдёт перезарядка конденсаторов, так что напряжение на каждом из них станет равно \(\dfrac{\mathcal E}{2}\), обкладки конденсаторов, обращённые к клемме 2, будут заряжены отрицательно. Действительно, батареи, конденсаторы и катушка образуют колебательный контур, в котором будут происходить слабо затухающие колебания. Характерное время изменения тока через катушку при возникающих колебаниях равно (по порядку величины) \(\tau_{RLC} = \sqrt{LC}\). Из условия следует, что \(\tau_C \ll \tau_{RLC}\), поэтому ток через катушку не успевает измениться за время быстрой перезарядки конденсаторов. Таким образом, в начальный момент через катушку течёт ток \(I(0) = \dfrac{\mathcal E}{R}\), такой же, как до перевода переключателя в положение 2.

В колебательном процессе в каждый момент времени токи, текущие через батарейки, будут одинаковыми, при этом через катушку будет течь ток вдвое больший: \(I(t) = 2\dot q\). Запишем уравнение обхода (второе правило Кирхгофа) для контура, содержащего катушку и одну из батарей: \[\ddot q + \frac{\dot q\, r}{2L} + \frac{q}{2LC} = \frac{\mathcal E}{2L}.\] Затухание колебаний происходит за время порядка \(\dfrac{L}{r}\), которое благодаря сильному неравенству, данному в условии, оказывается значительно больше периода колебаний, равного по порядку величины \(\sqrt{LC}\). Таким образом, для ответа на вопрос пункта a) задачи достаточно рассмотреть вместо этого уравнения уравнение колебаний без затухания \[\ddot q + \frac{q}{2LC} = \frac{\mathcal E}{2L}.\] Общее решение этого уравнения даётся формулой \[q(t) = C\mathcal E + q_0\cos(\omega t + \varphi_0),\] где \(\omega^2 = \dfrac{1}{2LC}\), параметры \(q_0\) и \(\varphi_0\) определяются из начальных условий. Ток через катушку равен удвоенной производной заряда, поэтому из этой формулы следует зависимость \[I(t) = -2\omega q_0\sin(\omega t + \varphi_0).\] Для нулевого момента из начальных условий имеем систему уравнений \[\begin{cases} \dfrac{C\mathcal E}{2} = C\mathcal E + q_0\cos\varphi_0;\\[2mm] \dfrac{\mathcal E}{R} = -2q_0\omega\sin\varphi_0. \end{cases}\] Решая систему, получаем уравнение \[\omega\tan\varphi_0 = \frac{1}{RC}\] для определения начальной фазы. По условию \(\omega RC = \dfrac{RC}{\sqrt{2LC}} = 1\), поэтому это уравнение имеет решение \(\varphi_0 = \dfrac{\pi}{4}\). Из формулы для \(I(t)\) следует, что направление тока изменяется в момент времени \(t_L\), удовлетворяющий соотношению \(\omega t_L = \dfrac{3\pi}{4}\). Таким образом, имеем ответ: \(t_L = \dfrac{3\pi}{4}\sqrt{2LC}\).

b) Количество теплоты можно найти, используя закон сохранения энергии, записанный в виде \[A_{\mathcal E} = \Delta W_C + \Delta W_L + Q.\] Когда в цепи установится стационарный режим, ток через катушку течь не будет, а конденсаторы будут заряжены до напряжения \(\mathcal E\), поэтому изменение энергии конденсаторов \(\Delta W_C\) в процессе перезарядки и затухания колебаний равно \[\Delta W_C = 2\cdot\frac{C\mathcal E^2}{2} - \frac{C\mathcal E^2}{2} = \frac{C\mathcal E^2}{2},\] изменение энергии магнитного поля катушки даётся формулой \[\Delta W_L = -\frac{L\mathcal E^2}{2R^2} = -\frac{C\mathcal E^2}{4}.\] При выводе этой формулы использовалось соотношение \(R^2 = \dfrac{2L}{C}\), следующее из условия.

Одна из батарей в процессе установления стационарного режима перемещает нулевой заряд, другая перемещает заряд \(C\mathcal E\), поэтому суммарная работа ЭДС \(A_{\mathcal E}\) равна \[A_{\mathcal E} = C\mathcal E^2 .\] Подставляя эти выражения в уравнение, отражающее закон сохранения энергии, находим количество теплоты \[Q = A_{\mathcal E} - \Delta W_C - \Delta W_L = \frac{3C\mathcal E^2}{4}.\]