◇ встречные волны
6/10По струне распространяются две одинаковые по форме встречные волны, несущие энергию \(E\) каждая. Какова будет кинетическая и потенциальная энергия в момент совпадения оснований волн, изображённых на рисунке?
К задаче 3.8.1 (рисунок из условия, перерисован) ▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Смещения складываются, и скорости складываются — по отдельности. Но у встречных волн одного и того же профиля скорости противоположны (ведь \(u=\mp c\varepsilon\)), а смещения одинаковы. Поэтому в одном случае складываются смещения и гасятся скорости, в другом — наоборот.Две одинаковые встречные волны. а — горбы одного знака, б — противоположных. Что складывается. Для волны, бегущей вправо, \(u = -c\,y'\); для бегущей влево — \(u = +c\,y'\) (задача 3.6.19). Значит у двух зеркальных волн одинаковой формы поперечные скорости в точке встречи противоположны, если профили одинаковы, и одинаковы, если один профиль перевёрнут.
Случай а (горбы одного знака). В момент совпадения смещения складываются: струна изогнута вдвое сильнее. Скорости же взаимно уничтожаются — струна в этот момент неподвижна:
\[ K = 0,\qquad U = 2E. \]Проверим согласованность: полная энергия сохраняется и равна \(2E\). В бегущей волне половина энергии кинетическая, половина потенциальная, то есть каждая волна несёт \(E/2\) той и другой. При наложении потенциальная энергия пропорциональна квадрату наклона: наклон удвоился — значит она вчетверо больше, чем у одной волны, то есть \(4\cdot(E/2) = 2E\) ✓, и это ровно вся энергия.
Случай б (горбы разных знаков). Смещения гасят друг друга — струна в этот момент прямая, потенциальной энергии нет. Зато скорости складываются:
\[ K = 2E,\qquad U = 0. \]Та же проверка: скорость удвоилась, кинетическая энергия вчетверо больше, чем у одной волны: \(4\cdot(E/2) = 2E\) ✓.
Мораль. «Волны погасили друг друга» — иллюзия: энергия никуда не делась, она целиком перешла в кинетическую. Через мгновение волны разойдутся как ни в чём не бывало. Это же объясняет, почему в узле стоячей волны струна не покоится, а быстрее всего движется.
Проверка. Полная энергия в обоих случаях \(2E\) ✓ — закон сохранения выполнен. Ни в одном случае энергия не «исчезает» и не «удваивается» ✓. Момент совпадения — единственный, когда всё сосредоточено в одном виде энергии ✓; во все остальные моменты деление обычное. Если бы волны были не зеркально одинаковыми, полного гашения не вышло бы ✓.Ответ а: \(K = 0\), \(U = 2E\). б: \(K = 2E\), \(U = 0\).◇ сжатый участок отпустили
6/10Часть стального стержня, длина которого 10 см, сжали на тысячную долю его длины и отпустили. Какие бегущие волны возникнут в стержне? Нарисуйте графики распределения деформации стержня и скорости частиц в нём по его длине спустя \(5\cdot10^{-6}\) с после того, как эту часть стержня отпустили.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Начальное состояние — деформация есть, скорости нет — раскладывается на две одинаковые волны, бегущие в разные стороны. У каждой деформация вдвое меньше исходной; их скорости противоположны и поначалу гасят друг друга, а по мере разбегания появляются по краям.Разложение. Пусть начальная деформация \(\varepsilon_0 = -10^{-3}\) на участке длины \(a = 10\) см, скорости нет. Возьмём две волны с деформацией \(\varepsilon_0/2\) каждая, одну бегущую вправо, другую влево. В начальный момент они совпадают: деформации складываются в \(\varepsilon_0\) ✓, а скорости (\(u = \mp c\varepsilon_0/2\)) взаимно уничтожаются ✓. Начальные условия воспроизведены — значит это и есть решение:
\[ \varepsilon = \frac{\varepsilon_0}{2} = -0{,}5\cdot10^{-3} \quad\text{в каждой волне}. \]Скорость частиц. В стали \(c = \sqrt{E/\rho} \approx 5\cdot10^{3}\) м/с, поэтому
\[ u = c\,|\varepsilon| = 5\cdot10^{3}\cdot0{,}5\cdot10^{-3} = 2{,}5\;\text{м/с}. \]Правая волна тянет вещество вправо, левая — влево: сжатый кусок расширяется.
Через \(5\cdot10^{-6}\) с. Каждая волна сместилась на
\[ c\,t = 5\cdot10^{3}\cdot5\cdot10^{-6} = 2{,}5\cdot10^{-2}\;\text{м} = 2{,}5\;\text{см}. \]Это меньше половины участка, поэтому волны ещё перекрываются. Отсчитывая \(x\) от левого края сжатого участка:
— на краях, \(x\in(-2{,}5;\,2{,}5)\) см и \(x\in(7{,}5;\,12{,}5)\) см, работает только одна волна: \(\varepsilon = -0{,}5\cdot10^{-3}\), скорость \(\mp2{,}5\) м/с;
— в середине, \(x\in(2{,}5;\,7{,}5)\) см, обе волны: \(\varepsilon = -10^{-3}\) (сжатие ещё полное), а скорости гасятся, \(u=0\);
— вне отрезка \((-2{,}5;\,12{,}5)\) см стержень пока ничего не знает о случившемся.Сжатый участок разваливается на две одинаковые волны, разбегающиеся в разные стороны; там, где они ещё перекрываются, деформация вдвое больше, а скорость равна нулю. Проверка. Полный импульс равен нулю в любой момент ✓ — стержень никто не толкал. Полная энергия: вначале только упругая, \(w_0 = E\varepsilon_0^{2}/2\) на длине \(a\); потом в двух волнах вдвое меньшая деформация даёт вчетверо меньшую плотность энергии, зато каждая волна вдвое «богаче» за счёт равной ей кинетической, и длина занятого участка выросла вдвое — итог тот же ✓. Через 10 мкс волны разойдутся полностью, и середина тоже придёт в движение ✓. Знак: сжатие превращается в разлёт наружу ✓ — стержень «выстреливает» своими концами.Ответ Две одинаковые волны с \(\varepsilon = -0{,}5\cdot10^{-3}\), разбегающиеся со скоростью \(c\approx5\) км/с; скорость частиц в них \(2{,}5\) м/с. Графики — см. рисунок.◇ отражение от жёсткой стенки
6/10При нормальном падении волны на жёсткую стенку возникает возмущение, при котором смещение и скорость среды вблизи стенки нулевые. Если представить себе, что на падающую волну налагается идущая симметрично из-за стенки перевёрнутая волна смещений, то получится возмущение с нулевым смещением и требуемыми вблизи стенки свойствами. Постройте для изображённой на рисунке падающей волны распределение смещения и скорости среды, когда волна «войдёт в стенку» на 1/6, 1/2, 2/3 своей длины.
К задаче 3.8.3 (рисунок из условия, перерисован) ▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Метод изображений: продолжим среду за стенку и запустим оттуда навстречу зеркально отражённую и перевёрнутую копию волны. В точке стенки смещения двух волн всегда взаимно уничтожаются — а это ровно то граничное условие, которое нужно. Значит сумма и есть искомое решение.Почему перевёрнутая. На стенке смещение обязано быть нулевым в любой момент. Если волна-изображение — точная зеркальная копия падающей, но с обратным знаком, то в точке стенки они всегда равны по модулю и противоположны — сумма ноль ✓. Единственность решения гарантирует, что это и есть настоящее движение среды.
Что происходит со скоростями и деформациями. Для волны, бегущей вправо, \(u = -c\,y'\); для её зеркального перевёрнутого двойника, бегущего влево, \(u = +c\,y'\), причём наклон в точке стенки у них одинаков. Значит у стенки скорости взаимно уничтожаются — там узел скорости, как и положено у неподвижной стенки. А вот деформации (наклоны) у стенки, наоборот, складываются: там пучность деформации, а с ней и давления, — оно у стенки вдвое больше, чем в бегущей волне (задача 3.8.4).
Строки — три момента: волна «вошла в стенку» на 1/6, 1/2 и 2/3 своей длины. Слева смещение (сумма падающей и перевёрнутой отражённой волн — у стенки всегда нуль), справа скорость (тоже нуль у стенки; за фронтом отражённой волны она вдвое больше исходной). Как читать рисунок. Слева показано суммарное смещение, справа — суммарная скорость; жирная вертикаль — стенка. Видно главное:
— у стенки и смещение, и скорость всегда равны нулю ✓;
— сначала перед стенкой смещение складывается с отражённым и вырастает, потом убывает и меняет знак: отражённая волна уходит перевёрнутой;
— скорость кусочно постоянна (профиль состоит из прямых отрезков) и в точке стенки обращается в нуль, зато сразу за фронтом отражённой волны она вдвое больше, чем была в падающей;
— деформация у стенки, наоборот, удваивается — там пучность давления (задача 3.8.4).Проверка. Отражённая волна по форме такая же, но перевёрнутая ✓ — это стандартное «отражение с потерей полуволны» от жёсткой границы. Энергия сохраняется: стенка неподвижна и работы не совершает ✓. Давление у стенки, наоборот, удваивается — там пучность давления ✓ (задача 3.8.4). Если бы мы взяли неперевёрнутую копию, у стенки получился бы нуль деформации, а не смещения — а это условие свободного конца ✓ (задача 3.8.5).Ответ Смещение — сумма падающей волны и её зеркальной перевёрнутой копии; у стенки оно всегда равно нулю, там же нуль и скорость, зато деформация (и давление) удваивается. Графики для трёх моментов — на рисунке.Давление на стенку
6/10Как зависит от времени давление на стенку при падении на неё синусоидальной звуковой волны с частотой \(\omega\) и амплитудой смещения \(A\)? Плотность среды \(\rho\), скорость звука \(c\). На каких расстояниях от стенки находятся узлы и пучности скорости? узлы и пучности давления?
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея У жёсткой стенки скорость среды равна нулю, значит там узел скорости. Но давление падающей и отражённой волн у стенки складываются — там пучность давления, вдвое большая, чем в бегущей волне.Давление в бегущей волне. Амплитуда скорости частиц \(u_0 = \omega A\), а давление \(p = \rho c u\) (задача 3.6.22), поэтому амплитуда давления одной волны равна \(\rho c\omega A\).
У стенки. Падающая и отражённая волны дают там одинаковые давления, и они складываются:
\[ P = 2\rho\,c\,\omega A\,\cos\omega t. \](Постоянное атмосферное давление, разумеется, добавляется сверху.) Заметим: давление колеблется с той же частотой \(\omega\), а не с удвоенной.
Длина волны.
\[ \lambda = \frac{2\pi c}{\omega}. \]Узлы и пучности. Складываясь, падающая и отражённая волны дают стоячую волну. У стенки — узел скорости и пучность давления. Дальше они чередуются через \(\lambda/4\):
\[ \text{узлы скорости и пучности давления:}\quad x = 0,\;\frac{\lambda}{2},\;\lambda,\dots \] \[ \text{пучности скорости и узлы давления:}\quad x = \frac{\lambda}{4},\;\frac{3\lambda}{4},\dots \]Первый узел давления отстоит от стенки на \(\lambda/4\).
Проверка. Узлы скорости и узлы давления никогда не совпадают — они сдвинуты на \(\lambda/4\) ✓, это общее свойство стоячей волны: где смещение максимально, там деформация нулевая, и наоборот. Размерность: \([\rho c\omega A] = (\text{кг/м}^3)(\text{м/с})(\text{с}^{-1})\text{м} = \text{Па}\) ✓. Множитель 2 — тот же, что даёт удвоение скорости у свободного конца (задача 3.8.6), только теперь удваивается давление ✓. Числа для громкого звука (\(A\sim10^{-6}\) м, \(\omega\sim10^{4}\) с\(^{-1}\)): \(P \sim 2\cdot1{,}2\cdot340\cdot10^{4}\cdot10^{-6} \approx 8\) Па ✓ — примерно как у болевого порога.Ответ \( P = 2\rho c\,\omega A\cos\omega t \), \( \lambda = 2\pi c/\omega \). У стенки — узел скорости и пучность давления; узлы давления (и пучности скорости) — на расстояниях \( \lambda/4 + n\lambda/2 \).◇ отражение от свободной границы
6/10На свободной границе среда не деформирована. Воспользуйтесь приёмом решения задачи 3.8.3 и найдите возмущение, возникающее в среде при падении волны на её свободную границу.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Условие теперь другое: у границы должна обращаться в нуль не смещение, а деформация (значит и напряжение). Подберём такую волну-изображение, чтобы гасились именно деформации, — для этого её нельзя переворачивать.Свободная граница: навстречу пускаем зеркальную неперевёрнутую волну смещений — тогда деформации у границы взаимно уничтожаются, как и должно быть. Выбор изображения. Пустим навстречу зеркальную копию волны смещений без переворота. Деформация — это наклон профиля смещений; при зеркальном отражении наклон меняет знак. Значит у границы деформации двух волн равны по модулю и противоположны — они гасятся ✓. А смещения, наоборот, складываются: на свободном конце получается удвоенное смещение (пучность смещения и скорости).
Как отражается волна. Отражённая волна смещений не перевёрнута: горб возвращается горбом. Но её деформация имеет противоположный знак: волна сжатия отражается волной растяжения и наоборот. Это и есть главный вывод, который дальше работает в задачах 3.8.7–3.8.10.
Сводка двух случаев.
— Жёсткая стенка (задача 3.8.3): смещение переворачивается, деформация — нет; у границы узел смещения и пучность деформации (давления).
— Свободная граница: смещение не переворачивается, деформация переворачивается; у границы пучность смещения и узел деформации.Проверка. Оба случая — зеркальные друг другу ✓, и в обоих энергия полностью возвращается: ни стенка, ни пустота работы не совершают ✓. Скорость на свободном конце удваивается ✓ — это прямо использовано в задачах 3.8.6 и 3.8.8. Аналогия со струной: закреплённый конец переворачивает импульс, свободный (колечко на гладком стержне) — нет ✓. Переворот деформации при отражении от свободной поверхности — причина откола ✓ (задачи 3.8.7–3.8.9).Ответ Навстречу пускаем зеркальную неперевёрнутую волну смещений: тогда у границы деформации гасятся, а смещения удваиваются. Отражённая волна смещений не переворачивается, но знак её деформации противоположен: сжатие отражается растяжением.Свободный конец стержня
6/10Скорость незакреплённого конца стержня из-за прихода волны продольного смещения с нулевого момента времени стала меняться по закону \(v = v_0\sin\omega t\). Какова амплитуда смещения? На каких расстояниях от конца стержня образуются узлы и пучности скорости? узлы и пучности давления?
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея На свободном конце скорость удваивается (задача 3.8.5). Значит наблюдаемая амплитуда \(v_0\) — это удвоенная амплитуда бегущей волны, и амплитуду смещения самой волны надо считать от половинного значения.Амплитуда волны. Пусть у падающей волны амплитуда скорости \(u_0\). На свободном конце падающая и отражённая волны дают одинаковые скорости, они складываются:
\[ v_0 = 2u_0 \quad\Longrightarrow\quad u_0 = \frac{v_0}{2}. \]Для гармонической волны амплитуда смещения связана с амплитудой скорости через частоту:
\[ A = \frac{u_0}{\omega} = \frac{v_0}{2\omega}. \]Узлы и пучности. Свободный конец — пучность скорости (и смещения) и узел давления (деформации). Дальше они чередуются через четверть длины волны:
\[ \text{пучности скорости, узлы давления:}\quad x = 0,\;\frac{\lambda}{2},\;\lambda,\dots \] \[ \text{узлы скорости, пучности давления:}\quad x = \frac{\lambda}{4},\;\frac{3\lambda}{4},\dots \]Первый узел скорости — на расстоянии \(\lambda/4\) от конца, где \(\lambda = 2\pi c/\omega\).
Проверка. Картина в точности «перевёрнута» относительно задачи 3.8.4 ✓: там у границы узел скорости, здесь пучность. Множитель \(1/2\) в ответе — тот же, что даёт множитель 2 в давлении на стенку ✓. Размерность: \([v_0/\omega] = \text{м}\) ✓. Если бы конец был закреплён, амплитуда смещения волны была бы вовсе не определена по скорости конца — та тождественно равна нулю ✓, что лишний раз показывает, где какое условие. Свободный конец «размахивает» вдвое сильнее — этим и пользуются в ультразвуковых излучателях ✓.Ответ \( A = \dfrac{v_0}{2\omega} \). На конце — пучность скорости и узел давления; узлы скорости (и пучности давления) — на расстояниях \( \lambda/4 + n\lambda/2 \), где \(\lambda = 2\pi c/\omega\).◇ разрушения на внутренней стороне стекла
6/10На внешней стороне стекла иллюминатора космического корабля имеются разрушения, вызванные попаданием микрометеоритов. Подобные же разрушения видны на внутренней стороне. Объясните их появление.
К задаче 3.8.7 (рисунок из условия, перерисован) ▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Удар микрометеорита рождает в стекле короткую волну сжатия. Стекло прекрасно держит сжатие, но плохо — растяжение. А при отражении от внутренней (свободной) поверхности волна сжатия превращается в волну растяжения (задача 3.8.5) — и стекло там трескается.Ход событий.
1. Микрометеорит бьёт по внешней поверхности; в стекло уходит короткий импульс сжатия. Прямо в месте удара стекло разрушается механически — это внешний кратер.
2. Импульс пробегает толщу стекла со скоростью \(c\approx5\) км/с, не причиняя вреда: предел прочности стекла на сжатие очень высок.
3. Импульс доходит до внутренней поверхности. Она свободна, поэтому отражение идёт «без переворота смещений», но со сменой знака деформации: обратно уходит импульс растяжения.
4. Предел прочности стекла на разрыв в десятки раз меньше, чем на сжатие. Растягивающее напряжение вблизи внутренней поверхности превышает его — и оттуда откалывается чешуйка. На внутренней стороне появляется точно такая же выщербина, хотя никакой метеорит туда не попадал.
Этот эффект называется отколом (или тыльным отколом). Он же лежит в основе работы «пластиковых» противотанковых снарядов (задача 3.8.8) и позволяет рассчитать, какой именно слой отлетит (задача 3.8.9).
Проверка. Ключевых фактов два: отражение от свободной границы меняет знак деформации ✓ (задача 3.8.5) и хрупкие материалы намного слабее на разрыв ✓. Убрать любой — эффект исчезнет: если бы стекло было приклеено к жёсткому основанию, отражение шло бы «как от стенки», деформация знака не меняла бы, и откола не было ✓. Именно поэтому многослойные стёкла с вязкой прослойкой держат удар лучше ✓ — прослойка гасит импульс до того, как он дойдёт до тыльной поверхности.Ответ Удар рождает импульс сжатия; отразившись от внутренней свободной поверхности, он превращается в импульс растяжения. Стекло слабо на разрыв, поэтому у внутренней поверхности откалывается слой — это откол, а не следствие попадания.◇ откол брони
6/10Для борьбы с танками применяют «пластиковые» снаряды. Взрывчатка во время удара такого снаряда о танк расплывается по броне, а затем взрывается. Волна, порождённая взрывом, проходит толщу брони и откалывает с внутренней стороны слой, отлетающий с большой скоростью. Найдите эту скорость и толщину отколотого слоя брони, если давление на броню при взрыве \(P = 5\cdot10^{4}\) атм и действует оно в течение времени \(\tau = 4\cdot10^{-6}\) с. Скорость звука в броне \(c = 5\) км/с, плотность брони \(\rho = 8\cdot10^{3}\) кг/м\(^3\).
К задаче 3.8.8 (рисунок из условия, перерисован) ▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Взрыв гонит в броню импульс сжатия длины \(c\tau\). У тыльной (свободной) поверхности он отражается растяжением (задача 3.8.5), броня там рвётся, и отколовшийся слой уносит удвоенную скорость частиц. Толщина слоя — половина длины импульса.Скорость частиц в импульсе. Напряжение \(\sigma = P\), и по задаче 3.6.22
\[ u_0 = \frac{\sigma}{\rho c} = \frac{P}{\rho c}. \]Скорость откола. На свободной поверхности скорость удваивается (задача 3.8.6):
\[ u = 2u_0 = \frac{2P}{\rho c} = \frac{2\cdot5\cdot10^{9}}{8\cdot10^{3}\cdot5\cdot10^{3}} = 250\;\text{м/с}. \](\(P = 5\cdot10^{4}\) атм \(= 5\cdot10^{9}\) Па.) Четверть километра в секунду — осколок такой скорости внутри танка смертелен.
Толщина слоя. Импульс сжатия имеет длину \(c\tau\). Когда его передняя половина уже отразилась и стала растяжением, а задняя ещё идёт вперёд сжатием, они встречаются посередине импульса. Именно там суммарное растяжение впервые становится большим — и там броня рвётся:
\[ l = \frac{c\tau}{2} = \frac{5\cdot10^{3}\cdot4\cdot10^{-6}}{2} = 10^{-2}\;\text{м} = 1\;\text{см}. \]Обратите внимание: броня не пробита. Снаряд не проникает внутрь, а лишь «щёлкает» по броне снаружи — весь эффект даёт волна.
Проверка. Импульс отколотого слоя \(\rho S l\cdot u = \rho S(c\tau/2)(2P/\rho c) = PS\tau\) ✓ — в точности импульс силы взрыва, как и должно быть. Размерности: \([P/\rho c] = \text{Па}/(\text{кг}/\text{м}^2\text{с}) = \text{м/с}\) ✓. Порядок: деформация \(\varepsilon = u_0/c = 125/5000 = 0{,}025\) — великовата для упругости, поэтому оценка грубая, но по порядку верная ✓. Защита от такого снаряда — разнесённая или многослойная броня: лишняя граница отражает импульс, не доводя его до тыльной поверхности ✓. Тот же механизм, что в задачах 3.8.7 и 3.8.9 ✓.Ответ \( u = \dfrac{2P}{\rho c} = 250 \) м/с, \( l = \dfrac{c\tau}{2} = 1 \) см.◇ какой слой отколется
6/10Предел прочности керамики и стёкол на разрыв значительно меньше, чем на сжатие. Из-за удара по левому концу стеклянного стержня побежала волна сжатия — «полуволна» синусоиды с амплитудой напряжения \(\sigma_0\) и протяжённостью \(L\). Какой участок стержня отколется, если предел прочности на разрыв \(\sigma < \sigma_0\)? Рассмотрите случаи \(\sigma_0 \gg \sigma\) и \(\sigma_0 \approx \sigma\).
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Пока импульс входит в свободный торец, отражённая (растягивающая) часть накладывается на ещё не отразившуюся (сжимающую). Суммарное растяжение растёт со временем; надо найти первый момент, когда оно где-то достигнет \(\sigma\), — там и пройдёт трещина.Полуволна сжатия амплитуды \(\sigma_0\) и длины \(L\) добегает до свободного торца; отражаясь, она превращается в растяжение, и от торца откалывается слой толщины \(l\). Наложение. Пусть свободный торец в точке \(x=0\), импульс идёт к нему. Обозначим \(f(s) = \sigma_0\sin(\pi s/L)\) — сжимающее напряжение на расстоянии \(s\) позади фронта. Через время \(t\) после прихода фронта на торец растягивающее напряжение на глубине \(x\) равно (отражённая минус ещё падающая):
\[ T(x,t) = f(ct-x) - f(ct+x) = -2\sigma_0\cos\frac{\pi ct}{L}\,\sin\frac{\pi x}{L}. \]Растяжение (\(T>0\)) появляется, когда \(\cos(\pi ct/L) < 0\), то есть после \(ct = L/2\).
Где оно наибольшее. Формула верна, пока обе волны существуют в точке \(x\), то есть пока \(ct + x \le L\). Значит при заданном \(t\) выгоднее всего самая дальняя точка \(x = L - ct\), и тогда, обозначив \(\varphi = \pi ct/L\),
\[ T_{\text{макс}}(t) = 2\sigma_0\,|\cos\varphi|\,\sin\varphi = \sigma_0\,|\sin 2\varphi|. \]Момент разрыва. Величина \(|\sin2\varphi|\) растёт от нуля при \(\varphi = \pi/2\), поэтому \(T\) впервые достигает \(\sigma\) при
\[ 2\varphi - \pi = \arcsin\frac{\sigma}{\sigma_0} \quad\Longrightarrow\quad \varphi = \frac{\pi}{2} + \frac12\arcsin\frac{\sigma}{\sigma_0}. \]Толщина откола. Трещина проходит на глубине \(l = L - ct = L(1 - \varphi/\pi)\):
\[ \boxed{\;l = \frac{L}{2}\left(1 - \frac{1}{\pi}\arcsin\frac{\sigma}{\sigma_0}\right) = \frac12\left(L - \frac{c}{\omega}\arcsin\frac{\sigma}{\sigma_0}\right)\;} \](здесь \(\omega = \pi c/L\) — частота той синусоиды, полуволной которой является импульс).
Предельные случаи.
— \(\sigma_0 \gg \sigma\) (очень хрупкое стекло): \(\arcsin \to 0\) и \(l \to L/2\) — откалывается ровно половина длины импульса, как в задаче 3.8.8 ✓.
— \(\sigma_0 \approx \sigma\) (прочность почти равна амплитуде): \(\arcsin1 = \pi/2\) и \(l = L/4\) — тонкая чешуйка, и то еле-еле.Проверка. Всегда \(L/4 \le l \le L/2\) ✓: слой не может быть ни толще половины импульса, ни тоньше четверти. При \(\sigma \ge \sigma_0\) откола нет вовсе ✓ — арксинус не определён, растяжение просто не дотягивает до прочности. Формула не содержит модуля Юнга и плотности отдельно ✓ — только форму импульса и отношение напряжений. Согласованность с 3.8.8: там прочность считалась ничтожной, и вышло ровно \(l = c\tau/2 = L/2\) ✓.Ответ \( l = \dfrac{L}{2}\Bigl(1 - \dfrac1\pi\arcsin\dfrac{\sigma}{\sigma_0}\Bigr) \); при \(\sigma_0\gg\sigma\) это \(L/2\), при \(\sigma_0\approx\sigma\) — \(L/4\).◇ стержень о стенку
6/10Стальной стержень длины 1 м ударяется торцом о жёсткую неподвижную стенку. Его первоначальная скорость 100 м/с. Какое давление он оказывает на стенку? Какие волны побегут по стержню? Чему равно время контакта? Какова конечная скорость стержня?
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Стенка мгновенно останавливает не весь стержень, а только тот его слой, до которого уже добралась волна. Давление задаётся скоростью через \(\sigma = \rho c v\), а контакт длится ровно столько, сколько нужно волне на путь «туда и обратно».Давление. За фронтом волны сжатия вещество покоится, значит скорость изменилась на \(v\), и
\[ P = \rho\,c\,v = 7{,}8\cdot10^{3}\cdot5\cdot10^{3}\cdot100 = 3{,}9\cdot10^{9}\;\text{Па} \approx 3{,}9\cdot10^{4}\;\text{атм}. \]Пять стадий удара. Голубым закрашена сжатая часть стержня. Контакт длится ровно столько, сколько волне нужно, чтобы дойти до свободного торца и вернуться: \(\tau = 2l/c\). Что происходит по стадиям.
1. Торец коснулся стенки. В стержень побежала волна сжатия: за её фронтом вещество остановлено и сжато, впереди — ещё летит со скоростью \(v\).
2. Через время \(l/c\) фронт дошёл до свободного заднего торца. Весь стержень сжат и покоится: вся кинетическая энергия перешла в упругую.
3. От свободного торца волна отражается волной растяжения (задача 3.8.5). За её фронтом деформация исчезает, а скорость меняет знак — вещество летит прочь от стенки со скоростью \(v\).
4. Ещё через \(l/c\) фронт возвращается к стенке. Весь стержень недеформирован и движется от стенки со скоростью \(v\) — давление на стенку обращается в нуль, контакт прекращается.
Время контакта.
\[ \tau = \frac{2l}{c} = \frac{2\cdot1}{5\cdot10^{3}} = 4\cdot10^{-4}\;\text{с}. \]Конечная скорость. \(v = 100\) м/с, направлена от стенки: удар получился абсолютно упругим, никаких колебаний в стержне не осталось.
Проверка. Импульс: \(P S\tau = \rho c v S\cdot2l/c = 2\rho S l v = 2mv\) ✓ — ровно то, что нужно, чтобы развернуть стержень. Энергия сохранилась полностью ✓, и это не случайность: при ударе о стенку стержень встречает «бесконечно длинного» партнёра, и обе волны успевают полностью отработать. Давление \(3{,}9\cdot10^{4}\) атм намного выше предела текучести стали ✓ — реальный стержень при 100 м/с расплющит торец, так что задача идеализированная. Деформация \(\varepsilon = v/c = 0{,}02\) ✓ — тоже великовата, но порядок верен.Ответ \( P = \rho c v \approx 3{,}9\cdot10^{4} \) атм; по стержню бежит волна сжатия, отражающаяся от свободного торца волной растяжения; \( \tau = 2l/c = 4\cdot10^{-4} \) с; конечная скорость \(100\) м/с в обратную сторону.◇ столкновение двух стержней
6/10Два упругих стержня из одинакового материала и одинакового сечения, но разной длины \(l\) и \(L > l\) движутся навстречу друг другу со скоростью \(v\). Определите скорость центров масс этих стержней после их столкновения.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Материал один и тот же, значит на границе полная «согласованность»: место контакта останавливается, и в оба стержня уходят одинаковые волны сжатия. Контакт кончается тогда, когда до него добежит отражённая волна из короткого стержня — он и задаёт время удара \(2l/c\).Два стержня из одного материала летят навстречу с одинаковой скоростью. Контакт длится \(2l/c\) — столько, сколько нужно волне на пробег по короткому стержню туда и обратно. Первая стадия. При соприкосновении место контакта останавливается (по симметрии двух одинаковых материалов и равных скоростей), и в оба стержня бегут волны сжатия с напряжением \(\sigma = \rho c v\). За фронтом вещество покоится.
Короткий стержень. Через \(l/c\) волна дошла до его свободного торца, там отразилась растяжением и через \(2l/c\) вернулась к контакту. К этому моменту весь короткий стержень недеформирован и летит прочь со скоростью \(v\) — то есть он просто отскочил:
\[ v_l = v \quad\text{(в обратную сторону)}. \]В этот момент контакт и прекращается.
Длинный стержень. Он «работал» лишь время \(2l/c\), за которое волна сжатия прошла по нему длину \(2l\) (по условию \(L>l\); если \(2l>L\), волна успела отразиться, но на подсчёте импульса это не скажется). К моменту разрыва контакта участок длины \(2l\) покоится, а остальная часть длины \(L-2l\) всё ещё летит со скоростью \(v\) в прежнюю сторону. Скорость центра масс:
\[ v_L = \frac{2l\cdot0 + (L-2l)\,(-v)}{L} = -v\left(1-\frac{2l}{L}\right), \qquad |v_L| = v\left|1-\frac{2l}{L}\right|. \]Куда он летит. При \(L > 2l\) длинный стержень продолжает двигаться в прежнюю сторону (просто медленнее); при \(L < 2l\) — отскакивает назад; при \(L = 2l\) его центр масс останавливается.
Проверка импульсом. Считаем «вправо» направлением движения короткого стержня. Было: \(\rho S(lv - Lv)\). Стало: \(\rho S\bigl(-lv + L\,v(2l/L-1)\bigr) = \rho S v(l - L)\) ✓ — сходится. Проверка энергией. Кинетическая энергия сохраняется только при \(L = l\) ✓ (тогда \(|v_L| = v\), оба отскакивают). Во всех прочих случаях часть энергии осталась в длинном стержне в виде внутренних колебаний — он после удара «звенит» ✓. Это важнейшее отличие удара протяжённых тел от удара материальных точек. Предельный случай \(L\to\infty\): \(|v_L|\to v\) ✓ — бесконечно длинный стержень удара почти не замечает, а короткий отскакивает.Ответ \( v_l = v \) (короткий отскакивает с прежней по модулю скоростью), \( v_L = v\,\bigl|1 - 2l/L\bigr| \).Когда удар «точечный»
6/10Происходит торцевое столкновение двух упругих стержней одинакового сечения. Рассмотрев волны сжатия, порождённые ударом, и отражение их от свободных концов, докажите, что результат соударения такой же, как и при лобовом абсолютно упругом ударе тел, если отношение длин стержней равно отношению скоростей звука в этих стержнях.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Энергия «застревает» в стержне в виде колебаний тогда, когда к моменту разрыва контакта волна прошла по нему не целое число раз туда-обратно. Если же оба стержня «отрабатывают» ровно один пробег туда и обратно за одно и то же время, каждый из них в конце оказывается недеформированным и движется как целое — колебаться нечему.Условие синхронности. Волна пробегает стержень туда и обратно за время \(2l_i/c_i\). Если
\[ \frac{l_1}{c_1} = \frac{l_2}{c_2}, \]то оба «возврата» происходят одновременно, в момент \(t = 2l_1/c_1\).
Что при этом получается. Проследим за одним стержнем. При контакте в него уходит волна сжатия; за её фронтом скорость стержня меняется на некоторую величину \(\Delta\). Дойдя до свободного торца, волна отражается растяжением, и за её фронтом скорость меняется ещё на \(\Delta\), а деформация исчезает. Когда отражённая волна возвращается к контакту, весь стержень недеформирован и имеет одну и ту же скорость \(v_i + 2\Delta_i\). То же самое одновременно происходит со вторым стержнем — и в этот же момент контакт разрывается.
Итого после удара оба стержня не деформированы и движутся поступательно: никаких внутренних колебаний не осталось. А значит вся механическая энергия — это энергия поступательного движения, то есть кинетическая энергия сохранилась.
Вывод. Выполнены оба закона: сохранение импульса (всегда) и сохранение кинетической энергии (только что показано). А эти два закона однозначно определяют результат лобового столкновения двух тел — значит он такой же, как при абсолютно упругом ударе шаров с массами \(m_i = \rho_i S l_i\).
Проверка. Частный случай \(l_1 = l_2\) из одинакового материала — условие выполнено, и стержни просто обмениваются скоростями ✓ (как одинаковые шары). Если условие нарушено — часть энергии остаётся в колебаниях ✓, что мы прямо посчитали в задаче 3.8.11 (там \(l \ne L\) при одинаковом \(c\)). Заметим, что «равенство времён пробега» — это в точности равенство акустических длин стержней ✓; массы при этом могут быть любыми. Именно так подбирают бойки в ударных механизмах, чтобы не терять энергию на «звон» ✓.Ответ При \(l_1/c_1 = l_2/c_2\) отражённые волны возвращаются к месту контакта одновременно, и в этот момент оба стержня недеформированы и движутся поступательно. Колебаний не остаётся, кинетическая энергия сохраняется — вместе с импульсом это и есть абсолютно упругий удар.Летящий стержень и покоящийся
6/10Упругий стержень длины \(l_1\), летящий со скоростью \(v\), сталкивается своим торцом с торцом неподвижного стержня длины \(l_2\), \(l_1/c_1 > l_2/c_2\), где \(c_1\) и \(c_2\) — скорости звука соответственно в одном и другом стержне. Сечение стержней и плотность их материала одинаковы. Определите скорость центров масс стержней после столкновения.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Схема та же, что в задаче 3.8.11: контакт кончается, когда до него добежит отражённая волна из того стержня, у которого меньше время пробега \(l/c\). Этот стержень к тому моменту цел и движется как целое; скорость второго проще всего добрать из закона сохранения импульса.Скорость границы. Плотности равны, но скорости звука разные, поэтому волновые сопротивления \(Z_i = \rho c_i\) различаются. Из непрерывности скорости и напряжения на границе (задача 3.8.14) сразу получается
\[ u = \frac{Z_1}{Z_1+Z_2}\,v = \frac{c_1}{c_1+c_2}\,v. \]Это скорость вещества за фронтами обеих волн.
Кто «отработает» первым. По условию \(l_1/c_1 > l_2/c_2\), значит первым возвращается отражённый импульс во втором стержне, в момент \(t = 2l_2/c_2\). К этому моменту весь второй стержень недеформирован и движется со скоростью
\[ v_2 = 2u = \frac{2c_1}{c_1+c_2}\,v, \]и контакт прекращается.
Первый стержень — из импульса. Полный импульс сохраняется:
\[ \rho S l_1 v = \rho S l_1 v_1 + \rho S l_2 v_2 \quad\Longrightarrow\quad v_1 = v\left(1 - \frac{2l_2}{l_1}\cdot\frac{c_1}{c_1+c_2}\right). \]Часть первого стержня осталась сжатой и колеблется — «звон» уносит недостающую энергию.
Симметричный случай. Если наоборот, \(l_1/c_1 < l_2/c_2\), то первым «отработает» летящий стержень, и
\[ v_1 = 2u - v = \frac{c_1-c_2}{c_1+c_2}\,v, \qquad v_2 = \frac{2l_1c_2}{l_2\,(c_1+c_2)}\,v. \]При равных скоростях звука (\(c_1 = c_2 = c\), то есть \(l_1 < l_2\)) это даёт очень наглядный результат:
\[ v_1 = 0,\qquad v_2 = \frac{l_1}{l_2}\,v \]— летящий стержень останавливается намертво, а весь импульс уходит второму.
Проверка. Импульс сходится в обоих случаях ✓. При \(l_1/c_1 = l_2/c_2\) обе формулы дают один и тот же ответ (задача 3.8.12) ✓: при \(c_1=c_2\) и \(l_1=l_2\) выходит \(v_1=0\), \(v_2=v\) — стержни обмениваются скоростями, как одинаковые шары ✓. Энергия сохраняется лишь в этом случае ✓, в остальных часть её остаётся в колебаниях. Осторожно с задачником: печатный ответ \(v_1 = 0\), \(v_2 = vl_1/l_2\) отвечает противоположному неравенству \(l_1/c_1 < l_2/c_2\) при \(c_1 = c_2\); при условии, записанном в задаче (\(l_1/c_1 > l_2/c_2\)), первым отрабатывает второй стержень, и ответ другой ✓ — проверьте по импульсу: \(l_1\cdot0 + l_2\cdot vl_1/l_2 = l_1v\) сходится, но энергия \(l_1^2/l_2 \le l_1\) требует \(l_1 \le l_2\), то есть как раз обратного неравенства.Ответ При \(l_1/c_1 > l_2/c_2\): \( v_2 = \dfrac{2c_1}{c_1+c_2}v \), \( v_1 = v\Bigl(1-\dfrac{2l_2c_1}{l_1(c_1+c_2)}\Bigr) \). При обратном неравенстве и \(c_1=c_2\): \( v_1 = 0 \), \( v_2 = \dfrac{l_1}{l_2}v \).Амплитуды на границе
6/10Длина волны, прошедшей через плоскую границу раздела из одной среды во вторую, сокращается во столько же раз, во сколько уменьшается во второй среде скорость распространения волны. Используя этот факт, а также закон сохранения энергии и импульса, определите, во сколько раз амплитуда отражённой волны и волны, прошедшей во вторую среду, меньше амплитуды падающей волны. Плотность и модуль упругости сред равны соответственно \(\rho_1\), \(E_1\) и \(\rho_2\), \(E_2\).
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея На границе выполняются два условия: вещество не разрывается (скорости слева и справа равны) и не «зависает» (напряжения равны). Этого достаточно — надо лишь помнить, что \(\sigma = \rho c u\) с плюсом или минусом в зависимости от направления бега волны.Волновое сопротивление. Ключевая величина — акустический импеданс
\[ Z = \rho c = \rho\sqrt{\frac{E}{\rho}} = \sqrt{\rho E}. \]Для волны, идущей в положительном направлении, \(\sigma = -Z u\); для встречной \(\sigma = +Z u\) (знак связан с тем, что деформация и скорость меняются местами).
Условия на границе. Пусть \(u\) — амплитуды скоростей: падающей \(u_{\text{пад}}\), отражённой \(u_{\text{отр}}\) и прошедшей \(u_{\text{пр}}\).
\[ \text{скорости:}\quad u_{\text{пад}} + u_{\text{отр}} = u_{\text{пр}}, \] \[ \text{напряжения:}\quad Z_1\bigl(u_{\text{пад}} - u_{\text{отр}}\bigr) = Z_2\,u_{\text{пр}}. \]Решаем. Складывая и вычитая:
\[ \frac{u_{\text{отр}}}{u_{\text{пад}}} = \frac{Z_1-Z_2}{Z_1+Z_2} = \frac{\sqrt{\rho_1E_1}-\sqrt{\rho_2E_2}}{\sqrt{\rho_1E_1}+\sqrt{\rho_2E_2}}, \] \[ \frac{u_{\text{пр}}}{u_{\text{пад}}} = \frac{2Z_1}{Z_1+Z_2} = \frac{2\sqrt{\rho_1E_1}}{\sqrt{\rho_1E_1}+\sqrt{\rho_2E_2}}. \]Про длину волны. Указание из условия — про сокращение длины волны — нужно как раз для того, чтобы связать амплитуды скоростей с амплитудами смещений: при неизменной частоте \(u = \omega A\), поэтому те же самые множители связывают и смещения.
Проверка. Одинаковые среды (\(Z_1=Z_2\)): отражения нет, проходит всё ✓. Очень жёсткая вторая среда (\(Z_2\gg Z_1\)): \(u_{\text{отр}}/u_{\text{пад}}\to-1\) — отражение с переворотом скорости, как от стенки ✓ (задача 3.8.3). Свободная граница (\(Z_2\to0\)): коэффициент \(+1\), отражение без переворота скорости, а на границе скорость удваивается ✓ (задача 3.8.5). Энергия: \(R + D = 1\), где \(R = \bigl(\frac{Z_1-Z_2}{Z_1+Z_2}\bigr)^2\) и \(D = \frac{4Z_1Z_2}{(Z_1+Z_2)^2}\) ✓ — прямая подстановка даёт тождество. Обратите внимание: \(u_{\text{пр}}\) может быть больше \(u_{\text{пад}}\) (при \(Z_2 < Z_1\)) ✓ — это не нарушает энергию, потому что энергия зависит и от импеданса.Ответ \( \dfrac{u_{\text{отр}}}{u_{\text{пад}}} = \dfrac{\sqrt{\rho_1E_1}-\sqrt{\rho_2E_2}}{\sqrt{\rho_1E_1}+\sqrt{\rho_2E_2}} \), \( \dfrac{u_{\text{пр}}}{u_{\text{пад}}} = \dfrac{2\sqrt{\rho_1E_1}}{\sqrt{\rho_1E_1}+\sqrt{\rho_2E_2}} \).Вода — воздух
6/10Коэффициентом прохождения волны называют отношение энергии проходящей волны к энергии падающей. Найдите этот коэффициент для звуковой волны на границе сред вода–воздух.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Всё определяется отношением волновых сопротивлений \(Z = \rho c\). У воды и воздуха они различаются в тысячи раз — значит граница почти зеркальная, и в формуле можно смело оставить главный член.Формула. Через амплитуды из задачи 3.8.14 энергия проходящей волны относится к энергии падающей как
\[ D = \frac{4Z_1Z_2}{(Z_1+Z_2)^{2}}. \]Если одно сопротивление много меньше другого (\(Z_1 \ll Z_2\)), то
\[ D \approx \frac{4Z_1}{Z_2}. \]Числа.
\[ Z_{\text{возд}} = 1{,}2\cdot340 \approx 4\cdot10^{2}\;\frac{\text{кг}}{\text{м}^2\text{с}}, \qquad Z_{\text{вода}} = 10^{3}\cdot1{,}4\cdot10^{3} = 1{,}4\cdot10^{6}. \] \[ D \approx \frac{4\cdot4\cdot10^{2}}{1{,}4\cdot10^{6}} \approx 1{,}1\cdot10^{-3}. \]Проходит примерно одна тысячная энергии — и, что важно, в обе стороны одинаково: формула симметрична относительно перестановки сред.
Проверка. \(D + R = 1\) с \(R = \bigl(\frac{Z_1-Z_2}{Z_1+Z_2}\bigr)^2 \approx 0{,}9989\) ✓ — отражается практически всё. Отсюда житейские следствия: под водой почти не слышно, что говорят снаружи, и наоборот ✓; рыбу пугает не крик с берега, а удар по лодке ✓. Симметричность \(D\) объясняет, почему ныряльщик и наблюдатель на берегу «глухи» друг к другу одинаково ✓. Именно чтобы обойти это, в медицине и дефектоскопии на кожу наносят гель — он убирает воздушный зазор ✓ (это и есть задача 3.8.16).Ответ \( D = \dfrac{4Z_1Z_2}{(Z_1+Z_2)^{2}} \approx \dfrac{4\rho_1c_1}{\rho_2c_2} \approx 1{,}1\cdot10^{-3} \).◇ согласующая прокладка
6/10Чтобы увеличить коэффициент прохождения волны, принимаемой пьезодатчиком, его подсоединяют к исследуемой среде через специальную прокладку. Плотность и скорость звука в исследуемой среде равны соответственно \(\rho_1\) и \(c_1\), плотность и скорость звука в прокладке и кристалле пьезодатчика равны соответственно \(\rho\), \(c\) и \(\rho_2\), \(c_2\). Пусть \(\rho_1c_1/\rho c = \rho c/\rho_2c_2 = 4\). Сравните по мощности сигналы, поступающие к датчику с прокладкой и без неё, если длительность сигнала меньше времени прохождения им прокладки.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Один «обрыв» импеданса в 16 раз пропускает мало. Заменим его двумя обрывами по 4 раза каждый: коэффициенты прохождения перемножатся, и произведение окажется больше, чем один большой скачок. Условие про длительность сигнала нужно, чтобы отражения внутри прокладки не накладывались друг на друга и их можно было считать отдельно.Прокладка с промежуточным волновым сопротивлением работает как ступенька между средой и кристаллом: две «мягкие» границы пропускают больше, чем одна резкая. Без прокладки. Отношение импедансов \(Z_1/Z_2 = 4\cdot4 = 16\), поэтому
\[ D_0 = \frac{4Z_1Z_2}{(Z_1+Z_2)^{2}} = \frac{4\cdot16}{17^{2}} = \frac{64}{289} \approx 0{,}22 \](в задачнике эта величина округлена до \(4Z_2/Z_1 = 0{,}25\)).
С прокладкой. На каждой из двух границ отношение импедансов равно 4:
\[ D_1 = D_2 = \frac{4\cdot4}{5^{2}} = \frac{16}{25} = 0{,}64. \]Так как сигнал короткий, до датчика первым доходит тот, что прошёл обе границы без переотражений:
\[ D = D_1 D_2 = 0{,}64^{2} \approx 0{,}41. \]Выигрыш.
\[ \frac{D}{D_0} = \frac{0{,}41}{0{,}22} \approx 1{,}9 \]— мощность сигнала почти удваивается. Кроме первого импульса приходят ещё «эхо-сигналы», прошедшие прокладку 3, 5, … раза; они следуют через интервалы \(2l/c\), и их мощность убывает геометрической прогрессией.
Почему выгодно дробить скачок. Функция \(D(k) = 4k/(1+k)^2\) от отношения импедансов \(k\) очень быстро падает при больших \(k\). Разбив скачок \(k\) на два по \(\sqrt k\), получаем \(D = \bigl(4\sqrt k/(1+\sqrt k)^2\bigr)^2\), и это всегда больше. При многих ступеньках прохождение можно довести почти до единицы — так и делают в согласующих слоях.
Проверка. \(0{,}41 > 0{,}22\) ✓, и это не «даровая» энергия: остальное по-прежнему отражается, просто теперь отражённое частично возвращается позже, эхо-сигналами ✓. Симметрия: величина \(\sqrt{Z_1Z_2}\) — оптимальный импеданс прокладки ✓, и в нашем случае он как раз выполнен (\(Z = \sqrt{Z_1Z_2}\), ведь \(Z_1/Z = Z/Z_2\)). Если сигнал длинный (или это непрерывная синусоида), эхо-сигналы налагаются, и подбором толщины прокладки (четверть длины волны) можно добиться почти полного прохождения ✓ — это задачи 3.8.18 и 3.8.19.Ответ Без прокладки \(D_0 \approx 0{,}22{-}0{,}25\), с прокладкой \(D \approx 0{,}41\) — примерно вдвое больше. Вдобавок приходят эхо-сигналы через интервалы \(2l/c\), убывающие геометрической прогрессией.Эхо-сигналы за стенкой
6/10На плоскую стенку толщины \(l\) перпендикулярно её поверхности падает звуковой сигнал, протяжённость которого много меньше \(l\). Из-за многократных отражений сигнала от границ стенки появляется последовательность вторичных сигналов («эхо-сигналов»), амплитуда которых убывает в геометрической прогрессии. Плотность среды, в которой находится стенка, и самой стенки — соответственно \(\rho_1\) и \(\rho_2\). Скорость распространения звука в среде и стенке соответственно \(c_1\) и \(c_2\). Определите отношение амплитуды двух следующих друг за другом «эхо-сигналов» в среде за стенкой, а также расстояние между ними.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Каждый следующий эхо-сигнал отличается от предыдущего одним лишним «путешествием туда и обратно» внутри стенки, то есть двумя лишними отражениями от её границ. Значит его амплитуда меньше в \(r^2\) раз, а запаздывает он на время \(2l/c_2\).Коэффициент отражения изнутри. На каждой границе «стенка → среда» (задача 3.8.14)
\[ r = \frac{Z_2-Z_1}{Z_2+Z_1},\qquad Z_i = \rho_ic_i, \]и по модулю он одинаков для обеих границ.
Отношение амплитуд. Второй эхо-сигнал прошёл внутри стенки два лишних отражения (от дальней и от ближней границы), поэтому
\[ n = \frac{A_{k+1}}{A_k} = r^{2} = \left(\frac{\rho_1c_1-\rho_2c_2}{\rho_1c_1+\rho_2c_2}\right)^{2}. \](Знак при возведении в квадрат неважен.)
Расстояние между сигналами. Лишний путь внутри стенки \(2l\) занимает время \(2l/c_2\). За это время сигнал в среде уходит на
\[ L = c_1\cdot\frac{2l}{c_2} = \frac{2lc_1}{c_2}. \]Проверка. При \(Z_1 = Z_2\) получаем \(n = 0\) ✓ — стенки как бы нет, эха не возникает. При сильно различающихся импедансах \(n \to 1\) ✓ — эхо-сигналы почти не затухают, зато каждый из них ничтожно слаб. Размерности очевидны ✓. Условие «сигнал короче \(l\)» нужно, чтобы эхо-сигналы не перекрывались ✓; если оно нарушено, они складываются, и получается интерференционная картина — задача 3.8.18. На этом принципе работает ультразвуковая толщинометрия: по расстоянию между эхо-сигналами определяют \(l\) ✓.Ответ \( n = \left(\dfrac{\rho_1c_1-\rho_2c_2}{\rho_1c_1+\rho_2c_2}\right)^{2} \), \( L = \dfrac{2l\,c_1}{c_2} \).Резонансное просветление
6/10На стенку (см. задачу 3.8.17) последовательно падают одинаковые звуковые сигналы. При каком расстоянии между ними амплитуда сигнала, прошедшего сквозь стенку, будет максимальной? Определите отношение максимальной амплитуды этого сигнала к амплитуде падающего сигнала. Изменится ли это отношение, если на стенку будет падать синусоидальная волна?
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Пусть сигналы приходят с тем же интервалом, с каким выходят эхо-сигналы. Тогда «главный» импульс каждого нового сигнала складывается с эхо-сигналами всех предыдущих — в фазе. Складывая бесконечную геометрическую прогрессию, получаем ровно единицу: стенка становится полностью прозрачной.Условие совпадения. Эхо-сигналы за стенкой идут с интервалом \(L = 2lc_1/c_2\) (задача 3.8.17). Значит и падающие сигналы надо посылать с тем же расстоянием:
\[ L = \frac{2l\,c_1}{c_2}. \]Суммирование. Обозначим \(t\) — амплитудный коэффициент прохождения через одну границу, \(r\) — отражения изнутри. Первый импульс даёт за стенкой \(t_1t_2\), второй (после одного «пробега туда-обратно») \(t_1t_2r^{2}\), третий \(t_1t_2r^{4}\) и так далее. Если все они приходят одновременно, суммарная амплитуда
\[ A = t_1t_2\bigl(1 + r^{2} + r^{4} + \dots\bigr) = \frac{t_1t_2}{1-r^{2}}. \]Подставим \(t_1 = \dfrac{2Z_1}{Z_1+Z_2}\), \(t_2 = \dfrac{2Z_2}{Z_1+Z_2}\), \(r = \dfrac{Z_2-Z_1}{Z_1+Z_2}\):
\[ 1-r^{2} = \frac{(Z_1+Z_2)^{2}-(Z_2-Z_1)^{2}}{(Z_1+Z_2)^{2}} = \frac{4Z_1Z_2}{(Z_1+Z_2)^{2}} = t_1t_2, \]и потому
\[ \boxed{\;A = 1\;} \]— амплитуда прошедшего сигнала равна амплитуде падающего. Стенка «просветляется» полностью, сколь бы велика ни была разница импедансов.
Синусоидальная волна. Ничего не изменится: непрерывная синусоида — это и есть предельный случай бесконечной последовательности сигналов, и условие совпадения фаз означает, что на толщине стенки укладывается целое число полуволн:
\[ l = n\,\frac{\lambda_2}{2}. \]Тогда отношение амплитуд по-прежнему равно единице. Это классическое резонансное прохождение через слой.
Проверка. Ответ не зависит от импедансов ✓ — удивительно, но так и есть: слой «полуволновой» толщины прозрачен для любой пары сред. Энергия сходится: отражённые волны при этом гасят друг друга в первой среде ✓. Проверка предельным случаем: при \(Z_1 = Z_2\) сразу \(A=1\) и без всяких резонансов ✓. Обратный случай — четвертьволновая толщина — даёт, наоборот, максимальное отражение ✓ (задача 3.8.19). Обратите внимание: складывать амплитуды в фазе можно именно потому, что при отражении изнутри знак меняется дважды за пробег ✓.Ответ \( L = \dfrac{2l\,c_1}{c_2} \); отношение амплитуд \( n = 1 \) — стенка становится полностью прозрачной. Для синусоидальной волны отношение не изменится (условие \(l = n\lambda_2/2\)).Экран, который не экранирует
6/10Ультразвуковая волна распространяется по воздуху в узком коридоре без заметного ослабления на большое расстояние. Коридор перегородили звукоизолирующим экраном некоторой толщины. При этом мощность проходящей волны уменьшилась во много раз. Затем вместо прежнего установили экран двойной толщины. Обнаружилось, что сквозь этот экран ультразвук проходит почти не ослабляясь. В чём тут дело? Частота волны 1 МГц, скорость звука в материале экрана 5 км/с. Найдите толщину звукоизолирующих экранов.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Всё дело в интерференции внутри экрана. При толщине в четверть длины волны отражения от двух границ складываются в фазе — отражение максимально. При толщине в половину длины волны они гасят друг друга, и экран становится прозрачным (задача 3.8.18).Длина волны в экране.
\[ \lambda = \frac{c}{\nu} = \frac{5\cdot10^{3}}{10^{6}} = 5\cdot10^{-3}\;\text{м} = 5\;\text{мм}. \]Первый экран — четвертьволновый.
\[ l_1 = \frac{\lambda}{4} = 1{,}25\;\text{мм}. \]Волна, отражённая от дальней границы, возвращается, пройдя лишний путь \(2l_1 = \lambda/2\), то есть с задержкой на полпериода. Вместе с изменением знака при отражении это даёт сложение отражённых волн в фазе: отражение усиливается, прохождение падает до минимума.
Второй экран — полуволновый.
\[ l_2 = 2l_1 = \frac{\lambda}{2} = 2{,}5\;\text{мм}. \]Теперь лишний путь равен \(\lambda\), отражённые волны приходят в противофазе и гасят друг друга. Отражения нет вовсе — экран прозрачен, как и было обнаружено.
Проверка. Условие \(l = n\lambda/2\) — то самое, что даёт полное прохождение в задаче 3.8.18 ✓. Условие \(l = (2n+1)\lambda/4\) даёт максимум отражения ✓ — на этом же принципе работают просветляющие покрытия оптики, только там ищут обратное. Порядок величин разумен: миллиметровые толщины при мегагерцовой частоте ✓. Важно, что эффект резонансный: чуть измени частоту — и «прозрачный» экран снова начнёт отражать ✓. Именно поэтому реальная звукоизоляция делается из неоднородных и поглощающих материалов, а не из тонких пластин ✓.Ответ Дело в интерференции внутри экрана: \( l_1 = \lambda/4 = 1{,}25 \) мм (максимум отражения), \( l_2 = \lambda/2 = 2{,}5 \) мм (полное прохождение).Почему тонкая стенка не спасает
6/10На границе раздела сред происходит почти полное отражение звука, если \(\rho_1c_1 \gg \rho_0c_0\). Однако известно, что очень тонкие стенки не обеспечивают хорошей звукоизоляции. Почему?
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИдея Формула отражения от границы выведена для полубесконечной среды. У тонкой стенки есть вторая граница, и отражения от двух границ гасят друг друга. Правильный критерий для тонкой стенки — не импеданс материала, а её масса на единицу площади.Почему импеданс не работает. Если толщина \(l \ll \lambda\), то волна, отражённая от дальней границы, возвращается почти без задержки и приходит в противофазе с отражённой от ближней (там знак отражения противоположный). Они почти полностью гасят друг друга — это предельный случай «полуволновой» стенки задачи 3.8.18 при \(n\to0\). Отражения практически нет, и стенка прозрачна.
Что тогда мешает звуку. Тонкую стенку разумно считать просто грузом: пластинкой массы \(m = \rho_1 l\) на единицу площади, которую волна должна раскачать. Приравняв перепад давления силе, разгоняющей эту массу, получаем оценку коэффициента прохождения по амплитуде
\[ t \sim \frac{2\rho_0c_0}{\omega\,\rho_1 l} \qquad\text{при}\qquad \omega\rho_1l \gg \rho_0c_0. \]То есть изоляция определяется произведением \(\omega\,m\) — это знаменитый закон массы: чем тяжелее стенка и чем выше частота, тем лучше она глушит звук.
Следствия. Тонкая перегородка плохо держит именно низкие частоты (басы всегда слышны через стену ✓). Удвоение массы даёт всего вдвое меньшую амплитуду, то есть около 6 дБ, — вот почему звукоизоляция «в лоб» так дорога. Работают не толщиной, а комбинированием: разные слои, воздушные зазоры, поглотители.
Проверка. При \(l \to 0\) получаем \(t \to 1\) ✓ — стенки нет. При \(l \to \infty\) формула перестаёт работать, и надо возвращаться к импедансному ответу \(t \approx 2\rho_0c_0/(\rho_1c_1)\) ✓; граница между режимами — когда \(\omega l \sim c_1\), то есть \(l \sim \lambda_1\) ✓, как и должно быть. Размерность: \([\omega\rho_1 l] = \text{с}^{-1}(\text{кг/м}^3)\text{м} = \text{кг}/(\text{м}^2\text{с})\) — та же, что у \(\rho_0c_0\) ✓. Это и объясняет, почему тонкий металлический лист изолирует хуже, чем гораздо более «мягкая», но тяжёлая штора ✓.Ответ У тонкой стенки (\(l \ll \lambda\)) отражения от двух её границ гасят друг друга, и импедансный критерий неприменим. Изоляция определяется массой единицы площади: \( t \sim 2\rho_0c_0/(\omega\rho_1 l) \) — «закон массы».Звук в сосуде
5/10По спектру звука в Audacity определить частоты стоячих волн в открытой и полузакрытой трубах и мерных цилиндрах с разным уровнем воды; из условия резонанса найти скорость звука, размеры цилиндра и поправку на эффективную длину beta*D.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Веретено
7/10Исследование коллекторного мотора с редуктором: сопротивление обмоток при заторможенном вале, ЭДС индукции Uind=U−IR прямо пропорциональна частоте, связь момента и приращения тока (βtheor=1/2πα), коэффициент редукции; затем стоячие волны на вращаемой леске — скорость волны и размерностная формула v=√((T+T0)/ρ), линейность v²(m), погонная плотность.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.