Магнитный диполь

1. (7 баллов) В вакууме, в области, где нет зарядов и токов, электрическое и магнитное поля описываются одинаковыми с математической точки зрения дифференциальными уравнениями (с точностью до знаков и постоянных множителей), поэтому картины линий этих полей вдали от источников очень похожи. Например, напряжённость поля точечного электрического диполя (\(\vec p = q\vec l\) "— дипольный момент) в точке с радиус-вектором \(\vec r\) даётся формулой \[\vec E(\vec r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left(\frac{3\,(\vec p\cdot\vec r)\,\vec r}{r^5} - \frac{\vec p}{r^3}\right),\] которая превращается в формулу для индукции магнитного поля витка с током (магнитного диполя) при замене: \(\vec E \to \vec B\), \(\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \to \dfrac{\mu_0}{4\pi}\), \(\vec p \to \vec\mu\); \(\vec\mu = IS\vec n\) "— магнитный момент витка площадью \(S\) с током \(I\), \(\vec n\) "— вектор единичной нормали к плоскости витка.

   Рассмотрим соленоид с количеством витков \(N\) (\(N \gg 1\)) длиной \(L\), намотанный достаточно тонким проводом виток к витку на полый цилиндрический немагнитный сердечник с радиусом основания \(R\) (\(R \ll L\)). По виткам соленоида течёт ток \(I\).

   A1) (2 балла) На большом расстоянии от витков соленоида его поле эквивалентно полю двух фиктивных магнитных зарядов, расположенных на торцах соленоида. Найдите модуль магнитного заряда \(Q_M\) любого из торцов соленоида.

   A2) (3 балла) Чему равна индукция магнитного поля соленоида в точке \(A\) (см. рисунок) на расстоянии \(b\) (\(b \gg R\), \(b \ll L\)) от его оси?

   

   A3) (2 балла) Найдите индукцию магнитного поля соленоида в точке, лежащей вне соленоида на его оси на расстоянии \(h\) (\(R \ll h \ll L\)) от его торца.

2. (7 баллов) Аналогию можно развить, обратив внимание на то, что напряжённость вихревого электрического поля, порождаемого изменяющимся магнитным полем бесконечного соленоида, на расстоянии, много большем радиуса соленоида, описывается соотношением, очень похожим на формулу \(B(r) = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}\) для индукции магнитного поля прямолинейного провода с током \(I\) на расстоянии \(r\) от него.

   B1) (1 балл) Найдите напряжённость вихревого электрического поля на расстоянии \(b\) от оси очень длинного цилиндрического соленоида радиусом \(a\) (\(b > a\)), магнитное поле в котором изменяется с известной скоростью \(\dfrac{dB}{dt}\).

   Тонкую цилиндрическую трубку с радиусом основания \(r\) и длиной \(2\pi R\) (\(R \gg r\)) из немагнитного материала согнули в кольцо, на которое после намотали \(N\) (\(N \gg 1\)) витков тонкого провода виток к витку, так что получилась тороидальная катушка. Выводы катушки подключили к специальному источнику напряжения, в итоге ток в катушке в зависимости от времени начал изменяться по закону \(I(t) = kt\), где \(k\) "— известная постоянная.

   B2) (3 балла) Определите напряжённость вихревого электрического поля в центре тора.

   B3) (3 балла) На главной оси тора на расстоянии \(h\) от него (\(h \gg R\)) располагается точечный заряд \(q\). Какая сила действует на заряд со стороны вихревого электрического поля?

При решении этой задачи могут оказаться полезными (а могут и не оказаться) некоторые или все из приведённых ниже формул.

Уравнения для осесимметричного магнитного поля в вакууме в цилиндрической системе координат: \[\frac{1}{r}\,\frac{\partial (r B_r)}{\partial r} + \frac{\partial B_z}{\partial z} = 0, \qquad \frac{\partial B_r}{\partial z} - \frac{\partial B_z}{\partial r} = 0.\] Связь радиальной компоненты \(B_r\) осесимметричного поля с магнитным потоком \(\Phi(z)\) через диск радиуса \(R\), центр которого лежит на оси \(OZ\) в точке с координатой \(z\), а плоскость перпендикулярна этой оси: \[B_r(R, z) = -\frac{1}{2\pi R}\cdot\frac{d\Phi}{dz}.\] Осевая и радиальная составляющие поля магнитного диполя с моментом \(m\) (момент направлен вдоль оси \(OZ\)): \[B_z(z, r) = \frac{\mu_0}{4\pi}\cdot\frac{m(2z^2 - r^2)}{(z^2 + r^2)^{5/2}}, \qquad B_r(z, r) = \frac{\mu_0}{4\pi}\cdot\frac{3mzr}{(z^2 + r^2)^{5/2}}.\] Поле в центре основания постоянного магнита цилиндрической формы (радиус основания \(a\), высота \(h\), магнитный момент \(m\)): \[B_0 = \frac{\mu_0 m}{2\pi a^2\sqrt{a^2 + h^2}}.\] Значения некоторых несобственных интегралов: \[\int_0^\infty \frac{x^2\,dx}{(x^2 + a^2)^4} = \frac{\pi}{32 a^5}, \qquad \int_0^\infty \frac{x^2\,dx}{(x^2 + a^2)^5} = \frac{5\pi}{256 a^7}.\]

1. Рассмотрим тонкое кольцо радиуса \(R\), изготовленное из проволоки сечением \(S\) (\(S \ll R^2\)). Проводимость материала кольца (величина, обратная удельному сопротивлению) \(\sigma = \dfrac{1}{\rho}\) известна. Кольцо движется с постоянной скоростью \(v\) вдоль оси \(OZ\), которая совпадает с осью симметрии магнитного поля и самого кольца. Считая известными функции \(B_z(z, r)\) и \(B_r(z, r)\), задающие осевую и радиальную компоненты магнитной индукции, найдите силу, действующую на кольцо в точке с координатой \(z\).

2. В начале координат закреплён небольшой магнит с моментом \(m\), направленным вдоль оси \(OZ\). Вдоль этой же оси движется очень длинная тонкостенная труба радиуса \(R\) с толщиной стенки \(d\) (\(d \ll R\)). Ось трубы совпадает с осью \(OZ\), а её скорость \(v\) постоянна. Материал трубы имеет проводимость \(\sigma\). Определите силу взаимодействия трубы и магнита.

3. В вертикальной медной трубе (\(R = 1\) см, \(d = 1\) мм) падает соосный трубе цилиндрический неодимовый магнит (радиус основания \(a = 0{,}5\) см, высота \(h = 2a\)). Спустя некоторое время после начала падения скорость магнита становится постоянной. Определите эту установившуюся скорость, считая что поле вне магнита совпадает с полем точечного диполя, расположенного в его центре и обладающего тем же магнитным моментом. Сопротивлением воздуха можно пренебречь.

   Плотность материала магнита \(\rho_{\text{м}} = 7{,}4\) г/см\(^3\), проводимость меди \(\sigma = 5{,}8 \cdot 10^7\) (Ом\(\cdot\)м)\(^{-1}\). Магнит создаёт поле \(B_0 = 1\) Тл в центре своего основания. Ускорение свободного падения \(g = 10\) м/с\(^2\).