Ядро и снаряд
5/10
С самолёта, летевшего на высоте \(H = 4800\) м со скоростью \(u = 500\) м/с, сбросили ядро. Одновременно с этим из точки, расположенной прямо под самолётом, орудие произвело выстрел снарядом в направлении под углом \(\alpha = 60^\circ\) к горизонту. Начальная скорость снаряда \(v_0 = 500\) м/с. На каком минимальном расстоянии друг от друга пролетят ядро и снаряд?
Сопротивлением воздуха пренебречь. Ответ выразите в метрах и округлите до целого значения.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПерейдите в систему отсчёта ядра: в ней оба тела движутся равномерно, и задача сводится к расстоянию от точки до прямой.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ\(2400\) м.
Два зенитных орудия на крейсере
5/10Из кормового и носового зенитных орудий, расположенных на верхней палубе неподвижного крейсера, под одним и тем же углом \(30°\) к горизонту прямо по курсу одновременно производятся два выстрела. Начальная скорость снаряда носового орудия равна 100 м/с, кормового 200 м/с. Найти наименьшее расстояние между снарядами в процессе полёта, если длина палубы (расстояние между орудиями) равна 100 м. Ответ выразите в м, округлив до целого числа. Ускорение свободного падения считайте равным 10 м/с\(^2\). Сопротивлением воздуха пренебречь. Траектории снарядов лежат в одной вертикальной плоскости.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПерейдите в систему отсчёта одного снаряда: оба снаряда свободно падают с одним ускорением, поэтому относительное движение равномерное.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ\(50\) м.
Столкновение футбольных мячей
5/10На горизонтальной площадке на расстоянии 60 м друг от друга лежат два футбольных мяча. Рядом с мячами стоят школьники Вова и Ваня. В некоторый момент каждый из них ударяет по лежащему мячу. Вова сообщает мячу начальную скорость 30 м/с, направленную под углом \(30^\circ\) к горизонту, а Ваня сообщает мячу скорость, направленную под углом \(60^\circ\) к горизонту. Оба мяча двигались в одной плоскости и столкнулись в воздухе. Сопротивлением воздуха можно пренебречь.
Какую начальную скорость сообщил своему мячу Ваня? Ответ выразите в м/с и округлите до целого числа.
Через какое время после удара мячи столкнулись? Ответ выразите в секундах и округлите до десятых.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПерейдите в систему отсчёта, свободно падающую вместе с мячами: в ней оба мяча движутся равномерно и прямолинейно.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(17\) м/с; 2) \(1{,}7\) с.
Ракета и снаряд: взаимно перпендикулярные скорости
6/10Ракета удаляется от поверхности Земли с постоянной скоростью \(v_0 = 200\) м/с, направленной строго вертикально. Из неподвижного орудия под углом \(\alpha\) к горизонту выпускается снаряд с такой же по величине начальной скоростью \(v_0\). В каком диапазоне должен лежать угол \(\alpha\), чтобы в системе отсчёта, движущейся поступательно вместе со снарядом, скорости ракеты и орудия хотя бы в какой-то момент времени были взаимно перпендикулярны? Сопротивлением воздуха пренебречь. Поверхность Земли считать плоской.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаВ системе отсчёта снаряда скорость орудия равна минус скорости снаряда, а ракеты "— скорость ракеты минус скорость снаряда. Постройте векторную диаграмму: как меняется скорость снаряда со временем и когда два вектора могут оказаться перпендикулярными?
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ\(60^\circ \le \alpha < 90^\circ\) (при \(\alpha = 60^\circ\) перпендикулярность достигается через \(\tau = 7{,}5\) с).
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИз рисунка видно, что угол \(\alpha\) должен лежать в диапазоне от \(60^\circ\) (включительно) до \(90^\circ\) (не включительно) (на рисунке диапазон изображён серой штриховкой).
При \(\alpha = 60^\circ\) имеем \[g\tau = v_0\sin\alpha - \frac{v_0}{2} = v_0\left(\sin\alpha - \frac{1}{2}\right),\] откуда \[\tau = \frac{v_0}{g}\left(\sin\alpha - \frac{1}{2}\right) = \frac{v_0}{2g}\left(\sqrt3 - 1\right) = 7{,}5\text{ с}.\]
Мяч на разгоняющейся платформе
4/10В системе платформы мяч летит с ускорением g − a; условия x = L, y = 0 в момент τ дают горизонтальную и вертикальную составляющие скорости, откуда модуль начальной скорости или угол броска (варианты 1–2).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Мяч, бьющий по разгоняющейся платформе
4/10Переход в систему платформы даёт ускорение мяча g − a; из условий падения на противоположный край через время τ получают обе составляющие начальной скорости и по ним модуль или угол (варианты 1–2).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Осколки гранаты
4/10В системе отсчёта гранаты осколки разлетаются с равными скоростями во все стороны; первым упадёт осколок, летящий вертикально вниз, последним — вверх, и по разности времён падения находят время падения первого.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Граната, разорвавшаяся в верхней точке
4/10В верхней точке скорость гранаты равна нулю, осколки разлетаются с одинаковой скоростью во все стороны; первым падает летящий вертикально вниз, последним — вверх, и по разности времён находят время падения первого.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Два камешка с интервалом
5/10В системе отсчёта первого камешка второй движется равномерно (разность скоростей постоянна); минимальное расстояние — перпендикуляр из точки на прямую относительного движения, а момент находят из проекции.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Отражение в полёте
6/10Шарик из катапульты отражается упруго от движущейся навстречу стенки; в системе стенки модуль скорости сохраняется. По равенству высот удара при t1=1 с и t2=2 с найти h, H, v, скорости стенки и начальное расстояние.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Бросок с тележки
6/10С тележки со скоростью v бросают тело со скоростью v относительно неё; найти максимальную дальность, угол бросания и угол к горизонту относительно земли.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Мяч отскакивает от стенки, в том числе подвижной
5/10Упругий удар мяча о вертикальную стенку: высота и время до удара из геометрии траектории (отражение — продолжение параболы), затем смещение точки падения, когда стенка движется навстречу (смена скорости на стенку при ударе) (варианты 1–2).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Осколки фейерверка с параллельными скоростями
6/10Осколки с равной начальной скоростью под углами α к горизонту и β к вертикали, перед падением скорости параллельны; из закона движения в системе осколка находятся углы, скорость и наибольшее расстояние (варианты 1–4).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.