Бипризма, зеркала Френеля, билинза

Нарисуйте ход крайних лучей от каждой полулинзы: каждая даёт свой световой конус, и на экране видны два полукруга, радиусы которых находятся из подобия. Там, где конусы перекрываются, изображения \(S_1\) и \(S_2\) работают как два когерентных источника на одной оси — считайте разность хода от центра картины до её края.

1) \(l_1 = 16F/3\), \(l_2 = 4F\);  2) два равномерно освещённых полукруга разного радиуса по разные стороны от ГОО, нижний меньше верхнего: \(r_\text{в}/r_\text{н} = 7/6\) при \(L_1 = 3F\) и \(r_\text{в}/r_\text{н} = 6\) при \(L_2 = 6F\);  3) \(L_3 = 8F/3\);  4) в верхней полуплоскости — полукруг радиуса \(r = D/9\), в центре тёмное пятно, дальше чередуются светлые и тёмные полукольца;  5) \(k = \dfrac{D^2}{48\lambda F} \approx 20\) (ответ \(21\) с объяснением тоже верен).

Каждая из половинок линзы будет давать изображение, расстояние до которого можно найти по формуле тонкой линзы. Пусть \(l\) — искомое, тогда из \(\dfrac{1}{F} = \dfrac{1}{d} + \dfrac{1}{f}\) и \(l = d + f\) получим \(l = \dfrac{d^2}{d - F}\).

Расстояния \(l_1\) и \(l_2\) от источника до его изображений в верхней и нижней половинках линзы равны: \[l_1 = 16F/3 \quad\text{и}\quad l_2 = 4F.\]

При \(L_1 = 3F\) и \(L_2 = 6F\) пучки идут по разные стороны от ГОО, поэтому на экране возникнет равномерно освещённое изображение в виде двух полукругов разного радиуса, величина которых может быть получена из рассмотрения подобных треугольников. В обоих случаях радиус нижнего полукруга меньше, чем у верхнего: для \(L_1 = 3F\) отношение радиусов равно \[\frac{r_\text{в}}{r_\text{н}} = \frac{l_1 - L_1}{l_1 - d_1}\,\frac{l_2 - d_2}{l_2 - L_1} = \frac{7}{6},\] а при \(L_2 = 6F\) \[\frac{r_\text{в}}{r_\text{н}} = \frac{L_2 - l_2}{l_2 - d_2}\,\frac{l_1 - d_1}{L_2 - l_1} = 6.\] На рисунке 2 полукруги показаны схематически.

При перемещении экрана от расстояния \(2F\) вправо несложно заметить, что в некотором положении радиусы полукругов совпадут в промежутке от \(2F\) до \(l_2\).

Искомое расстояние находим из пропорции, отражающей равенство двух коэффициентов подобия треугольников: \[\frac{l_1 - d_1}{L_3 - d_1} = \frac{l_2 - d_2}{L_3 - d_2} \;\Longrightarrow\; L_3 = \frac{d_2l_1 - d_1l_2}{l_1 - l_2 - d_1 + d_2}.\] Искомое расстояние: \[L_3 = 8F/3.\]

Если закрепить экран на расстоянии \(L_4 = 40F/9\) от источника, то пучки света от полулинз точно накладываются друг на друга в верхней полуплоскости экрана.

Изображения источника \(S\) в положениях \(l_1\) и \(l_2\) можно рассматривать как два когерентных вторичных источника \(S_1\) и \(S_2\), фазы которых в точке отрезка между ними на ГОО отличаются на \(\pi\) из-за прохождения световой волны через фокус в \(S_1\).

Следовательно, в центре полукруга наблюдается тёмное пятно (рисунок 3). При движении от центра картины к краю разность фаз источников будет изменяться, поэтому возникнет чередование светлых и тёмных полуколец.

Радиус полукруга можно найти из подобия треугольников: \[\frac{r}{D/2} = \frac{L_4 - l_2}{l_2 - d_2} \;\Longrightarrow\; r = \frac{D}{9}.\]

Назовём вершину полукруга точкой A, а его центр — точкой O и рассмотрим сечение области пересечения световых лучей от половинок линзы плоскостью, проходящей через оптическую ось перпендикулярно разрезу (рисунок 4). Расстояния от изображений источника до центра картины равны \(S_1O \equiv b = 4F/9\) и \(S_2O = 2b = 8F/9\).

Как уже отмечалось, в точке O разность фаз между лучами, пришедшими через нижнюю и верхнюю половину линзы, равна \(\Delta\varphi_O = \pi\). Эта разность увеличивается на \(2\pi\) при переходе к каждой следующей тёмной полосе.

Разность фаз между этими лучами на краю картины — в точке A — определяется разностью хода лучей: \(\Delta\varphi_A = \pi + 2\pi[S_1A - (S_1S_2 - S_2A)]/\lambda\). С другой стороны, она изменилась по сравнению с \(\Delta\varphi_O\) на \(2\pi k\), где \(k\) — число светлых полос в картине, на каждой из которых происходит рост и убывание наблюдаемой освещённости. Ясно, что это и есть ответ на вопрос 5.

Значит, \(k\lambda = S_1A + S_2A - S_1S_2 = S_1A + S_2A - 3b\).

По рисунку 4, применяя теорему Пифагора, выражаем расстояния: \[k\lambda = \sqrt{4b^2 + r^2} + \sqrt{b^2 + r^2} - 3b.\] Для данных по условию \(b \gg r\), с учётом формулы \((1+x)^\alpha = 1 + \alpha x\), находим: \(3r^2 \approx 4kb\lambda\). Таким образом, искомое значение: \[k = \frac{3r^2}{4b\lambda} \;\Longrightarrow\; k = \frac{D^2}{48\lambda F}.\] Для заданных числовых значений получаем, что \[k = \frac{5^2\cdot 10^{-4}}{48\cdot 0{,}65\cdot 10^{-6}\cdot 4} \approx 20.\]

Примечание. Отметим, что вычисление без приближения малости отклонения от оси даёт \(k \approx 20{,}032\), то есть в принципе можно считать, что на краю картины есть ещё один — правда, очень тонкий — интервал значений радиуса, на котором освещённость будет возрастать. Тогда ответом на вопрос 5 будет \(k = 21\). Такой ответ (при наличии соответствующего объяснения) тоже следует считать правильным. Хотя на практике «увидеть» эту полоску будет очень сложно.