Масляная плёнка
6/10Вопрос: На экран падают две монохроматические световые волны. Опишите условия, обеспечивающие в некоторой точке этого экрана наблюдение минимума интерференционной картины.
Задача: Широкий резервуар с водой, установленный в лаборатории, покоится, и волн на поверхности воды нет. При этом на поверхности есть масляная плёнка, которую освещают рассеянным светом с длиной волны \(\lambda = 500\) нм. Интенсивность отражённого света измеряется фотодатчиком, ось входного окуляра которого направлена под углом \(60^\circ\) к нормали к поверхности воды. Известно, что масло прозрачное, и его показатель преломления равен \(n = 1{,}5\). Наблюдения показали, что в течение некоторого времени интенсивность изменяется периодически, причём период почти точно равен \(T = 15\) минут. Определите скорость испарения (то есть скорость уменьшения толщины) масляной плёнки.
▶Показать разборСкрыть разбор
ПодсказкаСравните оптическую разность хода двух лучей, отражённых от верхней и нижней границ плёнки. На сколько должна уменьшиться толщина плёнки, чтобы разность хода изменилась на одну длину волны?
Ответ1) для минимума в точке наблюдения когерентные волны (одинаковая частота и постоянный сдвиг фаз) должны иметь разность фаз, равную нечётному кратному \(\pi\), то есть оптическая разность хода в этой точке равна нечётному числу полуволн; 2) \(v = \dfrac{\lambda}{2T\sqrt{n^2-\cos^2\alpha}} = \dfrac{\lambda}{T\sqrt{6}} \approx 0{,}23\) нм/с \(\approx 0{,}82\) мкм/ч (здесь \(\alpha = 30^\circ\) — угол к горизонту, т.е. \(60^\circ\) к нормали).
РешениеВопрос. Во-первых, для создания интерференционной картины эти волны должны быть когерентны во всей области наблюдения интерференции, то есть должны иметь одинаковую частоту и постоянный сдвиг фаз. Во-вторых, для наблюдения минимума эта разность фаз должна быть равна нечётному кратному \(\pi\). Это условие будет выполнено, если в данной точке складываются волны, испущенные из одной точки (где они были синфазны), у которых оптическая разность хода до точки наблюдения была равна нечётному числу длин полуволн.
Задача. По условию освещение поверхности воды рассеянное (лучи падают со всех возможных направлений), а сама поверхность ровная и горизонтальная. Лучи, попадающие от поверхности в окуляр, наклонены к горизонту на угол \(\alpha = 30^\circ\). Ясно, что луч, образовавший эти лучи, тоже падал на поверхность под этим углом к горизонту (см. рисунок). Как видно из построения, в интерференции участвуют лучи, отражённые от двух сторон масляной плёнки толщиной \(d\). Подсчитаем оптическую разность хода пары лучей от точки падения, в которой они были синфазны. Расстояние между точками «входа» и «выхода» луча в плёнку \(D = 2d\operatorname{tg}\beta\), где угол преломления \(\beta\) находится из закона Снеллиуса: \(\sin\beta = \dfrac{1}{n}\cos\alpha\), \(\cos\beta = \sqrt{1-\dfrac{1}{n^2}\cos^2\alpha}\) и \(\operatorname{tg}\beta = \dfrac{\cos\alpha}{\sqrt{n^2-\cos^2\alpha}}\). Поэтому \[D = \frac{2d\cos\alpha}{\sqrt{n^2-\cos^2\alpha}}.\] Следовательно, путь отражённого луча до общей поверхности волнового фронта со вторым лучом \[s_1 = D\cos\alpha = \frac{2d\cos^2\alpha}{\sqrt{n^2-\cos^2\alpha}}.\] Оптическая длина хода луча, прошедшего через слой масла, \[s_2 = n\cdot\frac{2d}{\cos\beta} = \frac{2n^2 d}{\sqrt{n^2-\cos^2\alpha}}.\] Первый луч испытывает отражение от оптически более плотной среды, и к его длине хода нужно добавить половину длины волны. Про второй мы этого наверняка не знаем: скорее всего, показатель преломления воды меньше 1,5, и тогда второй луч отражается от менее плотной среды. Поскольку это точно не известно, запишем оптическую разность хода так: \[\Delta s = s_2 - s_1 - k\frac{\lambda}{2} = 2d\sqrt{n^2-\cos^2\alpha} - k\frac{\lambda}{2},\] где \(k = 0\), если показатель преломления воды больше 1,5, и \(k = 1\), если меньше. В процессе испарения толщина плёнки уменьшается, и максимумы наблюдаемой интенсивности отвечают моментам времени, когда \(\Delta s\) изменяется на целое число длин волн. Значит, промежуток времени между этими максимумами определяется из условия \[\lambda = \Delta d\cdot 2\sqrt{n^2-\cos^2\alpha} = vT\cdot 2\sqrt{n^2-\cos^2\alpha} \;\Rightarrow\; v = \frac{\lambda}{2T\sqrt{n^2-\cos^2\alpha}} = \frac{\lambda}{T\sqrt{6}} \approx 0{,}227\ \text{нм/с}.\]
