Физика схем из резисторов, батарей, амперметров и вольтметров на самом деле проста и по сути исчерпывается четырьмя законами: двумя законами Кирхгофа, законом Ома и законом Джоуля¹ — сформулированными здесь как «факты». Сначала законы Кирхгофа.

Математически \[\sum_{\text{провода, сходящиеся в $i$-м узле}} I_\nu = 0,\] где \(I_\nu\) обозначает ток в \(\nu\)-м проводе. При этом \(I_\nu\) берётся со знаком «\(+\)», если ток втекает в \(i\)-й узел, и со знаком «\(-\)» в противном случае. Можно сказать и так: сумма втекающих токов равна сумме вытекающих.

Поскольку электрический ток определяется как заряд, протекающий через поперечное сечение провода за единицу времени, этот закон по сути есть закон непрерывности для электрического заряда в сочетании с тем, что обычно ёмкость любого провода и любого узла схемы пренебрежимо мала³ (а значит, зарядами, находящимися на узлах и проводах, можно пренебречь).

Тем, у кого ещё не выработалась хорошая интуиция в отношении электрических токов, может пригодиться аналогия с течением воды в ветвящихся реках или водопроводных трубах: сумма потоков воды (измеряемых в кубометрах в секунду) равна потоку воды в главном русле. Заметим, что закон непрерывности играет важную роль для многих физических процессов (для течений газа, жидкости или сыпучих сред, а также, например, для транспортных потоков).

Математически \[\sum_{\text{провода, образующие замкнутый контур}} V_\nu = 0,\] где падение напряжения на \(\nu\)-м проводе берётся со знаком «\(+\)», если потенциал узла назначения ниже потенциала узла отправления, — за исключением случая, когда провод содержит электродвижущую силу (ЭДС): падение напряжения, вызванное ЭДС, берётся с противоположным знаком.

Этот закон попросту утверждает, что электростатическое поле потенциально; используя аналогию с прогулкой по горам: если вы идёте так, что заканчиваете в той же точке, откуда начали, то поднялись ровно на столько же метров, на сколько спустились. Электродвижущая сила батареи совершает работу над носителями заряда за счёт химической энергии (в случае магнитогидродинамических генераторов и катушек индуктивности природа ЭДС несколько иная, но пока подробности неважны: практическое применение законов Кирхгофа остаётся тем же). В аналогии с прогулкой по горам электродвижущую силу можно считать подъёмником, который поднимает вас вверх и совершает над вами некоторую работу всякий раз, когда вы им пользуетесь.

Если аналогия с прогулкой по горам работает только для закона напряжений Кирхгофа, то аналогию с сетью каналов можно распространить на все явления постоянного тока. Точнее, рассмотрим замкнутую систему водяных каналов; в канале вода течёт только вниз, но есть также насосы, поднимающие воду вверх. Тогда получаются следующие пары соответствий: (а) электрический заряд \(Q\) — масса воды \(m\); (б) электрический ток \(I\) в проводе, определяемый как скорость протекания заряда \(Q/t\), где \(Q\) — заряд, протекший через поперечное сечение провода за промежуток времени \(t\), — массовый расход воды \(\mu\) в канале, определяемый как \(m/t\), где \(m\) — масса воды, протекшей через поперечное сечение канала за промежуток времени \(t\); (в) батарея с электродвижущей силой \(\emf\), совершающая работу \(\emf Q\) над зарядом \(Q\) (проходящим через батарею), — насос, который качает воду вверх на высоту \(h\) и совершает работу \(hm\) над перекачанной массой воды \(m\)⁴. Тогда, очевидно, для замкнутого контура из каналов и насосов полная высота подъёма (т. е. сумма вкладов всех насосов) равна полной высоте спуска в каналах (т. е. сумме спусков всех каналов).

Далее — закон Ома.

Попробуем истолковать это с помощью аналогии течения в трубе. Рассмотрим прямую трубу, соединяющую два резервуара с водой на разной высоте. Предположим, что сила сопротивления \(F\) между единицей объёма текущей воды и стенками трубы пропорциональна скорости течения \(v\)⁶: \(F=kv\). Тогда скорость воды устанавливается балансом между сопротивлением \(F=kv\) и давлением \(\rho_w gh\), где \(h\) — разность высот, \(\rho_w\) — плотность воды, а \(g\) — ускорение свободного падения. Значит, \(v\) будет пропорциональна \(h\), что по аналогии соответствует напряжению. Теперь вспомним, что ток \(I\) соответствует потоку воды, который равен произведению скорости воды \(v\) на площадь поперечного сечения трубы \(S\), и потому тоже пропорционален \(h\) (аналогу напряжения \(V\)). Именно такая пропорциональность и утверждается законом Ома.

Для течения воды в узкой трубе сила сопротивления пропорциональна скорости течения и длине трубы \(l\), т. е. \(k=\varkappa l\). Для обычных труб сила сопротивления (а значит, и коэффициент \(\varkappa\)) зависит также от диаметра трубы. Однако предположим, что \(\varkappa\) постоянна (это соответствовало бы случаю, когда мы заполняем трубу зернистым материалом, например крупным песком). Продолжая аналогию, сопротивление \(R=V/I\) соответствует отношению разности высот \(h\) к потоку воды. Согласно сказанному выше, оно пропорционально длине трубы \(l\) и обратно пропорционально площади поперечного сечения \(S\) трубы (потому что при фиксированном \(v\) поток пропорционален \(S\)). Тем самым мы приходим к следующему факту.

Закон пропорциональности между \(V\) и \(I\) на самом деле нарушается довольно часто: например, в случае лампочек накаливания зависимость между напряжением и током нелинейна. Даже тогда отношение \(V/I\) называют сопротивлением. В случае нелинейной зависимости \(V-I\) сопротивление просто зависит от напряжения; производная \(\frac{dV}{dI}\) называется дифференциальным сопротивлением. Если элемент схемы назван резистором, его сопротивление предполагается постоянным.

Наконец, закон Джоуля.

Пользуясь аналогией рек (каналов), мощность гидроэлектростанции на водопаде даётся высвобождаемой за единицу времени гравитационной потенциальной энергией, которая пропорциональна произведению высоты водопада на расход воды.

С помощью математической индукции нетрудно показать следующий факт.

Сам этот факт иногда бывает полезен: если вы сумели «угадать» решение, достаточно показать, что все уравнения Кирхгофа выполняются (нет нужды выводить ответ систематически).

Обычно число неизвестных переменных в уравнениях Кирхгофа (а значит, и число уравнений) велико, и решение может быть утомительным. Чтобы облегчить вычисления, применяют несколько приёмов и техник.

Алгоритмически процедуру применения идеи 1 можно сформулировать так. Если два или более резисторов соединены между одной и той же парой узлов \(A\) и \(B\), замените их эквивалентным сопротивлением по формуле для \(R_{\text{пар}}\); если два или более резисторов образуют цепочку без ветвлений, соединяющую узлы \(A\) и \(B\), замените эту цепочку эквивалентным сопротивлением по формуле для \(R_{\text{посл}}\); удалите все «висящие концы» (части схемы, соединённые с остальной схемой лишь одним проводом); повторяйте процесс итеративно. Процесс остановится, если (A) останется только одно эквивалентное сопротивление или (B) если образуется мост (т. е. для набора из четырёх узлов пять или более пар соединены резисторами).

Эти правила и формулы легко выводятся из законов Кирхгофа. Действительно, все резисторы, соединённые параллельно между \(A\) и \(B\), имеют одно и то же напряжение на выводах \(V_{AB}\); следовательно, токи \(I_i = V_{AB}/R_i\) пропорциональны проводимостям. Это даёт полный ток между \(A\) и \(B\) \(I=\sum_i I_i=\sum_i V_{AB}/R_i = V_{AB}\sum_i 1/R_i\), что и приводит нас к приведённой выше формуле для \(R_{\text{пар}}\equiv V_{AB}/I\). Все резисторы, соединённые последовательно между \(A\) и \(B\), имеют один и тот же проходящий ток \(I_{AB}\), так что напряжение на каждом из них \(V_i = I_{AB}R_i\), т. е. напряжение пропорционально сопротивлению. Полное напряжение равно \(V=\sum_i V_i = I_{AB}\sum_i R_i\), а значит, \(R_{\text{посл}}\equiv V_{AB}/I = \sum_i R_i\). Наконец, об удалении «висящих концов»: по законам Кирхгофа сумма токов, втекающих в некоторое подмножество схемы, должна быть равна нулю; если подмножество схемы соединено с остальной схемой лишь одним проводом, ток в нём должен быть равен нулю, а значит, он не влияет на распределение токов, и его наличие можно не учитывать.

Следующая задача иллюстрирует идею 1 в простейшей форме (для последовательного соединения) вместе с фактом 4.

зад 1 Однородный провод площадью поперечного сечения \(A_0 = 1\) мм\(^2\) был размечен миллиметровой шкалой: по всей длине провода шёл ряд штрихов с расстоянием между штрихами \(a_0 = 1\) мм. Провод растянули неоднородно, так что теперь расстояние между штрихами \(a\) есть функция расстояния \(l\) от одного конца провода (измеренного уже после растяжения), см. рисунок. Новая длина провода \(L = 4\) м. Пользуясь графиком, определите электрическое сопротивление \(R\) растянутого провода, считая, что удельное сопротивление материала провода \(\rho = 1{,}0\times10^{-6}\ \Omega\,\)м. При растяжении плотность материала провода остаётся постоянной.

Однако для этой задачи нам нужна ещё одна идея, очень универсальная и не ограниченная электричеством.

Для приведённой выше задачи каждый отрезок провода длиной \(\Delta l\) даст вклад \(\Delta R = \rho\Delta l/A\) в полное сопротивление \(R\); эти куски провода соединены последовательно, так что сопротивления можно просто складывать. Объём провода остаётся постоянным, \(Aa = A_0a_0\), значит, \(A = A_0a_0/a\), так что \[\Delta R = \frac{\rho}{A_0a_0}\,a\cdot\Delta l .\] Заметим, что \(\frac{\rho}{A_0a_0}\) — постоянная (не зависит от \(l\)), а \(a\cdot\Delta l\) — площадь синего прямоугольника на плоскости \(a-l\), см. рис. ниже. Сумма всех этих прямоугольников (серая и синяя области на рисунке) приближает площадь области между кривой \(a(l)\) и осью \(l\), а в пределе \(\Delta l\to0\) становится равной этой площади. Такие бесконечно малые приращения называются дифференциалами и обозначаются префиксом \(d\) (заменяющим префикс \(\Delta\), который мы использовали для конечных приращений); сумма по всем бесконечно малым интервалам обозначается знаком интеграла \(\int\). Итак, мы можем сказать, что \(R\approx\frac{\rho}{A_0a_0}\sum a\cdot\Delta l\) (где знак \(\sum\) обозначает суммирование по всем интервалам), а в пределе бесконечно малых приращений \(dl\) мы получаем равенство \[R = \frac{\rho}{A_0a_0}\int_0^{4\,\text{м}} a\cdot dl,\] где \(\int_0^{4\,\text{м}} a\cdot dl\) — площадь под графиком \(a(l)\).

Следующая задача служит ещё одним простым примером на идею 1.

зад 2 На рисунке \(R_1/R_2 = 4\). Если добавить лампу, как показано на рисунке, ток через \(R_1\) вырастет на \(\Delta I = 0{,}1\) А. Найдите ток через лампу.

Её можно решить длинным путём и коротким. Для длинного решения используется ещё одна весьма общая идея.

Для короткого решения можно применить полезную модификацию законов Кирхгофа.

Иногда схема нарисована так, что не очень легко понять, распадается ли она на параллельные и последовательные соединения или нет. В этом случае надо использовать следующую идею.

Эту идею можно проиллюстрировать задачей с 27-й Международной физической олимпиады, см. ниже.

зад 3 Определите сопротивление между выводами схемы на рисунке.

Для сложных схем легко ошибиться при упрощении схемы; обычно это происходит, когда удалённые узлы соединены проводами. Чтобы избежать ошибок, можно применять следующую технику. Обозначьте все резисторы, например буквами; если батарей больше одной, обозначьте и батареи. Обозначьте также все узлы так, чтобы все узлы, соединённые простым проводом, имели одно и то же обозначение, а те, что не имеют прямого проводного соединения, — разные обозначения. Затем начните перерисовывать схему, отметив (на листе бумаги) один узел и нарисовав все те резисторы, которые к нему подключены. Далее выберите другой вывод одного из нарисованных резисторов или батарей, отметьте соответствующие узлы и нарисуйте резисторы, присоединённые к этому узлу; повторяйте процесс, пока вся схема не будет перерисована.

В качестве примера рассмотрим последнюю задачу. Обозначим узлы и резисторы так, как показано на рисунке. Заметьте, что из-за проводных соединений символы узлов появляются в двух разных местах.

Мы начинаем с того, что рисуем узел \(A\), см. рисунок. Поскольку узел \(A\) напрямую соединён с резисторами 1, 2 и 3, мы рисуем эти резисторы присоединёнными к узлу \(A\), как показано на рисунке. Другие концы резисторов 1 и 2 закреплены в узле \(C\), значит, мы можем соединить соответствующие провода и обозначить точку соединения через \(C\). Далее, другой конец резистора 3 соединён с узлом \(B\), поэтому мы рисуем провод и помечаем его конец через \(B\). Теперь, заметив, что резисторы 4 и 5 соединяют узлы \(B\) и \(C\), легко достроить схему.

В случае нетривиальных задач на перерисовку схем настоятельно рекомендуется пользоваться этой техникой обозначения резисторов и узлов буквами и цифрами (вам ведь не хочется ошибиться при перерисовке!).

Чтобы проиллюстрировать эту идею, рассмотрим следующие задачи.

зад 4 простая Определите сопротивление между выводами схемы на рисунке.

зад 5 Определите показание амперметра на рисунке.

Относительно типичных значений внутренних сопротивлений реальных амперметров и вольтметров можно ориентироваться на следующее. Самые распространённые цифровые вольтметры имеют внутреннее сопротивление 10 МОм, но у более дешёвых оно может быть и \(R=1\) МОм, а у дорогих доходить до гигаомного диапазона; обычно внутреннее сопротивление не зависит от диапазона измерения. У аналоговых вольтметров сопротивление зависит от выбранного диапазона измерения \(V_{\max}\) и может быть определено, если известен так называемый ток полного отклонения (ТПО). По сути аналоговый вольтметр — это гальванометр (прибор со стрелкой, отклоняющейся пропорционально току через него), соединённый последовательно с таким сопротивлением, что при приложенном максимальном напряжении \(V_{\max}\) ток будет равен ТПО. Итак, если \(I_{\text{ТПО}} = 100\) мкА и выбран диапазон 10 вольт, то сопротивление \(r = 10\ \text{В}/100\ \text{мкА} = 100\) кОм. Типичные значения ТПО лежат в диапазоне от 25 мкА до 1 мА.

Цифровые амперметры измеряют внутри напряжение на маленьком резисторе (шунте) и переводят результат в соответствующую силу тока; в зависимости от выбранного диапазона токов используется разный шунт; падение напряжения на шунте называется напряжением нагрузки, и максимальное напряжение нагрузки (МНН) \(V_{\text{МНН}}\) можно использовать для определения сопротивления; например, для диапазона 20 мА и \(V_{\text{МНН}} = 300\) мВ сопротивление равно \(300\ \text{мВ}/20\ \text{мА} = 15\ \Omega\). Типичные значения \(V_{\text{МНН}}\) лежат в диапазоне от 100 мВ до 1 В. Аналоговый амперметр — это по сути гальванометр, соединённый параллельно с маленьким резистором (шунтом); шунт определяет, какая доля полного тока идёт через гальванометр, и обеспечивает, что напряжение на гальванометре не превысит напряжения полного отклонения (НПО). Сопротивление шунта определяется так же, как и в случае цифрового амперметра: здесь НПО играет роль МНН.

В теоретических олимпиадных задачах вольтметры и амперметры обычно считаются идеальными, если не оговорено иное. Однако из этого правила есть исключение: если условия задачи противоречат предположению об идеальности, от него надо отказаться. Обратите внимание, что в теоретических задачах не стоит делать предположений о значениях внутренних сопротивлений неидеальных амперметров и вольтметров: довольно часто авторы задач не проверяют, насколько реалистичны численные значения сопротивлений.

зад 6 К батарее подключены два одинаковых вольтметра и два амперметра, как показано на рисунке. Показания приборов таковы: амперметр \(A_1\) — \(I_1 = 200\) мкА, вольтметр \(V_1 = 100\) В и вольтметр \(V_2 = 2\) В. Каково показание амперметра \(A_2\)? Оцените, насколько реалистичны те внутренние сопротивления, которые можно определить из этих данных; если что-то странно, можно ли «починить» задачу, изменив схему так, чтобы решение осталось прежним?

Эту идею можно проиллюстрировать следующей задачей.

зад 7 трудная [EstPhO-2003] К батарее подключены 15 одинаковых вольтметров и 15 неодинаковых амперметров, как показано на рисунке. Показание первого вольтметра \(V = 9\) В, показания первых двух амперметров \(I_1 = 2{,}9\) мА и \(I_2 = 2{,}6\) мА. Чему равна сумма показаний всех остальных вольтметров?

В некоторых случаях мостовое соединение реально и не может быть удалено. В олимпиадных задачах такое встречается очень редко, потому что тогда трудности на самом деле только математические: нужно решить линейную систему уравнений Кирхгофа. Существует несколько методов, упрощающих эту математическую задачу; они изложены далее.

Заметим, что \(\Delta\)-соединение называют также «треугольником», а \(Y\)-соединение — «звездой». Итак, идея состоит в том, чтобы заменить либо треугольное соединение звездой, либо наоборот, так чтобы получившуюся схему было проще анализировать, чем исходную. При этом все три потенциала выводов должны остаться неизменными. Рассмотрим простейший случай, когда все три резистора одинаковы: для \(\Delta\)-соединения — \(r\), а для \(Y\)-соединения — \(R\). Тогда сопротивление между выводами \(Y\)-соединения равно \(2R\) (два резистора последовательно), а для \(\Delta\)-соединения — \(\frac23 r\) (\(2r\) параллельно с \(r\)). Значит, эти схемы согласуются, если \(2R = \frac23 r\), откуда \(r = 3R\): \(\Delta\)-соединение должно иметь втрое большие сопротивления, чем \(Y\)-соединение. Это правило — если оно забылось — легко вывести всякий раз, когда оно понадобится.

В общем случае неравных сопротивлений формулы \(Y-\Delta\)-замены выводятся решением системы трёх уравнений, выражающих попарное равенство сопротивлений между выводами \(r_{AB}\), \(r_{BC}\) и \(r_{CA}\); результат таков: для замены \(\Delta\to Y\) \[R_A = \frac{R_{AB}R_{AC}}{R_{AB}+R_{AC}+R_{BC}}, \tag{1}\] и аналогично для \(R_B\) и \(R_C\) (индексы переставляются циклически); для замены \(Y\to\Delta\) \[\frac{1}{R_{BC}} = \frac{\dfrac{1}{R_B}\cdot\dfrac{1}{R_C}} {\dfrac{1}{R_A}+\dfrac{1}{R_B}+\dfrac{1}{R_C}}, \tag{2}\] и аналогично для \(R_{BC}\) и \(R_{CA}\).

Вывод этих формул отнял бы на олимпиаде довольно много времени, так что лучше их запомнить. Запомнить на самом деле не так уж трудно; сначала поговорим о замене \(\Delta\to Y\), которая обычно полезнее обратной (бывают исключения), так как она убирает из схемы контур — а контуры могут создавать мостовые соединения, и их трудно анализировать. Даже если это не так, замена \(\Delta\to Y\) обычно уменьшает число параллельных соединений (обратная замена обычно увеличивает), что ведёт к более простым вычислениям, поскольку обычно даны сопротивления, а не проводимости. Знаменатель формулы очень прост — это просто сумма всех сопротивлений. Числитель тоже прост — произведение двух сопротивлений, надо лишь суметь понять, какое из трёх сопротивлений исключить из произведения. Это, однако, легко сообразить из соображений симметрии: для резистора, присоединённого к узлу \(B\) в \(Y\)-соединении, мы исключаем резистор на противоположной стороне \(AC\) \(\Delta\)-соединения.

Если же нам действительно нужна замена \(Y\to\Delta\), формулу тоже легко вывести из структуры замены \(\Delta\to Y\): надо лишь заменить сопротивления проводимостями.

Заметим, что идею 9 нельзя обобщить на схемы из резисторов с \(n\) выводами при \(n>3\)⁹. Исключение — случай, когда все попарные сопротивления равны (величине \(R\)); в этом случае схема эквивалентна звезде из \(n\) резисторов, каждый сопротивлением \(R/2\) (хотя она всё равно не эквивалентна \(n\)-угольному соединению одинаковых сопротивлений, потому что для многоугольника близкие пары узлов имеют меньшее сопротивление, чем удалённые).

Для иллюстрации рассмотрим следующую задачу.

зад 8 Определите ток через батарею.

Сопротивление \(r\) (внутреннее сопротивление батареи) можно найти как \(\emf/I_0\), где \(I_0\) — ток, который потёк бы в проводе, замыкающем накоротко два вывода (это потому, что исходная и замещающая схемы должны вести себя одинаково, когда выводы соединены проводом). Другой способ: \(r\) можно найти как сопротивление между выводами \(A\) и \(B\), когда нет внешней нагрузки, а все идеальные внутренние электродвижущие силы заменены проводами (это потому, что исходная и замещающая схемы должны иметь одинаковый прирост напряжения на выводах при некотором приросте тока через выводы, а идеальная батарея и кусок провода имеют одинаково нулевой отклик напряжения на прирост тока).

Для иллюстрации рассмотрим следующие задачи.

зад 9 Определите ток через батареи.

Чтобы сделать применение идеи 10 более прозрачным, решим первую часть последней задачи и найдём ток через батарею на 3 В. На рисунке ниже чёрная и синяя части схемы будут заменены батареей с электродвижущей силой \(\emf\) и внутренним сопротивлением \(r\) (см. рисунок, часть справа). Для начала считаем, что нагрузки нет, т. е. нарисованная красным часть отсутствует. Тогда синяя батарея создаёт токи \(4\ \text{В}/2\ \Omega = 2\) А и \(4\ \text{В}/4\ \Omega = 1\) А в левом и правом контурах соответственно. Следовательно, падения напряжения на сопротивлениях внизу рисунка (\(1\ \Omega\) и \(1\ \Omega\)) равны \(2\ \text{А}\cdot1\ \Omega = 2\) В и \(1\ \text{А}\cdot2\ \Omega = 2\) В соответственно. Значит, напряжение на выводах равно \(2\ \text{В} - 2\ \text{В} = 0\) В, т. е. \(\emf = 0\). Далее вычисляем внутреннее сопротивление \(r\) эквивалентной батареи. Для этого заменяем синюю батарею оранжевым проводом (см. рисунок) и вычисляем сопротивление между выводами: параллельные соединения однооомных резисторов и параллельные соединения двухоомных резисторов соединены последовательно, так что \(r = \bigl(\frac12+1\bigr)\Omega = 1{,}5\ \Omega\). Наконец, возвращаем красную часть схемы на место для эквивалентной схемы справа (памятуя, что \(\emf = 0\) и \(r = 1{,}5\ \Omega\)): ток через батарею на 3 В равен \(I = 3\ \text{В}/1{,}5\ \Omega = 2\) А.

Следующий факт можно вывести довольно легко, но знание его сэкономит время на олимпиаде.

Действительно, ток нагрузки \(I = \emf/(R+r)\), где \(R\) — сопротивление нагрузки. Значит, мощность, выделяющуюся на нагрузке, можно найти как \(P = RI^2 = \emf^2R/(R+r)^2\). Заметим, что вместо \(P\) проще анализировать \(1/P\), потому что тогда выражение распадётся на три аддитивных слагаемых: \(\frac1P = \emf^{-2}r\bigl(\frac Rr+\frac rR+2\bigr)\). Если \(P\) максимальна, то \(\frac1P\) минимальна; нам надо минимизировать это выражение по значениям \(R\). Взяв производную по \(R\), получаем \(\frac{d}{dR}\frac1P = \emf^{-2}(1-r/R^2) = 0\), откуда \(R = r\). (Можно было бы и воспользоваться тем, что сумма числа \(x\) и обратного ему \(\frac1x\) минимальна при \(x=1\), откуда \(\frac Rr = 1\).) Итак, \(P_{\max} = \emf^2/4r\).

зад 10 Определите максимальную мощность, которая может выделяться на нагрузке, подключённой к выводам схемы на рисунке (мощность зависит от сопротивления нагрузки, и вам нужно найти максимум этой зависимости).

Источник постоянного тока — это устройство, которое создаёт постоянный ток \(I\) независимо от того, какая нагрузка подключена к выходным выводам, — пока сопротивление нагрузки не бесконечно. Справедливость этой теоремы легко проверить: достаточно убедиться, что при одинаковых напряжениях на выводах токи через выводы тоже равны. Пусть батарея (с электродвижущей силой \(\emf\) и внутренним сопротивлением \(r\)) имеет напряжение на выводах \(V\); тогда напряжение на её внутреннем сопротивлении равно \(\emf - V\), а значит, ток через выводы \(I_{\text{бат}} = (\emf-V)/r\). Если то же напряжение приложено к источнику постоянного тока (с постоянным током \(I = \emf/r\)), то ток шунта будет \(V/r\), т. е. полный ток будет \(I_{\text{ист}} = I - V/r = \emf/r - V/r = (\emf-V)/r\). Действительно, \(I_{\text{бат}} = I_{\text{ист}}\) при любом напряжении на выводах \(V\), а значит, эта батарея и этот источник тока ведут себя одинаково.

Следующая задача иллюстрирует идею 11 (хотя её можно решить и с помощью идеи 10).

зад 11 \(n\) батарей с электродвижущими силами \(\emf_i\) и внутренними сопротивлениями \(r_i\) (где \(i = 1,2,…,n\)) соединены параллельно. Каковы эффективная электродвижущая сила и внутреннее сопротивление такой системы батарей?

зад 12 [EstPhO-2012] На рисунке ниже батареи идеальны, \(R_1 = R_2 = R_3 = R_4 = R\) и \(\emf_1 = \emf_2 = \emf\). Найдите токи в резисторах (т. е. \(I_1\), \(I_2\), \(I_3\) и \(I_4\), выраженные через \(R\) и \(\emf\)).

Проиллюстрируем метод и понятие линейно независимых контуров следующей задачей.

зад 13 Определите сопротивление между выходными выводами схемы методом контурных токов.

Эту задачу можно решить с помощью идеи 9 — и это, пожалуй, простейшее решение. Однако здесь мы приводим её решение с помощью идеи 13. Для начала нам понадобится ещё одна идея.

Итак, предположим, что через схему пропускается ток \(I\). Посмотрим на возможные формы контурных токов на рисунке ниже.

Пусть синий контур обозначен \(i_1\), красный — \(i_2\), зелёный — \(i_3\), а фиолетовый — \(i_4\). Если взять красный и синий контурные токи равными по величине, они уничтожатся в участке, проходящем через сопротивление \(4\ \Omega\), и потому их сумма будет эквивалентна зелёному контурному току. Следовательно, зелёный контурный ток линейно зависит от красного и синего: из трёх контурных токов только два можно оставить в качестве неизвестных (если бы мы сохранили все три, число неизвестных превысило бы число уравнений). Неважно, какая пара контурных токов будет выбрана; остановимся на \(i_1\) и \(i_2\). Однако лишь с красным и синим контурами мы не получим никакого тока через входные выводы, а это значит, что система контурных токов ещё не замкнута: нам нужен контур, проходящий через входные выводы. Подошла бы любая форма такого контура; используем ту, что изображена фиолетовой кривой (её можно считать замкнутой через внешнюю батарею). Заметим, что \(i_4\) должен быть равен \(I\) — току, пропускаемому через схему.

Теперь у нас есть полный набор контурных токов \(i_1\), \(i_2\) и \(i_4 = I\), и нам надо записать законы Кирхгофа для напряжений. Ток через резистор \(3\ \Omega\) равен \(i_1+I\), так что его напряжение \(V_3 = 3\ \Omega\,(i_1+I)\); аналогично \(V_4 = 4\ \Omega\,(i_1-i_2)\) (минус соответствует тому, что токи \(i_1\) и \(i_2\) в этом резисторе антипараллельны) и \(V_1 = 1\ \Omega\,i_1\). Обратите внимание, что знаки этих напряжений взяты в соответствии с синим контурным током: положительное значение напряжения означает, что при движении вдоль синего контура напряжение убывает. Согласно законам Кирхгофа, при обходе полного контура падение напряжения должно быть равно нулю: \[0 = V_3+V_4+V_1\ \Rightarrow\ 3(i_1+I)+4(i_1-i_2)+i_1 = 8i_1-4i_2+3I = 0.\] Аналогичное уравнение можно записать для падения напряжения красного контура: \[i_2(2+4+5) - 4i_1 + 2I = 0.\] Из первого уравнения \(4i_1 = 2i_2-\frac32 I\); подставляя его во второе, приходим к \(9i_2+\frac72 I = 0\), откуда \(i_2 = -\frac{7}{18}I\) и \(i_1 = -\frac14\bigl(\frac79+\frac32\bigr)I = -\frac{41}{72}I\). Таким образом, \(V_3 = \bigl(1-\frac{41}{72}\bigr)I\cdot3\ \Omega = \frac{93}{72}\Omega\cdot I\) и \(V_2 = \frac{22}{18}\Omega\cdot I\); полное напряжение на схеме равно \(V = V_2+V_3 = \frac{181}{72}\Omega\cdot I\), а значит, сопротивление \(R = V/I = \frac{181}{72}\ \Omega\).

Алгебраической работы тут было довольно много, и хотелось бы убедиться, что мы не ошиблись. Отсутствие ошибок легко проверить, вычислив \(V = V_1+V_5\): мы должны получить тот же результат! Заметим, что \(V_1 = -i_1\cdot1\ \Omega = \frac{41}{72}\Omega\cdot I\) и \(V_5 = -i_2\cdot5\ \Omega = \frac{35}{18}\Omega\cdot I\); следовательно, \(R = \bigl(\frac{41}{72}+\frac{35}{18}\bigr)\Omega = \frac{181}{72}\ \Omega\).

зад 14 Решите предыдущую задачу методом потенциалов.

Аналогично тому, как мы делали раньше, предположим, что выводы схемы подключены к батарее. Уровень отсчёта потенциала можно выбрать произвольно, и потому удобно приравнять потенциал одного из выходных выводов нулю (пусть это будет левый); тогда потенциал второго вывода равен напряжению батареи \(V\). В схеме есть ещё два узла; пусть соответствующие потенциалы равны \(\varphi_1\) (верхний) и \(\varphi_2\). Ток в верхний узел из правого провода \(I_3 = (V-\varphi_1)/3\ \Omega\); ток из верхнего узла в левый провод \(I_2 = \varphi_1/2\ \Omega\); ток из верхнего узла вниз \(I_4 = (\varphi_1-\varphi_2)/4\ \Omega\). Согласно закону Кирхгофа для токов, \(I_3 = I_2+I_4\), откуда \[(V-\varphi_1)/3\ \Omega = \varphi_1/2\ \Omega+(\varphi_1-\varphi_2)/4\ \Omega \ \Rightarrow\ 13\varphi_1-3\varphi_2 = 4V.\] Аналогично для нижнего узла \(I_4+I_1 = I_5\), где \(I_1 = (V-\varphi_2)/1\ \Omega\) и \(I_5 = \varphi_2/5\ \Omega\). Это приводит нас к \[(\varphi_1-\varphi_2)/4\ \Omega+(V-\varphi_2)/1\ \Omega = \varphi_2/5\ \Omega \ \Rightarrow\ -5\varphi_1+29\varphi_2 = 20V.\] Решение этой линейной системы уравнений даёт \(\varphi_1 = \frac{88}{181}V\) и \(\varphi_2 = \frac{140}{181}V\); полный ток можно вычислить по закону Кирхгофа для самого левого узла, \(I = I_2+I_5 = \frac{44+28}{181}V/\Omega\), откуда \(R = V/I = \frac{181}{72}\ \Omega\). Контроль этого результата можно провести, вычислив полный ток на основе самого правого узла.

Этот пример показывает, что уровень сложности обоих методов (ср. идеи 13 и 15) примерно одинаков, так что выбор обычно основан на личных предпочтениях. В случае контурных токов выбор хорошего набора линейно независимых контуров может показаться дополнительным шагом в решении, но в случае планарных схем (т. е. схем, которые можно нарисовать на бумаге так, чтобы провода не пересекались и сходились только в узлах) этот шаг не нужен, если использовать небольшую модификацию метода контурных токов, которую мы будем называть методом функции тока.

Понятие функции тока \(\psi(x,y)\) используется для двумерных течений несжимаемой жидкости; в этом случае линии тока следуют линиям постоянного значения \(\psi(x,y) = \Const\), а поток¹² между двумя изолиниями равен разности соответствующих значений \(\psi\). В случае двумерного течения жидкости поток — это площадь, которая протекает через поперечное сечение за единицу времени; в случае электрического тока поток — это полный электрический ток, который течёт через поперечное сечение. В случае планарных схем ток течёт только вдоль проводов, а значит, функция тока постоянна между проводами и испытывает скачок в местах расположения проводов¹³.

Теперь мы можем сделать и важный вывод относительно полного числа линейно независимых контуров для планарных схем.

Действительно, распределение тока полностью описывается значениями функции тока на гранях, а бесконечной грани можно приписать \(\psi = 0\), так что число степеней свободы равно числу конечных граней графа.

Чтобы проиллюстрировать идею 16, рассмотрим ещё раз задачу 13; неизвестные значения функции тока (\(\psi_1\) и \(\psi_2\)) отмечены вместе с соответствующими токами на рисунке ниже (по сравнению с задачей 13 значения сопротивлений изменены). Набор законов напряжений Кирхгофа будет очень похож на то, что мы получили методом контурных токов, так что эту часть решения мы пропускаем.

Применим понятие двойственности к нарисованному выше мостовому соединению; двойственная схема получается, если поместить по одному узлу внутрь каждой грани исходной схемы и соединить новые узлы проводами так, чтобы каждый старый провод пересекался ровно одним новым, см. ниже.

Для нашей исходной схемы у нас была батарея, которая поддерживала напряжение между двумя выводами равным \(\emf\), а в новой схеме у нас источник тока, который поддерживает разность значений функции тока между верхним и нижним узлами равной \(I\). Когда мы применяли метод потенциалов узлов к старой схеме, каждому узлу был приписан потенциал; теперь каждому узлу приписано значение функции тока. Для старой схемы неизвестные потенциалы \(\varphi_i\) находились из законов токов Кирхгофа, записанных для каждого узла; для \(j\)-го узла \[\sum_i (\varphi_i-\varphi_j)/R_{ij} = 0,\] где \(R_{ij}\) — сопротивление между \(i\)-м и \(j\)-м узлами, а сумма берётся по всем тем узлам, которые напрямую соединены с \(j\)-м узлом. Для новой схемы неизвестные значения функции тока \(\psi_i\) находятся из законов напряжений Кирхгофа, записанных для каждого нового узла; для \(j\)-го узла \[\sum_i (\psi_i-\psi_j)R_{ij} = 0,\] где \(R_{ij}\) — сопротивление того провода (старой схемы), который пересекается отрезком новой схемы, соединяющим \(i\)-й и \(j\)-й узлы, а сумма берётся по всем тем узлам, которые напрямую соединены с \(j\)-м узлом. Мы получили бы в точности тот же набор уравнений, если бы рассматривали новую схему как обычную резисторную сеть с сопротивлениями, равными проводимостям старой схемы (так что на рисунке выше «сопротивление» «резистора» \(a\) равно \(1\ \Omega^{-1}\), «сопротивление» «резистора» \(b\) равно \(0{,}25\ \Omega^{-1}\) и т. д.). Эта процедура предполагает также, что новое «напряжение», приложенное между верхним и нижним узлами новой схемы, равно \(I\), а полный новый «ток» (сумма «токов» в «резисторах» \(a\) и \(b\)) равен разности напряжений \(\emf\) между двумя выводами старой схемы. Поэтому «сопротивление» \(R^\star\) нашей двойственной схемы выражается как \[R^\star = \frac{I}{\emf}\equiv\frac1R,\] где \(R\) — полное сопротивление старой схемы (с размерностями всё в порядке, так как и \(R^\star\), и составляющие её резисторы двойственной схемы измеряются в \(\Omega^{-1}\)).

Подытоживая, процедура использования двойственных схем для вычисления сопротивления данной схемы такова: постройте двойственную схему так, чтобы на каждом новом участке схемы стоял резистор, «сопротивление» которого равно проводимости соответствующего участка старой схемы (если старый участок содержал батарею, теперь используйте источник тока). Вычислите «сопротивление» этой двойственной схемы и возьмите обратную величину, чтобы получить сопротивление исходной схемы.

Заметим, что рассмотренное выше мостовое соединение топологически самодвойственно, потому что двойственная ему схема имеет ту же структуру — сделана из пяти «резисторов», образующих мост. Более того, численные значения резисторов таковы, что если умножить все «сопротивления» на один и тот же множитель (\(4\ \Omega^2\)), двойственная схема станет тождественной исходной; именно это свойство и делает её самодвойственной схемой.

зад 15 Найдите сопротивление мостового соединения, иллюстрирующего идею 16; воспользуйтесь идеей 17 и самодвойственностью этого мостового соединения.

Рассмотренное выше простое мостовое соединение самодвойственно, потому что двойственная ему схема — тоже мостовое соединение того же типа.

зад 16 [IPhO-1967¹⁶] Определите сопротивление бесконечной периодической схемы.

Согласно идее 18, мы «отрезаем» первый период бесконечной цепочки (закрашен оранжевым на рисунке ниже); оставшаяся часть (синяя) эквивалентна исходной схеме с (пока неизвестным) сопротивлением \(R\). Благодаря этому мы можем записать равенство \[R = R_1+\frac{RR_2}{R+R_2},\] которое можно решить относительно \(R\).

Эту идею можно комбинировать с другими — для следующей задачи вместе с идеей 10.

зад 17 Определите электродвижущую силу и внутреннее сопротивление следующей системы батарей.

Следующую задачу можно решить, используя её симметрию в сочетании с идеей 14.

зад 18 простая Определите сопротивление между противоположными вершинами куба, рёбра которого сделаны из проволоки, см. рисунок; сопротивление одного ребра равно \(1\ \Omega\).

Иногда эту идею удобно применять в сочетании с конкретными алгоритмами сведения схемы к комбинации параллельных и последовательных соединений.

Эти идеи иллюстрируются следующей задачей.

зад 19 Шестиугольник \(ABCDEF\) с шестью «спицами» (соединяющими его центр \(O\) с вершинами) сделан из 12 кусков проволоки, каждый электрическим сопротивлением \(R\). Найдите сопротивление между вершинами \(A\) и \(O\), пользуясь методами 20 и 21.

зад 20 трудная Определите сопротивление между двумя соседними вершинами \(A\) и \(B\) бесконечной квадратной решётки, считая, что рёбра решётки сделаны из проволоки, а сопротивление каждого ребра равно \(R\).

Эта задача не обладает достаточной симметрией, чтобы решаться сразу: если мы вводим ток \(I\) в вершину \(A\) и выводим его из вершины \(B\), геометрия задачи обладает лишь зеркальной симметрией, которой недостаточно, чтобы заключить, как ток \(I\) распределяется между четырьмя проводами, подключёнными к входной вершине. Однако можно построить вращательно-симметричную задачу: предположим, что ток \(I\) вводится в вершину \(A\) и симметрично выводится на бесконечно удалённых краях сетки. Тогда ясно, что ток \(I\) распределяется поровну между четырьмя выходящими проводами: ток в каждом из них равен \(I/4\). Аналогично мы можем вводить ток вращательно-симметричным образом на бесконечности и выводить его из вершины \(B\). Суперпозиция этих двух симметричных конфигураций даёт в точности то, что нам нужно: ток вводится в \(A\) и выводится из \(B\); на бесконечно удалённых краях ток уничтожается. В проводе, соединяющем \(A\) и \(B\), обе компоненты суперпозиции имеют одинаковое направление и равны \(I/4\), так что результирующий ток равен \(I/2\), что соответствует напряжению \(V = RI/2\). Следовательно, сопротивление \(r = V/I = R/2\).

Оказывается, такую технику симметризации можно применять и к конечным решёткам, см. следующую задачу.

зад 21 трудная Определите сопротивление между двумя соседними вершинами додекаэдра (см. рисунок), рёбра которого сделаны из проволоки; сопротивление каждого ребра равно \(R\).

зад 22 трудная Определите сопротивление между двумя соседними вершинами \(A\) и \(B\) додекаэдра, рёбра которого сделаны из проволоки; сопротивление каждого ребра равно \(R\), кроме ребра, соединяющего вершины \(A\) и \(B\), которое перерезано.

Решения (точки пересечения) в области отрицательного дифференциального сопротивления (где \(R_{\text{диф}}\equiv\frac{dV}{dI}<0\)) могут быть неустойчивы; анализ устойчивости требует знаний о катушках индуктивности, и потому мы соответственно откладываем его.

Проиллюстрируем идею 24 на примере туннельного диода, подключённого через резистор к батарее с переменной электродвижущей силой \(\emf\).

Если \(\emf\) мала, точка пересечения только одна (самая левая синяя точка на рисунке); если \(\emf\) увеличивать, точка пересечения движется вверх, и даже несмотря на то, что в определённый момент точек пересечения становится больше одной, реальные ток и напряжение соответствуют самой левой точке пересечения как непрерывной эволюции исходного решения. При дальнейшем увеличении \(\emf\) в определённый момент это решение исчезает, и решение вынуждено скачком уйти вправо, как показано на рисунке синей почти горизонтальной стрелкой. Теперь, если \(\emf\) начать уменьшать, точка пересечения, изображающая решение, непрерывно движется вниз, и в течение периода, когда точек пересечения три, реальному решению соответствует самая правая. При дальнейшем уменьшении \(\emf\) эта точка пересечения исчезает, и решение прыгает обратно в единственную оставшуюся точку пересечения.

Явление, когда состояние системы зависит от её предыстории, называется гистерезисом. Гистерезис обычно появляется, если система может иметь более одного внутреннего состояния; простой пример даёт следующая задача.

зад 23 [EstOPhC-2009] Элемент \(X\) в схеме ниже имеет сопротивление \(R_X\), которое зависит от напряжения \(V_X\) на нём: при \(V_X\le1\) В \(R_X = 1\ \Omega\), а при \(V_X>1\) В \(R_X = 2\ \Omega\). Три таких элемента соединены с идеальным амперметром, как показано ниже; напряжение на выводах схемы меняется во времени согласно графику. Постройте показание амперметра как функцию времени.

Эта задача в остальном довольно проста, но при некоторых напряжениях состояние компонентов схемы будет зависеть от предыстории. Типичная ошибка здесь — решить задачу правильно для первых 10 секунд, а затем предположить зеркально-симметричный график для тока. Как избежать таких ошибок? Первый и лучший способ — всегда избегать поспешных экстраполяций (в данном случае — зеркального продолжения первых 10 секунд на следующие 10). Другой способ понять, что дело не так просто, как кажется, сформулирован в виде идеи.

В данном случае: было бы интересно спрашивать о следующих 10 секундах, если бы результат получался простым зеркальным отражением?

Возвращаясь к идее 24, простую иллюстрацию даёт следующая задача.

зад 24 Найдите ток в приведённой ниже схеме; зависимость \(I(V)\) для диода показана на графике.

Подытоживая: вместо изучения напряжений и токов мы изучаем их возмущения \(\tilde V\) и \(\tilde I\); эффективная схема, описывающая возмущённые значения, получается удалением всех невозмущённых источников напряжения и тока (таких как батареи с постоянной электродвижущей силой) и заменой нелинейных элементов их дифференциальными сопротивлениями. NB! Дифференциальное сопротивление нелинейного элемента зависит от тока; нам нужно использовать его невозмущённое значение.

Полезность этой идеи демонстрируется следующей задачей.

зад 25 [EstFin-2003¹⁸] На рисунке ниже приведена схема простого усилителя на туннельном диоде. Найдите коэффициент усиления для входных сигналов малой амплитуды, используя следующие значения: \(R = 10\ \Omega\), \(\emf = 0{,}25\) В.

Частные следствия этих теорем таковы: перерезание провода увеличит сопротивление, а закорачивание провода уменьшит сопротивление. Действительно, если мы перерезаем провод, мы обнуляем соответствующий ток, а это ведёт к тому, что можно считать фиктивным распределением токов, у которого увеличена полная рассеиваемая мощность \(I^2R\), а значит, увеличено и полное сопротивление \(R\). Аналогично закорачивание даёт току возможность перескочить между узлами — то, что было изначально невозможно и нарушает законы токов Кирхгофа для исходной схемы. Значит, рассеиваемая мощность в изменённой схеме \(V^2/R\) увеличена, а следовательно, сопротивление \(R\) уменьшено.

зад 26 Есть восьмиугольник, все диагонали которого — резисторы одинакового сопротивления \(R\); стороны восьмиугольника сделаны из изолирующего материала. Найдите нижнюю и верхнюю границы для сопротивления между двумя соседними узлами такого восьмиугольника.

Решение здесь таково. Сначала мы отрезаем несколько сопротивлений и оставляем только те, что показаны на левом рисунке ниже. Сопротивление левой схемы равно \(\frac{2R}{4} = \frac R2\). Далее мы закорачиваем шесть узлов, как показано на правом рисунке; сопротивление равно \(2\frac R5 = 0{,}4R\). Итак, мы можем заключить, что \(0{,}4R\le r\le0{,}5R\). Поскольку провода, которые мы отрезали, имели ток, а узлы, которые мы соединили проводами, имели разность потенциалов, новые распределения токов и напряжений неоптимальны, и мы можем исключить знаки равенства: \(0{,}4R<r<0{,}5R\).

зад 27 Улучшите верхнюю границу \(r<0{,}5R\) для предыдущей задачи (отрезайте не так много проводов, как раньше), а также нижнюю границу (закорачивайте меньшее число узлов).

Наконец, рассмотрим схемы, содержащие идеальные диоды.

зад 28 Во сколько раз изменится мощность, выделяющаяся на резисторе \(A\), если поменять полярность батареи на противоположную? Все резисторы имеют одинаковое сопротивление. Диоды идеальны.

Заметим, что эту идею можно сделать ещё более общей: если мы аппроксимируем некоторую нелинейную кривую \(V-I\) кривой, состоящей из \(n\) отрезков прямых (кусочно-линейный график), то нужно рассмотреть отдельно \(n\) случаев; для каждого случая нелинейный элемент можно заменить батареей, внутреннее сопротивление которой равно наклону \(\frac{dV}{dI}\equiv r\) соответствующего отрезка прямой, а электродвижущая сила равна отрезку, отсекаемому этой прямой на оси \(V\). Вместо батареи иногда лучше использовать источник тока, подключённый параллельно внутреннему сопротивлению \(r\) и дающий ток, равный отрезку, отсекаемому на оси \(I\); пользуйтесь этим методом в особенности тогда, когда \(r=\infty\).

зад 29 [EstOPhC-2012] Найдите мощность, выделяющуюся на каждом из диодов на рисунке ниже. Эти диоды открываются при прямом напряжении \(V_0 = 1{,}0\) В. Можно считать, что напряжение на диоде остаётся равным \(V_0\) при любом прямом токе, а при напряжениях меньше \(V_0\) тока через диод нет. Значения сопротивлений и электродвижущей силы даны на рисунке.

Задачи на идеи 1–28

зад 30 Определите максимальную мощность, которая может выделяться на нагрузке, подключённой к выводам схемы.

зад 31 Найдите ток через диод в приведённой ниже схеме; для диода используйте зависимость \(I(V)\) из задачи 24.

зад 32 Для защиты от перегрузки по току параллельно соединены два предохранителя: предохранитель \(A\) имеет сопротивление \(R_A = 1\ \Omega\) и максимальный ток (при котором он плавится) \(I_{A\max} = 1\) А; предохранитель \(B\) имеет сопротивление \(R_B = 2\ \Omega\) и максимальный ток \(I_{B\max} = 1{,}2\) А. Каков максимальный полный ток для такой системы предохранителей? Каков полный ток, если предохранитель \(B\) заменить предохранителем \(C\), у которого \(R_C = 2\ \Omega\) и \(I_{C\max} = 1{,}7\) А?

зад 33 Два вольтметра в схеме ниже одинаковы; их показания \(V_1 = 30\) В и \(V_2 = 20\) В. Показание амперметра \(I = 750\) мкА. Все пять резисторов имеют одинаковое сопротивление \(R\); найдите численное значение \(R\).

зад 34 Считая, что сопротивление нити лампочки пропорционально её температуре \(T\), а мощность её теплового излучения пропорциональна \(T^4\), найдите показатель степени в зависимости \(V\)–\(I\). Теплопроводностью пренебречь; считайте, что \(T\) много выше комнатной температуры.

зад 35 [EstPhO-1999] Все резисторы имеют одинаковое сопротивление \(R = 1\ \Omega\). Амперметры и батарея идеальны, \(\emf = 1\) В. Определите показания всех амперметров.

зад 36 Найдите показание амперметра в схеме ниже.

зад 37 На рисунке ниже изображён октаэдр, сделанный из проволоки; число рядом с каждым ребром показывает сопротивление соответствующего провода в омах. Сопротивление проводов, соединяющих амперметры, пренебрежимо мало. Найдите показания амперметров.

зад 38 На рисунке все три вольтметра одинаковы и все три резистора одинаковы. Первый вольтметр показывает \(V_1 = 10\) В, третий — \(V_3 = 8\) В. Что показывает второй?

зад 39 Определите потенциал вывода \(A\). (Заметим, что потенциал земли всегда считается равным 0.)

зад 40 В схеме ниже «устройство» снимает показание амперметра и подстраивает сопротивление реостата так, чтобы показание амперметра стало нулевым. Найдите напряжение на сопротивлении \(R_3\). Известно, что \(V = 5\) В, \(R_1 = 10\ \Omega\), \(R_2 = 1\) кОм, \(R_3 = 100\) кОм, \(R_4 = 4{,}99\) кОм.

зад 41 Восемь одинаковых ламп с номинальным напряжением \(V = 4\) В и номинальным током \(I = 0{,}25\) А подключены к батарее через резистор, как показано на рисунке. Резистор таков, что лампы работают в номинальном режиме (с номинальными напряжением и током). Одна из ламп перегорает (по сути лампа удаляется). Во сколько раз изменится полная мощность, выделяемая лампами? (Мощность, выделяемая на резисторе, НЕ учитывается.) Зависимостью сопротивлений ламп от температуры пренебречь.

зад 42 На рисунке ниже изображён куб, рёбра которого (синие линии) сделаны из резистивной проволоки, так что сопротивление каждого ребра равно \(R = 1\) кОм. Амперметры соединены медными проводами пренебрежимого сопротивления с вершинами куба. Напряжение батареи \(\emf = 9\) В; провода имеют электрический контакт только в вершинах куба. Найдите показания амперметров.

зад 43 Четыре амперметра с одинаковыми внутренними сопротивлениями \(r\) и резистор сопротивлением \(R\) подключены к источнику тока, как показано на рисунке. Известно, что показание амперметра \(A_1\) равно \(I_1 = 3\) А, а показание амперметра \(A_2\) равно \(I_2 = 5\) А. Определите отношение сопротивлений \(R/r\).

зад 44 Во сколько раз изменится ток через батарею, если поменять полярность батареи на противоположную? Все резисторы одинаковы, диоды идеальны, а внутреннее сопротивление батареи пренебрежимо мало.

зад 45 Определите сопротивление между двумя соседними узлами \(A\) и \(B\) бесконечной кубической решётки, считая, что рёбра решётки сделаны из проволоки, а сопротивление каждого ребра равно \(R\).

зад 46 Есть бесконечная сотовая решётка; рёбра решётки сделаны из проволоки, и сопротивление каждого ребра равно \(R\). Обозначим две соседние с вершиной \(B\) вершины через \(A\) и \(C\). Определите сопротивление между \(A\) и \(C\).

зад 47 трудная Есть бесконечная треугольная решётка; рёбра решётки сделаны из проволоки, и сопротивление каждого ребра равно \(R\). Обозначим углы одной треугольной грани решётки через \(A\), \(B\) и \(C\). Провод, соединяющий \(B\) и \(C\), перерезан. Определите сопротивление между \(A\) и \(B\).

зад 48 трудная Есть \(n\)-угольник, все стороны и все диагонали которого — резисторы одинакового сопротивления \(R\). Каково сопротивление между двумя соседними узлами \(n\)-угольника?

зад 49 трудная Есть десятиугольник, все стороны и все диагонали которого — резисторы одинакового сопротивления \(R\); пусть \(A\) и \(C\) обозначают двух соседей вершины \(B\), а \(D\) — вершину, не соседствующую ни с одной из трёх упомянутых вершин. Провода, соответствующие сторонам \(AB\) и \(BC\), перерезаны. Определите сопротивление между \(A\) и \(D\).

зад 50 Есть восьмиугольник, все диагонали которого — резисторы одинакового сопротивления \(R\); стороны восьмиугольника сделаны из изолирующего материала. Найдите нижнюю и верхнюю границы для сопротивления между двумя противоположными узлами такого восьмиугольника, не вычисляя его значение точно. Проверьте результат, вычислив это сопротивление также и точно.

зад 51 Найдите сопротивление между выводами \(A\) и \(B\) для бесконечной цепочки, показанной ниже. Сопротивления таковы, как показано, и увеличиваются в два раза на каждом следующем звене.

зад 52 Найдите напряжение между выводами \(A\) и \(B\) для бесконечной цепочки, показанной ниже.

зад 53 трудная Какие неравенства должны выполняться для сопротивления между двумя соседними вершинами \(A\) и \(B\) бесконечной квадратной решётки, если рёбра решётки были сделаны из проволоки так, что сопротивление каждого ребра было \(R\), но некоторые части решётки повреждены: некоторые провода оборваны, а некоторые из оборванных проводов заменены медными проводами пренебрежимого сопротивления. Однако в пределах расстояния двух длин рёбер от провода \(AB\) решётка полностью цела (сюда входят 13 проводов, параллельных \(AB\), и 12 проводов, перпендикулярных ему).

зад 54 трудная Схема-колесо — это схема, которую можно нарисовать в виде правильного \(n\)-угольника так, что «обод колеса» образован \(n\) резисторами сопротивления \(R\), соединяющими соседние вершины \(n\)-угольника, а «спицы колеса» образованы \(n\) резисторами сопротивления \(r\), соединяющими центр «колеса» с каждой из вершин. Пусть \(R_1\) — сопротивление между двумя соседними вершинами такого «колеса», а \(R_2\) — сопротивление между одной из вершин и центром. Выразите \(R_1\) через \(R_2\), \(R\) и \(r\) (не используя \(n\)).

зад 55 трудная \(m\) одинаковых резисторов сопротивления \(R\) соединены произвольным образом; при этом ни один из резисторов не закорочен (нет прямого проводного соединения между двумя выводами резистора), и все резисторы соединены вместе (сопротивление между любой парой узлов конечно). Всего эта резисторная сеть имеет \(n\) узлов. Для каждого резистора определяется сопротивление между смежными узлами (к которым он подключён), и результаты складываются. Покажите, что эта сумма \(m\) сопротивлений всегда равна \((n-1)R\)²².

Приложение 1: доказательство теоремы о \(Y-\Delta\)-схеме

Две схемы — одна с выводами \(A\), \(B\), \(C\), другая с выводами \(a\), \(b\), \(c\) — эквивалентны, если их отклик на внешнее воздействие одинаков. Это означает, что если мы вводим ток \(I\) в вывод \(A\) (или в \(a\)) и выводим его из \(B\) (или из \(b\)), то напряжения на выводах должны быть попарно равны: \(V_{AB} = V_{ab}\) и \(V_{AC} = V_{ac}\). В силу линейной природы законов Кирхгофа и Ома мы знаем, что все эти напряжения пропорциональны току: \(V_{AB} = IR_{AB}\), \(V_{ab} = IR_{ab}\), \(V_{AC} = IR_{ACB}\) и \(V_{ac} = IR_{acb}\), где \(R_{AB}\) — сопротивление между \(A\) и \(B\), \(R_{AC}\) — сопротивление \(A-C\). Коэффициенты пропорциональности \(R_{ijk}\) (\(i,j,k\in\{A,B,C,a,b,c\}\)) связывают напряжение \(i-k\) с током \(i-j\). Эквивалентность схем означает, что \[ R_{AB} &= R_{ab},\quad R_{AC} = R_{ac},\quad R_{BC} = R_{bc},\\ R_{ACB} &= R_{acb},\quad R_{ABC} = R_{abc},\quad R_{BCA} = R_{bca} \ \text{и т.\,д.} \] Эти 9 уравнений представляют собой необходимые и достаточные условия эквивалентности между произвольной трёхвыводной схемой (с выводами \(A\), \(B\), \(C\)) и \(Y\)-соединением (или \(\Delta\)-соединением) трёх резисторов. Девять уравнений кажется слишком много для определения значений трёх сопротивлений. К счастью, оказывается, что если выполнены первые три уравнения (3), то все остальные выполняются автоматически. (Относительно) легко проверить прямыми арифметическими вычислениями, что для любой тройки сопротивлений \(R_{AB}\), \(R_{AC}\) и \(R_{BC}\) эти три уравнения всегда можно решить относительно трёх сопротивлений \(Y\)- или \(\Delta\)-соединения, и, пока выполняются неравенства треугольника вида \(R_{AB}\le R_{AC}+R_{BC}\), все три сопротивления (\(Y\)- или \(\Delta\)-соединения) неотрицательны. Действительно, для \(Y\)-соединения \(R_{ab} = r_a+r_b\), \(R_{ac} = r_a+r_c\) и \(R_{bc} = r_b+r_c\); подставив эти выражения в уравнения (3), получаем \(r_a = \frac12(R_{AB}+R_{AC}-R_{BC})\) и аналогичные выражения для \(r_b\) и \(r_c\). Вычисления для \(\Delta\)-соединения аналогичны [либо можно воспользоваться уравнением (2), чтобы найти сопротивления \(\Delta\)-соединения из \(r_a\), \(r_b\) и \(r_c\)]. Оказывается, неравенства треугольника действительно выполняются для любой трёхвыводной схемы, см. приложение 4 ниже.

Осталось показать, что уравнения (3), касающиеся трёхвыводных сопротивлений, следуют из уравнений (3). Во-первых, из закона напряжений Кирхгофа можно заключить, что \(R_{ACB}+R_{CAB} = R_{AC}\) (и аналогичные выражения для \(R_{CBA}\) и \(R_{BAC}\)). Действительно, если ток \(I\) вводится в \(A\) и выводится из \(C\), мы можем выразить напряжения как \(V_{AC} = IR_{AC}\), \(V_{AB} = IR_{ACB}\) и \(V_{BC} = IR_{CAB}\); по закону напряжений Кирхгофа \(V_{AC} = V_{AB}+V_{BC}\), откуда \(R_{AC} = R_{ACB}+R_{CAB}\). Во-вторых, равенство \(R_{ACB} = R_{ABC}\) (и аналогичные выражения для \(R_{CBA}\) и \(R_{BAC}\)) следует непосредственно из теоремы взаимности²³; эту теорему, однако, доказать сложнее, см. приложение 2.

Приложение 2: доказательство теоремы взаимности

Теорема утверждает, что если у нас есть четырёхвыводная система резисторов, выводы которой обозначены \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\), и мы рассматриваем два случая: (i) ток \(I\) вводится в \(A\) и выводится из \(B\), и (ii) тот же ток \(I\) вводится в \(C\) и выводится из \(D\), — то напряжение \(V_{CD}\), наводимое между \(C\) и \(D\) в первом случае, равно напряжению \(U_{AB}\) между \(A\) и \(B\) во втором случае (равенство, требуемое для доказательства теоремы о \(Y-\Delta\)-схеме, соответствует частному случаю, когда \(D\) совпадает с \(A\)).

Обозначим потенциал \(j\)-го узла схемы в первом случае через \(\varphi_j\) (\(j = 1,… n\)), а во втором случае — через \(\psi_j\); первые четыре узла (\(j = 1,2,3,4\)) — это четыре входных вывода \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\). По закону Ома для любой пары узлов \((i,j)\), напрямую соединённых проводом (через резистор), выполняется равенство \[(\varphi_j-\varphi_i)/I_{ji} = (\psi_j-\psi_i)/J_{ji},\] где \(I_{ji}\) и \(J_{ji}\) — токи в проводе в первом и во втором случае соответственно. Это можно переписать как \[(\varphi_j-\varphi_i)J_{ji} = (\psi_j-\psi_i)I_{ji}.\] Суммируя это равенство по всем парам узлов, получаем \[\sum_j\varphi_j\sum_i J_{ji}-\sum_i\varphi_i\sum_j J_{ji} = \sum_j\psi_j\sum_i I_{ji}-\sum_i\psi_i\sum_j I_{ji}.\] Заметим, что по закону токов Кирхгофа для любого \(j\ne3,4\) выполняется \(\sum_i J_{ji} = 0\); аналогично для \(j\ne1,2\) выполняется \(\sum_i I_{ji} = 0\); для \(i\ne3,4\) — \(\sum_j J_{ji} = 0\); для \(i\ne1,2\) — \(\sum_j I_{ji} = 0\). Далее, \(\sum_i J_{4i} = -\sum_i J_{3i} = \sum_i I_{2i} = -\sum_i I_{1i} = -\sum_j J_{j4} = \sum_j J_{j3} = -\sum_j I_{j2} = \sum_j I_{1i} = I\). Поэтому приведённое выше равенство упрощается до \[2(\varphi_4-\varphi_3)I = 2(\psi_2-\psi_1)I.\] Наконец, поскольку \(\varphi_4-\varphi_3 = V\) и \(\psi_2-\psi_1 = U\), мы приходим к \(V = U\), что и требовалось доказать.

Есть одна довольно трудная задача, которую можно решить примерно так же, как мы доказывали теорему взаимности. Можно попробовать сформулировать и соответствующую подсказку.

Приложение 3: доказательство теоремы о минимуме диссипации

Чтобы доказать первую часть (когда закон напряжений Кирхгофа остаётся выполненным), рассмотрим рассеиваемую мощность \[P = \sum_{ij}(\varphi_i-\varphi_j)^2/R_{ij},\] где \(\varphi_i\) — потенциал \(i\)-го узла (для фиктивного распределения потенциалов), а сумма берётся по всем таким парам узлов \((i,j)\), которые напрямую соединены через резистор \(R_{ij}\). Если потенциал \(i\)-го узла изменить на малое приращение \(\Delta\varphi_i\) (сохраняя остальные потенциалы неизменными), полная рассеиваемая мощность изменится на \[\Delta P = \sum_j\bigl[2\Delta\varphi_i(\varphi_i-\varphi_j) +\Delta\varphi_i^2\bigr]/R_{ij}.\] Последним слагаемым здесь можно пренебречь для очень малых приращений потенциала, и мы можем обозначить \((\varphi_i-\varphi_j)/R_{ij}\equiv I_{ij}\): это ток, текущий из \(i\)-го узла в \(j\)-й. Итак, в пределе бесконечно малых приращений (\(\Delta\varphi_i\to d\varphi_i\)) получаем \[dP = 2\,d\varphi_i\sum_j I_{ij}.\] Если \(\sum_j I_{ij}>0\), то рассеиваемую мощность можно уменьшить, увеличив потенциал \(\varphi_i\) (\(d\varphi_i<0\) ведёт к \(dP>0\)); аналогично, если \(\sum_j I_{ij}<0\), мы можем взять \(d\varphi_i>0\). Итак, минимум диссипации может достигаться только при \(\sum_j I_{ij} = 0\), т. е. когда выполняется закон токов Кирхгофа. Далее, если \(\sum_j I_{ij} = 0\), то \(\Delta P = \sum_j\Delta\varphi_i^2/R_{ij}>0\), т. е. у нас действительно минимум.

Вторая половина теоремы доказывается так же, как и первая: мы предполагаем, что есть фиктивное распределение токов, которое удовлетворяет закону токов Кирхгофа и потому может быть представлено как сумма контурных токов \(I_\mu = \sum_\nu I_{\nu\mu}\), где \(\nu\) нумерует контуры, а \(I_{\nu\mu}\) представляет ток в \(\mu\)-м проводе, обусловленный \(\nu\)-м контуром. Заметим, что \(I_{\nu\mu} = 0\), если \(\mu\)-й провод не принадлежит \(\nu\)-му контуру; иначе \(I_{\nu\mu} = \pm i_\nu\) — контурный ток имеет всюду одинаковую величину, а знак вклада зависит от того, какое направление тока считается положительным для данного провода. Предположим, что все вклады \(\nu\)-го контурного тока положительны (если нет, мы можем переопределить положительные направления соответствующих проводов). Тогда \[P = \sum_\mu R_\mu\Bigl(\sum_\nu I_{\nu\mu}\Bigr)^2,\] и для приращения \(di_\nu\) \(\nu\)-го контурного тока \[dP = di_\nu\cdot2\sum_\mu I_\mu R_\mu;\] для минимума нужно, чтобы \(\sum_\mu I_\mu R_\mu = 0\), а это и есть закон напряжений Кирхгофа для \(\nu\)-го контура.

Приложение 4: доказательство неравенства треугольника

Для трёхвыводной схемы заземлим вывод \(A\). (i) Сначала подключим вывод \(C\) к источнику напряжения, дающему потенциал \(V_0>0\), оставив вывод \(B\) внешне неподключённым; это порождает некоторый ток \(I_0\), который течёт из \(C\) через схему и через вывод \(A\) в заземляющий провод; это наведёт также некоторый потенциал \(V_1\) на выводе \(B\); очевидно, \(0\le V_1\le V_0\).

(ii) Во-вторых, отключим \(C\) от источника напряжения и подключим \(B\) к источнику напряжения, дающему тот же потенциал \(V_1\), который был у него раньше; это порождает ток \(I_1\) через \(A\) и \(B\) и наведённый потенциал \(V_2\) на выводе \(C\). Теперь применим теорему о минимуме рассеиваемой мощности. Для случая (ii) мы построим фиктивное распределение потенциалов на основе распределения потенциалов случая (i): все те внутренние точки схемы, у которых потенциал \(\varphi\) меньше \(V_1\), будут иметь тот же потенциал, что и раньше, а все те внутренние точки схемы, у которых \(\varphi\ge V_1\), будут иметь потенциал \(V_1\) (если некоторый резистор перекрывает пороговый потенциал \(V_1\), мы воображаем резистор сделанным из резистивной проволоки и «разрезаем» эту проволоку на два отрезка в точке, где \(\varphi = V_1\)). Такое фиктивное распределение потенциалов было бы истинным распределением потенциалов изменённой схемы, у которой все точки схемы с потенциалом \(\varphi = V_1\) соединены проводом с выводом \(B\). Действительно, в области \(\varphi\le V_1\) по сравнению со случаем (i) ничего не изменилось, а это значит, что закон токов Кирхгофа там выполняется; в области, где изначально было \(\varphi>V_1\), потенциал теперь постоянен, а значит, тока нет, и закон токов Кирхгофа также выполняется. Все пороговые точки \(\varphi = V_1\) соединены проводом, который направляет весь полный ток \(I_0\) в вывод \(B\), так что закон токов Кирхгофа по-прежнему выполняется. Для такой изменённой схемы рассеиваемая мощность равна \(V_1I_0\); по теореме о рассеиваемой мощности это больше или равно истинной диссипации \(V_1I_1\), откуда \(I_1\le I_0\).

Наконец, введём случай (iii): отключим \(A\) от земли и подключим \(B\) и \(C\) к источникам напряжения, дающим потенциалы \(V_1\) и \(V_2\) соответственно. Аналогично тому, что мы делали раньше, можно показать, что возникающий ток \(I_2\le I_0\) (через \(B\) и \(C\)). Теперь мы можем записать неравенства для сопротивлений: \[R_{AB} = \frac{V_1}{I_1}\ge\frac{V_1}{I_0},\qquad R_{BC} = \frac{V_0-V_1}{I_1}\ge\frac{V_0-V_1}{I_0};\] складывая эти неравенства, получаем \[R_{AB}+R_{BC}\ge\frac{V_1}{I_0}+\frac{V_0-V_1}{I_0} = \frac{V_0}{I_1} = R_{AC},\] что и требовалось доказать.

Заметим, что в силу неравенств треугольника сопротивление можно использовать для определения расстояния между двумя точками схемы (или между двумя точками непрерывной проводящей среды); тогда вместо метров расстояние будет характеризоваться в омах.