Чтобы уметь решать схемы с конденсаторами и катушками индуктивности, нужно знать несколько фактов. Некоторые факты будут приведены здесь без доказательства; подробнее об этом будет сказано в разделе «Электромагнетизм».

Начнём с конденсаторов. Конденсатор можно представлять себе как два параллельных проводящих листа (обкладки), расположенных очень близко друг к другу и разделённых тонким диэлектрическим (изолирующим) слоем¹. Во введении к разделу 1 мы упоминали, что обычно зарядами на проводах можно пренебречь; это потому, что любой непренебрежимый заряд на проводах породил бы огромное электрическое поле, а значит, и огромное напряжение. Однако ситуация иная, если у нас есть две параллельные проводящие пластины: если эти две пластины имеют равные и противоположные заряды, так что система в целом электрически нейтральна, то огромное электрическое поле оказывается заключено в узком слое между пластинами, и потому напряжение (произведение толщины слоя на напряжённость поля) может остаться умеренным. Обычно² напряжение между пластинами пропорционально заряду, находящемуся на одной из пластин. Поскольку конденсатор в целом электрически нейтрален, закон токов Кирхгофа справедлив и для конденсаторов: ток, текущий по проводу к одной пластине (увеличивая там заряд), равен току, текущему от другой пластины (уменьшая там заряд) по другому проводу.

Действительно, рассмотрим зарядку конденсатора. Если заряд \(dq\) проходит разность потенциалов \(V\), то нужно совершить электрическую работу \(dA = VI\cdot dt = V\cdot dq\). Итак, полная совершённая работа \(A = \int_0^V V\cdot dq = \int_0^V V\cdot d(CV) = C\int_0^V V\,dV = CV^2/2\).

Действительно, рассмотрим конденсатор с напряжением \(V\), выводы которого присоединены к сопротивлению \(R\). Согласно законам Кирхгофа, \(R\frac{dq}{dt}+\frac qC = 0\), откуда \[\frac{dq}{q} = -\frac{dt}{CR}\ \Rightarrow\ \ln q-\ln q_0 = -\frac{t}{CR} \ \Rightarrow\ q = q_0e^{-t/RC}.\] Здесь \(-\ln q_0\) играет роль постоянной интегрирования.

Теперь рассмотрим катушки индуктивности. В разделе «Электромагнетизм» мы узнаем, что подобно тому, как электрические заряды порождают электрическое поле, токи (движущиеся заряды) порождают магнитное поле, которое характеризуется магнитной индукцией \(B\) (её называют также магнитным \(B\)-полем). Нам понадобится также понятие магнитного потока \(\Phi\), которое можно истолковать интуитивно (и нестрого) как число силовых линий магнитного поля, проходящих через замкнутый (возможно, воображаемый) контур; в случае однородного магнитного поля, перпендикулярного контуру, \(\Phi = BS\), где \(S\) — площадь поверхности контура. Важность понятия магнитного потока состоит в том, что если он меняется во времени, в контуре (схеме) наводится ЭДС, см. ниже.

Итак, любой ток в схеме порождает магнитное поле, которое, в свою очередь, вызывает магнитный поток, проходящий через эту электрическую схему. Обычно, однако, этот поток сравнительно мал, так что вызванной им ЭДС можно пренебречь. Чтобы создать больший поток, используют катушки. Увеличение числа \(N\) перекрывающихся витков провода даёт двойной эффект: во-первых, ток в схеме пройдёт \(N\) раз параллельно самому себе, что даёт \(N\)-кратное увеличение магнитного поля; во-вторых, силовые линии магнитного поля проходят теперь через схему \(N\) раз, что даёт ещё один множитель \(N\) для магнитного потока.

Действительно, рассмотрим электрическую работу, необходимую для создания тока в катушке: \(A = \int\emf\cdot dq = \int\emf\cdot I\,dt = \int L\frac{dI}{dt}\cdot I\,dt = L\int I\,dI = LI^2/2\).

Действительно, рассмотрим катушку с током \(I\), выводы которой присоединены к сопротивлению \(R\). Согласно законам Кирхгофа, \(RI+L\frac{dI}{dt} = 0\), откуда \[\frac{dI}{I} = -\frac{R\,dt}{L}\ \Rightarrow\ \ln I-\ln I_0 = -\frac{Rt}{L} \ \Rightarrow\ I = I_0e^{-Rt/L}.\] Здесь \(-\ln I_0\) играет роль постоянной интегрирования.

С этим результатом мы наконец готовы вернуться к вопросу об устойчивости схем с нелинейными элементами, обладающими отрицательным дифференциальным сопротивлением, ср. идею 24 и факт 9.

зад 56 Рассмотрим туннельный диод, соединённый последовательно с сопротивлением \(R\) и подключённый к батарее (типичную кривую \(V-I\) туннельного диода см. в задаче 25). Пусть параметры системы таковы, что существует стационарное состояние при таком напряжении на диоде, при котором дифференциальное сопротивление диода \(R_{\text{диф}}\equiv\frac{dV}{dI}\) отрицательно. При каком условии это состояние будет устойчивым?

Ответ на эту задачу имеет интересное следствие. Действительно, предположим, что мы пытаемся измерить кривую \(V\)–\(I\) туннельного диода; мы использовали бы ту же схему, что и в этой задаче (с добавлением амперметра), но по результатам этой задачи состояние с \(R_{\text{диф}}<0\) будет либо неустойчивым, либо недостижимым в силу факта 9. Но если так, то как же измерить полную кривую \(V-I\)? Оказывается, что для этой цели туннельный диод можно стабилизировать, если подключить параллельно диоду подходящим образом подобранные конденсатор и резистор. В этом случае анализ устойчивости становится сложнее; наиболее эффективный подход использует ещё несколько идей, и потому соответствующая задача рассматривается в самом конце брошюры (см. задачу 82).

зад 57 простая Конденсатор ёмкости \(C\) заряжается от батареи с электродвижущей силой \(\emf\). Найдите тепло, выделившееся в процессе зарядки (либо в искре, либо в проводах, либо в батарее из-за (внутреннего) сопротивления).

Это очень простая задача, которую мы решаем здесь, чтобы показать процедуру. В процессе зарядки пластина конденсатора получает заряд \(q\); этот заряд обязательно должен пройти через батарею, значит, работа, совершённая батареей, \(A = q\emf = C\emf^2\). Часть этой работы накапливается как потенциальная энергия конденсатора, \(W = C\emf^2/2\); остальное рассеивается в виде тепла, \(Q = A-W = C\emf^2/2\).

зад 58 Конденсатор ёмкости \(C\) заряжен так, что его напряжение равно \(V_0\). Конденсатор разряжается на последовательное соединение диода и резистора \(R\). Считайте, что приведённый ниже график даёт хорошее приближение для зависимости \(V\)–\(I\) диода и что конденсатор разряжается до напряжения \(V_d\). Найдите количество тепла, выделившегося на резисторе.

зад 59 Конденсатор заряжается путём подключения его к последовательному соединению батареи с электродвижущей силой \(\emf\), катушки индуктивностью \(L\) и диода. Для зависимости \(V\)–\(I\) диода используйте график предыдущей задачи; внутреннее сопротивление батареи пренебрежимо мало. До какого напряжения зарядится конденсатор, если считать, что \(\emf>V_d\)?

Например, рассмотрим последовательное соединение двух конденсаторов, которые изначально были незаряжены. Тогда набор из двух пластин (показанный на рисунке) образует электрически изолированную систему, и потому полный заряд там всегда будет нулевым, т. е. два конденсатора всегда будут нести равные по модулю заряды.

зад 60 простая Покажите, что последовательное соединение конденсаторов ёмкостей \(C_1\), \(C_2\), … \(C_n\) имеет полную ёмкость \(C = (C_1^{-1}+C_2^{-1}+… C_n^{-1})^{-1}\).

зад 61 Три одинаковых незаряженных конденсатора ёмкости \(C\) соединены последовательно. Конденсаторы заряжаются подключением батареи с электродвижущей силой \(\emf\) к концевым выводам этой схемы. Затем батарею отключают, и одновременно подключают два резистора сопротивления \(R\), как показано на рисунке ниже. Найдите полное тепло, которое выделится на каждом из сопротивлений.

зад 62 Рассмотрим приведённую ниже электрическую схему: изначально незаряженные конденсаторы \(C_1\) и \(C_2\) были подключены к батарее, и в некоторый момент ключ \(K\) замыкается. После этого момента ток и напряжение начнут колебаться. Для этих колебаний вам нужно найти (а) максимальный ток \(I_{\max}\) через катушку; (б) максимальное напряжение \(V_{\max}\) на конденсаторе \(C_1\).

Один способ решения этой задачи — использовать идею 35 вместе с законом сохранения энергии. Второй способ — изучить колебания напряжения (и тока) в схеме. Колебания в \(LC\)-контуре будут изучены позже подробнее; здесь достаточно сформулировать ещё один «факт».

Действительно, для такой схемы закон напряжений Кирхгофа утверждает, что \(q/C+L\frac{dI}{dt} = 0\); здесь \(q\) — заряд конденсатора, а \(I = \frac{dq}{dt}\), значит, \(q+LC\frac{d^2q}{dt^2} = 0\). Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка, решение которого даётся \(q = q_0\sin(\omega_0t+\varphi)\), где постоянные \(q_0\) и \(\varphi\) можно найти из начальных условий (например, значений тока и напряжения при \(t = 0\)).

Эта идея основана на том, что при отсутствии батарей и источников тока схемы, содержащие линейные резисторы, конденсаторы и/или катушки, описываются законами Кирхгофа, которые представляют собой набор однородных линейных дифференциальных уравнений. Слово «однородных» здесь означает, что каждое слагаемое в этих уравнениях содержит ровно одну неизвестную функцию (или её производную по времени), \(I_k(t)\) или \(V_l(t)\) (ток в \(k\)-м участке провода и напряжение на \(l\)-м элементе схемы). С другой стороны, если в схеме есть также батареи или источники тока, то появятся и слагаемые, не содержащие ни одной из неизвестных функций, — это слагаемые с соответствующими электродвижущими силами и/или значениями постоянных токов; такие системы уравнений называются линейными неоднородными дифференциальными уравнениями, и если убрать из них слагаемые без неизвестных функций, мы получим то, что называется однородной частью уравнений.

Общая теория линейных дифференциальных уравнений говорит нам, что общее решение неоднородных дифференциальных уравнений получается как сумма (а) общего решения однородной части этих дифференциальных уравнений и (б) одного (любого) решения неоднородных уравнений. Если неоднородная часть уравнений состоит из постоянных слагаемых, то одно решение легко найти как стационарное решение, постоянное во времени, для которого все производные по времени равны нулю. В случае наших схем неоднородные слагаемые действительно постоянны, и обычно стационарные решения (токи во всех проводах и напряжения на всех элементах) можно найти, не выписывая дифференциальных уравнений.

Чтобы найти общее решение однородных уравнений, надо сначала заметить, что однородная часть уравнений соответствует случаю, когда все электродвижущие силы и токи, задаваемые источниками тока, положены равными нулю; это соответствует закорачиванию всех электродвижущих сил и удалению всех источников тока, как и предлагается идеей 36. Теперь задача нахождения общего решения может оказаться уже достаточно простой: если параллельные и последовательные соединения резисторов можно объединить в один резистор, и то же верно для конденсаторов и катушек, то у нас будет либо \(R-C\)-контур, либо \(L-R\)-контур, либо \(L-C\)-контур. В каждом из этих случаев мы уже знаем решение, даваемое фактами 13, 18 и 19: это либо экспоненциальное затухание \(I = I_0e^{-t/\tau}\), либо синусоидальные колебания. В более сложных случаях общее решение всё ещё можно найти, не выписывая систему уравнений, воспользовавшись резонансом на переменном токе, как объяснено в идее 48.

зад 63 При условиях предыдущей задачи изобразите напряжение на конденсаторе \(C_1\) как функцию времени.

зад 64 Схема ниже позволяет заряжать аккумулятор напряжением \(\emf = 12\) В от источника постоянного напряжения, меньшего \(\emf\): \(V_0 = 5\) В. Для этого ключ \(K\) периодически замыкают и размыкают — разомкнутый и замкнутый периоды имеют одинаковую длительность \(\tau = 10\) мс. Найдите средний зарядный ток, считая, что \(L = 1\) Гн. Диод можно считать идеальным; омическим сопротивлением катушки пренебречь.

На временах, много больших характерных времён, ситуация обратная: катушку можно считать закорачивающим проводом, а конденсатор — изолятором. Это потому, что все токи и напряжения экспоненциально стремятся к равновесному состоянию, так что отклонение от равновесного значения \(\Delta\propto e^{-t/\tau}\): заряд конденсатора почти постоянен, а значит, тока нет; ток катушки почти постоянен, а значит, нет электродвижущей силы.

зад 65 Ключ приведённой ниже схемы был разомкнут; в некоторый момент его замыкают. (а) Каково показание амперметра сразу после замыкания ключа? (б) Ключ держат замкнутым до достижения равновесного состояния; каково показание амперметра теперь? (в) Теперь ключ снова размыкают; каково показание амперметра сразу после размыкания ключа?

Приближение малых времён идеи 38 можно дополнительно улучшить с помощью следующей идеи.

зад 66 Конденсатор ёмкости \(C\) и резистор сопротивления \(R\) соединены параллельно, и к выводам системы прикладываются прямоугольные импульсы тока (см. рисунок). Считая, что \(I_2 = -I_1\) и что в момент \(t = 0\) конденсатор не имел заряда, изобразите напряжение на конденсаторе как функцию времени (а) если \(T\gg RC\) и (б) если \(T\ll RC\).

Теперь предположим, что периодический входной ток подавался очень долго (много дольше \(RC\)), и не будем больше считать, что \(I_2 = -I_1\). Найдите среднее напряжение и амплитуду колебаний напряжения на конденсаторе, (в) если \(T\gg RC\) и (г) если \(T\ll RC\).

Последняя часть этой задачи требует ещё одной идеи.

Действительно, напряжение на катушке можно выразить через её ток, \(V = L\frac{dI}{dt}\), и ненулевое среднее напряжение означало бы непостоянный средний ток, \(\frac{d\langle I\rangle}{dt} = \langle V\rangle\ne0\), что противоречит предположению о том, что отклик системы стал периодическим. Аналогично ненулевой средний ток в проводах, ведущих к конденсатору, означал бы непостоянный средний заряд на его пластинах.

Эта идея иллюстрируется ещё одной задачей.

зад 67 К выводам приведённой ниже схемы приложено переменное напряжение \(V = V_0\cos(2\pi\nu t)\). Изобразите графики токов резистора и диода как функции времени.

Наконец, есть ещё одна идея, которую можно использовать, когда требуется найти заряд, прошедший через резистор.

Действительно, это немедленно следует из закона напряжений Кирхгофа \(\frac{d\Phi_e}{dt}+L\frac{d\Phi_i}{dt} = -RI = -R\frac{dq}{dt}\) (где \(\Phi_i = LI\)), который можно записать как \(d\Phi+L\cdot dI = -R\cdot dq\) и легко проинтегрировать.

зад 68 Для измерения магнитной индукции можно использовать следующее устройство. Маленькая катушка с \(N\) витками, площадью поверхности \(S\) и индуктивностью \(L\) подключена к баллистическому гальванометру, проградуированному так, чтобы показывать полный заряд импульса тока⁸. Катушку помещают в магнитное поле так, чтобы ось катушки была параллельна магнитному полю. Быстрым движением катушку переворачивают на \(180^\circ\) (так что ось снова параллельна магнитному полю); найдите полный заряд импульса тока, прошедшего через гальванометр, если полное омическое сопротивление катушки и проводов равно \(R\).

Следующую идею можно считать предельным случаем идеи 38, но её можно сформулировать и как более общий закон сохранения.

В разделе «Электромагнетизм» будет больше примеров применения этой идеи (с внешними полями и взаимной индукцией); здесь приведена лишь одна задача.

зад 69 трудная [IPhO-1994] Сверхпроводящие магниты широко используются в лабораториях. Самая распространённая форма сверхпроводящего магнита — соленоид, намотанный сверхпроводящим проводом. Замечательное свойство сверхпроводящего магнита состоит в том, что он создаёт сильные магнитные поля без каких-либо потерь энергии на джоулев нагрев, поскольку электрическое сопротивление сверхпроводящего провода становится нулевым, когда магнит погружён в жидкий гелий при температуре 4{,}2 К. Обычно магнит снабжается специально сконструированным сверхпроводящим ключом, как показано на рис. (a). Сопротивление \(r\) ключа можно менять: либо \(r = 0\) в сверхпроводящем состоянии, либо \(r = r_n\) в нормальном состоянии. В режиме удержания ток циркулирует через магнит и сверхпроводящий ключ неограниченно долго. Режим удержания позволяет поддерживать постоянное магнитное поле в течение долгого времени при отключённом внешнем источнике.

Подробности сверхпроводящего ключа на рис. (a) не показаны. Обычно это короткий отрезок сверхпроводящего провода, обмотанный нагревательным проводом и подходящим образом теплоизолированный от ванны с жидким гелием. При нагреве температура сверхпроводящего провода растёт, и он возвращается в резистивное нормальное состояние. Типичное значение \(r_n\) — несколько ом. Здесь мы считаем его равным \(5\ \Omega\). Индуктивность сверхпроводящего магнита зависит от его размеров; считайте её равной 10 Гн для магнита на рис. (a). Полный ток \(I\) можно менять, регулируя сопротивление \(R\).

Стрелки обозначают положительное направление \(I\), \(I_1\) и \(I_2\).

(а) Если полный ток \(I\) и сопротивление \(r\) сверхпроводящего ключа меняются во времени так, как показано на рис. (b-i) и (b-ii) соответственно, и если токи \(I_1\) и \(I_2\), текущие через магнит и ключ соответственно, равны в начальный момент (рис. (b-iii) и (b-iv)), то как они меняются от \(t_1\) до \(t_4\)? Изобразите ваш ответ на рис. (b-iii) и (b-iv).

(б) Предположим, что силовой ключ \(K\) включается в момент \(t = 0\), когда \(r = 0\), \(I_1 = 0\) и \(R = 7{,}5\ \Omega\), а полный ток \(I\) равен 0{,}5 А. Не размыкая \(K\), сопротивление \(r\) сверхпроводящего ключа меняют так, как показано на рис. (c)-ii. Изобразите соответствующие временные зависимости \(I\), \(I_1\) и \(I_2\) на рис. (c)-i, (c)-iii и (c)-iv соответственно.

(в) Через сверхпроводящий ключ в нормальном состоянии разрешено пропускать только малые токи, меньше 0{,}5 А; при бо́льших токах ключ перегорит. Предположим, что сверхпроводящий магнит работает в режиме удержания, т. е. \(I = 0\), а \(I_1 = i_1\) (например, 20 А), \(I_2 = -i_1\), как показано на рис. (d), от \(t = 0\) до \(t = 3\) мин. Если эксперимент нужно прекратить, снизив ток через магнит до нуля, как бы вы это сделали? Это надо сделать в несколько операций. Изобразите соответствующие изменения \(I\), \(r\), \(I_1\) и \(I_2\) на рис. (d).

(г) Предположим, что магнит работает в режиме удержания с током удержания 20 А [от \(t = 0\) до \(t = 3\) мин, см. рис. (e)]. Как перевести его в режим удержания с током 30 А? Изобразите ваш ответ на рис. (e).

Ранее мы ввели индуктивность фактами 14–16. В частности, мы узнали, что электрический ток \(I\) в контуре вызывает поток магнитного поля \(\Phi = LI\), где \(L\) — собственная индуктивность контура. Рассмотрим теперь два контура, расположенных по соседству друг с другом. Тогда, аналогично тому, что мы наблюдали для одного контура, ток \(I_1\) в первом контуре вызовет магнитное поле в месте расположения второго контура, а значит, породит поток \(\Phi_{21}\) через второй контур. В силу линейности уравнений Максвелла⁹ поток пропорционален току, так что \(\Phi_{21}\propto I_1\); коэффициент пропорциональности \(L_{21}\) называется взаимной индуктивностью. Теперь мы можем выразить полный поток во втором контуре как \[\Phi_2 = L_{21}I_1+L_2I_2,\] где \(L_2\) — собственная индуктивность второго контура. Аналогично поток через первый контур выражается как \[\Phi_1 = L_{12}I_2+L_1I_1,\] где \(L_1\) — собственная индуктивность первого контура.

(Оба равенства будут доказаны ниже.) Пока токи \(I_1\) и \(I_2\) текут в независимых контурах, знак \(M\) неважен, так как мы можем просто поменять знак одного из токов. Однако если \(I_1\) и \(I_2\) связаны друг с другом законом токов Кирхгофа¹⁰, нужно быть внимательным и выбрать правильный знак \(M\).

Равенство \(L_{12} = L_{21}\) очень полезно, оно аналогично теореме взаимности (ср. приложение 2) и третьему закону Ньютона. Иногда трудно вычислить силу, действующую со стороны тела \(A\) на тело \(B\), но легко вычислить силу, действующую со стороны тела \(B\) на тело \(A\) (например, когда \(A\) — точечный заряд, а \(B\) — однородно заряженная пластина); аналогично иногда трудно вычислить \(L_{12}\), но легко вычислить \(L_{21}\) (естественно, тогда мы определяем \(M\), вычисляя \(L_{21}\)).

Чтобы доказать этот факт, сначала выведем выражение для полной энергии системы из двух контуров с током аналогично тому, как мы доказывали факт 16. Итак, у нас есть два простых контура, каждый из которых состоит из катушки и регулируемого источника тока. Начнём с увеличения тока в первом контуре, сохраняя ток во втором контуре нулевым. Работа, совершённая источником тока во втором контуре, равна нулю, потому что через источник тока не пройдёт никакого заряда. Если конечное значение тока в первом контуре равно \(I_1\), то работа, совершённая первым источником тока, равна \(\frac12 L_1I_1^2\) (в силу факта 16). Далее начнём увеличивать ток во втором контуре, сохраняя ток в первом контуре постоянным. Рассмотрим приращение тока \(dI_2\); это породит напряжение в первом контуре, которое нужно скомпенсировать электродвижущей силой источника тока \(\emf_1 = L_{12}\frac{dI_2}{dt}\); аналогично для источника тока второго контура \(\emf_2 = L_2\frac{dI_2}{dt}\). Работа, совершённая первым источником тока, \[A_1 = \int\emf_1\,dq_1 = \int L_{12}\frac{dI_2}{dt}\cdot dq_1 = \int L_{12}\frac{dq_1}{dt}\,dI_2 = L_{12}\int I_1\,dI_2.\] Теперь вспомним, что в нашем процессе \(I_1\) постоянен, так что интеграл легко берётся, давая \(A_1 = L_{12}I_1I_2\). Работа, совершённая вторым источником тока, вычисляется аналогично, давая \(A_2 = \int\emf_2\,dq_2 = \frac12 L_2I_2^2\). Следовательно, полное количество совершённой работы равно \[W = \frac12 L_1I_1^2+A_1+A_2 = \frac12\bigl(L_1I_1^2+2L_{12}I_1I_2+L_2I_2^2\bigr).\] Теперь ясно, что если увеличивать токи в обратном порядке, мы получим результат, в котором индексы 1 и 2 переставлены: \(W = \frac12\bigl(L_1I_1^2+2L_{21}I_1I_2+L_2I_2^2\bigr)\). Работа источников тока перешла в энергию магнитного поля, и её значение может зависеть только от конечного состояния системы, а значит, эти два выражения должны давать один и тот же результат, следовательно, \(L_{12} = L_{21}\).

Плотность энергии магнитного поля пропорциональна квадрату напряжённости магнитного поля, а значит, всегда положительна; поэтому любая система магнитно связанных катушек с током должна иметь также положительную полную энергию. Из этого условия мы можем вывести полезное неравенство для взаимной индуктивности \(M\). Действительно, для двух контуров полную энергию можно выразить как \(W = \frac12 I_1^2\bigl(L_1+2Mx+L_2x^2\bigr)\), где \(x = I_2/I_1\). Заметим, что \(x\) может принимать любые значения, включая отрицательные, но \(W\) должна оставаться неотрицательной. Следовательно, корни \(x_1\) и \(x_2\) квадратного уравнения \(L_1+2Mx+L_2x^2 = 0\) не могут принимать вещественных значений (если только оба корня не совпадают): иначе для любого значения \(x\) между \(x_1\) и \(x_2\) величина \(W\) была бы отрицательной. Значит, дискриминант должен быть неположительным, \(M^2\le L_1L_2\).

Равенство \(M^2 = L_1L_2\) означало бы, что полная энергия системы может быть нулевой даже при ненулевых токах в контурах. Нулевая энергия означает нулевое магнитное поле: магнитное поле, созданное током в одном контуре, должно всюду компенсировать магнитное поле, созданное током в другом контуре. Это возможно, только если формы силовых линий обоих контуров одинаковы. Достичь этого можно двумя способами:

(а) они должны иметь одинаковую и перекрывающуюся в пространстве геометрическую форму (два соленоида одинаковой длины и площади поперечного сечения, но, возможно, с разной плотностью намотки, один из которых плотно вставлен в другой), либо

(б) обмотки обеих катушек должны быть намотаны на один и тот же замкнутый ферромагнитный сердечник, как показано на рисунке, — такие устройства называются трансформаторами. Как мы узнаем в электромагнетизме, силовые линии магнитного поля по возможности остаются внутри ферромагнитных материалов; если ферромагнитный сердечник замкнут (например, имеет тороидальную форму), силовым линиям, вызванным током в обмотке, незачем выходить из сердечника. В этом случае форма силовых линий внутри сердечника определяется формой сердечника, а не тем, где и как сделана обмотка. Заметим, что электрические трансформаторы обычно делаются с замкнутым ферромагнитным сердечником, как показано на рисунке ниже; электрический символ такого трансформатора см. в задаче 70.

Разберём утверждение (i) подробнее и рассмотрим простейший случай всего двух неизвестных функций, \(I_1\) и \(I_2\). Тогда мы смогли бы получить два уравнения, даваемые законом напряжений Кирхгофа. Катушки дают нам слагаемые, содержащие производные \(I_1\) и \(I_2\), так что при \(M<\sqrt{L_1L_2}\) у нас была бы система линейных дифференциальных уравнений второго порядка (если взять производную от обоих уравнений и исключить из четырёх уравнений \(I_2\) и \(\frac{dI_2}{dt}\), мы получим дифференциальное уравнение второго порядка для \(I_1\)). Однако при \(M = \sqrt{L_1L_2}\) мы можем использовать \(J\) как одну из переменных и исключить \(\frac{dJ}{dt}\) из системы уравнений; в результате мы получим соотношение, связывающее \(I_1\) и \(I_2\), т. е. сможем выразить \(I_2\) через \(I_1\). Если подставить \(I_2\) в одно из исходных дифференциальных уравнений с помощью этого выражения, мы получим дифференциальное уравнение первого порядка для \(I_1\).

зад 70 Электрический трансформатор подключён так, как показано в схеме ниже. Обе обмотки трансформатора имеют одинаковое число витков, и собственная индуктивность обеих катушек равна \(L\); утечки силовых линий магнитного поля из сердечника нет, так что взаимная индуктивность тоже равна \(L\).

(а) Найдите ток в обоих контурах сразу после замыкания ключа.

(б) Найдите токи как функции времени.

Задачи на идеи 32–43

зад 71 Есть три одинаковые лампы, подключённые к батарее, как показано на рисунке; ток через каждую лампу равен \(I\). Найдите токи сразу после размыкания ключа.

зад 72 В схеме ниже ключ \(K\) держали в положении 1; после достижения равновесного состояния ключ перебрасывают в положение 2. Это делается гораздо быстрее характерного времени \((L_1+L_2)/R\). После этого мы ждём очень долго, пока не будет достигнуто новое равновесное состояние. Найдите количество тепла \(Q\), выделившегося на резисторе \(R\) после переключения ключа в положение 2. Найдите также полный заряд \(q\), прошедший через резистор \(R\) за то же время. Внутренним сопротивлением катушек пренебречь. Заметим, что сопротивление всех проводов тоже пренебрежимо мало, но сверхпроводимости нет.

зад 73 Конденсатор ёмкости \(C\) и резистор сопротивления \(R\) соединены последовательно, и к выводам системы прикладываются прямоугольные импульсы напряжения (см. рисунок). Найдите среднюю мощность, выделяющуюся на резисторах, считая (а) что \(T\gg RC\); (б) что \(T\ll RC\).

зад 74 Определите постоянную времени для схемы, показанной на рисунке (т. е. для процесса зарядки конденсатора — промежуток времени, за который скорость зарядки падает в \(e\) раз).

зад 75 Мальчик хочет собрать декоративную гирлянду из 50 светодиодов, питаемую переменным напряжением \(V = V_0\cos(2\pi\nu t)\) с \(V_0 = 311\) В и \(\nu = 50\) Гц. Схема, которую он планирует использовать, приведена ниже. Напряжение его светодиодов можно считать равным 3 В (оно остаётся постоянным в широком диапазоне прямых токов); номинальный ток — 20 мА. Найдите оптимальное значение резистора \(R\) (обеспечивающее номинальную работу диодов) и минимальное значение ёмкости \(C\), если колебания тока должны быть меньше 5%. Выпрямительный диод \(D\) можно считать идеальным.

зад 76 [EstFin-2012] Для схемы, показанной на рисунке, \(R_1 = 3R\), \(R_2 = R\), \(C_1 = C_2 = C\) и \(L_1 = L_2 = L\). Электродвижущая сила батареи равна \(\emf\). Изначально ключ замкнут, и система работает в стационарном режиме.

(а) Найдите показание вольтметра в стационарном режиме.

(б) Теперь ключ размыкают. Найдите показание вольтметра сразу после размыкания.

(в) Найдите полное количество тепла, которое выделится на каждом из резисторов после размыкания ключа и до достижения нового равновесного состояния.

зад 77 [EstFin-2008] Выпрямитель напряжения сделан по схеме, изображённой на рисунке. Нагрузка \(R = 10\) кОм питается постоянным током \(I = 2\) мА. Далее мы аппроксимируем вольт-амперную характеристику диода кривой, изображённой на рисунке. Относительное изменение тока на нагрузке должно удовлетворять условию \(\Delta I/I<1\%\).

(а) Найдите среднюю мощность, выделяющуюся на диоде в рабочем режиме такой схемы.

(б) Определите амплитуду переменного напряжения (с частотой \(\nu = 50\) Гц), которое нужно приложить ко входу схемы.

(в) Найдите требуемую ёмкость \(C\).

(г) Найдите среднюю мощность, выделяющуюся на диоде в течение первого периода (входного переменного напряжения) сразу после подачи переменного напряжения на вход схемы.

зад 78 [Est-Fin-2010]

(а) Рассмотрите схему, приведённую на рис. (a), где диод можно считать идеальным (т. е. имеющим нулевое сопротивление для прямого тока и бесконечное сопротивление для обратного). Ключ замыкают на время \(\tau_c\), а затем снова размыкают. Входное и выходное напряжения в течение всего процесса постоянны и равны \(U_i\) и \(U_o\) соответственно (\(2U_i<U_o\)). Постройте графики входного и выходного токов как функций времени.

(б) Теперь ключ периодически замыкают и размыкают; каждый раз ключ держат замкнутым в течение промежутка времени \(\tau_c\) и разомкнутым — тоже в течение \(\tau_c\). Найдите средний выходной ток.

(в) Теперь схема (a) заменяется схемой (b); ключ переключается так же, как в части (б). Каким будет напряжение на нагрузке \(R\), когда установится стационарный рабочий режим? Можно считать, что \(\tau_c\ll RC\), т. е. изменение напряжения на нагрузке (и на конденсаторе) пренебрежимо мало в течение всего периода (т. е. заряд на конденсаторе не успевает существенно измениться).

зад 79 [IPhO-2001] Пилообразную форму напряжения \(V_0\) можно получить на конденсаторе \(C\) на рис. (A); \(R\) — переменный резистор, \(V_i\) — идеальная батарея, а \(SG\) — искровой промежуток, состоящий из двух электродов с регулируемым расстоянием между ними. Когда напряжение на электродах превышает напряжение зажигания \(V_f\), воздух между электродами пробивается, промежуток становится коротким замыканием и остаётся таковым, пока напряжение на промежутке не станет очень малым.

(а) Изобразите форму напряжения \(V_0\) как функцию времени \(t\) после замыкания ключа.

(б) Какое условие должно выполняться, чтобы получить почти линейно меняющуюся пилообразную форму напряжения \(V_0\)?

(в) При условии, что это условие выполнено, выведите упрощённое выражение для периода \(T\) этой формы.

(г) Что нужно менять (\(R\) и/или \(SG\)), чтобы изменить только период?

(д) Что нужно менять (\(R\) и/или \(SG\)), чтобы изменить только амплитуду?

(е) Вам дан дополнительный регулируемый источник постоянного напряжения. Придумайте и нарисуйте новую схему, указав выводы, на которых вы получили бы форму напряжения, описанную на рис. (B).

зад 80 [Est-Fin-2013] Катушка индуктивностью \(L\) и конденсатор ёмкости \(C\) соединены последовательно с ключом. Изначально ключ разомкнут, а конденсатору сообщён заряд \(q_0\). Теперь ключ замыкают.

(а) Чему равны заряд \(q\) на конденсаторе и ток \(I\) в контуре как функции времени? Нарисуйте фазовую диаграмму системы — эволюцию системы на графике \(I-q\) — и укажите параметры кривой. Отметьте стрелкой (стрелками) направление эволюции системы.

Стабилитрон — нелинейный элемент схемы, действующий как двунаправленный диод: он пропускает ток в положительном направлении, когда прямое напряжение на нём превышает некоторое пороговое значение, но пропускает ток и в противоположном направлении при достаточно большом отрицательном напряжении. Обычно две шкалы напряжений сильно различаются, но для наших целей мы возьмём стабилитрон со следующими вольт-амперными характеристиками: для прямых токов напряжение на диоде равно \(V_d\), для обратных токов напряжение на диоде равно \(-V_d\), а при нулевом токе напряжение на диоде \(-V_d<V<V_d\). Теперь мы соединяем катушку \(L\) и конденсатор \(C\) последовательно с ключом и стабилитроном. Ключ изначально разомкнут. Конденсатору снова сообщают заряд \(q_0>CV_d\), а затем ключ замыкают.

(б) Нарисуйте фазовую диаграмму системы. Отметьте стрелкой (стрелками) направление эволюции системы.

(в) Обязательно ли эволюция системы прекращается только при \(q = 0\)? Найдите диапазон значений заряда \(q\) на конденсаторе, при которых эволюция системы обязательно остановится.

(г) Найдите уменьшение \(\Delta q\) максимального положительного значения заряда \(q\) конденсатора после одного полного колебания. Сколько времени пройдёт до прекращения колебаний?

(д) Предложите механическую систему, аналогичную этой схеме.

зад 81 [EstFin-2009] Рассмотрим электрическую схему, состоящую из катушки пренебрежимо малой индуктивности, состоящей из \(N = 10\) витков с площадью одного витка \(S = 10\) см\(^2\), резисторов \(R_1 = R_2 = 3\ \Omega\), конденсатора \(C = 0{,}2\) Ф и катушки индуктивностью \(L = 1\) Гн, соединённых так, как показано на рисунке. В момент времени \(t = 0\) включается магнитное поле, параллельное оси катушки. Индукция магнитного поля начинает расти линейно, начиная с \(B = 0\), пока не достигнет максимального значения \(B = 1\) Тл при \(t = 10\) мс. Далее индукция магнитного поля остаётся постоянной (и равной 1 Тл).

(а) Найдите ток через резисторы \(R_1\) и \(R_2\) в момент времени \(t_1 = 5\) мс.

(б) Найдите ток через резисторы \(R_1\) и \(R_2\) в момент времени \(t_2 = 15\) мс.

(в) Каков полный заряд, прошедший через резистор \(R_2\)?

зад 82 трудная Как мы узнали из задачи 56, если мы хотим измерить полную кривую \(V-I\) туннельного диода, его нужно специально стабилизировать¹¹. Изучим такую стабилизацию подробнее. Пусть туннельный диод соединён последовательно с сопротивлением \(R\) и подключён к батарее, и пусть параметры системы таковы, что в стационарном состоянии напряжение на диоде таково, что дифференциальное сопротивление диода \(R_{\text{диф}}<-R\).

(а) Согласно результатам задачи 56, это стационарное состояние неустойчиво; чтобы его стабилизировать, параллельно диоду подключают последовательное соединение ёмкости \(C\) и сопротивления \(r\). Провода, соединяющие конденсатор и резистор \(r\) с диодом, настолько коротки, что соответствующую индуктивность \(L_d\) можно считать пренебрежимо малой; индуктивность проводов, соединяющих диод, батарею и резистор \(R\) друг с другом, равна \(L\) (см. рисунок; ёмкостью \(C_d\) пренебречь). Какое условие (условия) должно выполняться для \(C\), \(R\), \(R_{\text{диф}}\), \(r\) и \(L\) для стабилизации?

(б) В задаче (а) мы рассматривали относительно медленную неустойчивость; в этом случае характерное время изменения тока не может быть много меньше \[\tau_s\equiv\min\Bigl(\frac{L}{|R+R_{\text{диф}}|},\ C|r+R_{\text{диф}}|\Bigr).\] Однако с новым дополнением к схеме появился токовый контур, состоящий из диода, сопротивления \(r\), ёмкости \(C\) и индуктивности \(L_d\), в котором характерное временное масштабирование \(\tau_f\) может быть много меньше \(\tau_s\), порядка \(L_d/|r+R_{\text{диф}}|\). Для таких быстрых флуктуаций тока мы уже не можем пренебрегать индуктивностью \(L_d\) (её импеданс становится сравнимым с \(|R_{\text{диф}}|\)). Отрицательное дифференциальное сопротивление в этом контуре может привести к возникновению неустойчивостей, которые развиваются за время \(\tau_f\ll\tau_s\). Для анализа неустойчивостей в этом контуре важно также заметить, что у туннельного диода есть электроды, которые ведут себя как конденсатор ёмкости \(C_d\ll C\), соединённый параллельно дифференциальному сопротивлению \(R_{\text{диф}}\) (для очень быстрых флуктуаций тока импеданс \(C_d\) может стать сравнимым с \(|R_{\text{диф}}|\)). Найдите условие отсутствия быстрых неустойчивостей, т. е. неустойчивостей, которые развивались бы за время \(\tau_f\ll\tau_s\); упростите вычисления, используя подходящие приближения.

зад 83 трудная [IPhO-2016] Вольт-амперную характеристику тиристора можно аппроксимировать кусочно-линейным графиком, показанным на рисунке ниже. Далее мы рассматриваем такой идеализированный тиристор, кривая \(I-V\) которого дана на рисунке, и называем его «нелинейным элементом \(X\)». В диапазоне напряжений между \(U_h = 4{,}00\) В (напряжение удержания) и \(U_{th} = 10{,}0\) В (пороговое напряжение) эта кривая \(I-V\) многозначна.

(а) Пользуясь графиком, определите сопротивление \(R_{\text{on}}\) элемента \(X\) на верхней ветви характеристики \(I-V\) и \(R_{\text{off}}\) — на нижней ветви соответственно. Средняя ветвь описывается уравнением \(I = I_0-\frac{U}{R_{\text{int}}}\). Найдите значения параметров \(I_0\) и \(R_{\text{int}}\).

(б) Элемент \(X\) соединён последовательно с резистором \(R\), катушкой \(L\) и идеальным источником напряжения \(\emf\) (см. рисунок ниже). Говорят, что схема находится в стационарном состоянии, если ток постоянен во времени, \(I(t) = \Const\).

(в) Пусть \(R = 3{,}00\ \Omega\), \(L = 1{,}00\) мкГн и \(\emf = 15{,}0\) В в приведённой выше схеме. Определите значения тока \(I_{st}\) и напряжения \(V_{st}\) на нелинейном элементе \(X\) в стационарном состоянии. Устойчиво это состояние или неустойчиво (изучите влияние малого отклонения силы тока от \(I_{st}\))?

(г) Теперь мы исследуем новую конфигурацию схемы (см. рисунок ниже). На этот раз нелинейный элемент \(X\) соединён параллельно конденсатору ёмкости \(C = 1{,}00\) мкФ. Этот блок затем соединяется последовательно с резистором сопротивления \(R = 3{,}00\ \Omega\) и идеальным источником постоянного напряжения \(\emf = 15{,}0\) В. Оказывается, что в этой схеме возникают колебания, при которых нелинейный элемент \(X\) перескакивает с одной ветви характеристики \(I-V\) на другую в течение одного цикла.

(д) Найдите выражения для времён \(t_1\) и \(t_2\), которые система проводит на каждой ветви графика \(I-V\) в течение цикла колебаний. Определите их численные значения. Найдите численное значение периода колебаний \(T\), считая, что время, необходимое для перескоков между ветвями графика \(I-V\), пренебрежимо мало.

(е) Оцените среднюю мощность \(P\), выделяющуюся на нелинейном элементе в течение одного колебания. Достаточно порядка величины.

(ж) Нейрон в человеческом мозге обладает следующим свойством: при возбуждении внешним сигналом он совершает одно-единственное колебание и затем возвращается в исходное состояние. Это свойство называется возбудимостью. Благодаря ему в сети связанных нейронов, составляющих нервную систему, могут распространяться импульсы. Полупроводниковая микросхема, спроектированная для имитации возбудимости и распространения импульсов, называется нейристором (от «нейрон» и «транзистор»). Мы попробуем смоделировать простой нейристор с помощью схемы, включающей уже исследованный нами нелинейный элемент \(X\). Для этого напряжение \(\emf\) в приведённой выше схеме уменьшают до значения \(\emf' = 12{,}0\) В. Колебания прекращаются, и система приходит в стационарное состояние. Затем напряжение быстро увеличивают обратно до значения \(\emf = 15{,}0\) В, а через промежуток времени \(\tau\) (при \(\tau<T\)) снова устанавливают равным \(\emf'\) (см. рисунок ниже). Оказывается, что существует некоторое критическое значение \(\tau_{\text{кр}}\), и система ведёт себя качественно по-разному при \(\tau<\tau_{\text{кр}}\) и при \(\tau>\tau_{\text{кр}}\).

(з) Найдите выражение и численное значение критического времени \(\tau_{\text{кр}}\), при котором меняется сценарий.

зад 84 трудная [Est-Fin-2014] Для получения высокого напряжения от батареи используется следующая схема.

Электромагнитный ключ \(K_1\) соединяет батарею с электродвижущей силой \(\emf\) с катушкой индуктивностью \(L\): он замкнут, если в катушке нет тока (пружина держит его замкнутым), но если ток катушки достигает критического значения \(I_0\), магнитное поле, создаваемое катушкой, размыкает его. Из-за инерции, как только ключ разомкнулся, ему требуется некоторое время \(\tau_K\), чтобы замкнуться снова, даже если ток упал до нуля.

Для диода \(D\) можно считать, что его ток равен нулю при любом обратном напряжении (\(V_D<0\)), а также при любом прямом напряжении, меньшем напряжения открытия \(V_0\) (т. е. при \(0<V_D<V_0\)). При любом ненулевом прямом токе напряжение диода \(V_D\) остаётся равным \(V_0\).

Ответы можно выражать через \(L\), \(\emf\), \(I_0\), \(V_0\), \(R\) и ёмкость \(C\) (см. рисунок).

(а) Сначала пусть ключ \(K_2\) разомкнут. Если начальный ток катушки равен нулю, через какое время \(\tau_L\) разомкнётся ключ \(K_1\)?

(б) Считая (здесь и далее), что \(L/R\ll\tau_K\ll\tau_L\), постройте график тока катушки как функции времени \(t\) (для \(0\le t<3\tau_L\)).

(в) Каково максимальное напряжение \(V_{\max}\) на резисторе \(R\)?

(г) Считая, что \(V_{\max}\gg V_0\), какова средняя мощность, выделяющаяся на диоде?

(д) Теперь пусть ключ \(K_2\) замкнут, и для упрощения примем \(V_0 = 0\); кроме того, \(RC\gg\tau_L\) и \(\tau_K>\pi\sqrt{LC}\). Предположим, что схема работала очень долго. Найдите среднее напряжение на резисторе.

(е) Найдите амплитуду колебаний напряжения на резисторе.

зад 85 Электрический трансформатор подключён так, как показано в схеме ниже. Обе обмотки трансформатора имеют одинаковое число витков, и собственная индуктивность обеих катушек равна \(L\); утечки силовых линий магнитного поля из сердечника нет, так что взаимная индуктивность тоже равна \(L\).

(а) Рассмотрите случай, когда обмотки катушек ориентированы так, что если в обеих катушках ток течёт слева направо, то магнитные поля в сердечнике трансформатора складываются деструктивно. Найдите токи в резисторах сразу после замыкания ключа.

(б) При предположениях задачи (а) найдите ток в левом резисторе как функцию времени.

(в) Теперь пусть у одной из катушек направление намотки изменено на противоположное; найдите ток в правом резисторе как функцию времени.

Переменный ток

Переменный ток (и напряжение) считаются синусоидальными, например \(I = I_0\sin(\omega t+\varphi)\). Законы Кирхгофа линейны — в них входят только первые степени напряжений и токов; поэтому, пока элементы схемы линейны (т. е. их свойства не зависят от амплитуды тока или напряжения), работа с законами Кирхгофа означает работу с линейными комбинациями напряжений и токов. Однако синус и косинус — не очень удобные функции для сложения, особенно если разные слагаемые имеют разный сдвиг фазы \(\varphi\). К счастью, с помощью формулы Эйлера (см. приложение 5) синус и косинус можно заменить экспоненциальной функцией, если перейти от вещественных чисел к комплексным: \[e^{i(\omega t+\varphi)} = \cos(\omega t+\varphi)+i\sin(\omega t+\varphi).\] Итак, вместо синуса или косинуса мы пишем \(I = I_0e^{i(\omega t+\varphi)}\). С экспонентой работать гораздо проще, потому что при сложении разных напряжений или токов одинаковой частоты множитель \(e^{i\omega t}\) можно вынести за скобки благодаря свойству \(e^{a+b} = e^a\cdot e^b\) (см. приложение 6). Не нужно беспокоиться о том, что физические величины обычно измеряются вещественными числами, а у нас вдруг появился комплексный ток (и напряжение): ток остаётся вещественной величиной; записывая его в комплексной форме, мы просто помним, что на самом деле (в физической реальности) мы имеем дело с вещественной частью этого комплексного числа. Итак, если мы пишем \(I = I_0e^{i(\omega t+\varphi)}\), мы подразумеваем, что физически измеримый ток равен \(I_r = \re I_0e^{i(\omega t+\varphi)} = I_0\cos(\omega t+\varphi)\) (\(\re z\) означает «вещественная часть \(z\)»).

Теперь, если принять комплексную форму \(I = I_0e^{i(\omega t+\varphi)} = I_0e^{i\varphi}\cdot e^{i\omega t}\), удобно объединить \(I_0\) и \(e^{i\varphi}\) в то, что мы называем комплексной амплитудой тока, \[I_c = I_0e^{i\varphi}.\] Тогда все токи и напряжения представляют собой произведения \(e^{i\omega t}\) на комплексную амплитуду, а это означает, что для любой линейной комбинации токов и напряжений зависящий от времени множитель \(e^{i\omega t}\) можно вынести за скобки. Раз так, нет необходимости всегда писать это слагаемое: обычно все вычисления проводятся только с комплексными амплитудами, модуль которых даёт нам амплитуду, \(|I_c| = |I_0e^{i\varphi}| = |I_0||e^{i\varphi}| = I_0\), а аргумент даёт сдвиг фазы, \(\varphi = \arg I_0 = \arctg\im I_c/\re I_c\) (подробнее об использованных здесь свойствах комплексных чисел см. приложение 8).

Из этой краткой теории можно сделать следующие выводы. Работа с комплексными амплитудами хороша до тех пор, пока у нас один синусоидальный сигнал и в схему входят только линейные элементы. Наоборот, комплексные амплитуды нельзя использовать, если (а) сигнал не синусоидальный, например прямоугольный; (б) есть нелинейные элементы, например диоды, конденсаторы, ёмкость которых зависит от заряда, и т. п. Если у нас суперпозиция разных частот и эти предположения выполнены, то сигналы разных частот нужно изучать по отдельности (можно применить принцип суперпозиции), и для каждой компоненты сигнала можно использовать комплексные амплитуды. Важный случай — мощность, выделяющаяся в схеме: это нелинейная функция напряжения и тока, и потому нужно быть внимательным. Пусть \(I\) и \(V\) — комплексные амплитуды тока и напряжения. Тогда \[P = \bigl\langle\re Ie^{i\omega t}\cdot\re Ve^{i\omega t}\bigr\rangle = \Bigl\langle\frac{Ie^{i\omega t}+\overline Ie^{-i\omega t}}{2}\cdot \frac{Ve^{i\omega t}+\overline Ve^{-i\omega t}}{2}\Bigr\rangle,\] где \(\langle…\rangle\) обозначает усреднение по времени, а черта над символом обозначает комплексное сопряжение (\(\overline{a+bi}\equiv a-bi\); \(\overline{e^{i\omega}} = e^{-i\omega}\)). Раскрыв скобки и воспользовавшись тем, что \(\langle e^{i2\omega t}\rangle = \langle e^{-i2\omega t}\rangle = \langle\cos2\omega t\rangle+i\langle\sin2\omega t\rangle = 0\), получаем \[P = \frac{I\overline V+V\overline I}{4} = |I||V|\frac{e^{i\varphi_1}e^{-i\varphi_2} +e^{-i\varphi_1}e^{i\varphi_2}}{4};\] пользуясь формулой \(\cos x = \frac12(e^{ix}+e^{-ix})\), приходим к \[P = |I||V|\frac{e^{i(\varphi_1-\varphi_2)}+e^{-i(\varphi_1-\varphi_2)}}{4} = \frac12|I||V|\cos(\varphi_1-\varphi_2).\] Заметим, что это можно переписать как \(P = \frac12\re V\overline I\), потому что \(\re V\overline I = |V||I|\re e^{i\varphi_1}e^{-i\varphi_2} = |V||I|\cos(\varphi_1-\varphi_2)\). Кроме того, поскольку \(\re V\overline I = \re(ZI)\overline I = \re Z|I|^2 = |I|^2\re Z\), можно записать \[P = \tfrac12|I|^2\re Z.\]

Чтобы избавиться от множителя \(\frac12\), амплитуды часто заменяют среднеквадратичными (действующими) амплитудами: \(\tilde U = U/\sqrt2\), \(\tilde I = I/\sqrt2\) (всегда чётко указывайте, с какой амплитудой вы имеете дело).

Итак, в случае переменных токов удобно работать с комплексными амплитудами. Чаще всего временна́я зависимость в виде \(e^{i\omega t}\) вообще не пишется, и в вычислениях участвуют только комплексные амплитуды.

Вспомним, что на выводах катушки \(U = L\frac{dI}{dt}\). Подставив сюда \(I = I_0e^{i\omega t}\), немедленно получаем \(U = i\omega LI_0e^{i\omega t}\). Предмножитель экспоненты здесь — комплексная амплитуда напряжения \(U_0 = i\omega LI_0\); обозначив \[Z_L = i\omega L,\] последнее равенство можно переписать как \(U_0 = Z_LI_0\); здесь \(Z_L\) называется импедансом. Итак, если мы работаем с комплексными амплитудами, напряжение и ток катушки удовлетворяют закону Ома точно так же, как в случае резисторов при постоянном токе, — только вместо сопротивления нужно использовать импеданс.

Аналогично для конденсатора имеем \(U = q/C = \int I\cdot dt/C = \int I_0e^{i\omega t}\cdot dt/C = I_0/i\omega C\), т. е. \(U_0 = I_0Z_C\) с \[Z_C = \frac1{i\omega C}.\] Наконец, для резистора у нас по-прежнему закон Ома \(U = IR = I_0e^{i\omega t}R\), следовательно, \(U_0 = Z_RI_0\) с \[Z_R = R.\] Иногда его называют «активным сопротивлением» или «омическим сопротивлением», подчёркивая отличие от «реактивных» и неомических импедансов \(Z_L\) и \(Z_C\).

В качестве вывода:

Единственное отличие — в том, как надо вычислять выделяемую мощность (см. выше).

Заметим, что если мы имеем дело с приборами переменного тока и \(\cos\varphi\) мал, то для заданной требуемой выделяемой мощности ток должен быть больше, чем при бо́льших значениях \(\cos\varphi\). Излишне большой ток означает излишне большие потери в линиях электропередачи. Приборы, основанные на катушках (в частности, содержащие электромагнитные двигатели), имеют по своей природе малый \(\cos\varphi\). Поэтому, если несколько приборов с малым \(\cos\varphi\) одновременно включены в розетку переменного тока, для уменьшения полного тока в линиях было бы хорошей идеей снабдить некоторые приборы конденсаторами, которые делают сдвиг фазы противоположным, не внося дополнительных потерь мощности: когда токи с противоположным (или почти противоположным) сдвигом фазы складываются в линиях, большие и противоположные мнимые части комплексных амплитуд тока взаимно уничтожаются, что приводит к существенному уменьшению полного тока.

Однако эти понятия не очень полезны и служат в основном инструментом, чтобы подчеркнуть важность большого \(\cos\varphi\) — малой реактивной мощности.

зад 86 Рассмотрим паяльник номинальной мощности \(P = 30\) Вт и номинального напряжения \(V = 220\) В (переменное напряжение с частотой \(\nu = 50\) Гц). Какую ёмкость нужно подключить последовательно с паяльником, чтобы снизить мощность до \(P_1 = 20\) Вт?

зад 87 [IPhO-1982] Переменное напряжение частоты 50 Гц подано на люминесцентную лампу, как показано на прилагаемой схеме. Измерены следующие величины: полное напряжение (напряжение сети) \(V = 228{,}5\) В, электрический ток \(I = 0{,}6\) А, напряжение на люминесцентной лампе \(U' = 84\) В, омическое сопротивление катушки \(R_d = 26{,}3\Om\). Саму люминесцентную лампу в расчётах можно считать омическим сопротивлением.

(а) Чему равна индуктивность \(L\) последовательного дросселя?

(б) Чему равен сдвиг фазы \(\varphi\) между напряжением и током?

(в) Чему равна активная мощность \(P_w\), преобразуемая прибором?

(г) Кроме ограничения тока последовательный дроссель выполняет ещё одну важную функцию. Назовите и объясните эту функцию! Подсказка: стартёр (обозначенный кружком с буквой «S») содержит контакт, который замыкается вскоре после включения лампы, затем снова размыкается и остаётся разомкнутым.

(д) На диаграмме с количественной шкалой времени изобразите временну́ю последовательность светового потока, испускаемого лампой.

(е) Почему лампу нужно зажигать только один раз, хотя приложенное переменное напряжение регулярно проходит через ноль?

(ж) Согласно заявлению производителя, для люминесцентной лампы описанного типа последовательно с дросселем можно включить конденсатор ёмкостью около \(C = 4{,}7\) мкФ. Как это влияет на работу лампы и для чего предусмотрена такая возможность?

зад 88 Вокруг тороидального ферромагнитного сердечника очень большой магнитной проницаемости намотана катушка; эта катушка имеет большое число витков, и её полная индуктивность равна \(L\). Конденсатор ёмкости \(C\) подключён к средней точке провода катушки, как показано на рисунке. Переменное напряжение \(V_0\) круговой частоты \(\omega\) подано на входные выводы схемы; каково показание амперметра (который можно считать идеальным)?

Утверждение о суперпозиции математически означает, что если у нас есть \(n\) узлов, характеризуемых потенциалами \(\varphi_j\), \(j = 1,…,n\), и \(m\) собственных частот \(\omega_\mu\), \(\mu = 1,… m\), и в случае \(\mu\)-й собственной частоты напряжения узлов колеблются по закону \[\varphi_j = V_{\mu j}e^{i\omega_\mu t},\] где \(V_{\mu j}\) — комплексная амплитуда потенциала \(j\)-го узла в случае \(\mu\)-й собственной моды, то произвольное движение системы может быть представлено как \[\varphi_j = \sum_{\mu=1}^m A_\mu V_{\mu j}e^{i\omega_\mu t},\] где \(A_\mu\) — постоянная, амплитуда \(\mu\)-го собственного движения. Такое разложение по собственным модам мы снова встретим в разделе «Колебания и волны».

Доказательство этой идеи (вместе с её обобщением на схемы, для которых сопротивления играют важную роль) приведено в приложении 9.

Если схема содержит резисторы, собственные частоты обычно являются комплексными числами; тогда мнимая часть комплексного числа даёт экспоненциальное затухание соответствующей моды: \(I = e^{-\omega_it}\sin(\omega_rt+\varphi)\), где \(\omega_r\) и \(\omega_i\) — вещественная и мнимая части собственной частоты соответственно. Если импеданс схемы не определяется катушками и конденсаторами, существуют частоты, для которых \(\omega_i = 0\). Например, можно сказать, что собственная частота простой \(RC\)-схемы равна \(\omega = i/RC\); действительно, при \(I = I_0e^{i\omega t} = I_0e^{-t/RC}\) мы возвращаемся к факту 12.

Приём, описанный этой идеей, — сокращённый путь, заменяющий стандартный метод нахождения собственных частот. Стандартный метод состоит из двух шагов: (а) выписывание полной системы линейных однородных дифференциальных уравнений с помощью законов Кирхгофа для схемы; (б) выписывание характеристических уравнений, в которых производные неизвестной функции заменены степенями неизвестной переменной (ср. Формульный лист, ч. I-3). Пользуясь идеей 48, мы, по сути, пропускаем первый шаг и получаем характеристическое уравнение сразу, приравнивая импеданс (или обратную к нему величину) к нулю.

В качестве иллюстрации рассмотрим простую схему, в которой резистор сопротивления \(R\), катушка индуктивностью \(L\) и конденсатор ёмкости \(C\) соединены последовательно. Если обозначить заряд конденсатора через \(q\), то ток в схеме выражается как \(I = \frac{dq}{dt}\), так что закон напряжений Кирхгофа даёт нам дифференциальное уравнение \[L\frac{d^2q}{dt^2}+R\frac{dq}{dt}+\frac qC = 0;\] соответствующее характеристическое уравнение — \(L\lambda^2+R\lambda+C^{-1} = 0\). Между тем, если мы «разрежем» один из проводов, импеданс будет \(Z = i\omega L+R+\frac1{i\omega C} = 0\); это уравнение можно переписать как \(Z(\omega)\equiv-\omega^2L+i\omega R+C^{-1} = 0\), что тождественно характеристическому уравнению с \(\lambda = i\omega\). Это уравнение даёт \[\omega = \frac{iR}{2L}\pm\sqrt{(LC)^{-2}-\frac{R^2}{4L^2}}.\] При использовании импедансов мы предполагаем, что временна́я зависимость всех величин пропорциональна \(e^{i\omega t}\). Поэтому импеданс равен нулю и свободные колебания тока возможны при \[I = I_0e^{i\omega t} = I_0e^{-\frac R{2L}t}e^{\pm i\omega_0t},\] где \(\omega_0\equiv\sqrt{(LC)^{-2}-\frac{R^2}{4L^2}}\). Вспомним теперь, что в представлении комплексными числами мы считаем, что вещественное значение тока даётся вещественной частью комплексного числа; при комплексной амплитуде \(I_0 = |I_0|e^{i\varphi}\) это приводит нас к вещественному решению \(I = |I_0|e^{-\frac R{2L}t}\cos(\omega_0t\pm\varphi)\).

Полезно помнить, что идею 48 можно применять не только в случае \(LC\)-схем, но также в случае \(L-R\)-схем и \(R-C\)-схем, и тогда решение уравнения \(Z(\omega) = 0\) будет чисто мнимым, что соответствует экспоненциальному затуханию без колебаний. В таких случаях удобнее подставить \(i\omega = -\gamma\), что соответствует экспоненциальной зависимости токов и напряжений, пропорциональной \(e^{-\gamma t}\). При такой подстановке импеданс ёмкости \(C\) становится равным \(-\frac1{\gamma C}\), а импеданс индуктивности \(L\) — равным \(-\gamma L\); условие резонанса токов остаётся тем же, \(Z(\gamma) = 0\).

Наконец, следует подчеркнуть, что с малой вероятностью для симметричных схем при использовании этого метода одна или несколько собственных частот могут быть потеряны. Поэтому хорошей идеей будет сравнить число полученных частот \(\omega(>0)\) с ожидаемым числом (найденным по идее 47). Потеря одного или нескольких решений таким образом на самом деле не так уж плоха, потому что потеря решения означает получение уравнения меньшей степени для \(x = \omega^2\), которое проще решить. «Потерянные» решения можно восстановить; один вариант — «разрезать» схему в другом месте (или добавить фиктивные узлы в другие места, если используется подход резонанса напряжений).

Однако во многих случаях на самом деле нет нужды делить многочлен в столбик, потому что существует более простой метод. Прежде чем перейти к нему, проанализируем сначала, почему одно или несколько решений были потеряны. Когда используется метод резонанса токов, некоторые собственные частоты будут потеряны, если схема «разрезана» в такой точке \(A\), где одна из собственных мод имеет (в силу симметрии) всегда нулевой ток: для такой моды колебаний выводы схемы \(A_1\) и \(A_2\) будут иметь, помимо нулевого напряжения, ещё и нулевой ток; поэтому импеданс не обязан обращаться в нуль. Аналогично, при использовании метода резонанса напряжений собственная частота теряется, если соответствующая мода всегда имеет нулевое напряжение между фиктивными выводами \(A\) и \(B\).

Имея это в виду, становится очевидным, как наиболее эффективно восстановить потерянные решения. В случае резонанса токов мы используем тот факт, что для потерянных мод (которые мы хотим восстановить) напряжение между фиктивными выводами постоянно равно нулю, а значит, мы можем закоротить эти выводы и тем самым упростить схему. Для этих «потерянных» мод новая схема ничем не отличается от старой, так что среди решений новой схемы обязательно будет «потерянная» частота. Аналогично, если решения были потеряны при использовании условия резонанса напряжений, потерянные решения находятся среди собственных частот разрезанной схемы (выводы \(A_1\) и \(A_2\) остаются неподсоединёнными).

Однако нужно помнить, что такая упрощённая схема может иметь и другие собственные частоты (в дополнение к ранее «потерянным» решениям), возможно, отличные от собственных частот исходной схемы. Итак, метод безопасен, если у упрощённой схемы столько же собственных частот, сколько было «потерянных» решений (иначе нам пришлось бы разбираться, какие из решений упрощённой схемы являются «потерянными» решениями исходной).

Подытожим сказанное выше в виде идеи.

Чтобы показать, как считать число мод и как использовать симметрию задачи, рассмотрим следующую задачу.

зад 89 трудная Найдите собственные частоты схемы, изображённой на рисунке.

Пользуясь фактом 8, легко заключить, что максимальное число линейно независимых контуров равно четырём (красные стрелки на рисунке).

Поскольку схема состоит только из катушек и конденсаторов, можно было бы ожидать, что число собственных частот тоже равно четырём. Однако нужно обратить внимание на то, что можно найти один токовый контур, состоящий только из катушек (синяя стрелка). Поэтому у нас \(4-1 = 3\) ненулевые частоты и одна нулевая частота. Схема обладает зеркальной симметрией, которой мы воспользуемся: возьмём узлы \(A\) и \(D\) (см. рисунок) для резонанса напряжений и потребуем \(Z_{AD} = \infty\). При вычислении \(Z_{AD}\) узлы \(A\) и \(D\) служат выводами; тогда в силу симметрии потенциалы узлов \(B\), \(O\) и \(E\) равны (потому что \(z_{AB}/z_{BD} = z_{AO}/z_{OD} = z_{AE}/z_{ED}\), где \(z_{XY}\) обозначает импеданс элемента, соединённого непосредственно между узлами \(X\) и \(Y\)), а значит, в проводах \(BO\) и \(OE\) нет тока, и их можно убрать, не изменив импеданса \(Z_{AD}\). Тогда \(A\) и \(D\) соединяют три параллельных пути, из которых пути \(ABD\) и \(AED\) можно заменить одной эквивалентной катушкой индуктивностью \(\frac32L\); два конденсатора на пути \(AOD\) можно заменить одним конденсатором ёмкости \(\frac23C\). Итак, мы пришли к схеме с одним конденсатором и одной катушкой, которая явно имеет только одну резонансную частоту \(\omega_1 = 1/\sqrt{LC}\). Далее будем действовать так же, но теперь выберем в качестве выводов для резонанса напряжений узлы \(B\) и \(E\). Совершенно аналогично мы снова приходим к эквивалентной схеме, состоящей из одной катушки индуктивностью \(\frac43L\) и одного конденсатора ёмкости \(C\); соответствующая собственная частота \(\omega_2 = 1/\sqrt{\frac43LC}\).

Мы нашли две частоты, но всего их три. На первом шаге мы упустили те собственные моды, у которых напряжение между \(A\) и \(D\) равно нулю; на втором шаге мы упустили те моды, у которых равно нулю напряжение между \(B\) и \(E\). Значит, теперь мы можем упускать только те моды, для которых оба этих напряжения равны нулю, т. е. мы можем соединить проводом узлы \(B\) и \(E\), а также соединить проводом узлы \(A\) и \(D\); получившаяся схема должна иметь недостающую частоту среди своих собственных частот. Объединив узлы \(B\) с \(E\) и \(D\) с \(A\), мы получаем всего три узла: \(B\) (вместе с \(E\)) соединён с \(O\) через эффективную ёмкость \(4C\); \(A\) (вместе с \(D\)) соединён с \(O\) через эффективную ёмкость \(3C\); \(A\) (вместе с \(D\)) соединён с \(B\) (вместе с \(E\)) через эффективную индуктивность \(\frac13L\). Эта схема имеет только одну степень свободы, а потому её собственная частота — это «потерянная» частота исходной схемы, \(\omega_3 = 1/\sqrt{\frac47LC}\).

Итак, нам повезло в том, что число недостающих собственных частот оказалось равно числу степеней свободы упрощённой схемы. Что следовало бы делать, если бы это было не так? Конечно, мы могли бы выписать импеданс для пары несимметричных выводов; в этом случае мы получили бы кубическое уравнение, для которого мы уже знаем два решения. Однако это был бы долгий путь. Между тем мы знаем, что недостающее решение на самом деле очень симметрично; нельзя ли использовать этот факт? Оказывается, да! Мы можем воспользоваться равенствами напряжений \(V_B = V_E\) и \(V_D = V_E\), чтобы заключить, что в случае недостающей моды колебаний контурные токи 1–4 (как показано на рисунке) удовлетворяют равенствам \(I_2 = I_3 = 2I_1 = 2I_4\). Зная это, мы можем выписать закон напряжений Кирхгофа, например, для первого контура: \((I_1+I_4)/(i\omega C)+(I_1+I_2)/(2i\omega C)+2iI_1\omega L\), откуда легко получаем тот же результат, что и раньше.

зад 90 [IPhO-1983] Рассмотрим электрическую схему на рисунке, для которой \(L_1 = 10\) мГн, \(L_2 = 20\) мГн, \(C_1 = 10\) нФ, \(C_2 = 5\) нФ, \(R = 100\) кОм. При замкнутом ключе \(K\) схема подключена к источнику переменного тока. Ток, даваемый источником, имеет постоянную величину, а частота тока может меняться.

(а) Найдите отношение частот \(\nu_M/\Delta\nu\), где \(\nu_M\) — частота, при которой активная мощность в схеме имеет максимальное значение \(P_m\), а разность частот \(\Delta\nu = \nu_+-\nu_-\), где \(\nu_+\) и \(\nu_-\) — частоты, при которых активная мощность в схеме вдвое меньше максимальной, \(P = \frac12P_m\).

Ключ размыкают в момент \(t_0\), когда через резистор нет тока. Сразу после размыкания ключа силы токов в катушках \(L_1\) и \(L_2\) равны соответственно \(i_{01} = 0{,}1\) А и \(i_{02} = 0{,}2\) А (токи текут так, как показано на рисунке); в тот же момент разность потенциалов на конденсаторе ёмкости \(C_1\) равна \(U_0 = 40\) В.

(б) Вычислите частоту электромагнитных колебаний в контуре \(L_1C_1C_2L_2\);

(в) Определите силу электрического тока в проводнике \(AB\);

(г) Вычислите амплитуду колебаний силы тока в катушке \(L_1\).

Идея 38 полезна и в случае переменного тока; сформулируем это как ещё одну идею, которую можно использовать, чтобы найти качественно или асимптотически¹⁴ зависимость чего-либо от частоты входного сигнала или чтобы упростить анализ по идее 49 в тех случаях, когда схема включает как большие, так и малые индуктивности и/или ёмкости.

Помните также, что при резонансе напряжений параллельное соединение \(L-C\) имеет бесконечный импеданс и может быть отрезано; аналогично при резонансе токов последовательное соединение \(L-C\) имеет нулевой импеданс и может быть закорочено.

зад 91 В чёрном ящике с двумя выводами находятся три соединённых последовательно элемента: конденсатор, катушка индуктивности и резистор. Придумайте метод определения значений всех трёх элементов, если у вас есть генератор синусоидального напряжения с регулируемой выходной частотой \(\nu\), вольтметр переменного тока и амперметр переменного тока.

зад 92 [IPhO-1987] Когда синусоидальные волны распространяются в бесконечной \(LC\)-цепочке (см. рисунок ниже), фазы переменного напряжения на двух соседних конденсаторах отличаются на \(\varphi\).

(а) Определите, как \(\varphi\) зависит от \(\omega\), \(L\) и \(C\) (\(\omega\) — круговая частота синусоидальной волны).

(б) Определите скорость распространения волн, если длина каждого звена равна \(l\).

(в) Укажите, при каких условиях скорость распространения волн почти не зависит от \(\omega\). Определите скорость в этом случае.

(г) Предложите простую механическую модель, аналогичную приведённой схеме, и выведите уравнения, обосновывающие вашу модель.

Вообще, при работе с двумерными задачами анализ с комплексными числами — более мощный инструмент, чем векторный анализ, потому что всё, что можно сделать с векторами, можно сделать и с комплексными числами: сложение и вычитание, умножение на постоянную и даже скалярное и векторное произведения (хотя это немного хитрее, см. ниже), но с комплексными числами можно делать гораздо больше (сложение, деление, возведение в степень, взятие экспоненты и т. д.). Подсказку о способе получения скалярного и векторного произведений можно найти в идее 45: если взять два комплексных числа \(z_1\) и \(z_2\) и рассмотреть произведение \(z_1\overline{z_2}\), то \(\re z_1\overline{z_2}\) равно скалярному произведению соответствующих векторов \(\vec z_1\) и \(\vec z_2\), а \(\im z_1\overline{z_2}\) равно \(z\)-компоненте векторного произведения \(\vec z_2\times\vec z_1\) (в предположении, что вещественная ось соответствует оси \(x\), а мнимая — оси \(y\)). Однако, несмотря на всё сказанное, бывают случаи, когда удобнее работать с векторными диаграммами напряжений и токов, а не с комплексными амплитудами.

зад 93 Схема состоит из конденсатора, катушки индуктивности и двух резисторов, см. рисунок. Напряжение на обоих резисторах равно 10 В, и напряжение между выводами \(A\) и \(B\) тоже равно 10 В. Найдите приложенное напряжение \(U_0\).

Задачи на идеи 44–52

зад 94 Рассмотрим так называемый мост Максвелла, показанный на рисунке ниже, который используется для измерения индуктивности \(L\) и омического сопротивления \(R\) катушки. Для этого остальные параметры подбираются так, чтобы показание вольтметра было нулевым. Считая, что такое состояние достигнуто, выразите \(L\) и \(R\) через \(R_1\), \(R_2\), \(R_C\) и \(C\).

зад 95 простая Ниже приведена схема, позволяющая регулировать фазу сигнала напряжения. Покажите, что если выходной ток пренебрежимо мал, то амплитуда выходного напряжения будет такой же, как на входных выводах, но с другой фазой. Найдите сдвиг фазы.

зад 96 Удалённый летний дом получает электричество от электростанции по довольно длинному кабелю. Чтобы проверить состояние кабелей, счётчик электроэнергии может также измерять напряжение, подаваемое в дом. Люди уехали из летнего дома и выключили все остальные электроприборы, но забыли трансформатор под напряжением (трансформатор использовался для питания низковольтных ламп). Трансформатор можно считать последовательным соединением индуктивности \(L\) и омического сопротивления \(r\). Показания счётчика в доме: когда трансформатор был включён, напряжение \(U_1 = 234{,}0\) В и потребляемая мощность \(P_1 = 5\) Вт; когда всё было выключено, напряжение \(U_0 = 236{,}0\) В; когда трансформатор выключен, но включена электрическая печь: электрическая мощность \(P_2 = 1200\) Вт и напряжение \(U_2 = 219{,}6\) В (печь — чисто омическое сопротивление \(R\)). Можно считать, что напряжение на электростанции (к которой подключены кабели) всегда постоянно. Определите мощность электрической энергии, которая рассеивалась в силовых кабелях (соединяющих дом с электростанцией).

зад 97 Схема состоит из двух одинаковых катушек индуктивности, двух одинаковых резисторов и двух одинаковых конденсаторов, см. рисунок. Приложенное напряжение \(U_0 = 10\) В; напряжение на нижней катушке равно 10 В, и напряжение между выводами \(D\) и \(E\) тоже равно 10 В. Определите напряжение между выводами \(B\) и \(D\).

зад 98 трудная Схема состоит из двух одинаковых катушек индуктивности, двух одинаковых конденсаторов и одного резистора, см. рисунок. Приложенное напряжение \(U_0 = 10\) В, а полный ток на входных выводах \(I_0 = 1\) А; напряжение, измеренное на левом конденсаторе, равно 10 В, и 10 В измеряется также на левой катушке. Чему равна активная мощность, выделяющаяся в этой схеме, и чему равно сопротивление резистора?

зад 99 Найдите собственные частоты приведённой ниже схемы.

зад 100 трудная Рёбра додекаэдра сделаны из провода пренебрежимо малого электрического сопротивления; каждый провод содержит конденсатор ёмкости \(C\), см. рисунок. Отметим вершину \(A\) и трёх её соседей \(B\), \(D\) и \(E\). Участки провода \(AB\) и \(AD\) удалены. Чему равна ёмкость между вершинами \(B\) и \(E\)?

зад 101 трудная Определите все собственные частоты схемы, показанной на рисунке. Можно считать, что все конденсаторы и катушки идеальны и что выполняются следующие сильные неравенства: \(C_1\ll C_2\) и \(L_1\ll L_2\). Заметим, что ваши ответы нужно упростить в соответствии с этими сильными неравенствами.

зад 102 [По мотивам IPhO-1984] Электронный частотный фильтр состоит из четырёх элементов, как показано на рисунке: два конденсатора ёмкости \(C\), катушка \(L\) и резистор \(R\). Входное напряжение \(V_{\text{вх}}\) подаётся на входные выводы, а выходное напряжение \(V_{\text{вых}}\) измеряется идеальным вольтметром на выходных выводах, см. рисунок. Частоту \(\nu\) входного напряжения можно свободно регулировать. Найдите отношение \(V_{\text{вых}}/V_{\text{вх}}\) и сдвиг фазы между входным и выходным напряжениями для следующих случаев: (а) на пределе очень высоких частот; (б) на пределе очень низких частот; (в) в случае такой частоты \(\nu_0\), при которой на резисторе нет напряжения; (г) в случае такой частоты \(\nu_1\), при которой мощность, выделяющаяся в схеме, максимальна (считая, что амплитуда входного напряжения поддерживается постоянной). Найдите также частоты \(\nu_0\) и \(\nu_1\).

зад 103 [IPhO-2014] Изначально: ключ \(S\) в приведённой ниже схеме разомкнут; конденсатор ёмкости \(2C\) несёт электрический заряд \(q_0\); конденсатор ёмкости \(C\) не заряжен; токов ни в катушке индуктивностью \(L\), ни в катушке индуктивностью \(2L\) нет. Конденсатор начинает разряжаться, и в момент, когда ток в катушках достигает максимального значения, ключ \(S\) мгновенно замыкают. Найдите максимальный ток \(I_{\max}\) через ключ \(S\) после этого.

зад 104 [Est-Fin-2016] Диммер для управления яркостью освещения состоит из реостата, конденсатора, динистора и симистора, соединённых так, как показано на схеме.

(а) Считайте, что сопротивление \(R_t\) достаточно велико, чтобы зарядом, проходящим через динистор, можно было пренебречь. Пусть синусоидальное напряжение питания имеет максимальное значение \(U\) и частоту \(f\); реостат установлен на сопротивление \(R\), а ёмкость конденсатора равна \(C\). Найдите максимальное значение напряжения \(U_C\) на конденсаторе и его сдвиг фазы \(\varphi\) относительно напряжения питания.

(б) Какому неравенству должны удовлетворять характеристические напряжения динистора \(U_b\) и \(U_d\), пороговый ток симистора \(I_t\) и сопротивление управляющего электрода \(R_t\), чтобы, когда динистор начинает проводить (при возрастающем напряжении на конденсаторе), симистор тоже немедленно начинал проводить? Можно считать, что \(I_b<I_t\) и что напряжение динистора при токе \(I_t\) равно \(U_d\).

(в) Напряжение \(U_l\) на лампе следует приведённому выше графику. Предположим, что предположение части (а) и неравенство части (б) выполнены. Найдите время \(t_0\), в течение которого напряжение на лампе равно нулю.

(г) Выразите через \(t_0\) и \(f\), во сколько раз средняя мощность лампы меньше, чем у лампы без диммера, считая, что сопротивление лампы не изменилось.

зад 105 трудная В приведённой ниже схеме \(R = \sqrt{L/C}\). На входные выводы подаётся прямоугольное напряжение периода \(\tau\) и амплитуды \(V_0\) (это значит, что в течение половины периода входное напряжение равно \(V_0\), а в течение другой половины периода напряжение равно \(-V_0\)). Найдите форму и амплитуду тока, текущего через входные выводы.

зад 106 Найдите собственные частоты приведённой ниже схемы.

зад 107 Для приведённой ниже схемы частота синусоидального входного напряжения неизвестна; по данным ёмкости \(C\), индуктивностям \(L_1\), \(L_2\), сопротивлениям \(R_1\), \(R_2\), амплитуде входного напряжения \(V_0\) и сдвигу фазы \(\varphi\) между токами через узлы \(A\) и \(B\) определите: (а) амплитуду напряжения \(V_{AD}\) между узлами \(A\) и \(D\); (б) сдвиг фазы между напряжениями \(V_{AD}\) и \(V_{DB}\).

зад 108 Для приведённой ниже схемы частота синусоидального входного напряжения неизвестна; по данным ёмкости \(C\), индуктивности \(L\), сопротивлениям \(R_1\), \(R_2\), амплитуде входного напряжения \(V_0\) и сдвигу фазы \(\varphi\) между током катушки и входным напряжением найдите сдвиг фазы между напряжением конденсатора и выходным напряжением.

зад 109 трудная В схеме, показанной на рисунке, синусоидальное входное напряжение имеет фиксированную амплитуду \(V_0\) и частоту \(f\). Какова максимальная амплитуда выходного напряжения и при каких значениях переменных сопротивлений \(R_1\), \(R_2\) и \(R_3\) эта максимальная амплитуда достигается?

зад 110 Найдите такие частоты входного напряжения \(\omega\), при которых приведённая ниже схема имеет нулевой импеданс.

зад 111 трудная Найдите такие частоты входного напряжения \(\omega\), при которых приведённая ниже схема имеет нулевой импеданс.

Приложение 5: формула Эйлера

Стандартный способ обобщить функцию \(F(x)\) с вещественного аргумента \(x\) на комплексный аргумент \(z\) — воспользоваться разложением Тейлора: \[F(x) = F(x_0)+\sum F^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n/n!:\] в таком степенном ряде мы можем просто подставить вместо \(x\) величину \(z\). Здесь \(F^{(n)}(x_0)\) обозначает \(n\)-ю производную \(F(x)\), вычисленную при \(x = x_0\). Структуру этого степенного ряда понять довольно просто: если оборвать его, оставив только первые \(N\) членов, он приближает функцию \(F(x)\) таким многочленом \(N\)-го порядка, у которого первые \(N\) производных при \(x = x_0\) равны производным функции \(F(x)\). Более того, отброшенные члены с \(n>N\) малы, если \(|x-x_0|\) не очень велико, потому что знаменатель быстро растёт с \(n\). Оставляя всё больше и больше членов, приближение становится всё точнее, так что в пределе \(N\to\infty\) ряд становится равен функции.

При \(x_0 = 0\) ряды Тейлора для экспоненты, синуса и косинуса записываются как \[e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!},\quad \sin(x) = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^kx^{2k+1}}{(2k+1)!},\quad \cos(x) = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^kx^{2k}}{(2k)!}.\] Теперь, если в выражении для \(e^x\) подставить вместо аргумента \(x\) величину \(ix\), получим \[e^{ix} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(ix)^n}{n!} = \sum_{k=0}^{\infty}\Bigl[\frac{(ix)^{2k}}{(2k)!} +\frac{(ix)^{2k+1}}{(2k+1)!}\Bigr] =\] \[= \sum_{k=0}^{\infty}\Bigl[\frac{i^{2k}x^{2k}}{(2k)!} +\frac{i\cdot i^{2k}\cdot x^{2k+1}}{(2k+1)!}\Bigr].\] Заметим, что \(i^{2k} = (i^2)^k = (-1)^k\); если сравнить теперь разложение в ряд для \(e^{ix}\) с рядами для \(\sin x\) и \(\cos x\), мы видим, что \[e^{ix} = \cos x+i\sin x.\]

Приложение 6: экспонента суммы двух комплексных чисел

Для вещественных аргументов свойство \(e^{a+b} = e^a\cdot e^b\) — лёгкое обобщение того же правила для целых аргументов. Это очень полезное свойство и, собственно, единственная причина, по которой с экспонентой работать проще, чем с синусом или косинусом, но неочевидно, почему оно должно выполняться для комплексных аргументов. Поскольку мы обобщили \(e^x\) на комплексные аргументы через разложение Тейлора, этот ряд — единственное, чем мы можем воспользоваться для доказательства справедливости этого свойства. Итак, начнём с \[e^{a+b} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a+b)^n}{n!},\] где \(a\) и \(b\) — комплексные числа. Здесь нам нужна биномиальная теорема (см. приложение 7), \[(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom nk a^kb^{n-k} = \sum_{k=0}^{n}\frac{n!}{k!(n-k)!}a^kb^{n-k},\] что приводит нас к \[e^{a+b} = \sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{n}\frac{n!}{k!(n-k)!} \frac{a^kb^{n-k}}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{n}\frac{a^k}{k!}\frac{b^{n-k}}{(n-k)!}.\] Теперь подставим \(m = n-k\); в этой двойной сумме, когда \(n\) пробегает от 0 до \(\infty\), а \(k\) — от 0 до \(n\), пара чисел \(k\), \(m\) принимает все возможные целочисленные комбинации, причём и \(m\), и \(k\) меняются от 0 до \(\infty\): \[\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{n}\frac{a^k}{k!}\frac{b^{n-k}}{(n-k)!} = \sum_{k=0}^{\infty}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{a^k}{k!}\frac{b^m}{m!}.\] Эту двойную сумму можно разложить на множители, потому что один множитель не зависит от \(m\), а другой — от \(k\), а постоянные члены (не зависящие от индекса суммирования) можно вынести за знак суммы (за скобки): \[\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{a^k}{k!}\frac{b^m}{m!} = \sum_{k=0}^{\infty}\Bigl[\frac{a^k}{k!} \Bigl(\sum_{m=0}^{\infty}\frac{b^m}{m!}\Bigr)\Bigr] = \Bigl(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{a^k}{k!}\Bigr) \Bigl(\sum_{m=0}^{\infty}\frac{b^m}{m!}\Bigr) = e^a\cdot e^b.\]

Приложение 7: формула бинома Ньютона

Если раскрыть \(n\) скобок в выражении \((a+b)^n\), у нас получится сумма слагаемых, каждое из которых — произведение \(n\) сомножителей, каждый из которых равен либо \(a\), либо \(b\). В этой сумме \(a^kb^{n-k}\) возникнет столько раз, сколько есть разных возможностей выбрать ровно \(k\) скобок из общего числа \(n\) скобок: из выбранных скобок мы берём \(a\) как сомножитель, входящий в слагаемое разложенной суммы, а из невыбранных берём \(b\). Это так называемое число сочетаний из \(n\) элементов по \(k\) обозначается через \(\binom nk\).

Чтобы найти число возможностей выбрать \(k\) объектов из \(n\) объектов, пронумеруем все объекты числами от 1 до \(n\). Число перестановок (разных способов упорядочить эти пронумерованные объекты) равно \(n!\) (есть \(n\) разных способов выбрать первый объект, \(n-1\) — второй и т. д.). В случае каждого упорядочения объектов мы выбираем первые \(k\). Если перебрать все разные упорядочения, мы определённо получим все разные способы выбрать \(k\) объектов, но каждый выбор будет получен много раз: столько раз, сколькими способами можно переупорядочить объекты внутри данного выбора. Выбранные объекты можно переупорядочить \(k!\) разными способами, а невыбранные — \((n-k)!\) способами. Чтобы получить число разных способов выбрать \(k\) объектов, мы делим общее число перестановок на число разных способов переупорядочения, что даёт \(\binom nk = \frac{n!}{k!(n-k)!}\).

Приложение 8: основные свойства комплексных чисел

Комплексные числа можно представлять себе как двумерные векторы: вещественная часть комплексного числа \(z = x+iy\) задаёт \(x\)-координату вектора, а мнимая часть — \(y\)-координату. Комплексные числа отличаются от векторов тем, что два комплексных числа можно перемножить так, что результат снова будет комплексным числом (у векторов есть векторное произведение, но если у нас два двумерных вектора, лежащих в плоскости \(x-y\), то результирующий вектор уже не будет лежать в этой плоскости). Благодаря этому можно также делить два комплексных числа с однозначно определённым результатом — лишь бы делитель не был нулём (нельзя поделить два непараллельных вектора!).

Модуль комплексного числа определяется как длина соответствующего вектора, \(|z| = \sqrt{x^2+y^2}\). Имея в виду геометрическое (векторное) представление и пользуясь формулой Эйлера, мы можем записать \[z = |z|(\cos\alpha+i\sin\alpha) = |z|e^{i\alpha},\] где \(\alpha\) — угол между вектором и осью \(x\); это называется показательной формой комплексного числа, а \(\alpha\) называется аргументом (\(\arg\)) комплексного числа. Очевидно, \(\alpha = \arctg y/x = \arctg\im z/\re z\).

Теперь, если рассмотреть произведение двух комплексных чисел, \[z_1\cdot z_2 = |z_1|e^{i\alpha_1}|z_2|e^{i\alpha_2} = |z_1||z_2|e^{i(\alpha_1+\alpha_2)}.\] Здесь правая часть равенства — показательное представление комплексного числа \(z_1z_2\), а это значит, что \[|z_1z_2| = |z_1||z_2|,\quad\text{и}\quad \arg z_1z_2 = \arg z_1+\arg z_2.\] Аналогично, конечно, \(|z_1/z_2| = |z_1|/|z_2|\) и \(\arg z_1/z_2 = \arg z_1-\arg z_2\).

Вот список простых, но иногда полезных формул: \[\re z = \tfrac12(z+\overline z),\] где \(\overline z = x-iy\) называется комплексно сопряжённым к \(z\); \[|z|^2 = z\overline z.\] Заметим, что \(\overline z\) — вектор, симметричный \(z\) относительно оси \(x\), и потому \[\overline{e^{i\alpha}} = e^{-i\alpha};\] в частности, применяя эти две формулы к \(z = e^{i\alpha}\), получаем \[\cos\alpha = \frac{e^{i\alpha}+e^{-i\alpha}}{2},\quad \sin\alpha = \frac{e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}}{2i}.\] Если нужно избавиться от комплексного числа в знаменателе дроби, можно воспользоваться равенством \[\frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1\overline{z_2}}{|z_2|^2}.\]

Приложение 9: определение числа собственных мод электрических схем

Если нам нужно найти собственные частоты некоторой схемы, это можно сделать методом контурных токов: нужно выбрать полный набор линейно независимых токовых контуров (ср. идею 13), рассмотреть соответствующие контурные токи (которые теперь являются переменными токами, задаваемыми комплексными амплитудами) и выписать для каждого токового контура закон напряжений Кирхгофа. Это даст нам систему из \(N\) линейных уравнений для нахождения \(N\) неизвестных токов, где \(N\) обозначает полное число токовых контуров. Для собственных мод колебаний в схеме нет источников переменного тока, так что эта система линейных уравнений однородна и имеет ненулевые решения (которыми и являются собственные моды колебаний), только если её определитель равен нулю. Приравнивание определителя системы к нулю даёт нам алгебраическое уравнение для нахождения частот колебаний \(\omega\). Степень уравнения находится как сумма степеней отдельных уравнений. Отдельное уравнение, описывающее некоторый токовый контур, имеет степень 2, если он содержит хотя бы один конденсатор и одну катушку; степень 1, если он содержит хотя бы один резистор вместе хотя бы с одним конденсатором или хотя бы с одной катушкой; наконец, степень 0, если все его элементы одного типа (резисторы, катушки или конденсаторы). Если обозначить число контуров таких типов через \(N_{LC}\), \(N_{\ne}\) и \(N_=\) соответственно, то степень уравнения выражается как \[N_d = 2N_{LC}+N_{\ne}.\]

Согласно основной теореме алгебры число комплексных корней такого уравнения тоже равно \(N_d\). Однако не все корни будут обязательно соответствовать разным модам колебаний. Действительно, если есть пара решений вида \(\omega = \pm\omega_0-\gamma\), соответствующие колебания тока можно объединить в одну моду \[I_1e^{i\omega_0t-\gamma t}+I_2e^{-i\omega_0t-\gamma t} = I_0e^{-\gamma t}\cos(\omega_0t+\varphi),\] где \(\varphi\) — фаза колебаний. Наоборот, если есть колебательная (возможно, затухающая во времени) мода \(I_0e^{-\gamma t}\cos(\omega_0t+\varphi)\), то должны быть два соответствующих решения алгебраического уравнения для \(\omega\) (с равными мнимыми частями и противоположными вещественными частями). Подытоживая: если обозначить через \(N_o\) число колебательных мод, а через \(N_e\) — число тех мод, которые затухают без колебаний, то справедливо равенство \[2N_o+N_e = 2N_{LC}+N_{\ne}.\] Наконец, число мод нулевой частоты равно числу таких линейно независимых контуров, которые содержат только катушки, потому что в этом случае при \(\omega = 0\) соответствующий контурный ток исключается из всех уравнений, так что он может принимать произвольное значение.