зад 23 Твёрдый ком сжат между двумя пластинами, одна из которых движется со скоростью \(v_1\), а другая — со скоростью \(v_2\). В данный момент скорости горизонтальны, а точки контакта кома и пластин лежат на одной вертикали. Отметьте на рисунке все точки кома, у которых модуль скорости равен \(v_1\) или \(v_2\).

Этот вопрос целиком основан на следующей идее.

▶Посмотреть решение задачи 23Скрыть решение

Решение

\

По идее 33 мы знаем, что у тела существует мгновенная ось вращения \(O\). Пусть \(l_1\) и \(l_2\) — расстояния от \(O\) до верхней и нижней пластин соответственно. На самом деле имеем \[\frac{l_1}{l_2} = \frac{|v_1|}{|v_2|}.\] По свойствам мгновенной оси вращения мы знаем, что все точки со скоростью \(|v_1|\) лежат на окружности с центром \(O\) и радиусом \(l_1\), а все точки со скоростью \(|v_2|\) — на окружности с центром \(O\) и радиусом \(l_2\).

Этот центр вращения можно восстановить, если

(а) мы знаем направления скоростей двух точек и эти направления не параллельны — это точка пересечения перпендикуляров, проведённых из этих точек;

(б) мы знаем скорости двух точек, причём векторы параллельны друг другу и перпендикулярны прямой, соединяющей эти точки, — находим пересечение прямой, соединяющей точки, и прямой, соединяющей концы векторов скоростей (см. рисунок).

Заметим, что возможно также, что скорости двух точек равны (по модулю и по направлению), и тогда центр вращения находится на бесконечности, т. е. тело движется поступательно. Все остальные комбинации, не покрытые вариантами (а) и (б), для твёрдого тела невозможны.

Как только центр вращения найден, скорость любой точки можно найти как вектор, перпендикулярный прямой, проведённой из центра вращения, с модулем, пропорциональным расстоянию \(r\) от центра вращения (см. рисунок), по формуле \(v = \omega r\), где \(\omega\) — мгновенная угловая скорость.

Последнюю формулу можно обобщить.

Эта формула выводится аналогично факту 11: нужно применить определение 1 и рассмотреть малое приращение времени \(\Delta t\). По определению производной вектора, \(\frac{d\vec a}{dt}\) равна \(\frac{\Delta\vec a}{\Delta t}\) в пределе бесконечно малых приращений \(\Delta\vec a\) и \(\Delta t\). Приращение \(\Delta\vec a\) вычисляется по определению 1: это основание равнобедренного треугольника, боковые стороны которого образованы начальным и конечным положениями вектора \(\vec a\). Поскольку вектор вращается с угловой скоростью \(\omega\), угол при вершине (в радианах) равен \(\omega\Delta t\); поэтому длина основания равна \(2a\tan(\omega\Delta t/2)\approx a\omega\Delta t\)¹. Таким образом, \(\bigl|\frac{\Delta\vec a}{\Delta t}\bigr| = \frac{a\omega\Delta t}{\Delta t} = a\omega\)². Заметим, что формулу можно переписать через векторное произведение как \(\frac{d\vec a}{dt} = \vec\omega\times\vec a\).

В этой брошюре векторные произведения не понадобятся; тем не менее полезно знать, что векторное произведение двух векторов \(\vec a\) и \(\vec b\) равно по модулю площади \(S = ab\sin\alpha\) параллелограмма, построенного на векторах \(\vec a\) и \(\vec b\) (\(\alpha\) — угол между \(\vec a\) и \(\vec b\)); вектор перпендикулярен и \(\vec a\), и \(\vec b\), а направление задаётся правилом буравчика (буравчик вращают от первого вектора ко второму).

Теперь мы можем применить факт 12 к вращающемуся вектору скорости: пусть точка вращается с постоянной угловой скоростью \(\omega\) вокруг начала координат так, что её расстояние до начала координат остаётся постоянным. По формуле получаем \(v = \bigl|\frac{d\vec r}{dt}\bigr| = \omega r\) и \(a = \bigl|\frac{d\vec v}{dt}\bigr| = \omega v = \omega^2r\). Последнее уравнение можно записать и для вектора ускорения как \(\vec a = -\omega^2\vec r\); знак минус означает, что ускорение направлено к началу координат; из-за этого его называют центростремительным ускорением. Если угловая скорость непостоянна, у точки появится также тангенциальное ускорение (касательное к траектории).

Угловое ускорение определяется как производная угловой скорости по времени, \(\vec\varepsilon = \frac{d\vec\omega}{dt}\).

Рассмотрим случай, когда ось вращения остаётся неподвижной; тогда и \(\vec\varepsilon\), и \(\vec\omega\) имеют фиксированное направление и, по существу, являются скалярными величинами, так что векторные обозначения можно опустить. Чтобы вывести выражение для тангенциального ускорения, рассмотрим малое приращение времени \(\Delta t\); ему соответствует малое приращение угловой скорости \(\Delta\omega\), а также малое приращение скорости \(\Delta\vec v\). Разложим приращение скорости на радиальную и тангенциальную составляющие, \(\Delta\vec v = \Delta\vec v_r+\Delta\vec v_t\). Теперь вектор скорости меняет и направление, и длину, см. рисунок ниже.

Заметим, что на рисунке приращения преувеличены, на самом деле они очень малы. Из рисунка легко видеть, что в приближении малых углов \(\Delta v_r = \omega\Delta t\cdot v\); тем самым мы восстанавливаем выражение для радиального (центростремительного) ускорения \(a_r = \omega v\) — нужно лишь поделить равенство на \(\Delta t\). Между тем в приближении малых углов \(|\Delta\vec v_t|\approx|\vec v\,'|-|\vec v| = \omega'r-\omega r = \Delta\omega\,r = \varepsilon\Delta t\,r\). Значит, в пределе бесконечно малых приращений \(a_t = \frac{|\Delta v_t|}{\Delta t} = \varepsilon r\). Это приводит нас к следующему факту.

зад 24 Циклоида — кривая, которую можно определить как траекторию точки, отмеченной на ободе катящегося колеса радиуса \(R\). Определите радиус кривизны такой кривой в её самой высокой точке.

▶Посмотреть решение задачи 24Скрыть решение

Решение

\

Поскольку колесо катится, имеем \(\omega = \frac vR\). Скорость самой верхней точки в лабораторной системе равна \(v+\omega R = 2v\). Поэтому центростремительное ускорение в самой верхней точке равно \[a_c = \frac{(2v)^2}r.\] Скорость самой верхней точки в системе центра колеса равна \(\omega R = v\). Поэтому центростремительное ускорение в системе центра колеса равно \[a_c = \omega^2R = \frac{v^2}R.\] Поскольку обе системы инерциальны, \[\frac{v^2}R = \frac{4v^2}r\ \Longrightarrow\ \boxed{r = 4R}.\]

Следующая задача проиллюстрирует эту идею. Однако полезна будет и следующая идея.

зад 25 Шарнирная конструкция состоит из двух звеньев длины \(2l\). Один её конец прикреплён к стене, другой движется на расстоянии \(3l\) от стены с постоянной вертикальной скоростью \(v_0\). Найдите ускорение шарнира, соединяющего звенья, когда (а) звено, ближайшее к стене, горизонтально; (б) скорость точки соединения равна нулю.

Теперь продолжим задачами о катящихся катушках.

▶Посмотреть решение задачи 25Скрыть решение

Решение

(а)

Сначала можно найти, что горизонтальная проекция ускорения равна \(\frac{v_0^2}{2l}\).

Затем, поскольку скорости шарнира и конца равны, центростремительного ускорения быть не может, а значит, направление полного ускорения должно быть перпендикулярно правому стержню. Отсюда \[\frac{v_0^2}{2l} = a\cos30^\circ\ \Longrightarrow\ \boxed{a = \frac{v_0^2}{\sqrt3l}}.\]

(б) Если взять систему отсчёта, движущуюся вверх со скоростью \(v_0\), постановка по существу та же, и потому \[\boxed{a = \frac{v_0^2}{\sqrt3l}}.\]

зад 26 Вокруг цилиндра намотана нить, другой конец которой закреплён на стене. Цилиндр лежит на горизонтальной поверхности, которую тянут с горизонтальной скоростью \(v\) (перпендикулярно оси цилиндра). Найдите скорость оси цилиндра как функцию \(\alpha\) — угла, который нить составляет с вертикалью. Цилиндр катится по поверхности без проскальзывания.

Эту задачу можно решить с помощью идеи 33. Однако её можно решить и с помощью следующей идеи (рекомендуем попробовать оба метода).

▶Посмотреть решение задачи 26Скрыть решение

Решение

\

Из связей, наложенных нитью, можно определить, что \[\omega R = v_{\text{цм}}\sin\alpha.\] Из условия отсутствия проскальзывания имеем \[v_{\text{цм}} = v_0-\omega R\ \Rightarrow\ \boxed{v_{\text{цм}} = \frac{v_0}{1+\sin\alpha}}.\]

Решение 2. Перейдём в систему, движущуюся влево со скоростью \(v\): \[\sin\alpha = \frac{v_0\,dt}{(v-v_0)\,dt} = \frac{v_0}{v-v_0},\qquad v_0 = \frac{v\sin\alpha}{1+\sin\alpha}.\] Возвращаясь в систему отсчёта стены, получаем \[\boxed{v_0 = v-\frac{v\sin\alpha}{1+\sin\alpha} = \frac v{1+\sin\alpha}}.\]

Выписывая такие уравнения, полезно заметить, что пока размотанная верёвка не вращается, скорость разматывания равна \(\Omega R\), где \(\Omega\) — угловая скорость катушки, а \(R\) — её радиус; если размотанная верёвка вращается, то по идее 17 можно заключить, что теперь вместо угловой скорости катушки \(\Omega\) нужно подставлять разность двух угловых скоростей.

Чтобы связать скорость разматывания верёвки с движением катушки, полезна следующая очень общая идея (с широкой областью применения).

При этом не следует забывать, что изменение было бесконечно малым, так что вычисления можно упростить (например, два последовательных положения верёвки можно считать параллельными). Заметим, что мы уже фактически использовали этот метод при выводе факта 13.

зад 27 Один конец стержня длины \(l\) опирается на пол, а другой прислонён к вертикальной стене. Чему равны скорость \(u\) и ускорение \(a\) нижнего конца в тот момент, когда верхний конец скользит вниз с постоянной скоростью \(v\), а угол между полом и стержнем равен \(\alpha\)?

Здесь скорость можно найти по идее 33, а ускорение — по идее 34; однако решите её, пожалуйста, с помощью следующей идеи (её полное решение приведено в разделе подсказок).

▶Посмотреть решение задачи 27Скрыть решение

Решение

\

Поскольку длина стержня постоянна, можно рассмотреть уравнение \[x^2+y^2 = L^2.\] Дифференцируя по времени, получаем \[2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt} = 0,\qquad xu+yv = 0,\qquad \boxed{u = -v\frac yx = -v\tg\alpha}.\] Теперь найдём ускорение: \[a = \frac{du}{dt} = \frac{d(-v\tg\alpha)}{dt}.\] Поскольку \(v\) постоянна, имеем \[a = v\frac{d\tg\alpha}{dt} = v\sec^2\alpha\frac{d\alpha}{dt}.\] Угловая скорость \(\frac{d\alpha}{dt}\) попросту равна \[\frac{d\alpha}{dt} = \frac{v\cos\alpha+u\tg\alpha\sin\alpha}L = \frac v{L\cos\alpha}.\] Это означает, что \[\boxed{a = \frac{v^2}{L\cos^3\alpha}}.\] \section[5. Разное]{5. Решения разных задач}

Эта глава содержит задачи 28–34 пособия. Эти задачи слишком своеобразны или различны, чтобы поместить их в одну категорию. Поэтому все они получили собственную категорию — «разное». Задачи эти в целом весьма интересны, но будьте начеку: для некоторых из них вам, возможно, придётся достать циркуль и линейку!