В предположениях задачи 19 и зная, что граница области \(R\) — парабола, покажите, что пушка находится в фокусе этой параболы.
▶РешениеСкрыть
Заметим, что для параболы с уравнением \(x^2 = 4p(z-k)\) фокус находится в точке \((0,\,k+p)\).
В задаче 19 у нас уравнение \[z\le\frac{v_0^2}{2g}-\frac{gx^2}{2v_0^2},\] и некоторыми преобразованиями получаем \[x^2 = \frac{v_0^4}{g^2}-\frac{2v_0^2}gz.\] Разложив уравнение на множители, получаем \[x^2 = -\frac{2v_0^2}g\Bigl(z-\frac{v_0^2}{2g}\Bigr) = 4\Bigl(-\frac{v_0^2}{2g}\Bigr)\Bigl(z-\frac{v_0^2}{2g}\Bigr).\] Следовательно, фокус параболы находится в точке \(\bigl(0,\ \frac{v_0^2}{2g}-\frac{v_0^2}{2g}\bigr) = (0,0)\).
В задаче 19 мы считали, что пушка находится в точке \((0,0)\), — на этом доказательство завершено.