Те, кто знаком с основными законами механики, могут пропустить этот раздел (впрочем, вы всё же можете его прочитать: возможно, вы почерпнёте что-то новое) и перейти к разделу 3. По сути, ожидается, что большинство читателей так и поступит, потому что почти все курсы физики начинаются с механики, и вряд ли кто-нибудь возьмётся за такую брошюру, нацеленную на развитие продвинутых навыков решения задач, вовсе не имея предварительного опыта в физике. Тем не менее была сделана попытка сохранить эту серию учебных пособий самодостаточной; этим и объясняется включение настоящей главы. Всё же изложение в этом разделе сильно сжато и местами использует такой математический формализм, который может показаться пугающим для новичков (например, употребление знака суммы \(\sum\) и дифференциалов), поэтому чтение это нелёгкое. Если этот раздел покажется вам слишком трудным, чтобы начинать с него, возьмите школьный учебник механики, а сюда вернитесь к разделу «Статика».

2.1. Постулаты классической механики

Классическая механика — предмет этой брошюры — наука, целиком основанная на трёх законах Ньютона¹, сформулированных здесь как «факты».

Заметим, что, как только мы устанавливаем эталон массы², например определяем 1 кг как массу одного кубического дециметра воды³, факт 2 служит нам также определением массы тела и величины силы. Действительно, если у нас есть некоторая фиксированная эталонная сила, которая (а) гарантированно всегда имеет одну и ту же величину и (б) может быть приложена к произвольному телу (например, пружина, деформированная на заданную величину), то мы можем определить массу любого другого тела в килограммах численно равной отношению его ускорения к ускорению эталона, когда оба тела подвергаются действию эталонной силы. 2-й закон Ньютона справедлив, если это самосогласованное определение, т. е. если полученная масса не зависит от того, какая эталонная сила была использована. Аналогично, величину любой силы в ньютонах (обозначается \(\mathrm{N}\equiv\mathrm{kg\,m/s^2}\)) можно определить как произведение массы тела на его ускорение под действием этой силы; 2-й закон Ньютона справедлив, и это определение самосогласованно, если результат не зависит от того, какое пробное тело было использовано.

Подведём итог: 2-й закон Ньютона \(\vF = m\va\) служит нам одновременно определением массы тела (в предположении, что эталон массы выбран) и силы взаимодействия; закон обеспечивает самосогласованность этих определений: масса тела и величина силы не зависят от процедуры измерения.

Векторную сумму \(\sum_i\vF_i\) можно вычислить либо по правилу треугольника/параллелограмма, либо покомпонентным арифметическим сложением: \(F_x = \sum_i F_{ix}\), где индекс \(x\) обозначает \(x\)-компоненту (проекцию на ось \(x\)) вектора; аналогичные выражения можно записать для осей \(y\) и \(z\).

2.2. Основные правила, выводимые из постулатов

Факты 1–5 можно считать постулатами классической (ньютоновской) механики, подтверждёнными экспериментами. Все последующие «факты», теоремы и т. д. могут быть выведены математически из этих постулатов.

До сих пор мы пользовались расплывчатым понятием ускорения тела. Всё в порядке, пока тело движется поступательно, т. е. так, что все его точки имеют один и тот же вектор ускорения. Однако если тело имеет заметные размеры и вращается, то разные точки имеют разные ускорения, так что нужно уточнить, ускорение какой точки надо брать. Чтобы обойти эту трудность и сохранить наш набор постулатов 1–5 как можно более простым, предположим, что факт 2 справедлив для так называемых материальных точек, т. е. для очень малых тел, размеры которых много меньше характерных проходимых расстояний; тогда положение материальной точки описывается одной точкой, у которой однозначно определены скорость и ускорение. Мы можем обобщить факт 2 на реальные тела конечных размеров, мысленно разделив их на крошечные кусочки, каждый из которых можно рассматривать как материальную точку.

Для начала можно вывести (см. приложение 1) общую формулировку 2-го закона Ньютона.

Подставляя \(\vP = \sum_i m_i\vv_i = \sum_i m_i \frac{d\vr_i}{dt} = \frac{d}{dt}\sum_i m_i\vr_i\) (где \(\vr_i\) обозначает радиус-вектор \(i\)-й материальной точки), мы можем переписать уравнение (1) в виде \[M\frac{d^2\vr_C}{dt^2} = \vF,\qquad\text{где}\qquad \vr_C = \frac{\sum_i m_i\vr_i}{\sum_i m_i} \tag{2}\] называется центром масс. Этот результат проясняет дело: в случае макроскопических тел факт 2 остаётся справедливым, если использовать ускорение центра масс.

Согласно 2-му закону Ньютона, как только мы знаем, как силы взаимодействия между телами зависят от межтелесных расстояний и от скоростей, мы можем (в теории) вычислить, как система будет эволюционировать во времени (такие системы называются детерминированными). Действительно, мы знаем ускорения всех тел, а значит, можем определить скорости и положения после малого приращения времени: если приращение времени \(\Delta t\) достаточно мало, изменениями ускорений \(\Delta\va\) можно пренебречь, а это означает, что новая скорость \(i\)-го тела будет \(\vv'_i = \vv_i + \va_i\Delta t\), а новый радиус-вектор \(\vr'_i = \vr_i + \vv_i\Delta t\); полные временные зависимости \(\vv_i(t)\) и \(\vr_i(t)\) (где \(i = 1… N\), а \(N\) — число тел) можно получить, продвигаясь во времени шаг за шагом. На математическом языке это численное интегрирование системы обыкновенных дифференциальных уравнений: вторые производные координат по времени \(\ddot x_i\), \(\ddot y_i\) и \(\ddot z_i\) выражаются через координаты \(x_i\), \(y_i\), \(z_i\) и первые производные \(\dot x_i\), \(\dot y_i\), \(\dot z_i\)⁵. Хотя в принципе такие вычисления всегда можно проделать, по крайней мере численно и при условии, что у нас достаточно вычислительной мощности, на практике математическая задача может оказаться очень трудной⁶. Помимо фактов 1–5, ньютоновская механика — это собрание рецептов для более лёгкого решения этих дифференциальных уравнений.

Среди таких рецептов центральную роль играет отыскание и применение законов сохранения. Дело в том, что, согласно сказанному выше, эволюция механических систем описывается системой дифференциальных уравнений, и каждый закон сохранения понижает порядок этой системы на единицу; это сильно упрощает математическую задачу. Законы сохранения можно математически вывести из законов Ньютона; и хотя знать, как это делается, безусловно полезно, большинство задач механики можно решить, не будучи знакомым с этой процедурой. Поэтому законы сохранения выводятся в приложениях 1, 2 и 3; здесь мы приводим только формулировки.

Закон сохранения импульса мы уже разобрали (см. факт 6), так что можно перейти к следующему.

Уравнение (3) выводится в приложении 2 и может считаться 2-м законом Ньютона для вращательного движения тел.

В трёхмерной геометрии вычисление векторных произведений для определения результирующего момента сил и момента импульса может оказаться довольно трудным. К счастью, большинство олимпиадных задач имеют дело с двумерной геометрией: скорости, импульсы и радиус-векторы лежат в плоскости \(x-y\), а векторные произведения (моменты сил и моменты импульса) параллельны оси \(z\), т. е. мы можем считать \(\vL = \vr\times\vp\) и \(\vT = \vr\times\vF\) скалярами, характеризуемыми своей проекцией на ось \(z\) (далее обозначаемыми \(L\) и \(T\) соответственно). Согласно определению векторного произведения, знак такого момента положителен, если поворот от вектора \(\vr\) к вектору \(\vF\) соответствует движению по часовой стрелке, и отрицателен в противном случае. Таким образом, мы можем записать \(T = |\vr|\times|\vF|\sin\alpha\), где \(\alpha\) — угол между радиус-вектором и силой, и он может быть как положительным (поворот от \(\vr\) к \(\vF\) идёт по часовой стрелке), так и отрицательным. Можно ввести плечо силы \(h = |\vr|\sin\alpha\) (см. рисунок), и тогда \[T = |\vF|h;\] аналогично можно использовать тангенциальную составляющую силы \(F_t = |\vF|\sin\alpha\) и получить \[T = |\vr|F_t .\] Такую же процедуру можно применить и к моменту импульса: \[L = |\vr||\vp|\sin\alpha = h|\vp| = |\vr|p_t .\]

Дисциплина «статика» изучает равновесия тел, т. е. условия, при которых существует инерциальная система отсчёта, где тело остаётся неподвижным. Ясно, что и импульс, и момент импульса тела в равновесии должны быть постоянны, значит, сумма всех сил, равно как и сумма всех моментов сил, действующих на тело, должна быть равна нулю; это относится и к любой мысленно выделенной части тела. Хотя есть и задачи статики, изучающие деформируемые тела (которые меняют форму при приложении сил), существует важная идеализация твёрдого тела — тела, сохраняющего свою форму при любых (не слишком больших) силах.

Если для 2-го закона Ньютона [уравнение (1)] и для условия статического баланса сил не имеет значения, где приложена сила, то в случае момента импульса [уравнение (3)] и для условия статического баланса моментов это становится важным. В классической механике силы делятся на контактные, приложенные в точке контакта двух тел (силы упругости в их разных проявлениях, такие как нормальная сила и сила трения, см. ниже), и объёмные, приложенные к каждой точке твёрдого тела (например, гравитация и электростатические силы). Точка приложения контактных сил очевидна — это точка контакта; в случае объёмных сил момент можно вычислить, разделив всё тело (систему тел) на достаточно малые части (материальные точки) и проинтегрировав приложенные к каждой из них моменты. Легко видеть, что при полной объёмной силе \(\vF\) (т. е. сумме всех объёмных сил, приложенных к разным частям тела) и полном моменте \(\vT\), приложенном к телу, всегда можно найти такой радиус-вектор \(\vr\), что \(\vT = \vr\times\vF\), т. е. хотя объёмные силы приложены к каждой точке тела, результирующий эффект таков, как если бы результирующая сила \(\vF\) была приложена в некотором эффективном центре приложения; в некоторых случаях есть простые правила для отыскания таких эффективных центров приложения: например, в случае однородного поля тяжести им оказывается центр масс⁷.

На микроскопическом уровне квантовой механики такое разделение сил теряет смысл, потому что, с одной стороны, поля, переносящие объёмные силы, — тоже материальные объекты, и в этом смысле все силы контактные. С другой стороны, классические контактные силы на микроскопическом уровне тоже переносятся полями, так что в определённом смысле все силы объёмные. Тем не менее на макроскопическом уровне такое разделение остаётся полезным.

Работа, совершаемая так называемыми консервативными силами, зависит только от начального и конечного состояний системы (т. е. от положений материальных точек), а не от того, по каким траекториям двигались материальные точки. Это означает, что работу консервативных сил можно выразить как убыль некоторой функции состояния \(\Pi(\vr_1,\vr_2…)\), которая называется потенциальной энергией; для бесконечно малых перемещений можно записать \(dW_{\text{конс}} = -d\Pi\)⁸. Поэтому, если определить полную механическую энергию как \(E = K + \Pi\), то \[dE = dW',\] где \(dW'\) — работа, совершаемая неконсервативными силами; если таких сил нет, то \(dE = 0\), а значит, \[E = \Pi + K = \Const . \tag{4}\]

Здесь нужно сделать несколько замечаний. Во-первых, если импульс тела — это импульс его центра масс, то кинетическая энергия составного тела — не просто кинетическая энергия его центра масс: нужно добавить ещё кинетическую энергию в системе центра масс («Ц-системе»): \[K = \frac12 M v_C^2 + \frac12\sum_i m_i\vu_i^{\,2},\] где \(\vu_i = \vv_i - \vv_C\) — скорость \(i\)-й материальной точки в Ц-системе⁹. Как вычислять кинетическую энергию в системе центра масс для вращающихся твёрдых тел, будет обсуждаться чуть позже.

Наконец, заметим, что силы, зависящие от скоростей (например, силы трения) и/или от времени (например, нормальная сила со стороны движущейся стенки), не могут быть консервативными, потому что работа таких сил вдоль пути явно зависит от того, насколько быстро движутся тела. Исключение составляют те зависящие от скорости силы, которые всегда перпендикулярны скорости (например, сила Лоренца и нормальная сила) и для которых \(dW = \vF\cdot d\vr = \vF\cdot\vv\,dt\equiv0\).

2.3. Основные силы

Гравитация. Рассмотрим теперь подробнее случай поля тяжести; его можно описать вектором ускорения свободного падения \(\vg\). Из «Кинематики» мы знаем, что тогда все тела движутся с ускорением \(\vg\); следовательно, согласно 2-му закону Ньютона, это должно вызываться силой \[\vF = m\vg .\] Она называется силой тяжести. То, что в данном поле тяжести сила тяжести пропорциональна массе тела, следует считать экспериментальным фактом. Напомним, что масса вводится через 2-й закон Ньютона и описывает инертность тела, т. е. способность тела сохранять свою скорость; из-за этого мы можем называть её также инертной массой. Здесь же масса входит в совершенно другой закон: сила тяжести пропорциональна массе. Легко вообразить, что сила тяжести определяется другой характеристикой тела — назовём её гравитационной массой, не связанной с инертной массой. Опыты показывают, что гравитационная масса всегда равна инертной, и потому мы можем опустить прилагательные «гравитационная» и «инертная». По сути, эквивалентность инертной и гравитационной массы имеет огромное значение в физике и является главным постулатом и краеугольным камнем общей теории относительности.

Из 3-го закона Ньютона мы знаем, что каждая сила вызвана каким-то другим телом: сила тяжести, действующая на тело \(A\), должна вызываться телом \(B\). Мы также знаем, что сила тяжести вызвана массой тела и пропорциональна ей, и, по-видимому, это относится и к телу \(A\), и к телу \(B\). Значит, сила должна быть пропорциональна произведению масс, \(F = c\,m_A m_B\), где коэффициент пропорциональности \(c\) может быть функцией расстояния. Оказывается, \(c\) обратно пропорционален квадрату расстояния, \(c = G/r^2\); будем считать это экспериментальным фактом. Здесь \(G\approx6{,}67\times10^{-11}\ \mathrm{m^3kg^{-1}s^{-2}}\) называется гравитационной постоянной. Теперь легко догадаться, что эта сила должна быть параллельна единственному выделенному направлению для системы двух материальных точек — линии, соединяющей эти две точки. Так оно и есть; более того, гравитационная сила оказывается силой притяжения.

Для гравитационного притяжения Земли мы обычно можем приблизить \(r_{ij}\) радиусом Земли \(R_E\), так что \[\vF = m\vg,\qquad \vg = \hat z\,\frac{GM_E}{R_E^2} \approx \hat z\cdot 9{,}81\ \mathrm{m/s^2}, \tag{6}\] где \(\hat z\) — направленный вниз единичный вектор, а \(M_E\) обозначает массу Земли.

Заметим, что сила, обусловленная однородным полем тяжести \(\vg\), эффективно приложена к центру масс тела независимо от его формы. Действительно, момент силы тяжести вычисляется тогда как \[T = \sum_i \vr_i\times\vg m_i = \Bigl(\sum_i \vr_i m_i\Bigr)\times\vg = \vr_C\times\vg M,\] где \(M = \sum_i m_i\).

Сила тяжести — консервативная сила, потому что для любой пары материальных точек сила направлена вдоль соединяющей их линии и зависит только от расстояния между ними (ср. приложение 3). Работу силы тяжести \(\vF = m\vg\), обусловленной однородным полем тяжести, можно выразить как \(dA = m\vg\cdot d\vr\), откуда \(\Pi = -m\vg\cdot d\vr\); после интегрирования получаем \[\Pi = -m\vg\cdot(\vr - \vr_0),\] где \(\vr_0\) — вектор, указывающий на произвольно выбранную точку отсчёта. Теперь, помня, что энергия аддитивна, мы можем записать выражение для гравитационной потенциальной энергии \(N\) тел: \[\Pi = -\vg\cdot\sum_i m_i(\vr_i-\vr_0) = -\vg\cdot(\vr_C-\vr_0)\sum m_i . \tag{7}\]

Гравитационную энергию двух материальных точек можно вычислить аналогично интегрированием; для двух материальных точек обычно удобно взять такую конфигурацию отсчёта (для которой потенциальная энергия равна нулю), в которой расстояние между двумя телами бесконечно. Для малых перемещений работа сил тяжести, действующих на оба тела, равна \[dW = G\frac{m_1m_2}{r_{12}^2}\hat r_{12}\cdot(d\vr_1 - d\vr_2) = -G\frac{m_1m_2}{r_{12}^2}dr_{12}\] [здесь мы учли, что \(d\vr_1 - d\vr_2 = d(\vr_1-\vr_2)\) и \(\hat r_{12}\cdot d(\vr_1-\vr_2) = -dr_{12}\)]. Итак, \[\Pi = \int_\infty^{r_{12}} G\frac{m_1m_2}{r^2}dr = -G\frac{m_1m_2}{r_{12}} .\] Если взаимодействующих тел больше двух, мы можем воспользоваться принципом суперпозиции и найти \[\Pi = -G\sum_{i>j}\frac{m_im_j}{r_{ij}}; \tag{8}\] заметим, что энергию взаимодействия любой пары тел нужно учитывать только один раз, поэтому мы суммируем по парам с \(i > j\).

Упругость. Подобно силам тяжести, силы упругости встречаются нам буквально на каждом шагу. Хотя микроскопически все силы упругости могут быть объяснены (по крайней мере в принципе) через электростатические взаимодействия с помощью квантовой механики, макроскопически они могут принимать разные формы. Прежде всего, есть закон Гука, описывающий силы упругости для деформируемых тел (например, резинки или пружины); есть также нормальная сила и сила сухого трения, которые, казалось бы, не имеют ничего общего с упругостью, но на самом деле и нормальная сила, и сила сухого трения имеют микроскопически то же происхождение, что и закон Гука.

Этот закон справедлив для малых деформаций всех упругих материалов, включая резинки, пружины и т. д., пока деформация не слишком велика и пока деформация тела включает только растяжение (или сжатие) и не включает изгиб или сдвиг¹⁴. Если задействованы изгиб и сдвиг, то при фиксированном направлении деформации (описываемом единичным вектором \(\hat a \equiv \va/|\va|\)) модуль силы остаётся пропорциональным \(|\va|\); однако тогда жёсткость (коэффициент пропорциональности \(k\)) зависит также и от \(\hat a\), а сила не обязательно антипараллельна смещению¹⁵.

Силы упругости консервативны, потенциальную энергию можно найти простым интегрированием: \(\Pi = -\int\vF\cdot d\va = \int ka\,da = \frac12 ka^2\).

Совершенно ясно, что если взять, скажем, резинку длины \(l\) и жёсткости \(k\), то, сделав её вдвое длиннее, мы уменьшим её жёсткость вдвое. Действительно, длинную резинку можно мысленно разделить на две половины, каждая длины \(l\); тогда, если приложить к концам длинной резинки ту же силу \(F\), обе половины деформируются на \(x = F/k\), а значит, вся резинка деформируется на \(x' = x + x = 2F/k\), так что жёсткость \(k' = F/x' = k/2\). Аналогично, если сделать резинку вдвое толще, жёсткость увеличится вдвое, потому что толстую резинку можно рассматривать как две параллельные тонкие. NB! Это не относится к пружинам и деформации изгиба: хотя, сделав пружину вдвое длиннее, мы, конечно, всё равно уменьшим \(k\) вдвое, изготовление её из вдвое более толстой проволоки увеличит жёсткость более чем вдвое: при одном и том же угле изгиба более толстая проволока деформируется сильнее, чем более тонкая. Этот абзац можно подытожить следующим фактом.

Это равенство позволяет дать альтернативную формулировку закона Гука. Для этого введём понятия деформации (относительного удлинения) \(\varepsilon = a/L\) и напряжения, которое определяется как сила упругости на единицу площади, \(\sigma = F/A\). Тогда закон Гука можно переписать как \[\sigma = \varepsilon Y .\] Можно ввести также понятие плотности энергии деформированного материала — отношение потенциальной энергии к объёму, \(w = \Pi/(LA) = \frac12 Y\varepsilon^2\).

Теперь мы можем ответить и на вопрос, какие деформации можно считать «достаточно малыми», чтобы закон Гука оставался справедливым. Можно было бы подумать, что нужно \(\varepsilon\ll1\), но обычно это слишком мягкое требование: большинство упругих материалов разрушается задолго до того, как достигаются деформации \(\varepsilon\sim1\). Обычно закон Гука начинает нарушаться, когда деформации настолько велики, что материал близок к разрушению. Кроме того, при таких больших деформациях материал уже не вполне упруг: когда сила снимается, материал не полностью восстанавливает свою первоначальную форму и остаётся некоторая остаточная деформация; такие деформации называются пластическими. Существуют также материалы (их можно назвать пластичными), которые деформируются пластически в очень широком диапазоне значений деформации, прежде чем разрушиться на куски. В таких случаях закон Гука остаётся справедливым только для чрезвычайно малых деформаций, при которых деформация всё ещё остаётся упругой. Заметим, что есть гиперупругие материалы, для которых деформация может быть очень большой, \(\varepsilon>1\); тогда, действительно, для применимости закона Гука требуется условие \(\varepsilon\ll1\).

Большинство материалов имеет довольно большие значения \(Y\), а это означает, что, если у нас нет по-настоящему длинных и тонких нитей или проволок, умеренные силы вызовут лишь совсем крошечные и незаметные деформации. Обычно так обстоит дело с проволоками, верёвками, стержнями и твёрдыми поверхностями. В этих случаях, хотя геометрическим эффектом деформаций можно пренебречь, установится такая деформация, при которой сила упругости компенсирует любую приложенную внешнюю силу. Если мы имеем дело с твёрдой поверхностью, такая сила упругости называется нормальной силой; в случае стержней, проволок и верёвок мы называем её силой натяжения.

Если не оговорено иное, предполагается, что сила натяжения параллельна стержню, проволоке или верёвке. В случае верёвки или тонкой проволоки это практически всегда так: возможности упругого сдвига или изгиба нет, потому что верёвка обычно очень «мягкая» по отношению к таким деформациям: если попытаться создать перпендикулярную силу упругости, приложив перпендикулярную внешнюю силу, верёвка просто изогнётся, не дав никакой заметной силы. В случае стержня это не так: если приложить внешнюю перпендикулярную силу, стержень упруго сопротивляется попыткам изгиба и создаёт перпендикулярную составляющую силы натяжения. Всё же, если все внешние силы, приложенные к стержню, параллельны ему, то, согласно 3-му закону Ньютона, сила натяжения также будет параллельна стержню.

В случае растянутой нити (стержня, верёвки и т. д.) мы можем мысленно разделить её на две части. Тогда в точке деления \(P\) две части притягивают друг друга с некоторой силой упругости. Направление этой силы зависит от того, какая часть нити рассматривается, но благодаря 3-му закону Ньютона модуль силы остаётся тем же. Сила, с которой две мысленно выделенные части верёвки взаимодействуют друг с другом в точке \(P\), описывает состояние верёвки в этой точке и называется натяжением. Итак, мы будем различать силу \(\vF\), приложенную к концу верёвки, и натяжение \(T\), которое определено для любой точки верёвки и описывает её состояние; заметим, что, когда внешние силы приложены только к концам верёвки в равновесии, \(|\vF| = T\) (это следует из условия баланса сил для любой мысленно выделенной части верёвки).

Заметим, что если приложенная извне сила не перпендикулярна поверхности твёрдого тела, то, согласно 3-му закону Ньютона, сила упругости будет иметь и перпендикулярную поверхности, и тангенциальную (параллельную поверхности) составляющие. Последняя проявляется в точках контакта двух твёрдых тел как сила трения. Точнее, сила трения — это сила в точке контакта двух тел, обусловленная взаимодействием молекул одного тела с молекулами другого, когда тела пытаются проскользнуть одно по другому; поверхностные молекулы удерживаются на месте силами упругости внутри каждого из тел; эти силы упругости вызваны (обычно незаметно малой) деформацией сдвига тел.

В случае твёрдых тел, если внешние тангенциальные силы не слишком велики по сравнению с нормальными силами, тела не проскальзывают, и сила трения подстраивается так, чтобы скомпенсировать внешние тангенциальные силы; она называется силой трения покоя.

В олимпиадных задачах чаще всего предполагается, что \(\mu_s = \mu_k\), но иногда их считают различными, причём \(\mu_s > \mu_k\).

Хотя законы трения очень просты и сформулированы давным-давно¹⁹, вывести их из микроскопической (молекулярной) динамики оказывается очень трудной задачей (по этой теме до сих пор выходят статьи в научных журналах, ср. M. H. Müser et al., Phys. Rev. Lett. 86, 1295 (2000) и O. M. Braun et al., Phys. Rev. Lett. 110, 085503).