Видимый свет — это электромагнитная волна; в вакууме её скорость постоянна и равна \(c = 3 \times 10^8\) м/с; в диэлектрической среде скорость уменьшается в \(n = \sqrt{\varepsilon}\) раз, где \(n = n(\omega)\) — показатель преломления, а \(\varepsilon\) — относительная диэлектрическая проницаемость; обе величины зависят от круговой частоты электрического поля (здесь мы предполагаем, что магнитная проницаемость \(\mu \approx 1\) для диэлектрических материалов).

Уравнения Максвелла допускают несколько типов решений; например, возможны не зависящие от времени (стационарные) решения. В частности, точечный заряд \(q\) создаёт электростатическое поле \(\vec E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2}\vec e_r\), где \(\vec e_r\) — единичный вектор, направленный от заряда к точке наблюдения. Заметим, что стационарные электрические поля создаются электрическими зарядами, а стационарные магнитные — электрическими токами. Однако уравнения Максвелла содержат также члены с производными по времени (например, производную магнитного потока по времени в законе Фарадея); благодаря этим членам возможны и волновые решения. В частности, может существовать синусоидальная плоская волна, у которой волновые фронты¹ образуют набор параллельных плоскостей: \[\vec E = \vec e_x E_0 \cos(kz - \omega t), \quad \vec B = \vec e_z B_0 \cos(kz - \omega t),\] где \(z\) — ось направления распространения, \[k = 2\pi/\lambda, \tag{1}\] — волновой вектор, связанный с круговой частотой и скоростью волны соотношением \[\frac{\omega}{k} = v = \frac{c}{n} = \frac{c}{\sqrt{\varepsilon}}, \tag{2}\] а отношение амплитуд полей равно \(E_0 = B_0 v\). Заметим, что в любой точке пространства электрическое поле, магнитное поле и направление распространения взаимно перпендикулярны (направление распространения отвечает движению винта при повороте от \(E\) к \(B\)). На рисунке (a) ниже векторы электрического и магнитного полей изображены для определённого момента времени \(t = \tau\) для ряда точек, лежащих на оси \(z\); концы этих векторов лежат на синусоидах, которые нарисованы для \(t = \tau\) и \(t = 0\) (пунктирные кривые). На рисунке (b) для той же волны изображены силовые линии электрического поля.

В комплексной форме такую волну можно записать как \[\vec E = \vec e_x E_0 e^{i(\vec k \vec r - \omega t)}, \quad \vec B = \vec e_z B_0 e^{i(\vec k \vec r - \omega t)}, \tag{3}\] где мы использовали скалярное произведение радиус-вектора \(\vec r \equiv (x, y, z)\) на волновой вектор \(\vec k\) (который параллелен направлению распространения волны). Иначе можно записать \[\vec E = \vec e_x E_0 e^{ik(z - vt)}, \quad \vec B = \vec e_z B_0 e^{ik(z - vt)}, \tag{4}\] где мы подставили \(\omega = kv\). Здесь \(E_0\) и \(B_0\) могут быть комплексными числами, так что \(E_0 = |E_0| e^{i\varphi}\); тогда \(E_0\) называют комплексной амплитудой, а \(\varphi = \operatorname{arg} E_0\) — фазой волны. Поскольку электрическое поле электромагнитной волны сразу определяет и магнитное, далее мы будем рассматривать только электрическое поле.

В реальности волновые фронты не обязаны быть плоскими. В частности, точечный источник излучает сферические волны, а линейный источник — цилиндрические. Однако если расстояние до источника волн произвольной формы много больше длины волны, то в малой окрестности точки наблюдения (радиусом в несколько длин волны) кривизна волнового фронта пренебрежимо мала². Поэтому интерференцию неплоских волн можно изучать как интерференцию локально плоских волн. Всё же нужно иметь в виду важное обстоятельство: если для плоских волн амплитуда колебаний постоянна во всём пространстве, то для неплоских волн амплитуда является функцией координат.

В частности, для сферических волн амплитуда обратно пропорциональна расстоянию от точечного источника, что следует из непрерывности потока энергии. Действительно, интенсивность волны (плотность потока энергии) пропорциональна квадрату амплитуды волны, \(I \propto E_0^2\); поток энергии (то есть полная мощность излучения, проходящая через воображаемую поверхность) равен произведению интенсивности, площади поверхности и косинуса угла между волновым вектором и нормалью к поверхности, \(\Phi = I A \cos\phi\). Поместив начало координат в точечный источник, рассмотрим баланс энергии для объёма между двумя концентрическими сферическими поверхностями (радиусов \(r_1\) и \(r_2\)) внутри телесного угла \(\Omega\): входящий поток энергии равен \(\Omega r_1^2 I_1\), а выходящий — \(\Omega r_2^2 I_2\). В стационарном состоянии и при отсутствии потерь энергии на диссипацию эти два потока должны быть равны, то есть \(I_1 r_1^2 = I_2 r_2^2\), а значит, \(E \propto \sqrt{I} \propto 1/r\). Аналогично для цилиндрической волны \(E \propto 1/\sqrt{r}\).

Пока скорость распространения постоянна, например в вакууме, где \(v = c\), любой электромагнитный импульс распространяется с неизменной формой и скоростью³: \[\vec E = \vec e_x E(z - vt), \quad \vec B = \vec e_z E(z - vt)/v\] Однако если \(n\) в уравнении (2) зависит от круговой частоты \(\omega\), то форма импульса будет меняться со временем; более того, скорость импульса будет равна \[v_g = \frac{d\omega}{dk} = \frac{d}{dk} \frac{ck}{n(k(\omega))}, \tag{5}\] что называют групповой скоростью (при этом \(\omega/k\) даёт скорость фиксированной фазы, например гребня волны, и называется фазовой скоростью).

Чтобы понять, почему это так, рассмотрим суперпозицию двух волн с волновыми векторами \(k - \Delta k\) и \(k + \Delta k\) соответственно: \[\begin{align*} & e^{i[(k - \Delta k)z - (\omega - \Delta\omega)t]} + e^{i[(k + \Delta k)z - (\omega + \Delta\omega)t]} = \\ & e^{i(kz - \omega)t} \left[ e^{-i(\Delta k z - \Delta\omega)t} + e^{i(\Delta k z - \Delta\omega)t} \right] = \\ & 2 e^{i(kz - \omega)t} \cos(\Delta k z - \Delta\omega t). \end{align*}\] Здесь первый множитель \(e^{i(kz - \omega)t}\) отвечает самой волне, а второй множитель \(\cos(\Delta k z - \Delta\omega t)\) описывает её огибающую; скорость огибающей \(v_g = \Delta\omega/\Delta k\).

Далее мы будем рассматривать только монохроматические волны, то есть синусоидальные волны фиксированной частоты \(\omega\). Дело в том, что мы будем изучать интерференцию световых волн, а интерференционную картину, как правило, можно наблюдать только для световых пучков, идущих от одного источника (подробнее это будет обсуждаться ниже). А если все волны идут от одного источника, то у них должна быть и одинаковая частота⁴. Заметим, что при входе волны в преломляющую прозрачную среду длина волны может измениться, а частота остаётся постоянной.

Действительно, время, за которое гребень волны проходит от источника до заданной точки назначения, определяется интегралом \(\int \frac{dl}{v(x, y, z)}\), взятым вдоль траектории волны, и остаётся постоянным во времени; следовательно, задержка между соседними гребнями волны в точке назначения остаётся такой же, какой она была у источника.

Мы также предполагаем, что длина когерентности волн больше размеров системы. Длина когерентности — это расстояние, на котором волна «забывает» свою фазу. Это можно представить себе как синусоиду со слегка меняющейся длиной волны; на некотором расстоянии изменения накапливаются в такую ошибку, что разность фаз между этой волной и идеальной синусоидой оказывается порядка \(\pi\) (что соответствует противоположной фазе). Для источников света, отличных от лазеров, длина когерентности очень мала; для лазеров она может достигать значений порядка десятков метров.

Этот факт — основной инструмент для расчёта дифракционных картин в большинстве случаев. Разберём его на примере дифракции на двух щелях (для некоторых задач, включая первую, решения приведены сразу после условия).

зад 1 Рассмотрим непрозрачную стенку с двумя параллельными узкими щелями (намного более узкими, чем длина волны) на расстоянии \(a\) друг от друга. На стенку перпендикулярно падает параллельный пучок света. Найдите дифракционную картину за стенкой: углы распространения, при которых наблюдаются максимумы \(\varphi_{\max}\) и минимумы \(\varphi_{\min}\) интенсивности света, а также распределение интенсивности как функцию угла \(\varphi\).

Стенка перекрывает почти весь волновой фронт исходной волны, оставляя лишь две точки в сечении, перпендикулярном щелям (см. рисунок ниже). Точнее говоря, это отрезки, но их размер намного меньше длины волны; поэтому с точки зрения распространения волн эти отрезки можно считать точками. Согласно принципу Гюйгенса, в эти две точки (\(A\) и \(B\)) поместим два точечных источника электромагнитных волн длиной \(\lambda\). Точечные источники излучают волны во все стороны, и нам нужно изучить интерференцию этого излучения. Посмотрим, что будет наблюдаться на бесконечно удалённом экране, где встречаются два параллельных луча (нарисованных на рисунке).

Для начала довольно легко понять, где находятся максимумы и минимумы интенсивности. Действительно, как видно из рисунка выше, разность оптических путей двух лучей равна \(\Delta l = a \sin\varphi\). Две волны складываются конструктивно (давая максимум интенсивности), если они приходят на экран в одной фазе, то есть если в этот интервал укладывается целое число длин волн: \(\Delta l = n\lambda\). Точно так же минимум возникает, если волны приходят в противоположных фазах: \[\sin\varphi_{\max} = n\lambda/a, \quad \sin\varphi_{\min} = \left( n + \tfrac{1}{2} \right) \lambda/a. \tag{6}\] Теперь перейдём к расчёту распределения интенсивности.

Чтобы понять происхождение пропорциональности размеру источника, можно рассмотреть два одинаковых близко расположенных источника: из-за пренебрежимо малого расстояния соответствующие волны имеют одинаковую фазу и потому складываются в волну удвоенной амплитуды.

Следует отметить, что такая формулировка метода не учитывает зависимость амплитуды волны от вкладов источников Гюйгенса по направлению распространения. Это приближение справедливо до тех пор, пока угол между нормалью к поверхности источника Гюйгенса и вектором, направленным в точку наблюдения, мал (его косинус приближённо равен единице). Если этот угол не мал, так что, строго говоря, отбрасывать зависящий от угла множитель некорректно, то это всё же сохраняет качественные свойства дифракционной картины, если все дающие вклад пучки характеризуются одним и тем же углом (как в случае зад. 1), потому что тогда зависящий от угла множитель имеет одно и то же значение для всех пучков и его можно вынести за скобки.

В случае световых волн, бегущих вдоль оси \(z\), амплитуды \(a_m\) и \(a\) следует понимать как \(x\)- или \(y\)-компоненты поля \(E\) или \(B\). Не важно, какая именно величина рассматривается, поскольку, пока нет двойного преломления, для любой дающей вклад волны нет сдвига фаз между \(E_x\), \(E_y\), \(B_x\) и \(B_y\). Между тем для поляризованного света в двоякопреломляющих материалах \(x\)- и \(y\)-компоненты нужно изучать по отдельности: тогда сдвиг фаз будет зависеть от оси колебаний; это будет обсуждаться ниже. Чтобы не подчёркивать, какое именно поле рассматривается, далее амплитуды будут обозначаться через \(a\). Напомним, что модуль комплексной амплитуды даёт вещественную амплитуду синусоидального сигнала, а её аргумент — сдвиг фазы. Таким образом, вещественное поле \(a(x, t)\) в данной точке как функция времени задаётся выражением \[\operatorname{Re} a(l) e^{ikl} \cdot e^{-i\omega t} = |a(l)| \cos[\omega t + \operatorname{arg} a(l)].\] Как правило, мгновенные значения полей электромагнитных волн никогда не нужны: колебания настолько быстры, что измеряется среднеквадратичное значение. Поэтому интерес представляют только модуль поля и его сдвиг фазы. Ввиду этого достаточно работать с комплексными амплитудами; нет нужды выписывать полную пространственно-временную зависимость комплексного сигнала \(a(l) e^{i(kl - \omega t)}\), и не нужно добавлять Re, чтобы выделить его вещественную часть, отвечающую вещественной физической величине.

Итак, на нашем бесконечно удалённом экране складываются две волны \(a_1(l_1)e^{ikl_1}\) и \(a_2(l_2)e^{ikl_2}\). Относительная разница между \(l_1\) и \(l_2\) мала; следовательно, зависимость амплитуды волны от расстояния влияет на обе волны одинаково, то есть \(|a_1(l_1)| = |a_2(l_2)|\). Оба источника Гюйгенса находятся на одном волновом фронте, а значит, у соответствующих источников нет сдвига фаз между излучёнными волнами, поэтому \(\operatorname{arg} a_1(l_1) = \operatorname{arg} a_2(l_2)\); объединяя два последних равенства, получаем \(a_1(l_1) = a_1(l_2)\). Поскольку нас интересует относительная интенсивность света на экране, а не то, как она убывает с ростом \(l\), мы можем отбросить зависимость \(a(l) \propto 1/\sqrt{l}\) и обозначить \(a_1(l_1) = a_1(l_2) \equiv a\) (знак «\(\propto\)» означает «пропорционально»). Наконец, множитель \(e^{ikl_1}\) можно включить в комплексную амплитуду (это лишь поворачивает комплексную амплитуду, так как \(|e^{ikl_1}| = 1\)), обозначив \(ae^{ikl_1} = \tilde{a}\); тогда \[ae^{ikl_2} = \tilde{a}e^{-ikl_1}\cdot e^{ikl_2} = \tilde{a}e^{ik(l_2-l_1)}\] Можно также сказать, что амплитуды нормированы на амплитуду световой волны от первой щели, и положить \(\tilde{a} = 1\)⁵.

Итак, амплитуда суперпозиции даётся выражением \[E = 1 + e^{ik(l_2-l_1)}.\] Интенсивность пропорциональна квадрату модуля, который равен произведению \(E\) на комплексно сопряжённое \(\bar{E} = 1 + e^{-ik(l_2-l_1)}\): \[\begin{align*} I/I_0 &= (1 + e^{ik(l_2-l_1)})(1 + e^{-ik(l_2-l_1)}) = \\ &= 2 + e^{ik(l_2-l_1)} + e^{-ik(l_2-l_1)} = 2\{1 + \cos[k(l_2 - l_1)]\}; \end{align*}\] здесь \(I_0\) — такая интенсивность, которая регистрировалась бы на экране при закрытой одной из щелей. Модуль в квадрате можно вычислить и по теореме Пифагора как сумму квадратов вещественной и мнимой частей: \[\{1 + \cos[k(l_2 - l_1)]\}^2 + \sin^2[k(l_2 - l_1)] = 2\{1 + \cos[k(l_2 - l_1)]\}.\] Наконец, обозначив \(l_2 - l_1 = a\sin\varphi\), получаем \[I = 2I_0[1 + \cos(ka\sin\varphi)]. \tag{7}\] Теперь мы можем восстановить и полученный ранее результат (?) о положениях минимумов интенсивности (косинус даёт \(-1\), \(I = 0\)) и максимумов (косинус даёт \(+1\), интенсивность учетверяется): для минимумов \(ka\sin\varphi = (2n+1)\pi\), а для максимумов \(ka\sin\varphi = 2n\pi\).

Заметим, что если бы в \(A\) и \(B\) были некогерентные источники света, то появился бы дополнительный зависящий от времени сдвиг фазы \(\psi(t)\), который следовало бы добавить к сдвигу фазы \(ka\sin\varphi\), обусловленному разностью оптических путей. В этом случае \(I = 2I_0\{1 + \cos[ka\sin\varphi + \psi(t)]\}\); из-за флуктуирующей фазы \(\psi(t)\) дифракционные максимумы (и минимумы) двигались бы так быстро, что человеческий глаз регистрировал бы только среднее значение интенсивности, \(\langle 2I_0\{1 + \cos[ka\sin\varphi + \psi(t)]\}\rangle = 2I_0\{1 + \langle\cos[ka\sin\varphi + \psi(t)]\rangle\} = 2I_0\); здесь угловые скобки обозначают усреднение, а усреднённый косинус даёт ноль.

Что касается флуктуаций интерференционных картин от некогерентных источников света, можно сделать простую оценку. Пусть у нас есть два точечных источника достаточно монохроматического света, например от двух одинаковых хороших лазеров с длиной когерентности \(l = 10\) м и длиной волны \(\lambda_1 = 658\) нм. Тогда время когерентности \(\tau = l/c \approx 3\times 10^{-8}\) с даёт время флуктуаций случайной фазы \(\psi(t)\), а также характерный временной масштаб, на котором флуктуирует дифракционная картина. Это далеко за пределами того, что может разрешить человеческий глаз: мы увидим усреднённую картину без каких-либо интерференционных полос.

Итак, пока мы не изучаем явления на сверхкоротких временах (физика атто- и пикосекундного масштаба), для того чтобы можно было увидеть интерференционную картину, свет должен идти от одного и того же источника, даже в случае лазеров. Кроме того, разности оптических путей интерферирующих лучей не должны превышать длину когерентности данного источника света. В случае интерференции на двух щелях достаточно, чтобы свет падал на щели от одного точечного источника, не обязательно лазера. С другой стороны, если это не точечный источник, а, например, лампочка заметного размера, то длина когерентности может оказаться слишком малой, чтобы можно было наблюдать интерференцию на двух щелях; практическое правило здесь таково: угловой размер источника света должен быть меньше углового расстояния между дифракционными максимумами (иначе две некогерентные половины источника дали бы две смещённые дифракционные картины, которые сгладились бы при наложении).

зад 2 Рассмотрите ту же ситуацию, что и в зад. 1, но с тремя щелями на одинаковом расстоянии \(a\) друг от друга. Найдите положения дифракционных минимумов и максимумов.

зад 3 Покажите, что для трёх параллельных щелей одинакового размера с расстояниями между соседними щелями \(a\) и \(b\) соответственно интенсивность в дифракционных минимумах отлична от нуля, если только \(\frac{a}{b} \ne \frac{n}{m}\), где \(n\) и \(m\) — целые числа, а \(n - m\) кратно трём.