зад 4 Рассмотрим непрозрачную стенку со щелью шириной \(a\). На стенку перпендикулярно падает параллельный пучок света. Найдите дифракционную картину за стенкой: углы распространения, при которых наблюдаются максимумы \(\varphi_{\max}\) и минимумы \(\varphi_{\min}\) интенсивности света, а также распределение интенсивности как функцию угла \(\varphi\).

Для начала найдём положения дифракционных минимумов — там, где интенсивность равна нулю. Для этого разделим щель (мысленно) на две половины; источники Гюйгенса из верхней половины отмечены синим, а из нижней — красным, см. рисунок. Если длина отрезка \(BC\) равна полуцелому числу длин волн, то вклады красного и синего источников (из \(A\) и \(B\)) взаимно уничтожатся; то же самое относится к любой другой паре соответствующих точек, например к точкам \(A'\) и \(B'\). Действительно, соответствующая разность оптических путей \(|B'C'| = |BC|\). Итак, вклады всех красных и синих источников попарно уничтожатся: интенсивность равна нулю, если \[\frac{a}{2}\sin\varphi_{\min} = \lambda\left(n + \frac{1}{2}\right) \Rightarrow a\sin\varphi_{\min} = \lambda(2n + 1).\] Далее разделим щель на четыре отрезка, затем на восемь и т. д., вообще на \(2^m\) отрезков; в итоге мы найдём, что нулевая интенсивность наблюдается при \[a\sin\varphi_{\min} = \lambda 2^{m-1}(2n + 1).\] Видно, что здесь множитель при \(\lambda\) может принимать все целые значения, кроме нуля¹; поэтому можно записать \[a\sin\varphi_{\min} = n\lambda,\quad n \ne 0.\] Этот результат означает, что главный максимум интенсивности (при \(\varphi = 0\)) имеет двойную ширину.

Чтобы найти распределение интенсивности за щелью, нужно проинтегрировать по источникам Гюйгенса. Возьмём в качестве оси \(x\) линию \(AB\) с началом в точке \(B\) (то есть в центре щели). Тогда вклад каждого источника Гюйгенса в результирующую амплитуду волны \(E\) пропорционален его длине \(dx\); разность оптических путей этой волны по отношению к волне, приходящей из \(B\), равна \(\Delta = x\sin\varphi\), что отвечает сдвигу фазы \(x\sin\varphi\). Следовательно, сумму всех волн можно записать как \[E \propto \int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} e^{ikx\sin\varphi}dx = \frac{e^{i\frac{ak}{2}\sin\varphi} - e^{-i\frac{ak}{2}\sin\varphi}}{ik\sin\varphi} = \frac{2\sin(\tfrac{ak}{2}\sin\varphi)}{k\sin\varphi}.\] Интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды, так что \[I \propto \left[\frac{\sin(\tfrac{ak}{2}\sin\varphi)}{\sin\varphi}\right]^2\] (здесь мы отбросили постоянные множители 4 и \(k^{-2}\)). Эта зависимость показана на рисунке ниже. Обратите внимание на то, что подавляющая часть световой энергии сосредоточена в главном максимуме (между \(a|\sin\varphi| < \lambda\)).

С практической точки зрения важен случай дифракции за круглым отверстием диаметра \(d\) — это происходит в оптических приборах, таких как линзы, телескопы и микроскопы. Нахождение дифракции за круглым отверстием диаметра \(d\) — математически значительно более сложная задача, в которой участвуют функции Бесселя; оказывается, что при \(\lambda \ll d\) первый минимум интенсивности наблюдается под углом \(\varphi \approx 1{,}22\lambda/d\).

Предположим, что передняя линза телескопа (объектив) имеет диаметр \(d\) и создаёт изображение двойной звезды, угловое расстояние между звёздами которой равно \(\alpha\). Может смущать то, что мы имеем два эффекта: дифракцию на круглом отверстии и схождение лучей за счёт линзы. К счастью, эти два эффекта можно разделить: предположим, что мы убрали линзу; тогда круглое отверстие создаст дифракционную картину на бесконечно удалённом «экране». Теперь мы «ставим на место» линзу, которая по правилам геометрической оптики создаёт изображение этой бесконечно удалённой картины в своей фокальной плоскости.

Говорят, что изображения двух звёзд разрешены, если центр изображения одной звезды лежит за первым минимумом интенсивности дифракционной картины другой звезды. Согласно угловому положению первого дифракционного минимума за круглым отверстием, это означает, что телескоп разрешает угловые расстояния, большие \(1{,}22\lambda/d\).

Далее рассмотрим дифракционную решётку, которая имеет \(N\) щелей, причём соседние щели находятся на расстоянии \(a\) друг от друга.

зад 5 Рассчитайте дифракционную картину за дифракционной решёткой, считая, что ширина щели равна половине шага решётки \(a\).

Главные максимумы за решёткой можно найти из условия, что вклады соседних щелей приходят в одной фазе: длина толстых синих линий на рисунке должна быть целым числом длин волн, то есть \[a\sin\varphi_{\max} = n\lambda.\] Помимо главных максимумов, есть многочисленные побочные максимумы; как и в случае дифракции на одной щели, вместо поиска положений этих максимумов проще найти положения минимумов; максимумы лежат как раз между минимумами. Подход здесь тоже тот же: мы делим всю дифракционную решётку на две половины и рассматриваем интерференцию вкладов обеих половин: попарное уничтожение световых лучей произойдёт, если длина красной толстой линии равна полуцелому числу длин волн, то есть \(\frac{1}{2}aN\sin\varphi = (m + \frac{1}{2})\lambda\). Далее мы делим решётку на четыре, восемь и т. д. частей и заключаем, что минимумы (с нулевой интенсивностью) наблюдаются при \(aN\sin\varphi_{\min} = m\lambda\), где целое \(m \ne nN\) (\(m = nN\) отвечает \(n\)-му главному максимуму).

Чтобы рассчитать распределение интенсивности за такой решёткой, можно просуммировать вклады отдельных щелей. Для угла наблюдения \(\varphi\) можно воспользоваться выражением для электрического поля, создаваемого одной щелью, которое было получено ранее (нужно заменить \(a\) на \(a/2\)): \[E_0 = \frac{\sin(\tfrac{ak}{4}\sin\varphi)}{\sin\varphi}.\] У соседних щелей есть дополнительная разность оптических путей \(a\sin\varphi\), которая отвечает сдвигу фазы \(ka\sin\varphi\) и может быть отражена дополнительным множителем \(e^{ika\sin\varphi}\) у комплексной амплитуды электрического поля. Таким образом, \[\begin{align*} E &= \sum_{n=-N/2}^{N/2} \frac{\sin(\tfrac{ak}{4}\sin\varphi)}{\sin\varphi} e^{ikan\sin\varphi} = \\ &= \frac{\sin(\tfrac{ak}{4}\sin\varphi)}{\sin\varphi} \sum_{n=-N/2}^{N/2} e^{ikan\sin\varphi}. \end{align*}\] Это геометрическая прогрессия, и сумму легко взять: \[\begin{align*} E &= \frac{\sin(\tfrac{ak}{4}\sin\varphi)}{\sin\varphi} \cdot \frac{e^{ika(\frac{N}{2}+1)\sin\varphi} - e^{-ika\frac{N}{2}\sin\varphi}}{e^{-ika\sin\varphi} - 1} = \\ &= \frac{\sin(\tfrac{ak}{4}\sin\varphi)}{\sin\varphi} \cdot \frac{\sin\left(ka\frac{N+1}{2}\sin\varphi\right)}{\sin\left(\frac{ka}{2}\sin\varphi\right)} = \\ &= \frac{\sin\left(ka\frac{N+1}{2}\sin\varphi\right)}{2\sin\varphi\cos\left(\frac{ka}{4}\sin\varphi\right)}. \end{align*}\]

У соседних щелей есть дополнительная разность оптических путей \(a\sin\varphi\), которая отвечает сдвигу фазы \(ka\sin\varphi\) и может быть отражена дополнительным множителем \(e^{ika\sin\varphi}\) у комплексной амплитуды электрического поля. Таким образом, \[\begin{align*} E &= \sum_{n=-N/2}^{N/2} \frac{\sin(\frac{ak}{4}\sin\varphi)}{\sin\varphi}\, e^{ikan\sin\varphi} = \\ &= \frac{\sin(\frac{ak}{4}\sin\varphi)}{\sin\varphi} \sum_{n=-N/2}^{N/2} e^{ikan\sin\varphi}. \end{align*}\] Это геометрическая прогрессия, и сумму легко взять: \[\begin{align*} E &= \frac{\sin(\frac{ak}{4}\sin\varphi)}{\sin\varphi} \cdot \frac{e^{ika(\frac{N}{2}+1)\sin\varphi} - e^{-ika\frac{N}{2}\sin\varphi}}{e^{-ika\sin\varphi} - 1} = \\ &= \frac{\sin(\frac{ak}{4}\sin\varphi)}{\sin\varphi} \cdot \frac{\sin\left(ka\frac{N+1}{2}\sin\varphi\right)}{\sin\left(\frac{ka}{2}\sin\varphi\right)} = \\ &= \frac{\sin\left(ka\frac{N+1}{2}\sin\varphi\right)}{2\sin\varphi\cos\left(\frac{ka}{4}\sin\varphi\right)}. \end{align*}\]

Дифракционные решётки часто используются как спектральные приборы — для измерения спектра света. В этом случае важно иметь хорошую разрешающую способность.

зад 6 Найдите разрешающую способность дифракции, описанной в предыдущей задаче, то есть определите минимальное значение \(\Delta\lambda\), при котором две спектральные линии \(\lambda\) и \(\lambda + \Delta\lambda\) ещё можно разрешить с помощью такой решётки.

В случае телескопа две точки считались разрешёнными, если центр одного изображения лежит за первым минимумом интенсивности второго изображения. В случае решётки мы поступаем так же: две спектральные линии разрешены, если центр одной линии лежит за ближайшим дифракционным минимумом другой линии. В пограничном случае эти две вещи совпадают; пусть центр \(n\)-го главного максимума одной линии находится при \(\varphi\); тогда \[a\sin\varphi = n\lambda;\] если это совпадает с ближайшим минимумом второй спектральной линии, то \[aN\sin\varphi = (nN-1)(\lambda+\Delta\lambda).\] Исключая \(\varphi\) из этих двух уравнений, получаем \[Nn\lambda = (nN-1)(\lambda+\Delta\lambda);\] раскрывая скобки и пренебрегая членом \(\Delta\lambda\) при \(N \gg 1\), получаем \[\frac{\lambda}{\Delta\lambda} = Nn.\] Обратите внимание на то, что в правой части этого выражения \(nN\) равно числу длин волн, укладывающихся в разность оптических путей между кратчайшим и самым длинным путями через наш спектральный прибор (для того направления, в котором наблюдается \(n\)-я главная дифракция). Это очень общий результат, применимый к любому спектральному прибору, например к интерферометру Фабри–Перо или Маха–Цендера либо к эшелле-решётке.

Последний результат означает, что решётка большего физического размера обеспечивает лучшую разрешающую способность. Однако на практике это не всегда так. Причина в том, что выведенная выше формула предполагает решётку идеальной, со строго постоянным шагом. На практике же шаг может флуктуировать, и в этом случае ограничивающим фактором будет длина когерентности штрихов — длина \(l\), которая может быть покрыта либо \(N\), либо \(N+1\) штрихами, причём неопределённость обусловлена флуктуациями шага.

зад 7 Оцените разрешающую способность интерферометра Фабри–Перо как спектрального фильтра и найдите его спектральное пропускание как функцию длины волны. Этот интерферометр состоит из двух полупрозрачных и полуотражающих параллельных поверхностей с очень высоким коэффициентом отражения \(R\) (он задаёт долю световой энергии, которая отражается, по сравнению с энергией падающего пучка), находящихся на расстоянии \(a\) друг от друга.

Разрешающую способность легко оценить с помощью упомянутого выше общего правила. Кратчайший оптический путь — тот, который проходит через интерферометр напрямую без отражений; самый длинный испытывает много отражений. Строго говоря, у такого многократно отражённого пучка нет верхнего предела длины, но слишком большое число отражений приводит к почти исчезающей интенсивности пучка. Пучок будет эффективно участвовать в дифракции, если его интенсивность не намного меньше интенсивности остальных пучков. Число отражений можно оценить как \(N \approx \frac{1}{1-R} \gg 1\). Действительно, после \(N\) отражений оставшаяся интенсивность света уменьшается в \(R^N\) раз; возьмём пограничное значение этого множителя равным \(e^{-1}\). Тогда \(R^N \approx e^{-1}\), откуда \(N \approx -\frac{1}{\ln R} \approx \frac{1}{1-R}\). Итак, получаем \[\frac{\lambda}{\Delta\lambda} \approx \frac{1}{1-R}.\] Спектральное пропускание можно найти двумя способами. Первый способ — просуммировать вклады нескольких отражений по формуле геометрической прогрессии. Второй способ — объединить все распространяющиеся вверх волны в одну волну, а все распространяющиеся вниз волны — в другую. Тогда амплитуды этих эффективных волн можно связать друг с другом через условие отражения (см. ниже) и в конечном счёте выразить через амплитуду падающей волны. Этот подход справедлив благодаря следующей идее.

Действительно, пусть у нас есть \(N\) синусоидальных волн, и пусть \(n\)-я волна представлена в комплексной форме как \[a_n(z) = A_n e^{i(kz-\omega t)},\] где \(A_n\) — её комплексная амплитуда. Тогда сумма волн даётся выражением \[a(x) = \sum_n A_n e^{i(kz-\omega t)}.\] Экспоненциальный член одинаков для всех волн и, следовательно, может быть вынесен за скобки (то есть за знак суммирования): \[a(x) = e^{i(kz-\omega t)} \sum_n A_n.\] Далее, \(\sum_n A_n\) — комплексное число, обозначим его через \(A\). Тогда \(a(z) = A e^{i(kz-\omega t)}\), то есть мы имеем волну с той же длиной волны и тем же направлением распространения, что и волны-компоненты.

Таким образом, мы можем объединить все идущие вверх фиолетовые волны (см. рисунок выше) в одну волну амплитуды \(E_r\), а все идущие вниз зелёные волны — в одну волну \(E_t\) (индексы \(t\) и \(r\) означают «прошедшая» и «отражённая»). Аналогично мы можем объединить все идущие вверх синие волны в \(E_u\), а все идущие вниз синие волны — в \(E_d\). Наконец, пусть амплитуда падающей (красной) волны обозначена через \(E_i\). Тогда можно сказать, что \(E_t\) — прошедшая часть \(E_d\), а \(E_u\) — отражённая часть \(E_d\): \[E_t = \sqrt{1-R}\,E_d, \quad E_u = \sqrt{R}\,E_d.\] Заметим, что квадратный корень нужен потому, что отражательная способность \(R\) и пропускание \(1-R\) относятся к интенсивности (а мы имеем дело с амплитудами, которые пропорциональны квадратному корню из интенсивности). Далее, \(E_d\) складывается из прошедшей части \(E_i\) и отражённой части \(E_u\). Теперь нужно обратить внимание на сдвиг фаз между этими тремя комплексными амплитудами. Фаза волны изменится на \(kl\), если сместить начало отсчёта на расстояние \(l\); поскольку «синяя волна вниз» и «оранжевая падающая волна» распространяются в разных (неперекрывающихся) областях, для них можно использовать разные начала отсчёта и сделать сдвиг фаз обеих волн равным нулю. Таким образом, можно считать, что прошедшая компонента \(E_i\) даёт вклад в комплексную амплитуду «синей волны вниз» без сдвига фазы², равный \(\sqrt{1-R}\,E_i\). Затем, пройдя вниз и вверх, синяя волна накапливает оптический путь \(2a\), и, следовательно, отражённая компонента \(E_u\) приходит с фазовым множителем \(e^{2ika}\): \[E_d = \sqrt{1-R}\,E_i + \sqrt{R}\,E_u e^{2ika}.\] Пользуясь этими тремя уравнениями, можно выразить \(E_t\) через \(E_i\). Действительно, \(E_d = E_t/\sqrt{1-R}\) и \(E_u = E_t\frac{\sqrt{R}}{\sqrt{1-R}}\); таким образом, \[\frac{E_t}{\sqrt{1-R}} = \sqrt{1-R}\,E_i + \frac{R}{\sqrt{1-R}} E_t e^{2ika},\] откуда \[E_t\left(1 - Re^{2ika}\right) = (1-R)E_i \Rightarrow E_t = \frac{1-R}{1-Re^{2ika}} E_i.\] По определению эффективное пропускание \(t = |E_t|^2/|E_i|^2 = E_t\bar{E}_t/E_i\bar{E}_i\); следовательно, \[t = \frac{1-R}{1-Re^{2ika}} \cdot \frac{1-R}{1-Re^{-2ika}} = \frac{(1-R)^2}{1+R^2-2R\cos(2ka)}.\] Обратим внимание на то, что в максимуме пропускания \(t = 1\), а в минимуме пропускания \(t = \left(\frac{1-R}{1+R}\right)^2\).

Отражённую волну (идущую вверх фиолетовую) можно найти из закона сохранения энергии: эффективный коэффициент отражения \(r = 1 - t\). Иначе её можно найти как суперпозицию отражённой части \(E_i\) и прошедшей части \(E_u\). Здесь, однако, нужно учесть дополнительные сдвиги фаз при отражениях.

Частичное отражение может происходить на разных границах раздела, например на очень тонких металлических плёнках. С помощью закона сохранения энергии можно доказать, что, какова бы ни была граница раздела, сумма сдвигов фаз между прошедшей и отражённой волнами (для обоих направлений падающей волны) равна \(\pi\). В случае тонкой металлической плёнки имеется зеркальная симметрия, поэтому сдвиги фаз не могут зависеть от направления падения, и, следовательно, сдвиг фазы между прошедшей и отражённой волнами равен \(\pi/2\).

зад 8 Докажите, что для произвольной полуотражающей границы раздела без диссипации сумма сдвигов фаз между прошедшей и отражённой волнами для обоих направлений падающей волны равна \(\pi\).

Возвращаясь к случаю интерферометра Фабри–Перо, можно считать, что зеркала диэлектрические и между зеркалами находится оптически более плотная среда. Тогда между красной и фиолетовой волнами (см. рисунок выше) есть сдвиг фазы \(\pi\), так что \(E_r = \sqrt{1-R}\,E_u e^{2ika} - \sqrt{R}\,E_i\).