До сих пор мы неявно предполагали свет линейно поляризованным — считая направление электрического поля закреплённым вдоль оси \(x\). Однако естественный свет в большинстве случаев неполяризован. Это означает, что направление электрического поля флуктуирует во времени. По сути, это ещё одна сторона некогерентности: спустя некоторое время (это может быть много периодов волны, но в секундах всё равно очень мало) электрическое поле электромагнитной волны «забывает» своё прежнее направление и принимает новое произвольное направление (перпендикулярное направлению распространения, см. раздел 1). Это происходит настолько быстро, что ни человеческий глаз, ни обычные измерительные приборы не способны различить мгновенные направления электрического поля. С точки зрения рассмотренной выше дифракции это не так уж важно, поскольку два когерентных световых пучка (от одного и того же источника!) имеют одинаковое мгновенное направление электрического поля (пока разность оптических путей пучков не превышает длину когерентности). Итак, неполяризованный свет — это электромагнитная волна со случайно флуктуирующим направлением электрического поля.

Однако возможен свет, электрическое поле которого всегда параллельно фиксированной оси; плоскость, определяемая этой осью и направлением распространения, называется плоскостью поляризации. В частности, когда свет отражается от диэлектрической границы раздела под углом Брюстера \(\alpha_B = \operatorname{arctg} n\), отражённый пучок полностью поляризован (электрическое поле параллельно границе раздела). В этом случае отражённый и преломлённый пучки перпендикулярны друг другу. Преломлённый пучок тоже поляризован, но лишь частично (большая часть света поляризована перпендикулярно границе раздела). Частично поляризованный свет можно рассматривать как суперпозицию двух некогерентных поляризованных волн с перпендикулярными плоскостями поляризации.

Свет, отражённый диэлектрической поверхностью, всегда в какой-то мере поляризован, и неполяризованная компонента уменьшается по мере приближения угла падения к углу Брюстера. Точно так же частично поляризован и голубой свет неба. Это связано с тем, что голубой свет неба мы видим благодаря рэлеевскому рассеянию. Если рассмотреть малый воображаемый объём воздуха, то число молекул в нём несколько флуктуирует; если среднее (ожидаемое) число молекул равно \(N\), то типичные флуктуации числа молекул порядка \(\sqrt{N}\). Итак, относительные флуктуации плотности воздуха имеют порядок \(1/\sqrt{N}\): они растут с уменьшением \(N\). Отклонение показателя преломления воздуха \(n\) от единицы пропорционально плотности воздуха. Следовательно, малые воображаемые объёмы воздуха ведут себя как среды с разным показателем преломления: от границ этих объёмов происходит частичное отражение. Количество отражённого света всё же мало, потому что разница в \(n\) мала. Эффект сильнее для меньших воображаемых объёмов, но волна не может «разглядеть» что-либо меньшее примерно четверти длины волны. Именно поэтому небо голубое: у голубого света длина волны короче и, следовательно, он может «увидеть» меньшие объёмы с более сильными флуктуациями \(n\), чем остальные компоненты солнечного света. Итак, то, что мы видим как голубое небо, — это свет, отражённый диэлектрической «границей раздела», который частично поляризован. Поляризация сильнее всего при угле Брюстера, когда отражённый и преломлённый пучки перпендикулярны. Поскольку \(n\) очень близок к единице, преломлённый пучок идёт почти по прямой, параллельно вектору, направленному на Солнце. Итак, в случае угла Брюстера отражённый (рассеянный) свет перпендикулярен направлению на Солнце: если смотреть на небо перпендикулярно Солнцу, вы увидите сильно поляризованный голубой свет.

Существуют материалы, обладающие так называемым двойным преломлением: для линейно поляризованного света показатель преломления зависит от плоскости поляризации. Более того, некоторые материалы прозрачны для одной плоскости поляризации и непрозрачны для перпендикулярной. Эти материалы используются для изготовления линейных поляризаторов — фильтров, пропускающих только свет, поляризованный в определённой плоскости. Когда неполяризованный свет проходит через такой фильтр, половина световой энергии рассеивается (свет, который был поляризован в «неправильном» направлении), и на выходе мы имеем полностью поляризованный свет. Такие фильтры применяются в фотографии для уменьшения отражений от диэлектрических поверхностей (таких, как вода или стекло); в случае угла Брюстера отражения можно убрать полностью. Кроме того, эти фильтры позволяют сделать небо темнее и убрать голубую дымку, скрывающую удалённые объекты (например, горы); не забывайте, что такое устранение дымки работает лучше всего, если Солнце перпендикулярно направлению наблюдения (см. выше).

Отражение под углом Брюстера можно использовать для точного измерения показателя преломления. Например, когда полностью поляризованный лазерный свет падает на диэлектрическую поверхность, отражённый пучок исчезает при угле Брюстера \(\alpha_B\), если плоскость поляризации лазерного света перпендикулярна поверхности. Тогда можно измерить \(\alpha_B\) и найти \(n\) как \(n = \operatorname{tg} \alpha_B\).

Теперь рассмотрим случай, когда поляризованный свет падает на поляризатор так, что плоскости поляризации образуют угол \(\alpha\). Пусть плоскость поляризации поляризатора задаёт ось \(x\); предположим, что перед поляризатором вектор электрического поля в максимуме равен \(\vec{E}_0\). Этот вектор можно представить как сумму двух векторов \(\vec{E}_0 = \vec{e}_x E_0 \cos\alpha + \vec{e}_y E_0 \sin\alpha\), что представляет собой разложение исходной волны на две взаимно перпендикулярно поляризованные компоненты. Поляризатор полностью рассеивает \(y\)-компоненту, и на выходе мы имеем вектор амплитуды электрического поля, равный \(\vec{e}_x E_0 \cos\alpha\) (\(\vec{e}_x\) и \(\vec{e}_y\) — единичные векторы вдоль осей \(x\) и \(y\) соответственно). Напомним, что интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды; следовательно, интенсивность прошедшего света \[I = I_0 \cos^2 \alpha,\] что называется законом Малюса (\(I_0\) — интенсивность падающего поляризованного света).

зад 9 Пусть у нас есть два поляризатора со взаимно перпендикулярными плоскостями поляризации. На такую систему падает неполяризованный пучок света интенсивности \(I_0\), и, разумеется, на выходе свет не регистрируется. Теперь между этими двумя поляризаторами вставлен третий поляризатор так, что он образует угол \(\alpha\) с плоскостью поляризации первого поляризатора. Какова интенсивность света на выходе?

Помимо неполяризованного и линейно поляризованного света существует также свет с круговой поляризацией и эллиптически поляризованный свет. Их можно получить из линейно поляризованного света с помощью двоякопреломляющих пластинок. Как отмечено выше, показатель преломления двоякопреломляющих материалов зависит от плоскости поляризации. В случае так называемой четвертьволновой пластинки этот эффект приводит к разности оптических путей двух компонент, равной \(\frac{\lambda}{4}\). Выберем оси \(x\) и \(y\) в плоскости пластинки так, чтобы \(y\)-поляризованный свет запаздывал по отношению к \(x\)-поляризованному на \(\frac{\lambda}{4}\). Пусть на такую пластинку падает линейно поляризованный свет, плоскость поляризации которого образует угол \(\alpha\) с осью \(x\). Тогда в некоторой точке перед пластинкой зависимость компонент электрического поля от времени даётся выражениями \[E_x = E_0 \cos\alpha \sin(\omega t), \quad E_y = E_0 \sin\alpha \sin(\omega t).\] Таким образом, в любой момент времени \(E_y / E_x = \operatorname{tg} \alpha\), то есть вектор электрического поля колеблется вдоль прямой \(E_y = E_x \operatorname{tg} \alpha\). После пластинки \[E_x = E_0 \cos\alpha \sin\left(\varphi_0 + \omega t + \frac{\pi}{2}\right), \quad E_y = E_0 \sin\alpha \sin(\varphi_0 + \omega t),\] где \(\varphi_0\) — фаза, зависящая от точки наблюдения. Из этой системы уравнений легко получить \[\left(\frac{E_x}{\cos\alpha}\right)^2 + \left(\frac{E_y}{\sin\alpha}\right)^2 = E_0^2,\] что является уравнением эллипса: конец вектора электрического поля описывает такой эллипс. Поэтому такой свет называют эллиптически поляризованным; в частном случае \(\alpha = \frac{\pi}{4}\) он поляризован по кругу.

Иногда важно использовать линейный поляризатор, но избежать линейно поляризованного света на выходе (например, в современных фотокамерах для расщепления света используются полупрозрачные зеркала, и если свет линейно поляризован, соотношение интенсивностей расщеплённых пучков становится непредсказуемым). Тогда к поляризатору присоединяют четвертьволновую пластинку, так что выходящий свет становится поляризованным по кругу; такие устройства называют круговыми поляризаторами.

зад 10 Толстая стеклянная пластинка покрыта тонкой прозрачной плёнкой. Спектр пропускания системы изображён на графике (свет падает на пластинку нормально). Показатель преломления плёнки \(n \approx 1{,}3\). Какова толщина плёнки \(d\)?

зад 11 Анемометр — прибор, измеряющий скорость потока газа или жидкости. Рассмотрим устройство простого лазерного анемометра. По прямоугольной трубе с тонкими стеклянными стенками течёт жидкость (показатель преломления \(n = 1{,}3\)), содержащая рассеивающие свет частицы. Две когерентные плоские волны с длиной волны \(\lambda = 515\) нм и углом \(\alpha = 4^\circ\) между их волновыми векторами падают на пластинку так, что (a) биссектриса угла между волновыми векторами нормальна одной из стенок трубы и (b) труба параллельна плоскости, определяемой волновыми векторами. За трубой находится фотодетектор, который измеряет частоту изменений интенсивности рассеянного света.

(i) Каков (пространственный) период \(\Delta\) интерференционной картины, созданной вдоль оси \(x\) (см. рисунок)?

(ii) Пусть частота колебаний сигнала фотометра равна \(\nu = 50\) кГц. Какова скорость жидкости \(v\)? Что можно сказать о направлении течения жидкости?

(iii) Рассмотрим ситуацию, когда длины волн плоских волн отличаются на \(\delta\lambda = 4{,}4\) фм (1 фм \(= 10^{-15}\) м). Какова теперь частота колебаний сигнала (скорость жидкости та же, что и в предыдущем пункте)? Можно ли таким прибором определить направление течения?

зад 12 Как хорошо известно, телескоп позволяет увидеть звёзды днём. Изучим эту задачу подробнее. Рассмотрим упрощённую модель глаза: одна линза с фокусным расстоянием \(f = 4\) см и диаметром \(d = 3\) мм, создающая изображение на экране (сетчатке). Модель телескопа аналогична: линза с фокусным расстоянием \(F = 2\) м и диаметром \(D = 20\) см, создающая изображение в фокальной плоскости (куда можно поместить, например, фотоплёнку). В расчётах можно использовать следующие величины: плотность световой энергии, излучаемой единицей солнечной поверхности в единицу времени, \(w_0\) (поверхностная плотность мощности света); отношение расстояний до звезды и до Солнца \(q = 4 \cdot 10^5\) (мы считаем, что звезда идентична Солнцу); угловой диаметр Солнца \(\phi \approx 9\) мрад. Замечание: если ответ содержит \(w_0\), то численный ответ не требуется.

(i) Рассмотрим лист бумаги, нормаль которого направлена на Солнце. Какова поверхностная плотность мощности света \(w_1\), приходящего на лист от Солнца?

(ii) Найдите суммарную мощность \(P_2\) света, который телескоп фокусирует в изображение звезды.

(iii) Считайте, что голубое небо так же ярко, как лист серой бумаги, освещённый Солнцем. Можно считать, что в направлении, перпендикулярном листу, отношение мощности света, рассеянного бумагой в телесный угол в 1 стерадиан, к суммарной мощности света, приходящей на лист, равно \(\alpha \approx 0{,}1\) (это отвечает рассеянию около 70 % световой энергии в серой бумаге). Какова поверхностная плотность мощности света в фокальной плоскости телескопа \(w_3\), обусловленная голубым небом?

(iv) При изучении изображения звезды пренебрежём всеми эффектами, кроме дифракции. Оцените поверхностную плотность мощности света в центре изображения звезды \(w_2\) (в фокальной плоскости телескопа), обусловленную светом, приходящим от звезды.

(v) Приведите выражение для отношения \(k\) поверхностных плотностей мощности света в середине изображения звезды и в более удалённой от неё точке.

(vi) Можно ли увидеть звезду днём с помощью телескопа? Невооружённым глазом? Обоснуйте.

зад 13 [IPhO-1981] Детектор радиоволн в радиоастрономической обсерватории расположен на морском берегу на высоте \(h = 2\) м над уровнем моря. После восхода звезды, излучающей электромагнитные волны с длиной волны \(\lambda = 21\) см, над горизонтом детектор регистрирует серию чередующихся максимумов и минимумов. Регистрируемый сигнал пропорционален интенсивности принимаемых волн. Детектор регистрирует волны, электрический вектор которых колеблется в направлении, параллельном поверхности моря.

(i) Определите угол между звездой и горизонтом в тот момент, когда детектор регистрирует максимумы и минимумы (в общем виде).

(ii) Уменьшается или увеличивается сигнал сразу после восхода звезды?

(iii) Определите отношение сигналов первого максимума и следующего минимума. При отражении электромагнитной волны от поверхности воды отношение интенсивностей электрического поля отражённой (\(E_r\)) и падающей (\(E_i\)) волн подчиняется закону \[E_r/E_i = (n - \cos\varphi)/(n + \cos\varphi),\] где \(n\) — показатель преломления, а \(\varphi\) — угол падения волны. Для границы «воздух–вода» при \(\lambda = 21\) см показатель преломления \(n = 9\).

(iv) Увеличивается или уменьшается с восходом звезды отношение интенсивностей последовательных максимумов и минимумов? Считайте поверхность моря плоской.

▶Подсказка и ответ к задаче 13Скрыть

Подсказка и ответ

Ответ. (i) Сигнал, регистрируемый детектором \(A\), — результат интерференции двух лучей: луча 1, падающего непосредственно от звезды, и луча 2, отражённого от поверхности моря (см. рисунок)

Фаза второго луча сдвинута на \(\pi\) из-за отражения от среды с большим показателем преломления. Следовательно, разность фаз двух лучей равна: \[\Delta = AC + \frac{\lambda}{2} - AB = \frac{h}{\sin\alpha} + \frac{\lambda}{2} - \frac{h}{\sin\alpha}\cos(2\alpha) =\] \[= \frac{\lambda}{2} + \frac{h}{\sin\alpha}[1 - \cos(2\alpha)] = \frac{\lambda}{2} + 2h\sin\alpha\] Условие интерференционного максимума имеет вид: \[\frac{\lambda}{2} + 2h\sin\alpha_{\max} = k\lambda \quad \text{или} \quad \sin\alpha_{\max} = \left(k - \frac{1}{2}\right)\frac{\lambda}{2h} = (2k - 1)\frac{\lambda}{4h}\] где \(k = 1, 2, 3, …, 19\) (разность оптических путей не может превышать \(2h\), поэтому \(k\) не может превышать 19).

Условие интерференционного минимума имеет вид: \[\frac{\lambda}{2} + 2h\sin\alpha_{\max} = (2k + 1)\frac{\lambda}{2} \Rightarrow \sin\alpha_{\max} = \frac{k\lambda}{2h}\] где \(k = 1, 2, 3, …, 19\).

(ii) Сразу после восхода звезды угловая высота \(\alpha\) равна нулю, поэтому выполняется условие интерференционного минимума. По этой причине сразу после восхода звезды сигнал будет расти.

(iii) Если выполнено условие интерференционного максимума, то напряжённость электрического поля равна сумме напряжённостей прямого луча \(E_i\) и отражённого луча \(E_r\) соответственно: \(E_{\max} = E_i + E_r\). Поскольку \[E_r = E_i\frac{n - \cos\varphi}{n + \cos\varphi},\] то \[E_{\max} = E_i\left(1 + \frac{n - \cos\varphi}{n + \cos\varphi}\right),\] Из рисунка видно, что \(\varphi_{\max} = \frac{\pi}{2} - \alpha_{\max}\), и мы получаем \[E_{\max} = E_i\left(1 + \frac{n - \sin\alpha_{\max}}{n + \sin\alpha_{\max}}\right) = E_i\frac{2n}{n + \sin\alpha_{\max}}. \tag{1}\] В интерференционном минимуме результирующая интенсивность равна: \[E_{\min} = E_i - E_r = E_i\frac{2\sin\alpha_{\min}}{n + \sin\alpha_{\min}}. \tag{2}\] Интенсивность сигнала \(I\) пропорциональна квадрату напряжённости электрического поля \(E\), поэтому отношение интенсивностей последовательных максимумов и минимумов равно: \[\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left(\frac{E_{\max}}{E_{\min}}\right)^2 = \frac{n^2}{\sin^2\alpha_{\min}}\frac{(n + \sin\alpha_{\min})^2}{(n + \sin\alpha_{\max})^2}. \tag{3}\] Пользуясь уравнениями (2) и (3), уравнение (3) можно преобразовать к следующему виду: \[\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{4n^2h^2}{k^2\lambda^2}\left[\frac{n + k\frac{\lambda}{2h}}{n + (2k - 1)\frac{\lambda}{4h}}\right]^2.\] Пользуясь этой общей формулой, можно определить отношение для первого максимума (\(k = 1\)) и следующего минимума: \[\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{4n^2h^2}{\lambda^2}\left[\frac{n + \frac{\lambda}{2h}}{n + \frac{\lambda}{4h}}\right]^2 = 3 \cdot 10^4\]

(iv) Пользуясь тем, что \(n \gg \lambda\), из уравнения двумя строками выше получаем: \[\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{4n^2h^2}{k^2\lambda^2}.\] Итак, с восходом звезды отношение интенсивностей последовательных максимумов и минимумов уменьшается.

зад 14 [IPhO-1990] Мы хотим изучить дифракцию рентгеновских лучей на кубической кристаллической решётке (см. рисунок a). Для этого начнём с дифракции плоской монохроматической волны, падающей перпендикулярно на двумерную решётку, состоящую из \(N_1 \times N_2\) щелей с расстояниями \(d_1\) и \(d_2\). Дифракционная картина наблюдается на экране на расстоянии \(L\) от решётки. Экран параллелен решётке, и \(L\) намного больше \(d_1\) и \(d_2\).

(i) Определите положения и ширины главных максимумов на экране. Ширина определяется как расстояние между минимумами по обе стороны от максимума.

(ii) Рассмотрим теперь кубический кристалл с параметром решётки \(a\) и размерами \(N_0 a \times N_0 a \times N_1 a\), где \(N_1 \ll N_0\). Кристалл помещён в параллельный пучок рентгеновских лучей вдоль оси \(z\) под углом \(\theta\) (см. рис. b). Дифракционная картина снова наблюдается на экране на большом расстоянии \(L \gg N_0 a\) от кристалла. Вычислите положение и ширину максимумов как функцию угла \(\theta\) при \(\theta \ll 1\). Каковы, в частности, следствия того, что \(N_1 \ll N_0\)?

(iii) Дифракционную картину можно получить и с помощью теории Брэгга, в которой предполагается, что рентгеновские лучи отражаются от атомных плоскостей решётки. Дифракционная картина тогда возникает из-за интерференции этих отражённых лучей друг с другом. Покажите, что это так называемое брэгговское отражение даёт те же условия максимумов, что вы нашли в пункте (ii).

(iv) В некоторых измерениях применяется так называемый порошковый метод. Пучок рентгеновских лучей рассеивается порошком из очень многих маленьких кристаллов (разумеется, размеры кристаллов намного больше параметра решётки \(a\)). Рассеяние рентгеновских лучей с длиной волны \(\lambda = 0{,}15\) нм на хлориде калия [KCl] (который имеет кубическую решётку, см. рис. a) приводит к появлению концентрических тёмных окружностей на фотопластинке. Расстояние между кристаллами и пластинкой \(L = 0{,}10\) м, а радиус наименьшей окружности \(R = 0{,}053\) м (см. рис. c). Ионы \(\mathrm{K}^+\) и \(\mathrm{Cl}^-\) почти одинакового размера, и их можно считать одинаковыми центрами рассеяния. Вычислите расстояние между двумя соседними ионами \(\mathrm{K}^+\) в кристалле.

зад 15 [Est-PhO-2009] Зал современной художественной инсталляции имеет белые стены и белый потолок; стены и потолок освещены монохроматическим зелёным светом с длиной волны \(\lambda = 550\) нм. Пол зала сделан из плоских прозрачных стеклянных пластин. Нижние поверхности стеклянных пластин матовые и покрашены в чёрный цвет; верхние поверхности отполированы и покрыты тонкой прозрачной плёнкой. Посетитель, стоящий где-то в зале, увидит на полу круглые концентрические светлые и тёмные полосы с центром вокруг себя. Любопытный посетитель исследует это явление и приходит к следующему выводу: чтобы увидеть наибольшие светлые полосы, ему нужно опустить точку наблюдения ниже; максимальное число наблюдаемых полос \(N = 20\). Определите толщину плёнки, если известно, что показатель преломления плёнки \(n_0 = 1{,}4\), а стеклянных пластин — \(n_1 = 1{,}6\).

зад 16 [Est-PhO-2002] Кольцевой резонатор — устройство, используемое в волоконной оптике; он состоит из кольцевой петли из оптического волокна, связанной с двумя прямыми волокнами, как показано на рисунке. Связь волокон достигается сближением светопроводящих сердцевин настолько, что электромагнитные волны могут «туннелировать» через промежуток между волокнами из одного волокна в другое. В случае кольцевых резонаторов связь между волокнами очень слаба: если световой импульс распространяется по волокну \(A\) слева направо, большая часть световой энергии пройдёт точку связи и продолжит распространение к \(A_2\), и лишь малая доля \(\alpha\) падающей энергии «перепрыгнет» в кольцевое волокно \(B\); пусть \(\alpha = 0{,}01\). Предположим следующее: (i) все три волокна имеют одинаковые свойства; (ii) это так называемые одномодовые волокна, то есть свет может распространяться только параллельно оси волокна, без «отражений» от стенок; (iii) связь между волокнами \(B\) и \(C\) такая же, как между \(A\) и \(C\); (iv) монохроматический инфракрасный свет интенсивности \(I_0\) подаётся на вход \(A_1\) волокна \(A\).

График ниже показывает зависимость интенсивности света на выходе \(A_2\) от длины волны \(\lambda\).

i. Нарисуйте интенсивность света на выходах \(C_1\) и \(C_2\) как функцию \(\lambda\).

ii. Какова интенсивность света в волокне \(B\) при \(\lambda = 1600\) нм?

iii. Какова длина волокна \(B\)? Показатель преломления волокна для инфракрасного света \(n = 1{,}66\).

зад 17 [Est-PhO-2004] Экран, два зеркала и источник монохроматического света расположены так, как показано на рисунке. Из-за заслонки на экран может попасть только отражённый от источника свет. На экране будет полосатая интерференционная картина; расстояние между полосами равно \(d\). Выразите длину волны света \(\lambda\) через \(d\) и расстояние \(a\) (см. рисунок). Считайте, что \(a \gg d\).

зад 18 [Est-PhO-2001] В волоконной оптике часто используются устройства, называемые делителями с равным отношением: это устройства, в которых два оптических волокна приведены в такой контакт, что если электромагнитная волна распространяется в одном волокне, то в точке контакта она расщепляется на две волны равной амплитуды, бегущие в каждом из волокон, см. рисунок.

1. Покажите, что если делитель с равным отношением расщепляет электромагнитную волну надвое, то после точки контакта между двумя волнами имеется сдвиг фазы \(\frac{\pi}{2}\). Подсказка: воспользуйтесь законом сохранения энергии; в зависимости от вашего решения может пригодиться равенство \(\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\).

ii. Рассмотрим теперь два последовательно расположенных делителя с равным отношением, как показано на рисунке ниже (устройство, называемое интерферометром Маха–Цендера). Разность оптических путей отрезков двух волокон между делителями равна \(\Delta = 30\) мкм. Считая, что длина волны падающего монохроматического света меняется от \(\lambda_1 = 610\) нм до \(\lambda_2 = 660\) нм, определите, при каких длинах волн вся световая энергия направляется в волокно «2».

зад 19 [PhysCup-2012] На рисунке ниже приведены пять изображений, которые были получены следующим образом. Лазерный пучок направляли на лист белой бумаги (в одном случае — на белую стену с шероховатой поверхностью). Возникающее яркое пятно лазерного пучка фотографировали цифровой камерой; ось объектива держали приблизительно перпендикулярно листу бумаги. Камера была сфокусирована на бесконечность (а не на яркое пятно!); поэтому поверхность матрицы совпадала с фокальной плоскостью объектива камеры. Снимки делались объективом с фокусным расстоянием \(F = 300\) мм; диаметр объектива был \(D = 75\) мм (для одного изображения эффективный диаметр объектива был уменьшен диафрагмой до 38 мм). Каждое изображение — квадратный вырез из снимка, записанного матрицей; масштабный коэффициент этих изображений можно вычислить, исходя из того, что размер пикселя на матрице был \(9{,}6\) мкм; соответствующий размер каждого изображения также указан в миллиметрах.

Часть A. По этим изображениям оцените размер яркого пятна, созданного красным лазером, которое видно на рисунках 1(a) и 1(b). (Погрешности в пределах множителя 2 приемлемы.) Заметьте, что яркое пятно было слегка эллиптическим и примерно одинакового размера для всех трёх использованных лазеров.

Часть B. Объясните, почему изображение яркого пятна, созданного фиолетовым лазером на листе белой бумаги [рис. 1(d)], качественно отличается от всех остальных изображений.

Приложение 1

Математически это можно вывести из принципа суперпозиции (уравнения Максвелла линейны, поэтому принцип суперпозиции выполняется: любая линейная комбинация решений тоже является решением) и из раздела математики, называемого анализом Фурье. Последний утверждает, что любую функцию от \(x\) можно представить как сумму синусоидальных функций: \(f(x) = \int f_k e^{ikx}\,dk\). Предположим, что при \(t = 0\) \(\vec{E}(z, t = 0) = \vec{e}_x E_\star(z) = \vec{e}_x \int E_k e^{ikz}\,dk\). Каждая из синусоидальных компонент будет эволюционировать во времени согласно уравнению (3), так что при \(\zeta = z - vt\) \[\vec{E}(z, t) = \vec{e}_x \int E_k e^{ik(z - vt)}\,dk = \vec{e}_x \int E_k e^{ik\zeta}\,dk = \vec{e}_x E_\star(\zeta),\] то есть \(\vec{E}(z, t) = \vec{e}_x E_\star(z - vt)\).