Классическая теория термодинамики строится вокруг понятия обратимых процессов.

Итак, система может иметь две или более теплоизолированных частей с разными температурами, но каждая из таких частей должна быть теплоизолированной (между ними не должно быть теплового потока). Как только теплоте позволяют перетекать от одной части к другой, температуры этих частей должны быть почти равными: в этом случае направление теплового потока можно обратить, изменив температуры лишь на очень малую величину. Для идеально обратимого процесса разность температур должна быть бесконечно малой, чтобы изменение температуры, необходимое для обращения процесса, было бесконечно малым. Однако такой процесс был бы и бесконечно медленным, поскольку скорость теплового потока между телами тоже была бы бесконечно малой. Таким образом, реальные процессы могут быть достаточно близки к обратимым, но никогда не бывают идеально обратимыми. Заметим, что при обращении процесса все величины (переданная теплота, работа) меняют знак на противоположный.

Как уже говорилось, лучшее определение температуры основано на статистической термодинамике; она, однако, опирается на квантовую механику, а в доквантовую эпоху использовалось другое определение — кельвиновское. Поскольку мы уже вооружены статистическим определением температуры, строго говоря, нет необходимости обсуждать кельвиновское: в случае положительных температур эти два определения тождественны. Тем не менее обсуждение кельвиновской шкалы температур послужит нам полезным упражнением и даст дополнительное понимание термодинамики.

Кельвиновское определение температуры основано на цикле Карно, который будет подробнее обсуждён позже; здесь достаточно знать его определение.

Заметим, что до сих пор у нас нет количественных определений температуры, но мы знаем, что температуры \(T_1\) и \(T_2\) различны, \(T_1 > T_2\): на основании факта 2 мы знаем, что если бы резервуары привели в контакт, то возник бы тепловой поток от первого ко второму.

Поскольку при охлаждении давление газа падает (см. раздел 3), полная механическая работа, совершаемая газом за весь цикл, положительна (вклад стадии расширения \(A_1 = \int_{\text{exp}} p\,\mathrm{d}V > 0\) преобладает над вкладом стадии сжатия \(A_2 = \int_{\text{contr}} p\,\mathrm{d}V < 0\)). Следовательно, согласно 1НТ, \(Q_1 = Q_2 + A_1 + A_2 > Q_2\). Итак, система работает как тепловая машина: разность теплот идёт на механическую работу \(W = Q_1 - Q_2\); отношение \(\eta \equiv \frac{W}{Q_1} = 1 - \frac{Q_2}{Q_1}\) называют КПД тепловой машины.

зад 32 Покажите, что для цикла Карно КПД может зависеть только от температур нагревающего и охлаждающего тел и не зависит от того, какой газ используется в качестве рабочего.

Решение здесь опирается на 2НТ, которое мы сформулируем в виде идеи.

Решение задачи 32 можно непосредственно использовать, чтобы доказать более общее (и очень полезное) утверждение, которое мы сформулируем в виде факта.

Это выражение для КПД непосредственно следует из приводимого ниже определения температуры. Согласно задаче 32, отношение \(Q_2/Q_1\) — величина, зависящая только от температур тепловых резервуаров. Этот факт можно использовать, чтобы количественно задавать температуры, определив отношение температур двух тел как \[T_1/T_2 = Q_1/Q_2,\] где \(Q_1\) и \(Q_2\) — количества теплоты, соответственно полученное и отданное воображаемым циклом Карно, в котором эти два тела служат нагревающим и охлаждающим тепловыми резервуарами. Это и есть кельвиновское определение температуры; единица температуры 1 К определяется постулатом, что температура тройной точки² воды равна \(T_0 = 273{,}16\,\text{К}\). Это значение \(T_0\) выбрано так, чтобы при атмосферном давлении разность температур кипения и плавления воды была равна 100 К. Заметим, что при таком определении КПД цикла Карно можно переписать в виде \(\eta_C = 1 - \frac{Q_2}{Q_1} = 1 - \frac{T_2}{T_1}\).

зад 33 Покажите, что факт 18 является следствием факта 2.

Как уже упоминалось, в статистической термодинамике показывается, что при статистическом определении температуры (из закона Больцмана) \(\tilde{T}\) для цикла Карно \(Q_1/Q_2 = \tilde{T}_1/\tilde{T}_2\). Это означает, что кельвиновское определение и определение из статистической механики тождественны; совпадение единиц достигается, если постоянную \(k\) в законе Больцмана взять равной \(k_B \approx 1{,}38 \times 10^{-23}\,\text{Дж}/\text{К}\).

зад 34 [IPhO-1992] Производитель рекламирует особую краску так: «Эта краска будет отражать более 90% всего падающего излучения (как видимого света, так и инфракрасного), но излучать она будет на всех частотах (видимый свет и инфракрасное излучение) как абсолютно чёрное тело, отводя тем самым от спутника много теплоты. Поэтому краска поможет держать спутник настолько холодным, насколько это возможно». Может ли такая краска существовать? Почему да или почему нет?

Следствие этой задачи состоит в том, что излучательные и поглощательные свойства материала должны быть одинаковы во всём спектре. Аналогично можно показать, что частично отражающий материал должен иметь одинаковое пропускание с обеих сторон. Может показаться, что тёмные оконные стёкла прозрачнее, если смотреть изнутри слабо освещённой комнаты, но это всего лишь иллюзия: при взгляде снаружи малая доля отражённого обильного наружного света легко может преобладать над прошедшей частью света, идущего изнутри, тогда как обратное неверно. Эффект можно усилить, наложив друг на друга поглощающий и отражающий слои и обратив отражающий слой наружу. Тогда, хотя полное пропускание с обеих сторон одинаково, отражение снаружи больше, потому что снаружи отражённый свет не проходит через поглощающий слой.

Прежде всего эта идея применима ко всем задачам о тепловых машинах, если в этих машинах участвуют тепловые резервуары ровно с двумя разными температурами. В частности, следует иметь в виду, что устройства, основанные на термоэлектрическом эффекте (см. факт 20), теоретически могут быть обратимыми (разумеется, омическая диссипация в таких устройствах необратима и потому должна быть исключена из энергетического баланса). В некоторых случаях задачу удаётся решить (вывести уравнение), поставив мысленный эксперимент с подходящим образом придуманной гипотетической тепловой машиной, см. следующую задачу.

зад 35 Выведите так называемое равенство Клаузиуса—Клапейрона, связывающее производную по температуре от давления насыщенных паров вещества, \(\frac{\mathrm{d}p_s}{\mathrm{d}T}\), с удельной теплотой парообразования \(\lambda\), температурой \(T\), давлением насыщения \(p_s\) и молярной массой \(\mu\).

Насколько изменится давление насыщенных водяных паров, если температуру понизить с \(T_0 = 100{,}0^\circ\text{C}\) до \(T_1 = 99{,}9^\circ\text{C}\)? Атмосферное давление \(P_0 = 1{,}0 \times 10^5\) Па, удельная теплота парообразования воды \(L = 2260\) кДж/кг. Подсказка: рассмотрите цикл Карно, в котором работу совершают водяные пары, а охлаждающий и нагревающий резервуары сделаны из воды с температурами \(T_0\) и \(T_1\) соответственно.

зад 36 Заметьте, что равенство Клаузиуса—Клапейрона можно записать в виде закона Больцмана, \(p_S = p_0 e^{-U/k_B T}\); выразите \(U\) через параметры, перечисленные в задаче 35, и истолкуйте его физически.

Вывод: адиабатический процесс — это изоэнтропический процесс.

Довольно легко видеть, что для замкнутой системы, испытывающей обратимые процессы, энтропия сохраняется. Действительно, поскольку теплообмен между её разными частями происходит при одинаковой температуре, при обмене некоторым количеством теплоты обе части получают равные по модулю и противоположные по знаку приращения энтропии. Однако в случае необратимых процессов, согласно 2НТ (идея 2), та часть системы, которая отдаёт теплоту (\(-\Delta Q < 0\)), имеет большую температуру, чем та часть, которая теплоту получает, \(T_1 > T_2\). Следовательно, полное изменение энтропии всей системы \(\Delta S = -\frac{\Delta Q}{T_1} + \frac{\Delta Q}{T_2} > 0\) положительно.

Наконец, заметим, что факты 19 и 18 часто тоже называют 2НТ, и это нормально, поскольку они эквивалентны факту 2: уменьшение энтропии означало бы непосредственно, что теплота перешла от тела с более низкой температурой к телу с более высокой.

Мы уже показали эквивалентность фактов 2 и 19. Гипотетическую тепловую машину с \(\eta > \eta_C\) называют вечным двигателем второго рода, и он так же невозможен, как вечный двигатель первого рода (тот, который нарушает закон сохранения энергии). Однако люди склонны доверять законам статистики меньше, чем прочим законам природы (иначе кто бы покупал лотерейные билеты!). Это привело к большому числу неудачных попыток создать вечный двигатель второго рода, а также к действительно интересным парадоксам. Пожалуй, самый знаменитый из них — демон Максвелла: наноразмерный человечек, который сидит у дверцы между двумя частями сосуда и открывает дверцу, когда приближается быстрая молекула, а в остальное время держит её закрытой. Казалось бы, температура по другую сторону сосуда начала бы расти, нарушая 2НТ. Разрешение парадокса в том, что этому человечку нужно получать информацию о приближающихся молекулах и зондировать их, посылая, например, фотоны. Однако фотоны, рассеянные на молекулах, дали бы вклад в увеличение энтропии.

Рассмотрим теперь прямой и обращённый циклы Карно подробнее.

Хотя мы уже вывели КПД цикла Карно, отправляясь от кельвиновского определения температуры, проделаем это ещё раз, отправляясь от определения энтропии и пользуясь \(S-T\)-диаграммой. Пусть ось \(S\) горизонтальна, а длина прямоугольника — \(\Delta S\). Согласно определению энтропии, теплота, полученная от нагревающего резервуара, \(\Delta Q_1 = \int_A^B T\,\mathrm{d}S = T_1 \Delta S\) — это площадь большого прямоугольника; аналогично теплота, отданная охлаждающему резервуару, \(\Delta Q_2 = \int_C^D T\,\mathrm{d}S = T_2 \Delta S\) — площадь тёмно-серого прямоугольника. Согласно закону сохранения энергии, совершённая работа \(\Delta W = \oint_{ABCD} T\,\mathrm{d}S = \Delta Q_1 - \Delta Q_2 = \Delta S (T_1 - T_2)\) — площадь светло-серого прямоугольника. Согласно определению КПД, \[\eta_C = \frac{\Delta W}{\Delta Q_1} = \frac{T_1 - T_2}{T_1} = 1 - \frac{T_2}{T_1}.\] Обращённый цикл Карно на \(S-T\)-диаграмме обходится против часовой стрелки: все сжатия становятся расширениями (и наоборот), направление теплового потока обращается, а механическая работа становится отрицательной, т. е. для поддержания процесса нужно совершать работу. Такую обращённую тепловую машину можно использовать для двух целей: как тепловой насос и как холодильник. В холодильнике рабочий газ забирает теплоту из внутренности холодильника при внутренней температуре \(T_2\), протекает по рёбрам на задней стенке холодильника и отдаёт там большее количество теплоты при температуре рёбер \(T_1 > T_2\); электрический двигатель холодильника поддерживает процесс. Эффективность холодильника (её часто называют холодильным коэффициентом, или COP) характеризуется отношением теплоты \(Q_2\), отбираемой изнутри, к работе \(W\), совершённой двигателем (потребляемой электрической мощности), \[\eta_{\text{fridge}} = \frac{Q_2}{W} = \frac{T_2}{T_1 - T_2}.\] Из этого выражения можно заключить, что эффективность холодильника может быть как больше, так и меньше единицы, но добиться очень низких температур весьма трудно, потому что эффективность падает вместе с температурой внутри холодильника.

Тепловой насос можно рассматривать как холодильник, у которого горячие рёбра находятся внутри наших жилых комнат и который забирает теплоту у более холодных тепловых резервуаров вне дома (воздуха или земли). Теперь полезной для нас является теплота \(Q_1\), полученная нашей комнатой, так что эффективность теплового насоса \[\eta_{\text{HP}} = \frac{Q_1}{W} = \frac{T_1}{T_1 - T_2},\] которая всегда больше единицы: он всегда работает эффективнее электрического обогревателя.

Наконец, обсудим термоэлектрический эффект. Для начала вспомним задачу 36: чтобы молекула могла покинуть жидкую фазу, ей нужно сообщить некоторую энергию \(U\). Это означает, что фактически молекулы жидкой фазы обладают потенциальной энергией \(-U\) по отношению к молекулам паровой фазы; эту потенциальную энергию называют химическим потенциалом, и она равна изменению полной энергии при добавлении в систему одной частицы (конечная энергия минус исходные энергии частицы и системы). Подобно молекулам в жидкой фазе, электроны в металлах (полупроводниках, диэлектриках) тоже описываются химическим потенциалом, который часто называют уровнем Ферми \(E_F\). Уровень Ферми материала зависит от температуры; если температура проволоки меняется вдоль её длины, то и уровень Ферми будет меняться вдоль неё. В результате электроны движутся к меньшим уровням Ферми (меньшей потенциальной энергии), создавая избыток зарядов и электрическое поле. В конце концов устанавливается равновесие: электростатический потенциал компенсирует разность уровней Ферми. Итак, в равновесии вдоль проволоки существует меняющийся потенциал. Подведём итог.

Термопара — это устройство из проволок двух разных материалов, подобранных так, чтобы разность коэффициентов Зеебека была как можно больше. Проволока из материала \(A\) соединена на своих двух концах, в спаях, с проволоками из материала \(B\); если спаи держать при разной температуре, то на выходных клеммах термопары возникает электродвижущая сила. Термопары, используемые для получения электрической энергии, называют термоэлектрическими генераторами. Термопары забирают и отдают теплоту в спаях и совершают электрическую работу, так что они работают как тепловые машины. Если бы мы обратили такую тепловую машину, нам пришлось бы подавать в неё ток от внешнего источника. Тогда следовало бы ожидать, что один из спаев будет выделять теплоту, а другой — поглощать; так на самом деле и происходит, и это называют эффектом Пельтье. Направление тока определяет, какой из спаев будет поглощать теплоту.

У большинства металлов \(S\) принимает значения, не превышающие 10 мкВ/К, а у некоторых металлических сплавов — до 30 мкВ/К (70 мкВ/К у висмута). В случае термопары важна разность коэффициентов Зеебека двух материалов проволок, и для пары хромель — константан эта разность при комнатной температуре равна 62 мкВ/К. У полупроводниковых материалов \(S\) может достигать гораздо больших значений.

Теперь мы можем спросить, насколько термоэлектрический эффект близок к обратимому. Чтобы система была обратимой, все её части должны прийти в состояние, очень близкое к тепловому равновесию. Однако в случае термопары у нас есть проволока, соединяющая холодный и тёплый спаи: разность температур создаёт через проволоку тепловой поток, который весьма необратим. Чтобы процесс был обратимым, необратимый тепловой поток \[\Phi_{ir} = \frac{\kappa A}{l}(T_h - T_c)\] (где \(\kappa\) — теплопроводность, \(A\) — площадь поперечного сечения, а \(l\) — длина) должен быть мал по сравнению с обратимым тепловым потоком, который расходуется на производство электрической мощности, \[\Phi_r = \frac{P}{\eta_C} = \frac{V^2}{R}\,\frac{T_h}{T_h - T_c} = \frac{S^2 (T_h - T_c) T_h}{\rho l / A}.\] Итак, процесс можно считать обратимым, если \[\frac{\Phi_r}{\Phi_{ir}} = \frac{S^2 T_h}{\kappa \rho} \gg 1.\] Этот безразмерный параметр называют добротностью и обозначают \[ZT \equiv \frac{S^2 T}{\kappa \rho};\] в настоящее время материалы с наибольшей добротностью достигают значений \(ZT \approx 2{,}5\), но теоретически верхнего предела для \(ZT\) нет. Оказывается, что при \(ZT \approx 2{,}5\) максимальный КПД термопары составляет 30% от КПД цикла Карно. Создание материалов с большей добротностью, которые можно было бы использовать для изготовления компактных термоэлектрических генераторов, — это вызов для материаловедения.

зад 37 Термопару используют как батарейку: один из её спаев находится при комнатной температуре \(T_1 = 20^\circ\text{C}\), другой держат в стакане с водой со льдом при температуре \(T_2 = 0^\circ\text{C}\). Выходные провода подключены к резистору \(R = 10\) Ом, соединённому последовательно с амперметром, который показывает ток \(I = 10\) мА. Сколько льда растает за время \(t = 10\) ч, если стакан со льдом очень хорошо теплоизолирован, а комнатная температура остаётся постоянной? Удельная теплота плавления льда \(\lambda = 330\) кДж/кг. Считайте процессы переноса энергии в термопаре обратимыми.

Приложение 1: обоснование закона Больцмана

Причина, по которой вероятность заселения энергетического уровня экспоненциально убывает с ростом энергии, состоит в том, что для теплового резервуара, который предполагается состоящим из большого числа подсистем, число квантовомеханических состояний растёт с полной энергией \(E_{\text{tot}}\) экспоненциально. Рассмотрим для упрощения тело, у которого есть несколько равноотстоящих энергетических уровней \(E_0, E_1 = E_0 + \mathcal{E}, \ldots E_n = E_0 + n\mathcal{E}\). Далее, пусть тепловой резервуар состоит из большого числа \(N \gg n\) одинаковых частиц, каждая из которых имеет два энергетических уровня, 0 (основной уровень) и \(\mathcal{E}\) (возбуждённое состояние), и пусть полное число частиц в возбуждённом состоянии равно \(M\) (причём \(M, N - M \gg n\)). Теперь тело приводят в контакт с резервуаром; предположим, что его энергия становится равной \(n\mathcal{E}\). В силу закона сохранения энергии это уменьшит число возбуждённых частиц внутри теплового резервуара на \(n\). Таким образом, число возбуждённых частиц равно \(M - n\); число различных состояний теплового резервуара, удовлетворяющих этому условию, равно числу различных способов выбрать \(M - n\) частиц из набора \(N\) частиц, которое даётся выражением \[\binom{N}{M - n} = \frac{N!}{(M - n)!\,(N - M + n)!}.\]

Для основного уровня тела число состояний теплового резервуара аналогично даётся выражением \[\binom{N}{M} = \frac{N!}{M!(N-M)!}.\] Поскольку все эти состояния равновероятны, отношение вероятностей \(n\)-го возбуждённого и основного состояний тела даётся отношением числа состояний: \[\begin{align*} \frac{p_n}{p_0} &= \frac{N!}{(M-n)!(N-M+n)!}\,\frac{M!(N-M)!}{N!} \\ &= \frac{(M-n+1)(M-n+2)\ldots M}{(N-M+1)(N-M+2)\ldots(N-M+n)} \approx \left(\frac{M}{N-M}\right)^n. \end{align*}\] Здесь \(\frac{M}{N-M}\) — число, характеризующее состояние теплового резервуара; мы можем ввести параметр \(\beta = -\frac{1}{\mathcal{E}} \ln\left(\frac{N}{M} - 1\right)\), что приводит нас к закону Больцмана \[\frac{p_n}{p_0} = e^{-\beta E_n}.\] Это «доказательство», вероятно, не слишком удовлетворит математически настроенного читателя, поскольку мы сделали очень ограничительные предположения о частицах теплового резервуара. Для более общего доказательства можно ввести плотность энергетических уровней \(g(E)\) «частиц», составляющих тепловой резервуар, выразить плотность энергетических уровней всего резервуара как \(N\)-кратную свёртку \(g(E)\) с самой собой, вычислить её в фурье-пространстве (поскольку преобразование Фурье свёртки — это просто произведение преобразований Фурье), взять обратное преобразование Фурье и оценить его асимптотически (при \(N \to \infty\)) методом перевала — эти приёмы далеко выходят за рамки настоящей брошюры.

Задачи для повторения

зад 38 [EstPhO-2007] Некоторую комнату обогревают нагревательным прибором, выходная мощность \(P(T)\) которого зависит от температуры комнаты \(T\) так, как показано на рисунке. Если наружная температура равна \(T_1\), то температура комнаты достигнет значения \(T_2\) (см. рисунок). Какая температура комнаты установится, если наружная температура равна \(T_3\)? (найдите решение графически с помощью рисунка). Скорость потерь теплоты комнатой при теплообмене пропорциональна разности внутренней и наружной температур.

зад 39 [EstPhO-2000] Номинальное напряжение лампочки \(V_0 = 26\,\text{В}\), номинальный ток \(I_0 = 0{,}12\,\text{А}\). Холодная вольфрамовая нить этой лампочки имеет сопротивление \(R_0 = 24\,\text{Ом}\). Оцените длину \(l\) и диаметр \(d\) этой нити. Кроме того, при какой температуре \(T\) эта нить должна испускать свет (при работе в номинальном режиме)? Удельное сопротивление вольфрама при комнатной температуре \(\rho_0 = 5{,}3 \times 10^{-8}\,\text{Ом}\cdot\text{м}\). Для металлов удельное сопротивление можно считать пропорциональным температуре в кельвинах. Считайте вольфрам идеально серым телом, которое поглощает долю \(k = 0{,}3\) падающего излучения на любой длине волны. Постоянная Стефана—Больцмана \(\sigma = 5{,}67 \times 10^{-8}\,\text{Вт}/(\text{м}^2\cdot\text{К}^4)\). Тепловым расширением нити пренебречь.

зад 40 [EstPhO-2006] Из-за холодной погоды система отопления сломалась и температура в комнате начала падать. Быстро купили и включили тепловентилятор. За всё это время температура комнаты менялась со временем так, как показано на графике. Какая температура установится в комнате в конце концов? Наружная температура оставалась постоянной. Заметьте, что из-за некоторых конструктивных элементов скорость теплообмена между комнатой и внешней средой была нелинейной функцией разности температур.

зад 41 В теплоизолированном цилиндре поршень может без трения двигаться вверх и вниз. Цилиндр разделён на две части свободно движущейся невесомой перегородкой, которая медленно проводит теплоту, см. рисунок. Вначале температуры газов одинаковы, а объём водорода в 3 раза меньше объёма гелия. Гелий получает некоторое количество теплоты, из-за чего поршень поднимается на \(d_1 = 5\,\text{см}\). Подождав ещё некоторое время, обнаружили дополнительное смещение поршня. Насколько и в каком направлении дополнительно сместился поршень? Газы можно считать идеальными. Молярная теплоёмкость при постоянном давлении равна \(C_{PH_2} = 7/2R\) для водорода и \(C_{PHe} = 5/2R\) для гелия.

зад 42 [EstFin-2006] Согласно распространённому мнению, при сушке белья полезно держать окно открытым, даже если относительная влажность снаружи равна 100%, потому что температура входящего воздуха повышается и тем самым относительная влажность падает. Разберём, справедливы ли эти доводы, когда отопление выключено.

Пусть внутри комнаты объём воздуха \(V_1 = 20\,\text{м}^3\), взятый изнутри при температуре \(t_1 = 25^\circ\text{C}\), смешивается с объёмом воздуха \(V_2 = 10\,\text{м}^3\) снаружи при температуре \(t_2 = 1^\circ\text{C}\). Удельную теплоёмкость воздуха (при постоянном давлении) \(c_p = 1005\,\text{Дж}/(\text{кг}\cdot\text{К})\) можно считать постоянной в данном диапазоне температур; теплообменом со средой можно пренебречь. Пока что можно пренебречь возможностью (частичной) конденсации пара.

а) Докажите, что полный объём воздуха не изменится, т. е. что объём смешанного воздуха \(V = V_1 + V_2\).

б) Какова температура \(T\) смешанного воздуха?

в) На приведённом графике показана зависимость плотности насыщенных водяных паров от температуры. До смешивания и внутренний, и наружный воздух имели относительную влажность \(r_0 = 100\%\). Какова относительная влажность \(r\) смешанного воздуха (если она окажется больше, считайте, что образуется пересыщенный пар с \(r > 100\%\))?

г) Если у вас получилось \(r > 100\%\), то пересыщенный пар распадается в туман, состоящий из крошечных водяных капелек. Какова в этом случае масса \(m\) сконденсировавшейся воды (т. е. суммарная масса водяных капелек)? Плотность воздуха \(\rho_0 = 1{,}189\,\text{кг}/\text{м}^3\); удельная теплота парообразования воды \(q = 2500\,\text{кДж}/\text{кг}\).

зад 43 [IPhO-1999] Цилиндрический сосуд, ось которого вертикальна, содержит молекулярный газ в состоянии термодинамического равновесия. Верхнее основание цилиндра может свободно перемещаться и сделано из стеклянной пластины; будем считать, что утечки газа нет, а трение между стеклянной пластиной и стенками цилиндра как раз достаточно для гашения колебаний, но не приводит к сколько-нибудь заметным потерям энергии по сравнению с остальными участвующими в задаче энергиями. Вначале температура газа равна температуре окружающей среды. Газ с хорошей точностью можно считать идеальным. Будем считать, что стенки цилиндра (включая основания) обладают очень малыми теплопроводностью и теплоёмкостью, поэтому теплообмен между газом и окружающей средой идёт очень медленно и при решении этой задачи им можно пренебречь. Сквозь стеклянную пластину мы посылаем внутрь цилиндра свет лазера постоянной мощности; это излучение легко проходит через воздух и стекло, но полностью поглощается газом внутри сосуда. Поглощая это излучение, молекулы переходят в возбуждённые состояния, из которых быстро возвращаются ступенчато в основное состояние, испуская инфракрасное излучение; это инфракрасное излучение, однако, поглощается другими молекулами и отражается стенками сосуда, в том числе стеклянной пластиной. Поэтому поглощённая от лазера энергия за очень короткое время переходит в тепловое движение (молекулярный хаос) и затем достаточно долго остаётся в газе. Мы наблюдаем, что стеклянная пластина движется вверх; спустя некоторое время облучения мы выключаем лазер и измеряем это смещение.

а) Пользуясь приведёнными ниже данными и — если понадобится — данными листа с физическими постоянными, вычислите температуру и давление газа после облучения.

б) Вычислите механическую работу, совершённую газом вследствие поглощения излучения.

в) Вычислите энергию излучения, поглощённую за время облучения.

г) Вычислите излучаемую лазером мощность, которая поглощается газом, и соответствующее число фотонов (а значит, и число элементарных актов поглощения) в единицу времени.

д) Вычислите КПД процесса преобразования оптической энергии в изменение механической потенциальной энергии стеклянной пластины.

Затем ось цилиндра медленно поворачивают на \(90^\circ\), приводя её в горизонтальное положение. Теплообменом между газом и сосудом по-прежнему можно пренебречь.

е) Определите, изменяются ли давление и/или температура газа в результате такого поворота, и если изменяются, то каковы их новые значения.

Данные: комнатное давление \(p_0 = 101{,}3\,\text{кПа}\); комнатная температура \(T_0 = 20{,}0^\circ\text{C}\); внутренний диаметр цилиндра \(2r = 100\,\text{мм}\); масса стеклянной пластины \(m = 800\,\text{г}\); количество газа в сосуде \(n = 0{,}100\,\text{моль}\); молярная теплоёмкость газа при постоянном объёме \(c_V = 20{,}8\,\text{Дж}/(\text{моль}\cdot\text{К})\); длина волны излучения лазера \(l = 514\,\text{нм}\); время облучения \(\Delta t = 10{,}0\,\text{с}\); смещение подвижной пластины после облучения \(\Delta s = 30{,}0\,\text{мм}\).

зад 44 [EstPhO-1998] Шину накачивают ручным насосом. Манометр показывает, что избыточное давление (разность давлений внутри и снаружи) равно \(p_1 = 2 \times 10^5\,\text{Па}\), давление воздуха \(p_0 = 1 \times 10^5\,\text{Па}\). Найдите температуру воздуха, который поступает в шину через клапан. У насоса два клапана. Один из них впускает газ в насос из атмосферы; он открывается, как только давление внутри насоса становится меньше \(p_0\), и закрывается, как только оно становится больше \(p_0\). Другой пропускает газ из насоса в шину; он открывается, как только давление внутри насоса становится больше давления внутри шины, и закрывается, как только это неравенство перестаёт выполняться. Комнатная температура \(T_0 = 20^\circ\text{C}\).

зад 45 [EstPhO-2002] Основные части автомобильного двигателя — это цилиндр, движущийся внутри него поршень и клапан для впуска газов в цилиндр и выпуска их наружу.

Рабочий цикл двигателя состоит из следующих стадий:

I. Впуск газа: поршень движется из крайнего правого положения влево; через клапан входит свежий воздух и заполняет цилиндр.

II. Повышение давления: клапан закрывается, и поршень возвращается в крайнее правое положение; воздух сжимается адиабатически.

III. Рабочий ход: в цилиндр впрыскивается топливо, которое поджигают. Можно считать, что топливо сгорает мгновенно. Газ начинает расширяться и толкает поршень в крайнее левое положение.

IV. Выпуск газа: клапан открывается, поршень движется вправо, и газ выталкивается из цилиндра. Далее процесс начинает периодически повторяться.

а) Изобразите весь цикл на \(p\)–\(V\)-диаграмме.

б) Найдите КПД \(\eta\).

Данные. Показатель адиабаты для воздуха \(\gamma = 1{,}4\). Степень сжатия определяется как отношение наибольшего и наименьшего объёмов цилиндра, \(k = V_l/V_s\); здесь \(k = 10\). Трением при движении поршня пренебречь. Число молекул топлива много меньше числа молекул воздуха внутри цилиндра. Воздух следует считать идеальным газом, один моль которого обладает внутренней энергией \(U = c_V T\), где \(c_V\) — его молярная теплоёмкость при постоянном объёме.

зад 46 [EstPhO-2002] В архивных хранилищах нужно круглый год поддерживать постоянную температуру \(T_0 = 15^\circ\text{C}\). Найдите годовые затраты на электроэнергию, необходимые для поддержания этой температуры, если скорость теплообмена через стены здания \(P = C\Delta T\), где \(C = 200\,\text{Вт}/\text{К}\), а \(\Delta T\) — разность температур внутри хранилища и снаружи здания. Чтобы регулировать температуру внутри помещения, используют тепловой насос; он может работать и как кондиционер. Если устройство используется как кондиционер (для охлаждения помещения), его эффективность \(\eta_c = 10\) (обычно её называют холодильным коэффициентом, COP; это отношение холодильной мощности к потребляемой электрической мощности); если же оно используется как тепловой насос (для обогрева), эффективность \(\eta_h = 6\) (COP; отношение тепловой мощности к скорости потребления электроэнергии). Приложенный график \(N\)–\(T\) показывает, сколько часов в году (\(N\)) температура наружного воздуха была выше \(T\). Стоимость электроэнергии \(c = 0{,}1\,\text{EUR}/(\text{кВт}\cdot\text{ч})\).

зад 47 [EstPhO-2001] Пользуясь предположениями и числовыми данными зад. 3, а также плотностью вольфрама при комнатной температуре \(\rho = 19\,250\,\text{кг}/\text{м}^3\), ответьте на следующие вопросы.

а) К выводам галогенной лампы приложено меньшее номинального постоянное напряжение \(U_0 = 3\,\text{В}\). За какое время вольфрамовая нить нагреется до температуры \(T_1 = 40^\circ\text{C}\), если вначале она имела комнатную температуру \(T_r = 20^\circ\text{C}\)?

б) По случайности к выводам лампы приложили слишком большое постоянное напряжение \(U_1 = 120\,\text{В}\). За какое время будет достигнута температура плавления вольфрама \(T_2 = 3410^\circ\text{C}\)? Потерями теплоты можно пренебречь, равно как и зависимостью плотности и удельной теплоёмкости вольфрама от температуры; воспользуйтесь графиком зависимости удельного сопротивления вольфрама от температуры.

зад 48 [EstFin-2005] а) Рассмотрим упрощённую модель системы вентиляции воздуха в доме, использующей пассивный теплообменник. Теплообменник состоит из металлической пластины длиной \(x\), шириной \(y\) и толщиной \(d\), которая делит воздушный канал на две половины: одна для входящего холодного воздуха, другая для выходящего тёплого. Обе половины имеют постоянную толщину \(h\), скорость потока воздуха равна \(v\) — см. рисунок. Теплопроводность металла равна \(\sigma\) (тепловой поток через единицу площади пластины за единицу времени в предположении, что температура падает на один градус на единицу толщины пластины). Удельная теплоёмкость воздуха при постоянном давлении равна \(c_p\), плотность воздуха — \(\rho\) (её зависимостью от температуры пренебречь). Можно считать, что воздух турбулентно перемешивается внутри канала, так что температуры входящего и выходящего воздуха \(T_{\text{in}}\) и \(T_{\text{out}}\) зависят только от координаты \(x\) (ось \(x\) направлена вдоль скорости потока), т. е. \(T_{\text{in}} \equiv T_{\text{in}}(x)\) и \(T_{\text{out}} \equiv T_{\text{out}}(x)\). Считая, что температуры внутри и снаружи равны соответственно \(T_0\) и \(T_1\), найдите температуру \(T_2\) входящего воздуха на входе в комнату.

б) Приложен график зависимости скорости теплообмена \(P\) проволоки электрического нагревателя от температуры (комнатная температура при этом \(T_0 = 20^\circ\text{C}\)). Рабочая температура проволоки \(T_1 = 800^\circ\text{C}\). Нагреватель выключают; найдите время, через которое температура проволоки упадёт до \(T_2 = 100^\circ\text{C}\). Теплоёмкость проволоки \(C = 10\,\text{Дж}/\text{К}\).

зад 49 [EstFin-2004] Рассмотрим пассивную систему охлаждения, изображённую на рисунке. Холодный воздух (при нормальных условиях: \(p_0 = 10^5\,\text{Па}\), \(T_0 = 293\,\text{К}\)) обтекает радиатор микросхемы, рассеивающей мощность \(P = 100\,\text{Вт}\), и попадает в вертикальную трубу длиной \(L = 1\,\text{м}\) с площадью поперечного сечения \(S = 25\,\text{см}^2\). Пройдя трубу, воздух выходит в окружающее помещение. Считайте, что воздух внутри трубы хорошо перемешивается; вязким и турбулентным трением воздуха внутри трубы и радиатора пренебречь. Воздух можно считать идеальным газом с показателем адиабаты \(\gamma = 1{,}4\) и молярной массой \(\mu = 29\,\text{г}/\text{моль}\); газовая постоянная \(R = 8{,}31\,\text{Дж}/(\text{К}\cdot\text{моль})\).

а) Выразите теплоёмкость при постоянном давлении \(c_p\) через величины \(\gamma\) и \(R\).

б) Найдите связь между плотностью выходящего воздуха \(\rho\) и температурой \(T\) (в это соотношение могут входить и определённые выше параметры).

в) Найдите связь между скоростью потока воздуха в трубе \(v\) и плотностью выходящего воздуха \(\rho\) (в это соотношение могут входить и определённые выше параметры).

г) Выразите рассеиваемую мощность \(P\) через скорость потока воздуха \(v\), температуру выходящего воздуха \(T\) и его плотность \(\rho\) (в это соотношение могут входить и определённые выше параметры).

д) Какова температура \(T\) выходящего воздуха? В расчётах можно воспользоваться приближением \(T - T_0 \ll T_0\).

зад 50 [EstPhO-2000] Глицерин хранится в плотно закрытом сосуде объёмом \(V = 1\,\text{л}\); внутри глицерина находится пузырёк воздуха объёмом \(w = 1\,\text{мл}\). При температуре \(T_0 = 20^\circ\text{C}\) давление внутри сосуда \(p_0 = 1\,\text{атм}\). Коэффициент линейного расширения материала сосуда очень мал, а стенки сосуда толстые. Коэффициент объёмного расширения глицерина \(\alpha = 5{,}1 \times 10^{-4}\,\text{К}^{-1}\). Воздух можно считать идеальным газом.

а) Найдите зависимость давления внутри бутыли от температуры.

б) При какой температуре и по какой физической причине полученное равенство перестанет быть справедливым?

зад 51 [EstPhO-2003] Бутылку с соком пастеризуют при температуре \(t_1 = 80^\circ\text{C}\) так, что лёгкая крышка свободно лежит на горлышке бутылки (избыточный газ может свободно выходить из бутылки, но наружный воздух внутрь попасть не может). Затем крышку плотно закрепляют, так что воздух уже не может ни входить в бутылку, ни выходить из неё; крышка настолько жёсткая, что её деформацией из-за избыточного давления можно пренебречь. Бутылку охлаждают до комнатной температуры \(t_2 = 20^\circ\text{C}\). Каково давление под крышкой бутылки? Считайте, что физические свойства сока совпадают со свойствами воды; давление насыщенного водяного пара как функция температуры изображено на графике. Атмосферное давление \(P_0 = 1{,}01 \times 10^5\,\text{Па}\).

зад 52 [IPhO-1987] Влажный воздух адиабатически перетекает через горный хребет, как показано на рисунке. На метеорологических станциях \(M_0\) и \(M_3\) измерены одинаковые атмосферные давления \(p_0 = 100\,\text{кПа}\), а на станции \(M_2\) — давление \(p_2 = 70\,\text{кПа}\). Температура воздуха в \(M_0\) равна \(t_0 = +20^\circ\text{C}\). При подъёме воздуха образование облаков начинается при \(p_1 = 84{,}5\,\text{кПа}\). Рассмотрим порцию влажного воздуха, поднимающуюся по горе, массой 2000 кг на каждый квадратный метр. Этот влажный воздух достигает гребня хребта (станция \(M_2\)) через 1500 секунд. За время подъёма в виде дождя выпадает \(m = 2{,}45\) г воды на килограмм воздуха.

а) Определите температуру \(T_1\) в точке \(M_1\), где образуется нижняя кромка облаков.

б) Какова высота \(h_1\) (в точке \(M_1\)) нижней кромки облаков над станцией \(M_0\) в предположении линейного убывания плотности атмосферы?

в) Какая температура \(T_2\) измеряется на гребне горного хребта?

г) Определите высоту столба воды (уровень осадков), выпавших из воздушного потока за 3 часа, в предположении, что дождь между точками \(M_1\) и \(M_2\) идёт однородно.

д) Какая температура \(T_3\) измеряется по другую сторону хребта на станции \(M_3\)? Обсудите состояние атмосферы на станции \(M_3\) в сравнении с состоянием на станции \(M_0\).

Подсказки и данные. Атмосферу следует рассматривать как идеальный газ. Влиянием водяного пара на удельную теплоёмкость и на плотность атмосферы следует пренебречь; то же относится и к зависимости удельной теплоты парообразования от температуры. Температуры нужно определить с точностью до 1 К, высоту нижней кромки облаков — с точностью до 10 м, а уровень осадков — с точностью до 1 мм. Удельная теплоёмкость атмосферы в рассматриваемом диапазоне температур \(c_p = 1005\,\text{Дж}/(\text{кг}\cdot\text{К})\). Плотность воздуха на станции \(M_0\) (т. е. при \(p_0\) и \(T_0\)) равна \(\rho_0 = 1{,}189\,\text{кг}/\text{м}^3\). Удельная теплота парообразования воды в объёме облака \(q_V = 2500\,\text{кДж}/\text{кг}\); ускорение свободного падения \(g = 9{,}81\,\text{м}/\text{с}^2\). Показатель адиабаты как для влажного, так и для сухого воздуха \(\gamma = c_p/c_V = 1{,}4\).

зад 53 В одном научно-фантастическом романе описана следующая ситуация. На космическом корабле произошла авария, и астронавт по случайности оказался на расстоянии \(L = 100\,\text{м}\) от корабля. У него есть кружка с застывшей водой (льдом), и он использует сублимацию (испарение) льда, чтобы вернуться на корабль. Оцените, насколько реалистичен такой способ. Можно считать, что сублимация происходит при постоянной температуре \(T = 272\,\text{К}\), при которой давление насыщенного пара \(P = 550\,\text{Па}\). Размеры кружки и массу воды оцените самостоятельно.

зад 54 [EstFin-2009] Лорд Рэлей прочитал в 1891 году лекцию о фотографировании физических процессов. Среди прочего он показал фотографию распадающейся мыльной плёнки (см. рисунок). Вместо вспышки он использовал электрическую искру (впрочем, современные вспышки тоже основаны на электрических искрах). Оцените, насколько точно должен был быть выдержан момент съёмки, т. е. оцените время распада мыльной плёнки. Пусть толщина мыльной плёнки \(h = 1\,\text{мкм}\), диаметр кольца \(D = 10\,\text{см}\), а поверхностное натяжение \(\sigma = 0{,}025\,\text{Н}/\text{м}\).

Подсказка: можно воспользоваться моделью, согласно которой уже разрушившаяся часть мыльной плёнки собирается в единый фронт и движется целиком к ещё сохранившейся части плёнки.

зад 55 Рассмотрим два «слипшихся» мыльных пузыря. Теперь можно выделить три участка мыльной плёнки: один отделяет внутренность первого пузыря от наружного воздуха — его радиус кривизны равен \(R\); второй отделяет внутренность второго пузыря от наружного воздуха — его радиус кривизны равен \(2R\); третий разделяет внутренности двух пузырей. Найдите площадь третьего участка мыльной плёнки.

зад 56 [EstFin-2013] Солнечные лучи фокусируются линзой диаметром \(d = 10\,\text{см}\) с фокусным расстоянием \(f = 7\,\text{см}\) на чёрную сторону тонкой пластинки. Одна сторона пластинки идеально чёрная, а другая идеально белая. Угловой диаметр Солнца \(\alpha = 32'\), а его интенсивность на поверхности Земли \(I = 1000\,\text{Вт}/\text{м}^2\), постоянная Стефана—Больцмана \(\sigma = 5{,}670 \times 10^{-8}\,\text{Вт}/(\text{м}^2\text{К}^4)\). (i) Найдите температуру нагретой точки пластинки. (ii) Пользуясь термодинамическими соображениями, оцените максимально возможное отношение диаметра линзы к её фокусному расстоянию.

зад 57 [EstFin-2008] В камине, стоящем на земле, горят сырые дрова. На высоте семи метров над землёй дым имеет температуру \(t_7 = 40^\circ\text{C}\). Пренебрегите теплообменом с окружающим воздухом и считайте, что атмосферное давление у земли постоянно во времени и равно \(p_0 = 1000\,\text{гПа}\); температура воздуха \(t_0 = 20^\circ\text{C}\) не зависит от высоты³. Считайте, что дым представляет собой идеальный газ с молярной массой \(\mu = 29\,\text{г}/\text{моль}\) (т. е. равной молярной массе воздуха) и молярной теплоёмкостью при постоянном объёме \(C_V = 2{,}5R\); универсальная газовая постоянная \(R = 8{,}31\,\text{Дж}/\text{кг}\cdot\text{К}\). На какую высоту поднимется столб дыма?

зад 58 [IPhO-2014] Пузырь радиусом \(r = 5{,}00\,\text{см}\) представляет собой мыльную плёнку толщиной \(h = 10{,}0\,\text{мкм}\), содержащую двухатомный идеальный газ. Он помещён в вакуум. Мыльная плёнка обладает поверхностным натяжением \(\sigma = 4{,}00 \times 10^{-2}\,\text{Н}/\text{м}\) и плотностью \(\rho = 1{,}10\,\text{г}/\text{см}^3\).

а) Найдите формулу для молярной теплоёмкости газа в пузыре для процесса, в котором газ нагревают настолько медленно, что пузырь остаётся в механическом равновесии. Вычислите ответ численно.

б) Найдите формулу для частоты \(\omega\) малых радиальных колебаний пузыря и вычислите её в предположении, что теплоёмкость мыльной плёнки много больше теплоёмкости газа в пузыре. Считайте, что внутренность пузыря приходит в тепловое равновесие гораздо быстрее, чем период колебаний; кроме того, полная масса газа много меньше массы мыльной плёнки. Возможностью испарения мыльной плёнки пренебречь.

зад 59 [APhO-2014] Рассмотрим так называемую ячейку Хэдли: это крупномасштабная циркуляция воздушных масс, которые на определённой географической широте (вблизи экватора) поднимаются из нижних слоёв атмосферы (из приповерхностных областей) на большие высоты. При этом подъёме воздух адиабатически охлаждается, что приводит к конденсации водяного пара, образованию облаков и дождю. Холодный воздух движется в верхних слоях атмосферы в направлении север — юг (медленно излучая теплоту в космос), пока не достигнет более высоких географических широт, где он опускается к поверхности Земли, адиабатически нагреваясь. Наконец, тёплый воздух движется вдоль поверхности Земли к исходной точке, нагреваясь от поверхности (которая горяча из-за солнечного света).

Смоделируем ячейку Хэдли упрощённо как тепловую машину, изображённую на схеме ниже. Для простоты будем считать, что при движении воздуха от \(A\) к \(B\) он расширяется адиабатически, а при движении от \(D\) к \(E\) — сжимается адиабатически. Далее будем считать, что процессы с воздухом при его движении от \(B\) к \(D\) и от \(E\) к \(A\) изотермические; на участке \(E\)–\(A\) он получает теплоту от поверхности, на участке \(B\)–\(C\) — получает теплоту от конденсации пара, а на участке \(C\)–\(D\) — отдаёт теплоту благодаря излучению.

а) Зная, что атмосферное давление на некотором уровне по высоте обусловлено весом воздуха, находящегося выше этого уровня, и что \(p_A = 1000\,\text{гПа}\) и \(p_D = 225\,\text{гПа}\), расположите давления \(p_A\), \(p_B\), \(p_C\), \(p_D\), \(p_E\) в точках \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\) соответственно в цепочку неравенств.

б) Пусть температуры вблизи поверхности и у верхней границы атмосферы равны соответственно \(T_H\) и \(T_C\). Зная, что разность давлений между точками \(A\) и \(E\) равна 20 гПа, вычислите \(T_C\) для \(T_H = 300\,\text{К}\). Учтите, что отношение молярной газовой постоянной (\(R\)) к молярной теплоёмкости при постоянном давлении (\(c_p\)) для воздуха равно \(\kappa = 2/7\).

в) Вычислите давление \(p_B\).

г) Для воздушной массы, один раз обходящей зимнюю ячейку Хэдли, получите, используя молярную газовую постоянную \(R\) и определённые выше величины, выражения для полезной работы на моль \(W_{\text{net}}\) (пренебрегая трением о поверхность) и для потерь теплоты на моль \(Q_{\text{loss}}\) у верхней границы атмосферы.

д) Чему равен идеальный термодинамический КПД \(\varepsilon_i\) зимней ячейки Хэдли?

е) Докажите, что действительный термодинамический КПД \(\varepsilon\) зимней ячейки Хэдли всегда меньше \(\varepsilon_i\).

ж) Какое из следующих утверждений лучше всего объясняет, почему \(\varepsilon\) меньше идеального значения? Отметьте правильный ответ (ответы). Правильных ответов может быть несколько.

(I) Мы пренебрегли работой против трения о поверхность.

(II) Конденсация происходит при температуре, меньшей температуры источника теплоты.

(III) На поверхности происходит необратимое испарение воды.

(IV) Идеальный КПД применим лишь тогда, когда нет фазовых переходов воды.

зад 60 [EstFin-2008] Микрокалориметр — это тонкая круглая мембрана из нитрида кремния, теплоизолированная от окружения, если не считать того, что она термически связана с пластиной-подложкой четырьмя тонкими и узкими тепловыми мостиками (см. рисунок). Микрокалориметр снабжён небольшим нагревателем в середине мембраны и такой же структурой на краю мембраны, работающей как термометр. Этот микрокалориметр используют для изучения тепловых свойств нанометровых титановых дисков (светлые крошечные точки на рисунке). Тепловая мощность нагревателя зависит от времени синусоидально, \(P = P_0 \cos(\omega t)\) (отрицательная мощность означает отбор теплоты). Круговая частота \(\omega\) достаточно мала, так что в любой момент времени \(t\) температуру микрокалориметра \(T(t)\) можно считать одинаковой по всей его поверхности, а профиль температуры вдоль тепловых мостиков — линейным. Пластина, к которой присоединены мостики, достаточно велика и толста, так что её температуру \(T_0\) можно всё время считать постоянной. Каждый из четырёх мостиков имеет длину \(L\) и площадь поперечного сечения \(S\); их теплопроводность равна \(\kappa\). Теплопроводность определяется как тепловой поток (измеряемый в ваттах) через единицу площади поверхности в предположении, что перепад температуры составляет \(1^\circ\text{C}\) на 1 м. Теплоёмкость микрокалориметра (вместе с титановыми дисками) равна \(C\).

а) Найдите тепловое сопротивление \(R\) между микрокалориметром и пластиной (т. е. отношение разности температур к тепловому потоку).

В вопросах (ii) и (iii) пользуйтесь величиной \(R\), не подставляя вместо неё ответ вопроса (а).

б) Запишите уравнение теплового баланса для микрокалориметра и найдите температуру микрокалориметра как функцию времени \(T(t)\) [её можно искать в виде \(T = T_0 + \Delta T \sin(\omega t + \phi)\)].

в) Чтобы изучать тепловые свойства титановых нанодисков, амплитуда синусоидальных колебаний \(T(t)\) должна как можно сильнее меняться в ответ на малое изменение \(C\) (вызванное титановыми дисками). Найдите оптимальную круговую частоту \(\omega_0\).

г) Мы предполагали, что профиль температуры вдоль мостиков линеен, т. е. что их теплоёмкостью можно пренебречь. При высоких частотах \(\omega \gtrsim \omega_c\) это не так. Оцените критическую частоту \(\omega_c\) через \(\kappa\), \(l\), удельную теплоёмкость \(c\) и плотность \(\rho\) материала мостиков.

зад 61 [EstFin-2010] Чтобы изучить тепловые свойства термоса, смоделируем его как два концентрических сферических сосуда с радиусами \(R_1 = 7\,\text{см}\) и \(R_2 = 10\,\text{см}\). В зазоре между стенками сосудов — вакуум (поэтому теплопроводностью можно пренебречь).

а) Найдите лучистый тепловой поток (т. е. передаваемую в единицу времени теплоту) между стенками термоса, считая, что температура окружающей среды \(T_2 = 293\,\text{К}\), а внутренняя сфера заполнена жидким азотом при температуре кипения \(T_1 = 77\,\text{К}\). Излучательные способности всех поверхностей равны излучательной способности нержавеющей стали: \(\varepsilon = 0{,}1\). Замечание: излучаемый тепловой поток на единицу площади даётся законом Стефана—Больцмана \(P = \varepsilon \sigma T^4\), где \(\sigma = 5{,}67 \times 10^{-8}\,\text{Вт}/\text{м}^2\text{К}^4\) (в предположении, что \(\varepsilon\) не зависит от длины волны).

б) Оцените, за какое время жидкий азот полностью испарится (пар выходит через клапан избыточного давления). Для жидкого азота плотность \(\rho = 810\,\text{г}/\text{л}\), а удельная теплота парообразования \(\lambda = 199\,\text{кДж}/\text{кг}\). Внимание! Если вам не удалось найти \(P\) (в вопросе а), выразите время испарения символически (т. е. через символ \(P\)).

зад 62 трудная [EstFin-2011] Изучим, как можно создать вакуум внутри колбы с помощью откачки. Пусть объём колбы равен \(V\), а насос состоит из поршня, движущегося внутри цилиндра объёмом \(\alpha V\), где \(\alpha \ll 1\). Цикл откачки начинается с того, что поршень тянут вверх; когда давление внутри цилиндра становится меньше, чем внутри колбы, клапан \(V_A\) (соединяющий цилиндр и колбу) открывается и остаётся открытым, пока поршень движется вверх. Когда поршень отпускают, он начинает двигаться вниз, и в этот момент клапан \(V_A\) закрывается. Пока клапан \(V_A\) открыт, давления в колбе и в цилиндре можно считать равными друг другу. При движении поршня вниз давление в цилиндре адиабатически растёт, пока не сравняется с наружным давлением \(p_0 = 10^5\,\text{Па}\); в этот момент открывается другой клапан \(V_B\), выпускающий газ из цилиндра. Когда поршень достигает самого нижнего положения, внутри цилиндра не остаётся ни капли воздуха. Теперь поршень готов к подъёму: клапан \(V_B\) закрывается, а \(V_A\) открывается, что отмечает начало следующего цикла откачки. Воздух внутри колбы можно считать изотермическим, с температурой, равной температуре окружающей среды \(T_0\). Показатель адиабаты воздуха \(\gamma = c_p/c_V = 1{,}4\).

а) Сколько циклов откачки \(N\) нужно сделать, чтобы понизить давление внутри колбы от \(p = p_0\) до \(p = \beta p_0\), где \(\beta \ll 1\)?

б) Какова полная механическая работа, совершённая при такой откачке (за все \(N\) циклов)?

в) Какова температура воздуха, выпускаемого из цилиндра в окружающую среду в конце процесса откачки (когда давление внутри колбы стало равным \(\beta p_0\))?

г) При описанной выше схеме откачки происходит значительная потеря механической работы в тот период, когда поршень отпущен и движется вниз. Такой потери можно избежать, если есть другой насос, движущийся в противофазе: сила, с которой наружное давление воздуха толкает поршень вниз, может передаваться другому насосу для подъёма его поршня вверх. Какова полная механическая работа при использовании такой схемы откачки?

зад 63 трудная [EstFin-2011] Рассмотрим радиатор в виде медной пластины постоянной толщины (много меньшей диаметра \(d\) пластины). К пластине прикреплён электронный компонент, а на некотором расстоянии от него к пластине прикреплён датчик температуры. Можно считать, что тепловой поток (т. е. мощность на единицу площади) от пластины к окружающему воздуху пропорционален разности температур пластины в данной точке (коэффициент пропорциональности постоянен по всей пластине, включая место расположения электронного компонента).

а) Электронный компонент долгое время рассеивал энергию с постоянной мощностью \(P = 35\,\text{Вт}\), и средняя температура пластины установилась на значении \(T_0 = 49\,^\circ\text{C}\). Теперь компонент выключают, и средняя температура пластины начинает падать; за \(\tau = 10\,\text{с}\) она достигает значения \(T_1 = 48\,^\circ\text{C}\). Определите теплоёмкость \(C\) (в единицах \(\text{Дж}/{}^\circ\text{C}\)) пластины. Теплоёмкостями электронного компонента и датчика температуры можно пренебречь.

б) Теперь электронный компонент долгое время был выключен; в момент \(t = 0\) на нём за очень короткое время выделяется некоторое количество теплоты \(Q\). На рисунке и в таблице приведена температура как функция времени, записанная датчиком. Определите выделившееся количество теплоты \(Q\).

зад 64 [Seagull-2016] Какова была бы температура в центре небесного тела размером с нашу Луну (в кельвинах), если можно сделать следующие предположения. Небесное тело состоит из однородного твёрдого вещества средней плотности \(\rho = 3\,\text{г}/\text{см}^3\) с теплопроводностью \(k = 3\,\text{Вт}/(\text{м}\cdot\text{К})\) и имеет форму шара радиусом \(R = 2000\,\text{км}\). Оно излучает теплоту как абсолютно чёрное тело, т. е. плотность теплового потока на его поверхности \(w = \sigma T^4\), где \(\sigma = 5{,}67 \times 10^{-8}\,\text{Дж}/(\text{с}\cdot\text{м}^2\cdot\text{К}^4)\), а \(T\) — температура его поверхности. Никакой внешний тепловой поток на поверхность этого небесного тела не падает. Из-за ядерного распада разных изотопов (главным образом урана-238 и продуктов его распада) удельная мощность, выделяющаяся в веществе коры, равна \(P = 7 \times 10^{-12}\,\text{Вт}/\text{кг}\).

зад 65 [EstFin-2011] Вычислите термический КПД цикла с идеальным газом, состоящего из двух изотерм при температурах \(T_1\) и \(T_2\) и двух соединяющих их изохор. (Изохора — процесс при постоянном объёме.) Машина устроена так, что теплота, выделяющаяся на охлаждающей изохоре, используется для питания нагревающей изохоры.

зад 66 [EstFin-2014] Рассмотрим куб с длиной ребра \(a = 1\,\text{см}\), изготовленный из алюминия (плотность \(\rho = 2{,}7\,\text{г}/\text{см}^3\), молярная масса \(M_A = 23\,\text{г}/\text{моль}\)). Теплоёмкость одного моля алюминия как функция температуры приведена на графике ниже. Скорость света \(c = 3 \times 10^8\,\text{м}/\text{с}\), универсальная газовая постоянная \(R = 8{,}31\,\text{Дж}/(\text{кг}\cdot\text{К})\). Начальная температура куба \(T_0 = 300\,\text{К}\).

а) Какова полная тепловая энергия такого куба при начальной температуре \(T_0\)?

б) Теперь пять граней куба выкрашены в белый цвет (отражают все существенные длины волн), а одна грань — в чёрный (поглощает все эти волны). Куб окружён вакуумом с очень низкой температурой (близкой к абсолютному нулю); поля тяжести нет. Вначале куб покоится; по мере того как он остывает из-за теплового излучения, он начинает медленно двигаться. Оцените его предельную скорость \(v_1\).

в) При очень низких температурах теплоёмкость алюминия пропорциональна \(T^3\), где \(T\) — его температура. Какая функциональная зависимость \(f(t)\) описывает температуру как функцию времени [\(T = A \cdot f(Bt)\), где \(A\) и \(B\) — постоянные] при таких очень низких температурах в условиях предыдущего вопроса?

г) Теперь пять граней куба покрыты слоем теплоизоляции (теплопередачей через эти грани можно пренебречь). Одна грань оставлена непокрытой. Куб окружён водородной атмосферой с очень низкой температурой (молярная масса молекул водорода \(M_H = 2\,\text{г}/\text{моль}\)). Куб начинает остывать из-за теплопередачи окружающему газу; тепловым излучением можно пренебречь. Вначале куб покоится; по мере остывания он начинает медленно двигаться. Оцените порядок величины его предельной скорости \(v_2\). Считайте, что окружающий газ разрежен, так что длина свободного пробега молекул много больше \(a\). Считайте, что \(v_2 \ll c_s\), где \(c_s\) — скорость звука в окружающей куб атмосфере.

зад 67 трудная [PhysCup] По сравнению с обычными лампами накаливания светодиоды (LED) обеспечивают очень высокую световую эффективность. Причина в том, что спектральное распределение энергии обычных ламп близко к излучению абсолютно чёрного тела; в этом случае можно сказать, что фотоны находятся в тепловом равновесии с чёрным телом. Тогда полная энергия, излучаемая абсолютно чёрным телом с единицы площади за единицу времени в единичном интервале частот, даётся формулой Планка \[I = \frac{2\pi h}{c^2}\,\frac{\nu^3}{e^{h\nu/kT} - 1},\] где \(\nu\) — частота, \(h = 6{,}626 \times 10^{-34}\,\text{Дж}\cdot\text{с}\) — постоянная Планка, \(c = 2{,}997 \times 10^8\,\text{м}/\text{с}\) — скорость света, \(k = 1{,}38 \times 10^{-23}\,\text{Дж}\cdot\text{К}^{-1}\) — постоянная Больцмана, а \(T\) — температура; заметим, что \[\int_0^\infty I\,d\nu = \sigma T^4,\] где \(\sigma = 5{,}678 \times 10^{-8}\,\text{Вт}\cdot\text{м}^{-2}\cdot\text{К}^{-4}\) — постоянная Стефана—Больцмана. При излучении абсолютно чёрного тела много энергии тратится впустую на излучение невидимого света. Между тем светодиоды можно сконструировать так, что они будут излучать почти только видимый свет.

В недавних экспериментах⁴ сообщалось о том, что были созданы светодиоды с эффективностью выше 100%. Здесь эффективность определяется как отношение энергии излучённого света к затраченной электрической энергии.

Исходя из разумных приближений, найдите теоретически наибольшую возможную эффективность светодиода при следующих предположениях:

(а) светодиод снабжён радиатором, поддерживаемым при комнатной температуре \(T_0 = 293\,\text{К}\) (за счёт достаточно быстрого теплообмена с окружающей средой);

(б) светодиод излучает свет на длинах волн, меньших \(\lambda_0 = 700\,\text{нм}\);

(б) площадь светоизлучающей части светодиода \(S = 1\,\text{мм}^2\);

(в) мощность светового излучения светодиода \(P = 1\,\text{мкВт}\).

зад 68 [EstOpen-2010] Жидкостный ракетный двигатель схематически изображён на рисунке ниже. Продукты сгорания образуются внутри камеры сгорания при высоких давлении и температуре и расширяются адиабатически, покидая камеру через сопло. Если сопло сконструировано правильно (диаметр горловины должен соответствовать скорости горения), выхлопные газы продолжают адиабатически расширяться и после прохождения горловины, вплоть до выхода из сопла. В результате бо́льшая часть тепловой энергии превращается в кинетическую энергию выхлопных газов на выходе из сопла. Температура выхлопных газов внутри камеры сгорания равна \(T_0\); на выходе площадь поперечного сечения сопла равна \(S\), температура выхлопных газов равна \(T_1\), а давление равно \(p_1\). Найдите силу тяги \(F\), считая, что \(T_0 \gg T_1\), влиянием атмосферного давления на тягу можно пренебречь, а кинетическая энергия газов внутри камеры сгорания пренебрежимо мала (по сравнению с тепловой энергией). Теплоёмкость одного моля выхлопных газов при постоянном объёме равна \(c_V = \frac{5}{2}R\), где \(R\) — универсальная газовая постоянная.

зад 69 трудная В дневное время воздушные массы в атмосфере обычно находятся в турбулентном (беспорядочном) движении вверх и вниз, что приводит к так называемой адиабатической атмосфере: когда частица воздуха (фиктивный объём) поднимается вверх, она расширяется и адиабатически охлаждается; в адиабатической атмосфере окружающий воздух находится в механическом и термодинамическом равновесии с поднимающейся частицей воздуха (имеет ровно такие же давление и температуру). Найдите, как зависит температура воздуха \(T\) от высоты \(h\) в адиабатической атмосфере. На уровне земли (\(h = 0\)) \(T = T_0\); ответ выразите через показатель адиабаты воздуха \(\gamma\), молярную массу \(\mu\), универсальную газовую постоянную \(R\) и ускорение свободного падения \(g\).

зад 70 [IPhO-2006] У подножия небоскрёба высотой 1000 м наружная температура равна \(T_\text{bot} = 30\,^\circ\text{C}\). Требуется оценить наружную температуру \(T_\text{top}\) на его вершине. Рассмотрим тонкий слой воздуха (идеальный газ — азот с показателем адиабаты \(\gamma = 7/5\)), медленно поднимающийся на высоту \(z\), где давление меньше, и предположим, что этот слой расширяется адиабатически, так что его температура падает до температуры окружающего воздуха.

а) Как относительное изменение температуры \(dT/T\) связано с относительным изменением давления \(dp/p\)?

б) Выразите разность давлений \(dp\) через \(dz\) — изменение высоты.

в) Какая температура получается на вершине здания?

Данные: постоянная Больцмана \(k_B = 1{,}38 \times 10^{23}\,\text{Дж}\cdot\text{К}^{-1}\), масса молекулы азота \(m = 4{,}65 \times 10^{-26}\,\text{кг}\), ускорение свободного падения \(g = 9{,}80\,\text{м}\cdot\text{с}^{-2}\).

зад 71 [IPhO-2006] Яйцо, взятое прямо из холодильника при температуре \(T_0 = 4\,^\circ\text{C}\), опускают в кастрюлю с водой, которая кипит при температуре \(T_1\).

а) Каково количество энергии \(U\), необходимое для того, чтобы яйцо свернулось?

б) Каков тепловой поток \(J\), втекающий в яйцо?

в) Какова тепловая мощность \(P\), передаваемая яйцу?

г) Сколько времени нужно варить яйцо, чтобы оно сварилось вкрутую?

Подсказка: можно воспользоваться упрощённой формой закона Фурье \(J = \kappa\Delta T/\Delta r\), где \(\Delta T\) — разность температур, отвечающая \(\Delta r\) — характерному масштабу длины в задаче. Тепловой поток \(J\) измеряется в \(\text{Вт}\cdot\text{м}^{-2}\).

Данные: плотность яйца \(\mu = 10 \times 10^3\,\text{кг}\cdot\text{м}^{-3}\), удельная теплоёмкость яйца \(C = 4{,}2\,\text{Дж}\cdot\text{К}^{-1}\text{г}^{-1}\), радиус яйца \(R = 2{,}5\,\text{см}\), температура свёртывания альбумина (яичного белка) \(T_c = 65\,^\circ\text{C}\), коэффициент переноса теплоты \(\kappa = 0{,}64\,\text{Вт}\cdot\text{К}^{-1}\text{м}^{-1}\) (считается одинаковым для жидкого и твёрдого альбумина).

зад 72 [EstPhO-2000] Плотно закрытый сосуд с толстыми прочными стенками заполнен глицерином. Внутри глицерина находится пузырёк воздуха объёмом \(w = 1\,\text{мл}\). При температуре \(T_0 = 20\,^\circ\text{C}\) давление в сосуде \(p_0 = 1\,\text{атм}\). Полный объём сосуда \(V = 1\,\text{л}\), коэффициент линейного теплового расширения сосуда пренебрежимо мал. Коэффициент объёмного теплового расширения глицерина \(\alpha = 5{,}1 \times 10^{-4}\,\text{К}^{-1}\). Выразите давление внутри сосуда как функцию температуры; при каких температурах и почему ваше выражение становится неприменимым?

зад 73 трудная [WoPhO-2012] Торнадо — это яростный вихрь (вращающийся столб) воздуха, соединяющий основание кучево-дождевого⁵ облака с землёй. Отличительная черта торнадо — его воронкообразное ядро, или конденсационная воронка (область II), состоящая из мелких водяных капель, которые конденсируются при засасывании в ядро, как показано на рис. 1(b). Эта область задаётся радиусом ядра \(r_C(z)\), который обычно растёт с высотой, образуя характерную воронкообразную форму торнадо. Область I — это область снаружи ядра торнадо. В нашей упрощённой модели области I и II имеют разные профили распределения скорости, как мы увидим дальше.

Далее можно пользоваться следующими данными:

ускорение свободного падения \(g = 9{,}8\,\text{м}/\text{с}^2\),

плотность воздуха \(\rho_\text{air} = 1{,}2\,\text{кг}/\text{м}^3\),

молярная масса сухого воздуха \(M_\text{air} = 0{,}029\,\text{кг}/\text{моль}\),

универсальная газовая постоянная \(R = 8{,}314\,\text{Дж}/(\text{моль}\cdot\text{К})\),

давление в точке \(A\) (см. рисунок) \(P_0 = 1{,}0 \times 10^5\,\text{Па}\),

температура в точке \(A\) (см. рисунок) \(T_0 = 15\,^\circ\text{C}\),

отношение теплоёмкостей воздуха \(C_p/C_v = 1{,}4\).

А) Спокойная погода. Мы исследуем атмосферное давление тропосферы (самой нижней части атмосферы), где происходит большинство погодных явлений, включая торнадо. Начнём с места со спокойной погодой — точки \(A\), далёкой от торнадо.

i) Считая справедливым уравнение состояния идеального газа, ускорение свободного падения постоянным и температуру постоянной и равной \(T_0\), покажите, что атмосферное давление как функция высоты \(z\) равно \(P(z) = P_0 e^{-\alpha z}\); выразите \(\alpha\) через перечисленные выше постоянные.

ii) Для простоты пренебрежём зависимостью плотности воздуха \(\rho_\text{air}\) от \(z\). Выведите давление как функцию высоты, \(P(z)\).

iii) Пользуясь результатом пункта (ii), вычислите давление в точке \(B\) у основания кучево-дождевого облака! (Возьмите \(h = 1\,\text{км}\).)

Б) Форма. Внутри ядра торнадо водяной пар конденсируется в жидкие капли по мере того, как воздух по спирали втягивается в ядро, образуя конденсационную воронку. Водяной пар конденсируется, когда температура падает ниже точки росы. Падение температуры вызвано падением давления, поэтому точки, в которых водяной пар начинает конденсироваться, лежат на поверхности равного давления, называемой изобарическим пограничным слоем и показанной на рисунке красной границей. Это граница между областями I и II. Пока мы рассматриваем только область I. Рассмотрим точку \(G\) (см. рисунок) очень близко к земле (\(z \approx 0\)), находящуюся на радиальном расстоянии \(r = r_G\) от оси (точка \(C\)). В этой точке скорость ветра \(v_G\) можно считать скоростью вращения торнадо у земли. Далее мы делаем следующие предположения: торнадо неподвижен (совершает только вращение и не совершает поступательного движения); радиальная скорость ветра много меньше тангенциальной скорости \(v = v(r)\), которая будет считаться не зависящей от высоты \(z\) (зависит только от \(r\)); турбулентностью в непосредственной близости от земли можно пренебречь; плотность воздуха (\(\rho_\text{air}\)) можно считать постоянной.

i) Покажите, что как в области I, так и в области II \[\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}r} = \rho_\text{air}\frac{v^2}{r}.\]

ii) В области I вычислите скорость ветра \(v\) как функцию \(r\), выразив её через \(v_G\) и \(r_G\).

iii) Оцените скорость воздуха \(v_G\).

iv) Выведите форму конденсационной воронки, т. е. найдите функцию \(r_C(z)\), где \(r_C\) обозначает радиальное расстояние точки \(C\) на пограничном слое (см. рисунок). Начертите эту форму торнадо в безразмерных величинах \(z/h\) и \(r/r_G\), где \(h\) — высота, определённая на рисунке.

v) Большинство торнадо выглядят как воронка (радиус больше на большей высоте), тогда как некоторые более однородны по диаметру, как труба. У какого типа выше скорость вращения у земли \(v_G\)?

В) Ядро. Теперь мы рассмотрим обе области — I и II.

i) В области II (\(r < r_C\)) ядро торнадо ведёт себя как твёрдое тело; выведите выражение для (тангенциальной) скорости \(v(r)\) в этой области.

ii) Вычислите давление в центре торнадо (точка \(D\), на той же высоте, что и точка \(G\)).

iii) Оцените температуру \(T_D\) в центре торнадо.

iv) Исходя из того, что вы нашли в пункте (iii), предположите, что могло бы быть возможным источником колоссальной энергии торнадо.

Г) Окна. Считается, что перепад давления вблизи торнадо заставляет плохо проветриваемые дома «взрываться», даже если торнадо лишь проходит на некотором расстоянии. Поэтому некоторые люди предлагают открывать окна, чтобы давление в доме сравнялось с наружным. Однако тогда ветер и обломки могут беспрепятственно попадать в дом. Рассмотрим дом, у которого все окна и проёмы закрыты, с плоской крышей размерами (ширина \(\times\) длина \(\times\) толщина) \(15\,\text{м} \times 15\,\text{м} \times 0{,}1\,\text{м}\) и плотностью \(\rho_\text{roof} = 800\,\text{кг}/\text{м}^3\). Торнадо быстро приближается и проходит на расстоянии \(d = 2r_G\) от дома.

i) Каково отношение подъёмной силы к весу для крыши?

ii) Открывать окна или закрывать?

зад 74 [IPhO-2004] Резиновый шар, наполненный газообразным гелием, поднимается высоко в небо, где давление и температура убывают с высотой. В следующих вопросах считайте, что форма шара остаётся сферической независимо от полезной нагрузки, и пренебрегите объёмом полезной нагрузки. Считайте также, что температура газообразного гелия внутри шара всегда такая же, как у окружающего воздуха, и рассматривайте все газы как идеальные. Универсальная газовая постоянная \(R = 8{,}31\,\text{Дж}/(\text{моль}\cdot\text{К})\), а молярные массы гелия и воздуха равны соответственно \(M_H = 4{,}00 \times 10^{-3}\,\text{кг}/\text{моль}\) и \(M_A = 28{,}9 \times 10^{-3}\,\text{кг}/\text{моль}\). Ускорение свободного падения \(g = 9{,}8\,\text{м}/\text{с}^2\).

А-i) Пусть давление окружающего воздуха равно \(P\), а температура — \(T\). Давление внутри шара больше наружного из-за поверхностного натяжения оболочки шара. Шар содержит \(n\) молей газообразного гелия, и давление внутри равно \(P + \Delta P\). Найдите архимедову силу \(F_B\), действующую на шар, как функцию \(P\) и \(\Delta P\).

ii) В один из летних дней в Корее температура воздуха \(T\) на высоте \(z\) над уровнем моря оказалась равной \(T(z) = T_0(1 - z/z_0)\) в диапазоне \(0 < z < 15\,\text{км}\) при \(z_0 = 49\,\text{км}\) и \(T_0 = 303\,\text{К}\). Давление и плотность на уровне моря равны соответственно \(P_0 = 1\,\text{атм} = 1{,}01 \times 10^5\,\text{Па}\) и \(\rho_0 = 1{,}16\,\text{кг}/\text{м}^3\). В этом диапазоне высот давление имеет вид \(P(z) = P_0(1 - z/z_0)^\eta\). Выразите \(\eta\) через \(z_0\), \(\rho_0\), \(P_0\) и \(g\) и найдите его численное значение с точностью до двух значащих цифр. Ускорение свободного падения считайте постоянным, не зависящим от высоты.

B) Когда резиновый шар сферической формы с нерастянутым радиусом \(r_0\) раздувают до сферы радиуса \(r\) (\(r \ge r_0\)), поверхность шара приобретает дополнительную упругую энергию за счёт растяжения. В простейшей теории упругую энергию при постоянной температуре \(T\) можно записать в виде \[U = 4\pi r_0^2 \kappa R T \left(2\lambda^2 + \lambda^{-4} - 3\right),\] где \(\lambda \equiv r/r_0\) (\(\ge 1\)) — коэффициент раздувания, а \(\kappa\) — постоянная, измеряемая в \(\text{моль}/\text{м}^2\).

i) Выразите \(\Delta P\) через параметры, входящие в приведённое выше уравнение, и изобразите эскиз зависимости \(\Delta P\) от \(\lambda = r/r_0\).

ii) Постоянную \(\kappa\) можно определить по количеству газа, необходимому для раздувания шара. При \(T_0 = 303\,\text{К}\) и \(P_0 = 1\,\text{атм}\) нерастянутый шар (\(\lambda = 1\)) содержит \(n_0 = 12{,}5\,\text{моль}\). Чтобы раздуть шар до \(\lambda = 1{,}5\) при тех же \(T_0\) и \(P_0\), требуется всего \(n = 3{,}6 n_0 = 45\,\text{моль}\). Выразите параметр шара \(a\), определяемый как \(a = \kappa/\kappa_0\), через \(n\), \(n_0\) и \(\lambda\), где \(\kappa_0 = r_0 P_0 / 4 R T_0\). Вычислите \(a\) с точностью до двух значащих цифр.

C) Шар приготовлен так, как в пункте (C-ii), на уровне моря (раздут до \(\lambda = 1{,}5\) и содержит \(n = 3{,}6 n_0 = 45\,\text{моль}\) гелия при \(T_0 = 303\,\text{К}\) и \(P_0 = 1\,\text{атм}\)). Полная масса, включающая газ, сам шар и прочую полезную нагрузку, равна \(M_T = 1{,}12\,\text{кг}\). Пусть теперь шар начинает подниматься с уровня моря.

i) Предположим, что в итоге шар останавливается на высоте \(z_f\), где архимедова сила уравновешивает полный вес. Найдите \(z_f\) и коэффициент раздувания \(\lambda_f\) на этой высоте. Ответы дайте с точностью до двух значащих цифр. Считайте, что при подъёме нет ни сноса, ни утечки газа.

зад 75 [IPhO-1992] Это продолжение зад. 6; здесь мы повторяем численные данные: спутник — шар радиусом 1 м, все точки которого имеют одинаковую температуру. Спутник находится вблизи Земли, но не затеняется ею; температура поверхности Солнца \(T_{⊙} = 6000\,\text{К}\), его радиус \(R_{⊙} = 6{,}96 \times 10^8\,\text{м}\), расстояние между Землёй и Солнцем \(L = 1{,}5 \times 10^{11}\,\text{м}\), постоянная Стефана—Больцмана \(\sigma = 5{,}67 \times 10^{-8}\,\text{Вт}\cdot\text{м}^{-2}\cdot\text{К}^{-4}\).

Спектр излучения абсолютно чёрного тела \(u(T, f)\) при температуре \(T\) подчиняется закону излучения Планка \[u(T, f)\,\mathrm{d}f = A \frac{\eta^3 d\eta}{e^{\eta} - 1},\] где \(u\,\mathrm{d}f\) — плотность энергии электромагнитного излучения в интервале частот \((f, f + df)\), а \(\eta = hf/kT\); постоянную \(A\) можно выразить через фундаментальные постоянные \(c\) (скорость света), \(k\) (постоянная Больцмана) и \(h\) (постоянная Планка): \(A = \frac{8\pi k^4}{c^3 h^3}\). Спектр чёрного тела, проинтегрированный по всем частотам \(f\) и по всем направлениям излучения, даёт полную излучаемую мощность с единицы площади \(P = \int u(T, f)\,df = \sigma T^4\), как это и записано в приведённом выше законе Стефана—Больцмана. На рисунке показан нормированный спектр \(u(T, f)/AT^4\) как функция \(\eta\).

Во многих приложениях необходимо, чтобы спутник оставался как можно более холодным. Чтобы охладить спутник, инженеры используют отражающее покрытие, которое отражает свет выше некоторой граничной частоты, но не препятствует уходу теплового излучения на меньших частотах. Считайте, что этой (резкой) граничной частоте соответствует \(hf/k = 1200\,\text{К}\).

Оцените теперь температуру спутника.

Подсказка: точный расчёт не требуется; поэтому вместо точных и сложных интегрирований используйте, где это возможно, приближённые вычисления. Известно значение следующего интеграла: \[\int_0^\infty \frac{\eta^3 d\eta}{e^{\eta} - 1} = \frac{\pi^4}{15}.\] Максимум функции \(\eta^3/(e^{\eta} - 1)\) достигается вблизи \(\eta \approx 2{,}82\). При малых значениях \(\eta\) можно пользоваться приближением \(e^{\eta} \approx 1 + \eta\).

зад 76 [IPhO-2000⁶] Идеальная тепловая машина получает теплоту от тела \(A\) и отдаёт её телу \(B\); оба тела имеют одинаковую теплоёмкость \(C\). Начальная температура тела \(A\) была \(T_1\), а тела \(B\) — \(T_2\). Какую максимальную работу может совершить такая тепловая машина?

зад 77 трудная Оба спая термопары обмениваются теплом с окружающим воздухом со скоростью \(P_e = \kappa \Delta T\), где \(\Delta T\) — разность между температурой спая и температурой воздуха; постоянная \(\kappa = 30\,\text{мкВт}/\text{К}\). Чувствительность термопары \(\alpha\) определяется как коэффициент пропорциональности между напряжением термопары и разностью температур спаев; в данном случае \(\alpha = 50\,\text{мкВ}/\text{К}\). Через термопару пропускают электрический ток \(I = 10\,\text{мА}\); найдите температуру более холодного спая, если температура воздуха \(t_a = 20^\circ\text{C}\). Считайте процессы переноса энергии в термопаре обратимыми.

зад 78 [EstPhO-2010] Диск радиусом \(r = 1\,\text{см}\) изготовлен из сухого льда (углекислый газ в твёрдой фазе) и прижат к пластине, сделанной из материала с высокой теплопроводностью. Диск прижимают к пластине силой \(F = 100\,\text{Н}\), приложенной к центру диска и почти (но не точно) перпендикулярной пластине. Когда температура пластины невелика, сила трения между диском и пластиной удерживает диск в покое. Однако, когда температура пластины поднимается выше критического значения \(T_0\), сила трения почти полностью исчезает и диск начинает скользить по пластине. Найдите \(T_0\). Давление воздуха равно 101 кПа, давление в тройной точке углекислого газа \(p_t = 5{,}1 \times 10^5\,\text{кПа}\), зависимость давления насыщенного пара углекислого газа от температуры приведена на рисунке ниже.

зад 79 простая [EstPhO-2009] Комнату обогревают электрическим радиатором мощностью \(P = 1\,\text{кВт}\). Наружная температура \(t_0 = 0^\circ\text{C}\), температура комнаты стабилизировалась на значении \(t_1 = 20^\circ\text{C}\). Открывают форточку, через которую теперь поступает свежий воздух с объёмным расходом \(v = 20\,\text{л}/\text{с}\). Какой станет новая температура в комнате? Воздух можно считать идеальным двухатомным газом.

зад 80 простая [IPhO-1997] В некоторый день воздух сухой и имеет плотность \(\rho = 1{,}250\,\text{кг}/\text{м}^3\). На следующий день влажность возросла, и воздух содержит 2% водяного пара по массе. Давление и температура те же, что и накануне. Какова теперь плотность воздуха \(\rho'\)? Средняя молярная масса сухого воздуха \(M_a = 28{,}8\,\text{г}/\text{моль}\), молярная масса воды \(M_w = 18\,\text{г}/\text{моль}\). Считайте газы идеальными.

зад 81 [IPhO-2010] Дымовая труба. Газообразные продукты горения выбрасываются в атмосферу с температурой \(T_{\text{air}}\) через высокую трубу с площадью поперечного сечения \(A\) и высотой \(h\) (см. рис. a). Твёрдое топливо сжигают в топке, температура которой равна \(T_{\text{smoke}}\). Объём газов, образующихся в топке за единицу времени, равен \(B\). Считайте, что:

• скорость газов в топке пренебрежимо мала;

• средняя молярная масса образующихся в топке газов (дыма) равна молярной массе воздуха, и эти газы можно считать идеальными;

• труба не очень высокая (не выше сотни метров);

• температуру дыма можно считать постоянной по всей длине трубы.

а) Какова минимальная высота трубы, необходимая для эффективного отвода газов? Выразите ответ через \(B\), \(A\), \(T_{\text{air}}\), \(g = 9{,}81\,\text{м}/\text{с}^2\) и \(\Delta T \equiv T_{\text{smoke}} - T_{\text{air}}\). Во всех последующих пунктах считайте, что высота трубы равна этой минимальной высоте.

б) Пусть построены две трубы, служащие совершенно одинаковой цели. Их поперечные сечения одинаковы, но они рассчитаны на работу в разных частях света: одна — в холодных краях, при средней температуре атмосферы \(-30^\circ\text{C}\), другая — в тёплых краях, при средней температуре атмосферы \(30^\circ\text{C}\). Температура топки равна \(400^\circ\text{C}\). Было рассчитано, что высота трубы, предназначенной для холодных краёв, равна 100 м. Какова высота второй трубы?

в) Как изменяется скорость газов по высоте трубы? Постройте эскиз (график), считая, что поперечное сечение трубы не меняется по высоте.

г) Как изменяется давление газов по высоте трубы?

Солнечная электростанция. Принцип работы дымовой трубы можно использовать для постройки особого рода солнечной электростанции — солнечной трубы. Идея иллюстрируется рисунком b. Солнце нагревает воздух под коллектором площадью \(S\) с открытой периферией, что обеспечивает беспрепятственный приток воздуха. По мере того как нагретый воздух поднимается по трубе (красные стрелки), в коллектор из окружающего пространства поступает новый холодный воздух (синие стрелки), обеспечивая непрерывный поток воздуха через электростанцию. Поток воздуха через трубу вращает турбину, в результате чего вырабатывается электрическая энергия. Энергия солнечного излучения, приходящаяся на единицу времени и на единицу горизонтальной площади коллектора, равна \(G\). Считайте, что вся эта энергия идёт на нагрев воздуха в коллекторе (удельная теплоёмкость воздуха равна \(c\), её зависимостью от температуры воздуха можно пренебречь). КПД солнечной трубы мы определяем как отношение кинетической энергии потока газа к солнечной энергии, поглощённой при нагреве воздуха до его входа в трубу.

д) Каков КПД солнечной электростанции с трубой?

е) Постройте график, показывающий, как КПД трубы меняется с её высотой.

Прототип трубы, построенный в Мансанаресе (Испания), имел высоту 195 м и радиус 5 м. Коллектор круглый, диаметром 244 м. Удельная теплоёмкость воздуха при типичных условиях работы этого прототипа солнечной трубы равна \(1012\,\text{Дж}/(\text{кг}\cdot\text{К})\), плотность горячего воздуха составляет примерно \(0{,}9\,\text{кг}/\text{м}^3\), а типичная температура атмосферы \(T_{\text{air}} = 295\,\text{К}\). В Мансанаресе солнечная мощность на единицу горизонтальной поверхности в солнечный день обычно равна \(150\,\text{Вт}/\text{м}^2\).

ж) Каков КПД прототипа электростанции? Запишите численную оценку.

з) Какую мощность мог бы вырабатывать прототип электростанции?

и) Сколько энергии могла бы выработать электростанция за типичный солнечный день?

к) Насколько повышается температура воздуха при его входе в трубу (тёплый воздух) по сравнению с окружающим (холодным) воздухом? Запишите общую формулу и вычислите её значение для прототипа трубы.

л) Каков массовый расход воздуха через систему?

зад 82 трудная Воздух (смесь кислорода и азота) находится в закрытом сосуде, с одного конца снабжённом поршнем, при температуре \(T = 77{,}4\,\text{К}\). Вся газовая смесь занимает объём \(V_0 = 1{,}00\,\text{л}\), её начальное давление \(p_0 = 0{,}500\,\text{атм}\). С помощью поршня смесь медленно сжимают при постоянной температуре. Пользуясь разумными предположениями, постройте зависимость давления системы от её объёма вплоть до одной десятой начального объёма, если отношение числа молей кислорода к числу молей азота равно \(n_{\text{O}_2} : n_{\text{N}_2} = 21 : 79\). Найдите давление и объём в характерных точках этих изотерм.

Можно пользоваться следующими данными: температура кипения жидкого азота при \(p_1 = 1{,}00\,\text{атм}\): \(T_{\text{N}_2} = 77{,}4\,\text{К}\); температура кипения жидкого кислорода при \(p_1 = 1{,}00\,\text{атм}\): \(T_{\text{O}_2} = 90{,}2\,\text{К}\); удельная теплота парообразования кислорода: \(\lambda_{\text{O}_2} = 213\,\text{Дж}/\text{г}\) (её можно считать постоянной при \(T_{\text{N}_2} \le T \le T_{\text{O}_2}\)). Растворимостью газообразного азота в жидком кислороде и наоборот пренебречь.

зад 83 трудная [WoPhOSR-2013] Тепловое ускользание атмосферы — процесс, при котором лёгкие молекулы газа достигают скоростей, достаточных для того, чтобы покинуть гравитационное поле Земли и уйти в космическое пространство. Считается, что именно этот процесс, известный как ускользание Джинса, ответствен за потерю воды атмосферами Венеры и Марса из-за их меньшей второй космической скорости.

Далее мы считаем, что распределение молекул атмосферы задаётся распределением Максвелла. Тем самым при любой температуре всегда найдутся молекулы, скорость которых больше второй космической. Молекула, находящаяся в нижней части атмосферы, не смогла бы улететь в космос, даже если её скорость превышает предельную, поскольку она вскоре столкнулась бы с другими молекулами, потеряв значительную часть своей энергии. Чтобы улететь, такие молекулы должны находиться на определённой высоте: такой, что плотность настолько мала, что вероятность столкновения пренебрежимо мала. Область атмосферы, где выполнено это условие, называется экзосферой, а её нижняя граница, отделяющая плотную зону от экзосферы, называется экзобазой. Можно считать, что температура вблизи экзобазы приблизительно равна \(T = 1000\,\text{К}\); универсальная газовая постоянная \(R = 8{,}31\,\text{Дж}/(\text{К}\cdot\text{моль})\), ускорение свободного падения \(g \approx 9{,}5\,\text{м}/\text{с}^2\), число Авогадро \(N_A = 6{,}02 \times 10^{23}\,1/\text{моль}\).

а) Высота экзобазы. Экзобаза определяется как высота, выше которой частица, движущаяся радиально наружу, испытывает в среднем менее одного столкновения с обратным рассеянием. Это означает, что длина свободного пробега должна равняться высоте однородной атмосферы \(H\), которая определяется как такой прирост высоты, при котором плотность атмосферы падает в \(e\) раз. Какова средняя молярная масса земной атмосферы на экзобазе, если \(H = 60\,\text{км}\)?

б) Длина свободного пробега \(\lambda\) — это среднее расстояние, проходимое движущейся частицей в газе между двумя последовательными столкновениями; её можно выразить следующим равенством: \[\lambda = (\sigma n)^{-1},\] где \(\sigma\) — эффективное поперечное сечение; \(\sigma = 0{,}2\,\text{нм}^2\) для столкновений атома водорода с молекулами воздуха (при молекулярном составе, отвечающем экзобазе), а \(n\) — число молекул в единице объёма. Известно, что на высоте \(h_0 = 250\,\text{км}\) давление равно \(p_0 = 21\,\text{мкПа}\), а температуру между экзобазой и опорной высотой \(h_0\) можно считать постоянной. Определите длину свободного пробега атомов водорода на высоте \(h_0\).

в) Определите высоту экзобазы \(h_{\text{EB}}\).

г) Ускользание атмосферы. Частицы на экзобазе, обладающие достаточной скоростью, направленной наружу, преодолеют гравитационное притяжение. Считая распределение максвелловским, определите вероятность того, что скорость атома водорода на экзобазе больше второй космической.

д) Определите поток атомов водорода (число частиц на единицу площади в единицу времени), покидающих атмосферу, зная, что концентрация атомов водорода на экзобазе равна \(n_H = 1 \times 10^{11}\,\text{м}^{-3}\). Можно считать, что водород находится в одноатомном состоянии: достигая некоторой высоты, меньшей \(h_{\text{EB}}\), молекулы атмосферы под действием солнечного излучения распадаются на атомы.

Дальнейшие расчёты покажут, что тепловое ускользание не может быть единственным процессом, объясняющим, почему одни газы в атмосфере присутствуют, а другие — нет.

е) Зная, что нынешняя средняя молярная масса атмосферы \(M_{\text{Atm}} = 29\,\text{г}/\text{моль}\), атмосферное давление \(P_0 = 1 \times 10^5\,\text{Па}\), а доля \(\chi_H = 5{,}5 \times 10^{-7}\) молекул атмосферы приходится на молекулы водорода, оцените число \(N_H\) атомов водорода в земной атмосфере. Наличием других водородсодержащих молекул пренебрегите.

ж) Построим грубую модель и будем считать, что концентрация атомов водорода на экзобазе не меняется со временем. Выясните, сколько времени потребуется, чтобы половина атомов водорода покинула земную атмосферу.

з) Теперь рассмотрим атомы гелия; в настоящее время их концентрация на экзобазе равна \(n_{\text{He}} = 2{,}5 \times 10^{12}\,\text{м}^{-3}\), и они составляют \(\chi_{\text{He}} = 5 \times 10^{-6}\) молекул атмосферы. Воспользуемся теперь более реалистичной моделью и будем считать, что их концентрация на экзобазе пропорциональна их концентрации в нижней атмосфере.

и) Предложите причину, по которой в земной атмосфере до сих пор есть некоторое количество водорода.

зад 84 трудная [IPhO-2012] Смоделируем образование звезды следующим образом. Шарообразное облако разрежённого межзвёздного газа, изначально покоящееся, начинает сжиматься под действием собственной гравитации. Начальный радиус шара равен \(r_0\), а масса — \(m\). Температура окружающей среды (гораздо более разрежённой, чем газ) и начальная температура газа всюду равны \(T_0\). Газ можно считать идеальным. Средняя молярная масса газа равна \(\mu\), а показатель адиабаты \(\gamma > \frac{4}{3}\). Считайте, что \(G\frac{m\mu}{r_0} \gg RT_0\), где \(R\) — газовая постоянная, а \(G\) — гравитационная постоянная.

а) На протяжении большей части сжатия газ настолько прозрачен, что вся выделяющаяся теплота немедленно излучается прочь, т. е. шар остаётся в термодинамическом равновесии с окружающей средой. Во сколько раз (\(n\)) возрастает давление, пока радиус уменьшается вдвое (\(r_1 = 0{,}5 r_0\))? Считайте, что плотность газа остаётся однородной.

б) При некотором радиусе \(r_3 \ll r_0\) газ становится достаточно плотным, чтобы стать непрозрачным для теплового излучения. Вычислите количество теплоты \(Q\), излучённое за время сжатия от радиуса \(r_0\) до \(r_3\). Считайте, что плотность газа остаётся однородной⁷.

в) Для радиусов, меньших \(r_3\), тепловым излучением можно пренебречь. Определите, как температура \(T\) шара зависит от его радиуса \(r < r_3\).

г) В конце концов влиянием давления на динамику газа пренебречь уже нельзя, и сжатие останавливается при \(r = r_4\) (причём \(r_4 \ll r_3\)). Однако излучением по-прежнему можно пренебречь, а температура ещё недостаточно высока для зажигания термоядерного синтеза. Давление такой протозвезды уже не однородно, но грубые оценки с неточными численными множителями всё же возможны. Оцените конечный радиус \(r_4\) и соответствующую температуру \(T_4\).

зад 85 трудная [APhO-2010⁸] Сонолюминесценция — явление, при котором сильные звуковые волны приводят маленькие пузырьки внутри жидкости (например, воды) в колебательное движение; схлопывающиеся пузырьки могут нагреть запертый в них газ настолько, что он начнёт испускать излучение абсолютно чёрного тела в видимом диапазоне длин волн.

На протяжении всей задачи можно пользоваться следующей моделью. В любой момент времени \(t\) пузырёк радиусом \(R = R(t)\) сферичен, а его центр остаётся неподвижным в воде плотностью \(\rho_0 = 1{,}0 \times 10^3\,\text{кг}/\text{м}^3\). Плотность \(\rho\), давление \(P\) и температура \(T\) запертого газа всегда однородны внутри пузырька по мере уменьшения его размера. Жидкость, окружающая пузырёк, считается изотропной, невязкой, несжимаемой и по протяжённости намного превосходящей пузырёк. Это означает, что мы можем рассмотреть фиктивный шар воды радиусом \(r \gg R\) с центром в пузырьке, и он будет сжиматься изотропно при сжатии пузырька. Теплообменом между газом и окружающей водой можно пренебречь. Всеми эффектами, связанными с силой тяжести и поверхностным натяжением, пренебрегают, так что в любой момент \(t\) давление внутри жидкости есть функция только \(r\): \(P = P(r)\) при \(r > R\). Можно считать, что внешнее давление \(P_0 = P(r \to \infty) = 1{,}01 \times 10^5\,\text{Па}\) и температура воды \(T_0 = 300\,\text{К}\) остаются неизменными во времени. Изначально пузырёк имеет радиус \(R_i = 7R_0\), температура запертого газа \(T = T_0\), а окружающая вода неподвижна (т. е. \(\frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}t} = 0\)); здесь \(R_0 = 5{,}00\,\text{мкм}\) — равновесный радиус пузырька, при котором запертый газ имел бы давление \(P_0\) при \(T = T_0\). Отношение теплоёмкости при постоянном давлении к теплоёмкости при постоянном объёме для газа равно \(\gamma = 5/3\).

Возможно, вам пригодится то, что кинетическую энергию окружающей воды можно выразить через скорость сжатия пузырька \(\dot R\) в виде \[E_k = 2\pi \rho_0 R^3 \dot R^2.\]

а) Найдите минимальный радиус \(R_m\) и максимальную температуру \(T_m\) пузырька в процессе сжатия.

б) Найдите радиус \(R_f\) пузырька в момент \(t_f\), когда скорость сжатия пузырька максимальна.

в) Бо́льшая часть теплового излучения испускается между моментом \(t = t_f\) и моментом \(t_m\), когда достигается минимальный радиус. Оцените полную продолжительность периода излучения.

г) Чтобы наша модель оставалась справедливой, потери теплоты \(Q\) на излучение должны быть много меньше внутренней энергии газа \(U\); потребуем, чтобы \(Q \le \frac{1}{5} U\). Это означает, что если рассматривать запертый газ как шар радиусом \(R\), испускающий тепловое излучение при излучательной способности \(a\), то эта излучательная способность не должна быть слишком велика: \(a \le a_0\). Оцените величину \(a_0\). Постоянная Стефана—Больцмана \(\sigma = 5{,}678 \times 10^{-8}\,\text{Вт} \cdot \text{м}^{-2} \cdot \text{К}^{-4}\).

зад 86 трудная [APhO-2007] а) Для металла, находящегося в тепловом равновесии, средняя энергия электронов проводимости даёт определённый вклад в удельную теплоёмкость. Согласно классической физике электроны проводимости в металлах образуют свободный электронный газ, запертый в объёме металла, и этот газ можно считать идеальным. Найдите средний вклад каждого электрона в удельную теплоёмкость при постоянном объёме (\(c_V\)), пользуясь классической моделью.

б) Экспериментально показано, что удельная теплоёмкость электронов проводимости при постоянном объёме в металлах зависит от температуры, причём экспериментальное значение при комнатной температуре примерно на два порядка меньше классического. Дело в том, что электроны подчиняются квантовой, а не классической статистике. Согласно квантовой теории для металлического материала плотность состояний электронов проводимости (число электронных состояний на единицу объёма и на единицу энергии) пропорциональна корню квадратному из энергии электрона \(E\); тогда число состояний в интервале энергий \(\mathrm{d}E\) для металла объёмом \(V\) можно записать как \[\mathrm{d}S = C V \sqrt{E}\,\mathrm{d}E,\] где \(C\) — нормировочная постоянная, определяемая полным числом электронов в системе. Вероятность того, что состояние с энергией \(E\) занято электроном, называется распределением Ферми: \[f(E) = \left[ 1 + \exp\left( \frac{E - E_F}{k_B T} \right) \right]^{-1},\] где \(k_B = 1{,}381 \times 10^{-23}\,\text{Дж}/\text{К}\) — постоянная Больцмана, а \(T\) — абсолютная температура, тогда как \(E_F\) называется уровнем Ферми. Обычно при комнатной температуре \(E_F\) для металлических материалов составляет несколько электронвольт (\(1\,\text{эВ} = 1{,}602 \times 10^{-19}\,\text{Дж}\)), и потому \(k_B T \ll E_F\); в этом случае распределение Ферми ведёт себя так, как показано на рисунке красной кривой; вам разрешается приближать его кусочно-линейной функцией, изображённой синей линией. Кроме того, можно пренебречь зависимостью уровня Ферми от температуры, так что его значение можно выразить через полное число электронов, положив \(T = 0\).

Выразите средний вклад каждого электрона в удельную теплоёмкость при постоянном объёме через \(k_B\), \(E_F\) и \(T\), пользуясь квантовомеханической моделью. Дайте качественное объяснение отличия классического результата от результата квантовой теории.

зад 87 [EstFin-2014⁹] Рассмотрим систему из \(N\) независимых магнитных диполей (спинов) в магнитном поле \(B\) при температуре \(T\). Каждый спин имеет два состояния: спин вверх и спин вниз; \(x\)-компонента его дипольного момента принимает значения соответственно \(+\mu_B \equiv \frac{e\hbar}{2m}\) и \(-\mu_B\) (\(x\) — фиксированная ось).

а) Чему равно среднее значение полной энергии \(E_s\) спиновой системы как функция \(B\) и \(T\)?

б) В пределе высоких температур \(T \gg \frac{\alpha B m}{k}\) чему равна теплоёмкость \(C\) такой спиновой системы?

зад 88 [EstOpen-2001] Чтобы хранить \(\nu = 1\,\text{моль}\) идеального газа при температуре \(T_0\), используют сосуд, изготовленный из стали (плотность \(\rho\)). Считайте, что стенки сосуда много тоньше его линейных размеров. Согласно техническим требованиям механическое напряжение в стенках (сила на единицу площади поперечного сечения) должно быть всюду (и по любому направлению) не больше \(\sigma_0\). Какова минимальная масса сосуда?

Приложение 2: средняя кинетическая энергия из распределения Максвелла

По правилу замены переменной \[\int_{-\infty}^{\infty} e^{-v_x^2/v_0^2}\,dv_x = v_0 \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx.\] Интегрирование — это по сути взятие суммы, а мы знаем, что производная суммы равна сумме производных. Поэтому мы можем взять производную от обеих частей этого равенства по \(v_0\); левая часть даёт \[\frac{d}{dv_0} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-v_x^2/v_0^2}\,dv_x = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{d}{dv_0} e^{-v_x^2/v_0^2}\,dv_x = 2 v_0^{-3} \int_{-\infty}^{\infty} v_x^2 e^{-v_x^2/v_0^2}\,dv_x,\] а правая часть даёт \[\frac{d}{dv_0} v_0 \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx.\] Это означает, что \[\int_{-\infty}^{\infty} v_x^2 e^{-v_x^2/v_0^2}\,dv_x = \frac{1}{2} v_0^3 \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx.\] Вспомним, что \(f(v_x) = e^{-v_x^2/v_0^2} \big/ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-v_x^2/v_0^2}\,dv_x\). Поэтому выражение для среднеквадратичной скорости можно переписать в виде \[\bar{v}_x^2 = \int_{-\infty}^{\infty} v_x^2 e^{-v_x^2/v_0^2}\,dv_x \Big/ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-v_x^2/v_0^2}\,dv_x = \frac{1}{2} v_0^2.\] Теперь, если подставить обратно \(v_0 = \sqrt{2 k_B T/m}\) (что отвечает распределению Максвелла), окончательно получаем \[\bar{v}_x^2 = k_B T.\]