В статистической физике (термодинамике) сравнительно легко (т. е. трудно, но во многих случаях всё же возможно) проводить вычисления, если всё очень регулярно, например в случае кристаллических твёрдых тел. Ещё легче проводить вычисления, когда всё хаотично, например в случае газов и плазмы, поскольку тогда физические величины можно усреднять. Труднее всего анализировать среды, в которых сосуществуют порядок и беспорядок, — такие как жидкости, сыпучие среды, твёрдые тела вблизи фазового перехода и т. д. Поэтому школьная физика имеет дело только с хаотическим случаем — с газами.

Хорошая модель, довольно неплохо описывающая реальность, — это модель идеальных газов.

Пусть \(n\) — концентрация молекул (число в единице объёма), а \(f(v_x)\) — их функция распределения по \(v_x\) (\(x\)-компоненте скорости), определённая так, что \(\Delta n = n f(v_x)\Delta v_x\) даёт нам концентрацию тех молекул, у которых \(x\)-компонента скорости лежит в интервале \([v_x; v_x + \Delta v_x]\) (здесь \(\Delta v_x\) обозначает малое приращение скорости). Согласно распределению Больцмана, \(f(v_x) = A e^{-m v_x^2/2kT}\) (в такой форме это называют распределением Максвелла)¹, где множитель \(A\) таков, что площадь под графиком \(f(v_x)\) равна единице, т. е. \(A = 1/\int_{-\infty}^{\infty} e^{-m v_x^2/2kT}\,dv_x\).

Найдём выражение для давления. Сделаем это в два приёма: сначала проведём вычисления в предположении, что все молекулы подлетают к стенке с одной и той же скоростью \(u\) (пусть ось \(x\) перпендикулярна стенке; тогда \(u\) — \(x\)-компонента скорости молекулы), а затем обобщим результат на реалистичный случай разных скоростей. Давление определяется как сила на единицу площади, \(p = F/A\); сила находится как импульс, передаваемый стенке за единицу времени, \(F = 2Nmu/t\), где \(N\) — число молекул, столкнувшихся со стенкой за время \(t\). Коэффициент два отражает тот факт, что средняя скорость, с которой молекулы улетают от стенки после столкновения, равна скорости подлёта², поэтому каждая молекула получает от стенки импульс \(2mu\). За время \(t\) до стенки долетят только те молекулы, которые находятся в пристеночном слое толщиной \(ut\) и движутся к стенке. Таким образом, полное число столкновений находится как число молекул в слое объёмом \(V = A v_T t\), уменьшенное вдвое (только половина молекул движется в направлении стенки): \(N = \frac{1}{2} nV \approx Aut\). Итак, сила, действующая на стенку, находится как \(F = 2muN/t = nmu^2 A\). Теперь вспомним, что в действительности молекулы могут иметь разные скорости, так что результат нужно усреднить: \(F = nm\langle u^2\rangle A\), где угловые скобки обозначают усреднение. Наконец, давление \(p = F/A\) находится как \[p = nm\langle u^2\rangle.\]

Итак, давление выражено через средний квадрат \(x\)-компоненты скорости. Это выражение можно переписать и через среднюю полную скорость \(\langle v^2\rangle\) как \(p = \frac{1}{3} nm\langle v^2\rangle\). Действительно, \(v^2 = v_x^2 + v_y^2 + v_z^2\) (где \(v_x \equiv u\)), и потому \(\langle v^2\rangle = 3\langle u^2\rangle\) (мы учли, что в силу статистической изотропии в среднем все направления движения молекул равноправны, а значит, \(\langle v_x^2\rangle = \langle v_y^2\rangle = \langle v_z^2\rangle\)).

С помощью распределения Максвелла средние значения можно выразить через интегралы: \(\langle v_x^2\rangle = \int v_x^2 f(v_x)\,\mathrm{d}v_x\). Этот интеграл можно взять (см. приложение 2), что даёт \(\langle v_x^2\rangle = kT/m\), т. е. средняя кинетическая энергия, связанная с движением вдоль оси \(x\), \[\left\langle \frac{m}{2} v_x^2 \right\rangle = \frac{1}{2} kT.\] Пользуясь этим выражением, получаем \[p = nm\langle u^2\rangle = nkT.\] Подставив \(n = N/V = \frac{m}{\mu} N_A/V\) (где \(N_A\) — число Авогадро, \(\mu\) — молярная масса газа, \(m\) — полная масса газа, а \(V\) — его объём), получаем \(pV = \frac{m}{\mu} N_A kT = \frac{m}{\mu} RT\), где \(R = kN_A\) называется газовой постоянной. Этот закон известен как закон идеального газа; иногда его удобно выражать через плотность газа \(\rho\) в виде \(p\mu = \rho RT\). Подведём итог полученному.

Точные вычисления часто требуют интегрирования (усреднения с помощью распределения Максвелла). Однако в олимпиадных задачах обычно достаточно лишь оценок, и пользоваться распределением Максвелла не нужно. Этому есть две причины: (а) взятие сложных интегралов не проверяет знание физики; (б) во многих случаях даже кажущиеся точными вычисления точны лишь в так называемом вакуумном приближении, когда длина свободного пробега (расстояние, проходимое молекулой между двумя последовательными столкновениями с другими молекулами) намного больше характерных размеров системы, а в остальных случаях они лишь приближённые.

зад 9 В вакууме и невесомости на дне цилиндрического сосуда (стакана) находится слой твёрдого вещества с молярной массой \(\mu\). Это вещество медленно сублимирует (испаряется из твёрдой фазы в газообразную) и тем самым толкает сосуд в противоположном направлении. Оцените конечную скорость сосуда. Масса сосуда \(M\), начальная масса вещества \(m \ll M\); температура сосуда \(T\); процесс можно считать изотермическим (охлаждением из-за испарения и теплового излучения можно пренебречь). Площадь поперечного сечения сосуда равна \(A\).

зад 10 трудная Природный уран состоит в основном из двух изотопов, \(\mathrm{U}^{238}\) и \(\mathrm{U}^{235}\), причём относительная концентрация последнего составляет 0,7%. Уран «обогащают» (т. е. повышают концентрацию \(\mathrm{U}^{235}\)), осуществляя многоступенчатый процесс, на каждой ступени которого испарённое химическое соединение \(\mathrm{UF}_6\) пропускают через пористую стенку. Пористую стенку можно считать тонкой плёнкой с микроскопическими отверстиями в ней (размер отверстий меньше длины свободного пробега молекул, но больше размера самих молекул). Сколько ступеней нужно, чтобы повысить содержание \(\mathrm{U}^{235}\) до 1,4%? Молярная масса фтора (F) равна 19 г/моль.

зад 11 [PhysCup-2012] Определите или оцените плотность результирующего теплового потока \(P\) между двумя параллельными пластинами, находящимися на расстоянии \(L\) друг от друга и имеющими температуры \(T_1\) и \(T_2\) соответственно. Пространство между пластинами заполнено одноатомным газом с молярной концентрацией \(n\) и молярной массой \(M\). Можно пользоваться следующими приближениями:

(а) плотность газа настолько мала, что длина свободного пробега \(\lambda \gg L\);

(б) \(T_1 \gg T_2\);

(в) отскакивая от пластин, молекулы газа приобретают температуру соответствующих пластин (например, так будет, если они на короткое время поглощаются (связываются) молекулами пластины, а затем высвобождаются обратно в пространство между пластинами);

(г) излучением абсолютно чёрного тела можно пренебречь.

Заметим, что «оцените» означает, что числовой множитель в вашем выражении может быть неточным.

Внутреннюю энергию \(U\) одноатомного газа (т. е. суммарную кинетическую энергию молекул) можно выразить через температуру, используя полученный выше результат \(m\bar{v}_x^2 = kT\). Действительно, отдельный атом по существу не может вращаться из-за своих малых размеров³. Поэтому \(U\) находится как произведение энергии одной молекулы на число молекул \(N\): \[U = N\frac{m}{2}\left(\bar{v}_x^2 + \bar{v}_y^2 + \bar{v}_z^2\right).\] В силу статистической изотропии \(\bar{v}_x^2 = \bar{v}_y^2 = \bar{v}_z^2 = kT\); подставляя \(N = \nu N_A\) (где \(\nu\) обозначает число молей) и \(N_A k = R\), получаем \[U = \frac{3}{2}\nu R T.\]

В случае двухатомных и многоатомных молекул молекулы обладают также вращательной энергией \(U_r = \frac{1}{2}N\left(I_x\bar{\omega}_x^2 + I_y\bar{\omega}_y^2 + I_z\bar{\omega}_z^2\right)\), где \(I_x\), \(I_y\) и \(I_z\) обозначают моменты инерции относительно разных осей, а \(\omega_x\), \(\omega_y\) и \(\omega_z\) — соответствующие угловые скорости. Используя распределение Больцмана для вращательного движения вокруг оси \(x\), \(p \propto e^{-I_x\omega_x^2/2kT}\), получаем выражение, очень похожее на то, которое было у нас для поступательного движения (только \(v_x\) заменено на \(\omega_x\), а \(m\) — на \(I_x\)). Поэтому и результат тот же: \(U_r = \frac{3}{2}\nu R T\). Однако следует помнить, что если у нас двухатомная молекула (или многоатомная линейная молекула, такая как \(CO_2\)), она не может вращаться вокруг оси, проходящей через её атомы (пусть это будет ось \(z\)). Поэтому вращение будет происходить только вокруг осей \(x\) и \(y\); вращательная энергия соответственно уменьшается: \(U_r = \nu R T\).

Заметим, что каждая из так называемых степеней свободы (поступательное движение вдоль оси \(x\), вращение вокруг оси \(x\), поступательное движение вдоль оси \(y\) и т. д.) вносит в полную внутреннюю энергию всегда одну и ту же величину \(\frac{1}{2}\nu R T\) (\(\frac{1}{2}kT\), если говорить о средней энергии одной молекулы). Поэтому внутреннюю энергию газа удобно выражать через число степеней свободы \(i\): \[U = \frac{i}{2}\nu R T.\] Для одноатомного газа \(i = 3\), для двухатомного газа (и линейного многоатомного газа) \(i = 5\); во всех остальных случаях \(i = 6\). В случае смеси газов (такой как воздух) эффективное число степеней свободы может оказаться дробным.

С помощью последнего выражения легко вывести выражение для внутренней энергии газа при постоянном объёме. Если объём остаётся постоянным, механическая работа не совершается (\(A = \int p\,dV = 0\)), поэтому вся переданная газу теплота идёт на увеличение внутренней энергии, \(C_V = dU/dT = \frac{i}{2}\nu R\). Особенно простое выражение получается для молярной теплоёмкости \(c_V = C_V/\nu\): \[c_V = \frac{i}{2}R.\] Если мы имеем дело с изобарическим процессом (при постоянном давлении), то изменение внутренней энергии можно, конечно, вычислить по предыдущему результату, но, согласно 1НТ, часть теплоты идёт на работу, совершаемую газом, \(\Delta A = p\Delta V = \nu R\Delta T\). Следовательно, переданная газу теплота \(\Delta Q = \Delta U + \Delta A = \frac{i+2}{2}\nu R\Delta T\), т. е. молярная теплоёмкость для изобарических процессов \[c_p = \frac{i+2}{2}R.\]

Правило «\(\frac{1}{2}kT\) на каждую степень свободы» справедливо, однако, лишь при умеренных температурах. Когда температура становится достаточно высокой, молекулы начинают колебаться подобно шарикам, соединённым пружинками, и энергию колебаний тоже нужно учитывать. В этом случае говорят, что колебательные степени свободы возбуждены. Для относительно лёгких молекул газа, таких как компоненты воздуха, критическая температура, при которой возбуждаются колебания, намного выше комнатной. Между тем тяжёлые молекулы газа (например, \(\text{Br}_2\)) колеблются уже при комнатных температурах. Следует подчеркнуть, что правило «\(\frac{1}{2}kT\)» неверно для колебательных степеней свободы. Оказывается, что каждая возбуждённая колебательная степень свободы вносит в тепловую энергию молекулы полное \(kT\). Таким образом, каждая колебательная степень свободы увеличивает эффективное число степеней свободы на 2; например, \(i = 5 + 2 = 7\) для \(\text{Br}_2\) при комнатной температуре.

С другой стороны, при очень низких температурах могут оказаться невозбуждёнными даже вращательные степени свободы многоатомных молекул; это значит, что их эффективное число степеней свободы равно 3. Чтобы определить, возбуждена ли та или иная степень свободы, нужно сравнить разность энергий \(\Delta E\) между основным уровнем и первым возбуждённым уровнем со средней энергией одной степени свободы \(kT\): соответствующая степень свободы начинает возбуждаться при \(T \sim E/k\).

Таким образом, эффективное число степеней свободы зависит от температуры; более того, в том интервале температур, где эффективное число меняется от одного значения к другому, поведение системы плохо описывается целым значением \(i\). Поэтому вместо \(i\) часто пользуются молярными теплоёмкостями \(c_V\) и \(c_p\). Если поведение газа хорошо описывается моделью идеального газа, достаточно указать только значение \(c_V\), так как \(c_p\) можно затем найти из равенства \(c_p = c_V + R\). И наоборот, если для некоторого газа \(c_p - c_V \ne R\), то он не ведёт себя как идеальный газ и соотношение \(pV = \nu R T\) выполняется плохо. Между тем вполне возможно, что для идеального газа \(2c_V/R\) не является целым числом: дробные значения лишь показывают, что текущая температура близка к температуре возбуждения какой-то степени свободы. Подведём промежуточный итог.

До сих пор мы пользовались понятием степеней свободы без надлежащего определения; обсудим это понятие подробнее.

Например, чтобы описать материальную точку в трёхмерном пространстве, нужно \(j = 3\) координаты; для \(N\) материальных точек нужно уже \(j = 3N\) координат. Чтобы описать пространственное положение твёрдого тела, нужно 6 координат: помимо координат некоторой точки тела (например, центра масс), ориентацию нужно описать ещё 3 координатами (два угла, задающие направление оси тела, и один угол, описывающий поворот вокруг этой оси). В случае линейной молекулы последняя координата, угол поворота, не нужна, поэтому \(j = 5\).

Если система состоит из \(N\) материальных точек, движение которых ограничено некоторыми связями (например, расстояние между двумя материальными точками фиксировано стержнем или угол между линиями, соединяющими некоторую точку \(A\) с двумя соседними точками, имеет фиксированное значение), число степеней свободы можно найти по формуле \(j = 3N - r\), где \(r\) — число связей. В случае молекул связями служат химические связи, которые играют также роль пружинок и могут приводить к колебаниям; в этом случае \(r\) — число колебательных степеней свободы. Зная, что для линейной молекулы полное число степеней свободы \(j = 5\), а для плоских или трёхмерных молекул \(j = 6\), мы можем воспользоваться этой формулой, чтобы найти число колебательных степеней свободы как \(r = 3N - j\). Например, молекула \(CO_2\) линейна: \(N = 3\) и \(j = 5\), следовательно, \(r = 4\). Заметим, что в теории связанных осцилляторов показывается, что число колебательных степеней свободы равно числу собственных мод и собственных частот.

Рассмотрим одну задачу на тему степеней свободы.

зад 12 [EstAcadPhO-2006] Игрушка «Supermag» позволяет собирать, среди прочего, многогранники — например тетраэдры, кубы и многие неправильные многогранники, рёбра которых сделаны из магнитных стержней, соединяемых в вершинах с помощью стальных шариков. Стальные шарики жёстко фиксируют конец стального стержня относительно себя, но угол между магнитными стержнями, сходящимися у стального шарика, можно изменить небольшим усилием. Оказывается, что тетраэдр — жёсткая конструкция, а куб легко деформируется. Докажите следующую теорему: выпуклый многогранник жёсток тогда и только тогда, когда все грани многогранника — треугольники.

Чтобы решить эту задачу, используется формула \(j = 3N - s\), но нужна ещё одна формула — формула Эйлера для графов (в том числе многогранников), связывающая число вершин \(N\), число граней \(f\) и число рёбер \(e\) равенством \(N + f = e + 2\). Теорема Эйлера приводится здесь без доказательства (которое на самом деле несложно и опирается на математическую индукцию). Чтобы решить задачу 12, нужно доказать, что если все грани треугольные, то число оставшихся степеней свободы \(j = 3N - s\) равно числу степеней свободы твёрдого тела. Если бы число степеней свободы было больше, то для описания состояния потребовалось бы больше параметров, чем в случае твёрдого тела, т. е. оно не могло бы быть жёстким.

Как мы уже узнали, атомы и ионы, соединённые в молекулы химическими связями, могут колебаться как системы «шарик — пружинка». Это относится не только к молекулам, но и к кристаллическим материалам. Подобно тяжёлым газам, во многих кристаллических материалах все колебательные степени свободы возбуждены. В случае кристаллического вещества из \(N\) ионов (атомов) имеется \(3N\) степеней свободы; почти все эти степени свободы (кроме 6 степеней свободы твёрдого тела) являются колебательными. Поскольку \(N\) очень велико, про эту шестёрку можно забыть, так что внутреннюю энергию можно записать в виде \(U = 3\nu R T\). Следовательно, молярная теплоёмкость \(c_V = 3R\). В случае лёгких ионов всё же может оказаться, что моды собственных колебаний с наибольшей частотой имеют \(\omega > kT/\hbar\) и потому ещё не возбуждены. Тогда внутренняя энергия меньше \(3\nu R T\), а эффективное число степеней свободы, приходящееся на один ион (атом), есть возрастающая функция температуры, асимптотически приближающаяся к предельному значению \(i = 6\) (поскольку все степени свободы колебательные, число пространственных координат умножается на два). Напомним также, что при низких температурах она начинается как кубическая функция \(T\).

Выведем закон \(c_V \propto T^3\) для низких температур с помощью грубых оценок (для алмаза он справедлив даже при комнатных температурах). Каждая возбуждённая колебательная степень свободы несёт энергию \(kT\); значит, нужно оценить число возбуждённых колебаний, т. е. число собственных мод с \(\omega < kT/\hbar\). Собственные моды колебаний кристалла можно рассматривать как стоячие звуковые волны. Частота звуковой волны выражается как \(\omega = c_s\kappa\), где \(c_s\) — скорость звука, а \(\kappa = 2\pi/\lambda\) — волновой вектор. Таким образом, возбуждены будут все стоячие волны с волновым вектором \(\lambda kT/\hbar c_s\) и длиной волны \(\lambda > hc_s/kT\). Пусть кристалл имеет форму куба со стороной \(L\). На свободной границе кристалла деформаций быть не может, поэтому для векторов смещения молекул на границе должны находиться пучности. Следовательно, \(L\) должно быть кратно половине длины волны: \(L\kappa_x = m_x\pi\), где \(\kappa_x\) — проекция волнового вектора на ось \(x\), а \(m_x\) — число узлов вдоль \(x\). Для наименьшей возбуждённой длины волны \(\lambda_s = hc_s/kT\) и \(m_x = 2L/\lambda_s\). Заметим, что все стоячие волны с меньшим числом узлов тоже возбуждены. Аналогично, вдоль осей \(y\) и \(z\) для возбуждённых колебаний число узлов меняется от 1 до \(2L/\lambda_s\). Число различных стоячих волн находится как число различных троек \((m_x, m_y, m_z)\), которое равно \((2L/\lambda_s)^3\). Тогда внутренняя энергия находится как \[U \approx MkT \approx kT(2LkT/hc_s)^3 \propto T^4.\] Следовательно, внутренняя энергия пропорциональна \(T^4\), а теплоёмкость \(C_V = \frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}T} \propto T^3\).

Теперь перейдём к задачам, не связанным с молекулярно-кинетическим подходом и требующим вместо этого знания уравнения состояния идеального газа и его внутренней энергии. Многие олимпиадные задачи опираются лишь на эти два уравнения; в случае следующей задачи единственная «хитрость» состоит в том, что, в отличие от обычных изохорических, изобарических и т. п. процессов, сохраняется не количество газа, а давление, поэтому число молей будет меняться согласно \(\nu T = \text{const}\).

зад 13 [EstPhO-2003] Аэростат (воздушный шар из нерастяжимой оболочки) имеет объём \(V_0\), наполнен водородом и устойчиво висит на некоторой высоте, где внешнее давление равно \(p\), а температура воздуха \(T_{\text{возд}}\). Из-за солнечного света аэростат нагревается до температуры \(T_1\). В результате часть воздуха выходит из шара через клапан. Клапан устроен так, что, если внутреннее давление превышает внешнее, избыток газа выпускается; впустить газ снаружи внутрь шара клапан не позволяет никогда. Теперь солнечный свет заслоняет облако: температура шара падает, а объём становится меньше. Сколько балласта (какую массу \(m\)) нужно выбросить, чтобы удержать аэростат на той же высоте (где давление по-прежнему равно \(p\))? И воздух, и водород можно считать идеальными газами, их молярные массы равны соответственно \(\mu_{H2}\) и \(\mu_{\text{возд}}\).

Следующая задача имеет дело с более сложным процессом передачи энергии; здесь пригодится приведённая ниже идея.

зад 14 трудная Рассмотрим баллон с толстыми жёсткими стенками, из которого выкачан весь воздух. Теперь клапан баллона слегка приоткрывают, и баллон медленно наполняется воздухом снаружи. Найдите температуру воздуха внутри баллона после того, как поток воздуха прекратился (поскольку достигнуто механическое равновесие). Комнатная температура равна \(T\), стенки баллона обладают малой теплопроводностью и теплоёмкостью, так что тепловым потоком через стенки можно пренебречь.

Первый шаг к решению этой задачи — понять, на что тратится работа \(p\Delta V\), совершаемая внешним воздухом: как она превращается в теплоту и как изменение внешнего объёма \(\Delta V\) связано с объёмом полости \(V\). Заметим также, что размер отверстия клапана, по-видимому, больше длины свободного пробега, так что молекулярно-кинетический подход не нужен, а следует применять макроскопический подход: узкая (но всё же макроскопическая) струя воздуха втекает в полость через клапан.

Адиабатические процессы

Типичный ответ на вопрос о том, что такое адиабатические процессы, обычно сводится к тому, что это настолько быстрые процессы с газом, что теплообмена с газом практически нет (за данный промежуток времени теплота, переданная газу теплопроводностью и излучением, остаётся много меньше внутренней энергии газа).

Однако это лишь половина правды, причём менее важная половина. Чтобы понять это, рассмотрим следующую простую задачу. Теплоизолированный сосуд разделён стенкой на две половины. Пусть одна из половин содержит газ под давлением \(p\), а вторая пуста (т. е. содержит вакуум с пренебрежимо малым давлением). Стенку, разделяющую половины, мгновенно убирают; каким будет давление газа в сосуде после достижения механического и теплового равновесия?

Поскольку стенку убирают мгновенно, газ не может совершить никакой механической работы (стенка не движется в направлении силы). Теплообмена с окружающей средой нет, и потому, согласно 1НТ, внутренняя энергия остаётся постоянной, а значит, температура не меняется. При этом объём увеличивается вдвое, и из уравнения состояния идеального газа следует, что давление уменьшается вдвое. Итак, мы имеем дело с изотермическим процессом, а вовсе не с адиабатическим!

На самом деле главное требование для того, чтобы процесс был адиабатическим, состоит в том, что процесс должен быть достаточно медленным — характерное время процесса должно быть много больше периода собственных колебаний системы. В случае газов модами собственных колебаний являются стоячие волны; период самой медленной моды равен \(c_s/2L\), где \(L\) — длина сосуда, а множитель два учитывает то, что длина волны самой длинной стоячей волны равна \(2L\); \(c_s\) обозначает скорость звука. Таким образом, \(v/L \ll c_s/2L\), откуда \(v \ll c_s\), где \(v\) — скорость стенок сосуда (или поршня).

Адиабатические процессы в таком более широком, чем термодинамический, смысле играют важную роль также в квантовой механике, электродинамике и т. д.

В курсе аналитической механики показывается, что для адиабатических процессов над периодически колеблющимися системами сохраняется так называемый адиабатический инвариант; это площадь петли, которую описывает осциллятор на фазовой плоскости (кривая в плоскости \(x - p_x\), \(\oint p_x\,dx\), где \(x\) — координата, а \(p_x\) — соответствующий импульс), ср. брошюру по механике. Хотя общее доказательство сложно, в одной из задач брошюры по механике рассматривалась частица, скачущая туда-сюда между двумя медленно движущимися пластинами; было показано, что \(Lv = \text{const}\), где \(v\) — скорость частицы, а \(L\) — расстояние между стенками.

Теперь рассмотрим одномерный газ: имеется много частиц, скачущих вдоль оси \(x\) между пластинами. Из молекулярно-кинетической теории давление такого газа \(p = nm\bar{v}^2\). Концентрация частиц, разумеется, обратно пропорциональна «объёму», которым в одномерном случае служит просто расстояние между пластинами \(L\), т. е. \(n \propto 1/L\). В силу адиабатического инварианта скорость каждой из молекул обратно пропорциональна \(L\), и потому средняя скорость подчиняется тому же закону, \(\bar{v} \propto 1/L\). Таким образом, \(p \propto 1/L^3\), или, что то же самое, \(pL^3 = \text{const}\). Это и есть наш адиабатический закон для одномерного газа: \(pV^\gamma = \text{const}\), где \(V = L\) и \(\gamma = 3\).

Ещё важнее то, что в квантовой механике площадь в фазовом пространстве связана с квазиклассическим правилом квантования: для \(n\)-го квантово-механического уровня энергии \(\oint p_x\,dx = n\hbar\). Если теперь потенциал меняется во времени медленно, адиабатический инвариант сохраняется, и потому система останется на том же квантово-механическом уровне энергии (с тем же порядковым номером), на котором была вначале (исключения возможны лишь при «пересечении сепаратрисы», например если «потенциальная яма» становится настолько узкой, что данное связанное состояние исчезает, и частица, ранее связанная в яме, становится свободной).

зад 15 Расширение нашей Вселенной можно рассматривать как адиабатический процесс для фотонов микроволнового фонового излучения: длина волны фотонов растёт пропорционально линейному размеру Вселенной. Во сколько раз изменится температура излучения, если линейный размер Вселенной вырастет вдвое? Чему равен показатель адиабаты для фотонного газа?

Для адиабатических процессов с газами дополнительно требуется, чтобы скорость теплообмена данного газа была пренебрежимо мала (по сравнению с изменением внутренней энергии): \(\Delta Q = 0\). Если вспомнить адиабатическое движение частицы между двумя стенками, видно, что требование отсутствия теплообмена вполне согласуется с тем адиабатическим процессом: частица не получала никакой внешней энергии, кроме энергии от движущейся стенки (тепловой поток соответствует внешнему источнику энергии для кинетической энергии молекул), и не было потерь энергии из-за трения или других процессов. Итак, адиабатический процесс с газом в принципе может быть сколь угодно медленным, но на практике для слишком медленных процессов теплообменом уже нельзя пренебрегать.

Прежде чем выводить адиабатический закон для газов, отметим, что на олимпиадах этот вывод обычно не нужен — достаточно просто знать сам закон.

Начнём с того, что применим 1НТ к адиабатическому процессу с одним молем газа, \(dU = p\,dV\), где \(dU = c_V\,dT\), т. е. \[c_V\,dT = -p\,dV.\] Заметим, что, хотя объём не постоянен, изменение внутренней энергии выражается через \(c_V\). Это стандартный приём: при постоянном объёме механическая работа не совершается, и потому вся подведённая теплота \(c_V\,dT\) идёт на изменение внутренней энергии \(dU\).

Мы хотим получить связь между давлением и объёмом, поэтому нужно исключить отсюда температуру; для этого воспользуемся уравнением состояния идеального газа \(RT = pV\), откуда \[R\,dT = p\,dV + V\,dp.\] Здесь мы применили правило дифференцирования \(d(pV) = p\,dV + V\,dp\). Теперь из этих двух уравнений легко исключить \(dT\) и получить \[p\,dV(c_V + R) + c_V V\,dp = 0.\] Заметим, что \(c_V + R = c_p\), и введём показатель адиабаты, определяемый как \[\gamma = c_p/c_V.\] Это позволяет переписать последнее уравнение в виде \[\gamma\frac{dV}{V} + \frac{dp}{p} = 0.\] Если проинтегрировать это равенство, первое слагаемое даёт \(\int \gamma\frac{dV}{V} = \gamma\ln V = \ln V^\gamma\), а второе — \(\int \frac{dp}{p} = \ln p\), так что \(\ln V^\gamma + \ln p = \ln pV^\gamma = \text{const}\), откуда \[pV^\gamma = \text{const}.\]

Теперь вернёмся к обсуждавшемуся ранее одномерному газу; у него одна степень свободы, поэтому \(c_V = \frac{1}{2}R\) и \(c_p = \frac{3}{2}R\), так что \(\gamma = 3\), что полностью согласуется с нашим результатом для адиабатического инварианта. Подведём промежуточный итог.

В задачах из реальной жизни, когда применимые предположения не сформулированы явно, важно понимать, когда скоростью теплообмена можно пренебречь (тогда процесс адиабатический), а когда теплообмен настолько быстр, что процесс по существу изотермический. Здесь полезно сравнить характерные времена: время тепловой релаксации \(\tau_{\text{т}}\) (время, за которое разности температур убывают в \(e\) раз) и характерное время самого процесса (например, время, за которое система переводится из начального состояния в конечное). Полезно знать, что время тепловой релаксации зависит от размера системы (её линейного размера) \(L\), будучи пропорционально \(L^2\); в случае воздуха при нормальных условиях для \(L \approx 1\,\text{см}\) \(\tau_{\text{т}} \approx 1\,\text{с}\).

Далее переходим к обсуждению атмосферных процессов.

Действительно, воздушные массы очень велики, и потому, даже если воздух поднимается медленно, время тепловой релаксации ещё больше, так что процесс адиабатический. Днём вертикальное движение воздуха вызвано солнечным светом, нагревающим землю, которая, в свою очередь, нагревает воздух за счёт теплопроводности (заметим, что воздух прозрачен, он не поглощает света, и потому прямым нагревом солнечным светом можно пренебречь). Нагретый воздух имеет меньшую плотность, чем более холодный воздух на больших высотах, и начинает подниматься. У поверхности земли пустота образоваться не может, поэтому должны быть и опускающиеся воздушные массы. Итак, воздух движется вверх и вниз, что приводит к довольно хорошему вертикальному перемешиванию и к адиабатической атмосфере. Что это означает в смысле падения температуры на больших высотах, мы узнаем из следующей задачи.

зад 16 простая Какова температура на вершине холма высотой \(H = 200\) м, если на дне долины \(t_0 = 20^\circ\text{C}\)? Можно считать, что при движении воздушных масс вдоль склона холма расширение и/или сжатие воздуха можно считать адиабатическим. Давление воздуха на уровне долины \(p_0 = 10^5\) Па, плотность воздуха \(\rho = 1{,}29\,\text{кг}/\text{м}^3\), показатель адиабаты \(\gamma = 1{,}4\).

Эту задачу можно решить очень быстро, если воспользоваться тем, что здесь относительное изменение давления очень мало.

Если бы высота холма была очень велика, так что разность плотностей воздуха между вершиной и подножием горы была бы значительной, здесь пришлось бы использовать распределение Больцмана \(\rho \propto \mathrm{e}^{-\mu g h/RT}\). Хотя при \(\mu g h \ll RT\) это выражение можно упростить, взяв линейный член разложения Тейлора \(\mathrm{e}^x \approx 1 + x\), тот же приближённый результат можно получить (пожалуй) проще с помощью следующей идеи.

Пользуясь результатом этой задачи, становится также понятно, почему горные вершины покрыты снегом — например, 3 км соответствовали бы разности температур в 30 градусов. В действительности разность температур остаётся несколько меньшей, поскольку воздух, поднимающийся вдоль горных склонов, нагревается за счёт теплопроводности от поверхности горы (см. выше).

В тихую ночную погоду адиабатическая атмосфера может и не наблюдаться. Дело в том, что поверхность Земли отдаёт теплоту излучением и остывает; нижние воздушные массы также охлаждаются теплопроводностью. Заметим, что тепловым излучением самого воздуха можно пренебречь: будучи прозрачным, он не поглощает излучения; согласно 2НТ поглощение и излучение — симметричные явления, и потому чистый воздух не может излучать. Нижние холодные слои воздуха имеют бо́льшую плотность, и потому образуется очень устойчивая стратификация воздуха: вертикального движения воздуха почти нет. Такое явление называется «инверсией». При инверсии все выбросы остаются у поверхности, что приводит к сильному загрязнению воздуха.

Уравнение Бернулли \(\frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h + p = \text{const}\) (где \(\rho\) — плотность, \(v\) — скорость, \(p\) — давление, \(g\) — ускорение свободного падения, а \(h\) — высота) — хорошо известное равенство, выражающее тот факт, что при стационарном течении поток энергии, входящий в любой объём, должен равняться потоку энергии, выходящему из этого объёма: иначе полное количество энергии внутри этого объёма начало бы расти, что противоречит предположению о стационарности. Однако уравнение Бернулли справедливо только для несжимаемых течений. Как мы видели выше, течения атмосферного воздуха обычно адиабатические, а в этом случае уравнение энергетического баланса должно учитывать изменение внутренней энергии газа и работу, совершаемую при расширении.

Следует подчеркнуть, что в случае течений газа, когда \(\rho\) не постоянна, равенство \(\frac{v^2}{2} + g h + c_p T = \text{const}\) выполняется точно; между тем закон Бернулли справедлив только в пределе \(\frac{\Delta\rho}{\rho} \ll 1\).

Тот факт, что законом Бернулли можно пользоваться в пределе \(\frac{\Delta\rho}{\rho} \ll 1\), на самом деле нетривиален. Действительно, закон Бернулли выводится из энергетического баланса: работа сил давления превращается в кинетическую и/или потенциальную энергию. Однако когда газ сжимаем, происходит также превращение во внутреннюю энергию за счёт сжатия.

Рассмотрим смещение некоторого количества газа внутри фиктивной трубки, образованной линиями тока, как показано на рисунке: положим, что до смещения этот объём газа занимал область, закрашенную синим и серым. В результате смещения он занимает теперь область, закрашенную серым и красным. Состояние серой области не изменилось, но газ из синей области переместился в красную область. Изменение кинетической энергии равно \(\frac{m}{2}(v_r^2 - v_b^2)\), где \(v_b\) и \(v_r\) — скорости газа в синем и красном положениях соответственно. Энергетический баланс записывается как \[W = \frac{m}{2}(v_r^2 - v_b^2) + \Delta U,\] где \(\Delta U\) — изменение внутренней энергии, а работа, совершённая внешним давлением, \[W = pV - (p + \Delta p)(V + \Delta V).\] Теперь рассмотрим более длинное смещение газа — такое, что газ синей области прошёл всё расстояние от синей области до красной и занимает теперь объём, закрашенный красным. За время этого смещения процесс над этой порцией газа был адиабатическим, так что \(\Delta U = -\int p\,\mathrm{d}V\); полагая \(\frac{\Delta p}{p} \ll 1\) (что равносильно требованию \(\frac{\Delta\rho}{\rho} \ll 1\)), интеграл можно приближённо заменить на \(\Delta U = -p\Delta V\). Возвращаясь к уравнению энергетического баланса, можем написать \[\frac{m}{2}(v_r^2 - v_b^2) = V\Delta p + \Delta V\Delta p,\] что даёт нам закон Бернулли, если пренебречь квадратично малым слагаемым \(\Delta V\Delta p\) и считать, что плотности в синем и красном положениях приближённо равны, \(\frac{m}{V} \approx \frac{m}{V + \Delta V}\). Это справедливо, если относительное изменение скорости течения много больше относительного изменения плотности, что верно, если скорость течения много меньше скорости звука.

Выводя здесь закон Бернулли, мы воспользовались приёмом, который можно сформулировать и в виде идеи.

зад 17 Докажите, что при стационарном течении газа вдоль линий тока \(\frac{v^2}{2} + g h + c_p T = \text{const}\).

зад 18 трудная [IPhO-2012] На рисунке ниже изображено сечение крыла самолёта вместе с линиями тока обтекающего крыло воздуха, как они видны в системе отсчёта крыла. Считайте, что (а) течение воздуха строго двумерно (т. е. векторы скорости воздуха лежат в плоскости рисунка); (б) картина линий тока не зависит от скорости самолёта; (в) ветра нет; (г) динамическое давление много меньше атмосферного давления \(p_0 = 1{,}0 \times 10^5\) Па. Для измерений по рисунку на листе ответов можно пользоваться линейкой.

а) Если скорость самолёта относительно земли \(v_0 = 100\) м/с, какова скорость воздуха \(v_P\) в точке \(P\) (отмеченной на рисунке) относительно земли?

б) При высокой относительной влажности, когда скорость самолёта относительно земли превышает критическое значение \(v_{\text{кр}}\), за крылом возникает струя водяных капель. Капли появляются в некоторой точке \(Q\). Отметьте точку \(Q\) на рисунке на листе ответов. Объясните качественно (с помощью формул и как можно меньшего количества текста), как вы определили её положение.

в) Оцените критическую скорость \(v_{\text{кр}}\), пользуясь следующими данными: относительная влажность воздуха \(r = 90\%\), удельная теплоёмкость воздуха при постоянном давлении \(c_p = 1{,}00 \times 10^3\,\text{Дж}/(\text{кг}\cdot\text{К})\), давление насыщенного водяного пара \(p_{sa} = 2{,}31\) кПа при температуре невозмущённого воздуха \(T_a = 293\) К и \(p_{sb} = 2{,}46\) кПа при \(T_b = 294\) К.

Идея 14 полезна также при выводе скорости звука \(c_s\) в газе. Однако тогда нужна ещё одна идея.

Рассмотрим звуковую волну, распространяющуюся в направлении оси \(x\); тогда плотность воздуха \(\rho = \rho(x - c_s t)\). Следуя идее 16, рассмотрим систему отсчёта, движущуюся со скоростью \(c_s\), с координатной осью \(x' = x - c_s t\). В этой системе возмущение плотности остаётся постоянным во времени, \(\rho = \rho(x')\). Это означает, что можно воспользоваться идеей 14, и мы получаем два уравнения: \[(\rho_0 + \Delta\rho)(v + c_s) = \rho_0 c_s,\] \[\frac{1}{2}(v + c_s)^2 + c_p T = \frac{1}{2}c_s^2 + c_p T_0,\] где \(v \ll c_s\) — скорость газа в лабораторной системе отсчёта. В звуковой волне возмущения плотности обычно малы, так что можно считать \(\Delta\rho \ll \rho\). Раскрывая скобки и пренебрегая квадратично малыми членами (например, \(v\Delta\rho\) и \(v^2\)), получаем \[\rho_0 v + c_s\Delta\rho = 0, \quad c_s v + c_p\Delta T = 0.\] Если длина волны достаточно велика (много больше длины свободного пробега молекул газа), течение газа адиабатично, так что \(\Delta T\) можно связать с \(\Delta\rho\) через адиабатический закон \(T\rho^{1-\gamma} = \text{const}\). Пользуясь идеей 12, получаем \(\frac{\Delta T}{T_0} + (1 - \gamma)\frac{\Delta\rho}{\rho_0} = 0\), откуда \(\Delta T = (\gamma - 1)\frac{T_0}{\rho_0}\Delta\rho\). С учётом этого наши уравнения можно переписать в виде \[\rho_0 v + c_s\Delta\rho = 0, \quad \rho_0 c_s v + c_p(\gamma - 1)\frac{T_0}{\rho_0}\Delta\rho = 0,\] где \(c_p(\gamma - 1) = M^{-1}C_p\frac{C_p - C_V}{C_V} = M^{-1}C_p\frac{R}{C_V} = \gamma\frac{R}{M}\). Это система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными, \(v\) и \(\Delta\rho\), которая может иметь ненулевые решения только в том случае, если определитель равен нулю (уравнения линейно зависимы), т. е. \[c_s^2 = \gamma\frac{RT_0}{M}.\]

Вычисляя \(c_s\), мы пренебрегли одним важным обстоятельством: в случае прямых линий тока (что имеет место для плоских волновых фронтов, т. е. для одномерного распространения волн), помимо сохранения энергии и массы, имеется также сохранение импульса газа.

зад 19 Покажите, что в случае течения газа вдоль прямых линий тока из второго закона Ньютона для порций газа следует \[\rho v^2 + p = \text{const}.\]

Следует подчеркнуть, что этот последний закон справедлив только в случае прямых линий тока: иначе сила давления, с которой стенки фиктивной трубки (образованной линиями тока) действуют на порции газа, тоже давала бы вклад в ускорение вдоль линий тока.

Вычисляя \(c_s\), мы использовали три уравнения: закон сохранения энергии \(\frac{1}{2}v^2 + c_p T = \text{const}\), закон сохранения массы \(\rho v = \text{const}\) и адиабатический закон \(\rho^{1-\gamma}T = \text{const}\). Мы могли бы заменить адиабатический закон законом сохранения импульса \(\rho v^2 + p = \text{const}\) и всё равно получили бы тот же результат. Это означает, что если амплитуда возмущений плотности мала, то четыре уравнения линейно зависимы, и адиабатический закон можно вывести из остальных трёх. Таким образом, пока амплитуда волны мала, распространение звука адиабатично. С другой стороны, для больших амплитуд это уже не так: три закона сохранения (известные как условия Ранкина—Гюгонио) могут (и будут) противоречить адиабатическому закону. Поэтому в случае ударных волн большой амплитуды процесс над газом неадиабатичен, и часть механической энергии превращается в теплоту.

зад 20 В случае ударной волны область повышенного давления распространяется в газе со скоростью, несколько превышающей скорость звука. Рассмотрим ударную волну, в которой плотность воздуха возрастает ровно вдвое; во сколько раз такая ударная волна быстрее скорости звука?

Граница раздела жидкости и пара

Частицы жидкости (и кристалла) — атомы, молекулы, ионы — связаны друг с другом химическими связями, то есть силами, сложным образом зависящими от расстояния между частицами. По происхождению эти силы имеют электростатическую природу: взаимодействие квантово-механических законов и электростатических взаимодействий между орбитальными электронами и атомными ядрами приводит к тому, что сила между частицами оказывается сложной функцией положений взаимодействующих частиц. На малых расстояниях между атомными ядрами сила становится отталкивающей (положительные заряды ядер отталкиваются), на умеренных расстояниях сила притягивающая (это и удерживает частицы вместе в жидкой или кристаллической фазе), а на больших расстояниях сила убывает быстрее электростатического закона \(r^{-2}\). Притяжение на умеренных расстояниях означает, что потенциальная энергия (отсчитываемая от бесконечного расстояния) для типичной пары ближайших соседей отрицательна; пусть средняя потенциальная энергия на одну частицу равна \(-U_0\). Для частиц внутри жидкой (или кристаллической) фазы число ближайших соседей больше, чем для частиц на поверхности. Соответственно, средняя потенциальная энергия межчастичных сил на одну частицу у поверхности также меньше по модулю, чем \(U_0\); обозначим разность энергий через \(\Delta U_0\). Теперь можно сделать два вывода.

Во-первых, увеличение площади поверхности жидкости увеличит число частиц на поверхности, а значит, и полную энергию молекулярных сил. Естественно, число частиц, прилегающих к поверхности, пропорционально площади поверхности \(A\), а значит, и полная энергия \(W\), связанная с тем, что частицы находятся на поверхности, а не в толще жидкости: \(W = \sigma A\), где коэффициент \(\sigma\) характеризует молекулярные силы жидкости и называется поверхностным натяжением. Это явление будет обсуждаться в следующем разделе.

Во-вторых, чтобы вырвать частицу из жидкой фазы, ей нужно получить энергию \(U_0\) (эта энергия аналогична работе выхода в уравнении Эйнштейна для фотоэффекта). К этому моменту мы уже узнали, что в термодинамических системах частицы могут находиться в состояниях с более высокой и с более низкой энергией, а это значит, что молекулы жидкости могут за счёт случайных взаимодействий с другими молекулами получить и энергию, превышающую \(U_0\), и в результате «выпрыгнуть» из жидкой фазы. Этот процесс (выпрыгивание молекул из жидкости) порождает испарение: число молекул в жидкой фазе будет уменьшаться. Однако существует и обратный процесс — конденсация на поверхности жидкости. Действительно, если газообразная фаза над поверхностью жидкости содержит молекулы этой жидкости, то молекулы пара (находящиеся в хаотическом движении) могут ударяться о поверхность жидкости и «прилипать» к ней.

Для молекулы вероятность обладать дополнительной энергией, превышающей \(U_0\), пропорциональна \(\mathrm{e}^{-U_0/kT}\); скорость испарения пропорциональна этой вероятности и потому очень быстро растёт с температурой. Скорость конденсации, напротив, менее чувствительна к температуре (она пропорциональна скорости молекул, т. е. \(\sqrt{T}\)) и зависит в основном от концентрации молекул пара в газообразной фазе. Очевидно, если скорость испарения превышает скорость конденсации, количество жидкости уменьшается, и наоборот. Если взять некоторое количество жидкости и плотно запаять её в бутыль, эти два процесса приходят в равновесие: концентрация молекул пара в газообразной фазе достигнет такого значения, при котором скорость испарения равна скорости конденсации.

Чаще всего количество пара измеряют как парциальное давление, создаваемое молекулами данного сорта в газообразной фазе. Этот способ правомерен благодаря закону Дальтона.

Этот закон прямо следует из принципов молекулярно-кинетической теории: давление — это импульс, передаваемый молекулами стенкам сосуда за единицу времени на единицу площади поверхности, а согласно законам механики импульс — аддитивная величина (импульс всей системы есть сумма импульсов всех её частей).

Возвращаясь к парам: насыщенный пар обычно характеризуют его давлением — давлением насыщенного пара.

Есть ещё один процесс, очень похожий на испарение, — сублимация. В случае сублимации единственное отличие в том, что молекулы переходят прямо из твёрдой фазы в газообразную; примеры сублимации — вода при температурах ниже \(0^\circ\text{C}\) и иод при комнатных температурах. В случае сублимации понятия давления насыщения, давления пара и относительной влажности сохраняются.

Следующая задача проверяет понимание понятия давления насыщения.

зад 21 В вакууме и невесомости на дне цилиндрического сосуда (стакана) лежит слой твёрдого вещества. Это вещество медленно сублимирует (испаряется из твёрдой фазы в газообразную) и тем самым толкает сосуд в противоположном направлении. Масса сосуда равна \(M\), начальная масса вещества \(m \ll M\). Площадь поперечного сечения сосуда равна \(A\), а давление насыщенных паров вещества при температуре \(T\) равно \(p_0\). Каково ускорение сосуда? Дайте ответ для двух случаев: (а) длина свободного пробега \(\lambda\) молекул при давлении насыщения много меньше длины сосуда и (б) много больше неё.

Если текущее давление пара меньше давления насыщенного пара (т. е. относительная влажность меньше 100%), испарение с поверхности жидкости преобладает над конденсацией, и масса жидкости медленно уменьшается. С другой стороны, если относительная влажность больше \(r = 100\%\), конденсация преобладает над испарением. Однако, в отличие от испарения, конденсация может происходить не только на свободной поверхности жидкости, но и с образованием капель. Всё же молекулы пара не могут начать образовывать каплю в пустом пространстве, так как в случае очень маленькой капли (размером в несколько молекул) жидкая фаза ещё не образовалась, и силы молекулярного притяжения недостаточно сильны, чтобы удержать молекулы вместе (энергия связи меньше, чем у жидкой фазы, \(U_0\)). Поэтому, чтобы начала образовываться капля, нужен центр конденсации: им может быть пылинка или крошечный кристаллик соли, парящий в воздухе. Итак, вокруг каждого такого центра конденсации образуется крошечная капелька; это туман. Если центров конденсации достаточно много, крошечные капли «высасывают» весь избыточный пар, что приводит к \(r = 100\%\). Если центров конденсации меньше, каждой капле придётся поглощать пар из большего объёма, и потому процесс займёт больше времени. В случае чрезвычайно чистого воздуха, когда центров конденсации очень мало, в течение некоторого времени возможно \(r > 100\%\); такой газ называется пересыщенным паром.

Теперь обсудим подробнее испарение при \(r < 100\%\). В случае водяных паров в воздухе воздух чаще всего относительно сух, причём \(r\) обычно лежит в пределах от 40% до 80%. Так происходит потому, что свободная водная поверхность составляет лишь малую долю всех поверхностей: солнечный нагрев уменьшает \(r\), увеличивая давление насыщения, тогда как давление пара остаётся почти постоянным, поскольку источников пара (в виде жидкой воды) нет. Даже сравнительно близко к водной поверхности \(r\) остаётся умеренной: не хватает времени для установления теплового равновесия, испарение идёт относительно медленно, а движущийся воздух приносит к водной поверхности новые сухие воздушные массы.

Однако в узком слое у поверхности воды воздух движется медленно из-за трения о водную поверхность; пусть толщина этого (почти) застойного слоя воздуха равна \(\delta\) (заметим, что \(\delta\) зависит от скорости ветра: сильный ветер делает застойный слой более узким). Молекулы воздуха в застойном слое препятствуют уходу молекул водяного пара в толщу воздуха: молекулы воды часто сталкиваются с молекулами воздуха и хаотически движутся туда-сюда; в результате скорость их удаления от водной поверхности мала по сравнению с тепловой скоростью. Если длина свободного пробега \(\lambda\) молекул пара много меньше толщины этого поверхностного слоя (что обычно и имеет место), то можно рассмотреть отдельно тонкий слой воздуха непосредственно над водной поверхностью, толщиной в несколько \(\lambda\) (этот слой — самая нижняя часть застойного слоя). В пределах этого слоя рассмотрим два процесса: во-первых, молекулы выпрыгивают из воды в тонкий слой и затем возвращаются в жидкую фазу, совершив несколько столкновений с молекулами воздуха; во-вторых, молекулы пара покидают застойный слой толщиной \(\delta\). Поскольку \(\lambda \ll \delta\), характерное время первого процесса много меньше, чем второго. Если один процесс много быстрее другого, то для более быстрого процесса достигается квазиравновесие. Поэтому внутри тонкого слоя толщиной \(\lambda\) достигается тепловое квазиравновесие между молекулами воды в жидкой фазе и в фазе пара: молекулы воды выпрыгивают из жидкой фазы почти столь же часто, сколь часто молекулы пара ударяются о поверхность и застревают в жидкости. По определению давления насыщения это означает, что внутри тонкого слоя давление пара равно давлению насыщения (при температуре водной поверхности).

Если бы столкновений с молекулами воздуха не было, т. е. если бы длина свободного пробега молекул была очень велика и молекулы, выпрыгнувшие из поверхности, никогда не возвращались, скорость испарения можно было бы вывести из давления насыщенного пара. Действительно, полное давление насыщения можно разделить на две составляющие: импульс за единицу времени на единицу площади, (а) передаваемый теми молекулами, которые выпрыгивают из воды, тем молекулам, которые остаются в жидкой фазе, и (б) передаваемый жидкой воде теми молекулами пара, которые ударяются о водную поверхность и «застревают» в ней. В равновесии оба процесса имеют одинаковую интенсивность, и потому оба дают половину давления насыщения. Если бы вторая составляющая отсутствовала, давление пара уменьшилось бы до половины полного давления насыщения, а интенсивность испарения (число молекул, покидающих поверхность за единицу времени с единицы площади) можно было бы выразить через давление насыщения, температуру и молярную массу с помощью кинетической теории газов.

В действительности же, пока речь не идёт о сублимации в вакууме, молекулы пара не могут свободно покинуть пограничный слой, и многие молекулы в итоге снова сталкиваются с водной поверхностью и конденсируются на ней. Тогда эффективная скорость испарения определяется взаимодействием двух процессов: молекулы (а) выпрыгивают с водной поверхности и (б) диффундируют через пограничный слой. Как обсуждалось ранее, непосредственно над водной поверхностью вода и пар находятся в равновесии, т. е. \(r = 100\%\). У верхней границы застойного слоя движение воздуха приносит свежий воздух с относительной влажностью \(r\), равной влажности основной массы воздуха. Толщина застойного слоя зависит в основном от скорости ветра; более узкий слой означает больший градиент концентрации пара и, следовательно, больший поток молекул пара, т. е. большую скорость испарения. Поэтому влажные вещи сохнут быстрее, если относительная влажность воздуха мала и если есть сильный ветер.

Таким образом, достаточно нарисовать прямую \(y = ax + b\) на (данном вам) графике \(y = f(x)\) и считать координаты точки пересечения. Если теоретическая зависимость не линейна, построений становится больше: либо вы перерисовываете график \(y = f(x)\) в других координатах — таких, чтобы теоретическая зависимость задавалась прямой, — либо наносите на данный график \(y = f(x)\) кривую, соответствующую теоретической зависимости. В общем случае теоретической зависимости незачем быть линейной функцией; однако линейные зависимости встречаются не так уж редко. Например, в случае электрических цепей законы Кирхгофа обеспечивают линейность, ср. идею ?? из брошюры по электрическим цепям.

зад 22 трудная [EstPhO-1997] Один из методов определения относительной влажности основан на снятии показаний сухого и влажного термометров. У влажного термометра вокруг датчика обёрнут влажный кусок ткани. Чтобы метод давал точный результат, на влажный датчик должен дуть ветер (его можно создать вентилятором). На протяжении всей этой задачи можно пользоваться графиком давления насыщенных водяных паров как функции температуры.

Когда на влажный датчик дует ветер, на температуру датчика влияют два процесса: во-первых, ветер уносит воздух с высокой влажностью из окрестности поверхности влажной ткани, так что вода может испаряться; во-вторых, он увеличивает тепловой поток от тёплого воздуха к более холодному датчику, уменьшая толщину застойного слоя воздуха, в котором сосредоточен перепад температуры. Для вопроса а) можно пренебречь влиянием теплового потока (т. е. считать, что теплопроводность воздуха очень мала). Далее считайте, что температура воздуха \(T_0 = 20^\circ\text{C}\).

а) Найдите разность температур влажного и сухого термометров, если относительная влажность \(r = 90\%\).

б) Если считать, что ветер дует с постоянной скоростью, то кондуктивный тепловой поток \(Q_c\) (измеряемый в ваттах) пропорционален разности температуры воздуха \(T_0\) и температуры влажной ткани \(T\): \(Q_c = a(T_0 - T)\). Коэффициент пропорциональности \(a\) зависит от формы и размера влажной ткани, а также от скорости ветра. Помимо теплового потока за счёт теплопроводности, есть также тепловой поток за счёт испарения: испаряющиеся молекулы уносят теплоту в соответствии с удельной теплотой парообразования. Этот испарительный тепловой поток \(Q_e\) пропорционален скорости испарения, которая, в свою очередь, пропорциональна разности давления насыщения (при температуре влажной ткани) \(p_s(T)\) и давления паров в окружающем воздухе \(p_a\). Итак, \(Q_e = b[p_s(T) - p_a]\), где коэффициент \(b\) зависит от того же, от чего и коэффициент \(a\). Однако оказывается, что отношение \(a/b\) — величина, которую можно считать постоянной в широком диапазоне условий, если давление насыщения много меньше атмосферного. Оно медленно зависит от давления и температуры воздуха, но при любых разумных температурах и давлениях воздуха на уровне моря его можно принять равным \(a/b = 65\,\text{Па}/\text{К}\). С учётом сказанного выше, каким будет показание влажного термометра, если воздух абсолютно сух (т. е. \(r = 0\))?

в) Выведите как можно более простое выражение для нахождения разности показаний влажного и сухого термометров с относительной точностью 10%, которое можно было бы применять при \(T_0 = 20^\circ\text{C}\) и в диапазоне влажности \(80\% < r < 100\%\).

г) Бельё сохнет так, что на него не падает прямой солнечный свет. В одном случае влажность 95%, в другом — 80%; все прочие условия совершенно одинаковы. Во сколько раз быстрее высохнет бельё во втором случае?

Наоборот, если \(p_s(T) < p_{\text{атм}}\), внешнее давление не позволит пузырьку расширяться: большее внешнее давление всегда сожмёт пузырёк обратно до его исходного крошечного размера (задаваемого размером примеси или числом нерастворимых молекул какого-то другого газа внутри него).

Лишь исключительно чистые жидкости могут быть почти свободны от центров испарения; в этом случае возможно то, что называется перегретыми жидкостями: хотя \(p_s(T)\) немного больше \(p_{\text{атм}}\), из-за отсутствия центров испарения внутри жидкости испарение может происходить только с поверхности. Хотя этот процесс теперь идёт относительно быстро (ветер для ускорения испарения не нужен, так как пары теперь могут свободно расталкивать воздух), испарения из толщи в виде пузырьков нет, т. е. кипения нет. Это очень похоже на обсуждавшиеся ранее пересыщенные пары. Более того, при аналогичных условиях (очень чистых жидкостей) возможны переохлаждённые жидкости, которые остаются в жидкой фазе ниже точки плавления. Например, очень чистая вода может оставаться жидкой при нескольких градусах ниже \(0\,^\circ\text{C}\). И для перегретых, и для переохлаждённых жидкостей встряхивание может инициировать очень быстрый фазовый переход: для перегретой жидкости избыточная теплота выделяется в виде удельной теплоты парообразования при частичном испарении, а в случае переохлаждённой жидкости часть жидкости затвердевает, выделяя удельную теплоту плавления и поднимая температуру до значения точки плавления.

Следует отметить, что переохлаждение может происходить и с дождевыми каплями, что приводит к явлению, известному как гололёд: как только капля попадает на твёрдую поверхность (дорогу, электрические провода и т. д.), часть воды затвердевает на этой твёрдой поверхности.

зад 23 трудная Гейзеры можно рассматривать как большие подземные резервуары, заполненные грунтовой водой и нагреваемые горячими стенками. Такой резервуар соединён с поверхностью земли узким и глубоким каналом, который в состоянии покоя гейзера (период бездействия) заполнен относительно холодной водой (стенки канала холодны и не нагревают воду внутри канала). Гейзер становится активным, когда вода в резервуаре начинает кипеть; в период активности канал, соединяющий резервуар с поверхностью земли, заполнен водяными парами. Скорость поступления свежей воды в резервуар настолько мала, что притоком можно пренебречь в течение (относительно очень короткого) периода активности; при этом она настолько велика, что за (относительно очень длинный) период бездействия весь резервуар и весь канал (вплоть до поверхности земли) заполняются водой.

Пусть разность высот между концами канала равна \(h = 90\,\text{м}\). Удельная теплота парообразования воды \(\lambda = 2{,}26 \times 10^6\,\text{Дж}/\text{кг}\); её удельная теплоёмкость \(c = 4{,}2 \times 10^3\,\text{Дж}/(\text{кг}\cdot\text{К})\). Зависимость давления насыщенных водяных паров от температуры изображена на графике. Найдите, какая доля воды в резервуаре теряется за один период активности.

Если у нас есть граница раздела двух жидкостей, нужно объединить факты 13 и 14: в пузырьки на границе раздела двух жидкостей могут переходить в паровую фазу молекулы обеих жидкостей. Согласно закону Дальтона давление внутри пузырька будет равно \(p_{1s} + p_{2s}\), где \(p_{1s}\) и \(p_{2s}\) — давления насыщения соответственно первой и второй жидкости при данной температуре.

зад 24 [IPhO-1989] Рассмотрим две взаимно нерастворимые жидкости \(A\) и \(B\). Давления \(p_i\) (\(i = A, B\)) их насыщенных паров с хорошей точностью подчиняются формуле \(\ln(p_i/p_0) = a_i/T + b_i\), где \(p_0\) обозначает нормальное атмосферное давление, \(T\) — абсолютную температуру пара, а \(a_i\) и \(b_i\) (\(i = A, B\)) — некоторые постоянные, зависящие от жидкости. Значения отношения \(p_i/p_0\), \(i = A, B\), для жидкостей \(A\) и \(B\) при температурах \(40\,^\circ\text{C}\) и \(90\,^\circ\text{C}\) приведены в таблице ниже. \[\begin{array}{ccc} T\,(^\circ\text{C}) & p_A/p_0 & p_B/p_0 \\ 40 & 0{,}248 & 0{,}07278 \\ 90 & 1{,}476 & 0{,}6918 \end{array}\]

а) Определите температуры кипения жидкостей \(A\) и \(B\) под давлением \(p_0\).

Жидкости \(A\) и \(B\) налили в сосуд, в котором образовались слои, показанные на рисунке. Поверхность жидкости \(B\) покрыли тонким слоем нелетучей жидкости \(C\), нерастворимой в жидкостях \(A\) и \(B\) и наоборот, чем предотвратили всякое свободное испарение с верхней поверхности жидкости \(B\). Отношение молекулярных масс жидкостей \(A\) и \(B\) (в газообразной фазе) равно \(g = M_A/M_B = 8\).

Массы жидкостей \(A\) и \(B\) первоначально были одинаковы и равнялись \(m = 100\,\text{г}\) каждая. Высоты слоёв жидкостей в сосуде и плотности жидкостей достаточно малы, чтобы можно было принять, что давление в любой точке сосуда практически равно нормальному атмосферному давлению \(p_0\). Систему жидкостей в сосуде медленно, но непрерывно и равномерно нагревают. Установлено, что температура \(t\) жидкостей менялась со временем \(\tau\) так, как схематически показано на рисунке. Определите температуры \(t_1\) и \(t_2\), соответствующие горизонтальным участкам диаграммы, и массы жидкостей \(A\) и \(B\) в момент времени \(\tau_1\). Температуры следует округлить до целого числа градусов (в \(^\circ\text{C}\)), а массы жидкостей определить с точностью до десятых долей грамма.

ЗАМЕЧАНИЕ: считайте, что пары жидкостей с хорошей точностью

(1) подчиняются закону Дальтона, гласящему, что давление смеси газов равно сумме парциальных давлений газов, образующих смесь, и

(2) могут рассматриваться как идеальные газы вплоть до давлений, соответствующих насыщенным парам.

Поверхностное натяжение

Как мы видели в предыдущей главе, молекулы вещества в жидкой фазе притягиваются остальными молекулами жидкости и потому обладают некоторой отрицательной потенциальной энергией по отношению к бесконечности. Заметим, что те молекулы жидкости, которые находятся непосредственно на границе раздела жидкость—газ, притягиваются другими молекулами только со стороны жидкой фазы. Поэтому у молекул, расположенных прямо на поверхности, по сравнению с молекулами в толще жидкости число притягивающих соседей меньше и, соответственно, меньше по модулю отрицательная потенциальная энергия. Эту недостающую отрицательную энергию можно истолковать как положительную энергию поверхности, которая пропорциональна числу молекул на поверхности, а оно, в свою очередь, пропорционально площади поверхности жидкости, \[U = S\sigma,\] где коэффициент пропорциональности \(\sigma\) называется поверхностным натяжением. При комнатной температуре оно обычно принимает значения от 17 мН/м (диэтиловый эфир) до 73 мН/м (вода); у ртути оно равно 480 мН/м. В случае воды очень малые концентрации веществ, называемых поверхностно-активными, способны понизить поверхностное натяжение в два-три раза.

Рассмотрим теперь прямоугольный участок \(a \times b\) поверхности жидкости и процесс, в котором мы увеличиваем длину стороны \(a\) на \(\Delta a\). При этом площадь поверхности возрастает на \(b\Delta a\), а значит, поверхностная энергия — на \(\sigma b\Delta a\). Раз энергия возросла, была совершена какая-то работа. Чтобы увеличить длину стороны \(a\), нам нужно было оттянуть один край длиной \(b\) на \(\Delta a\). Предположим, что для этого потребовалась сила \(F\). Тогда из энергетического баланса можно приравнять совершённую работу \(F\Delta a\) приросту энергии \(\sigma b\Delta a\); отсюда \[F = \sigma a,\] т. е. \(\sigma\) — это сила, приходящаяся на единицу длины. Подводя итог, можно сказать, что, подобно натяжению верёвки, если провести на поверхности воображаемую линию разреза длиной \(L\), то две половины поверхности будут тянуть каждая с силой \(F = \sigma L\).

Заметим, что поверхностное натяжение существует не только на свободной поверхности жидкости, т. е. на границе жидкость—воздух, но и на границах раздела жидкость—жидкость между двумя нерастворимыми друг в друге жидкостями, на границах жидкость—твёрдое тело, твёрдое тело—газ и твёрдое тело—твёрдое тело. Однако если только мы не имеем дела с объектами нанометрового (или ещё меньшего) масштаба, у которых отношение площади поверхности к объёму тела (а вместе с ним и относительная роль поверхностной энергии) аномально велико, поверхностное натяжение не даёт заметных эффектов на границах твёрдое тело—твёрдое тело и твёрдое тело—воздух из-за того, что размер и форма этих поверхностей закреплены формой твёрдых тел. В виде исключения энергия границы твёрдое тело—воздух становится важной, если эта граница примыкает к границам твёрдое тело—жидкость и твёрдое тело—воздух. Рассмотрим этот случай подробнее.

Рассмотрим линию контакта трёх веществ — газа (например, воздуха), жидкости (например, воды) и твёрдого тела (например, стекла, в котором вода хранится). Итак, у нас есть границы раздела жидкость—газ, твёрдое тело—газ и твёрдое тело—жидкость; пусть соответствующие поверхностные натяжения равны \(\sigma_{\text{l-g}}\), \(\sigma_{\text{s-g}}\) и \(\sigma_{\text{s-l}}\). Мы исследуем равновесие для положения линии контакта трёх веществ. Поверхность твёрдого тела деформировать нельзя, поэтому эта линия контакта может двигаться только вдоль поверхности твёрдого тела. Пусть теперь длина линии контакта равна \(L\) и она сместилась в сторону жидкой фазы от своего начального положения на малое расстояние \(|AB| = a\), см. рисунок, на котором изображено сечение системы. Тогда поверхностная энергия границы твёрдое тело—газ возросла на \(\sigma_{\text{s-g}} aL\), а поверхностная энергия границы твёрдое тело—жидкость уменьшилась на \(\sigma_{\text{s-g}} aL\). Пусть поверхности жидкость—воздух и твёрдое тело—жидкость образуют угол \(\alpha\), см. рисунок. Отметим, что рисунок выполнен в предположении, что полный объём жидкости настолько велик, что вытесненный объём жидкости \(ABC\), перетекающий вправо от точки \(P\), не вызывает сколько-нибудь заметных изменений формы поверхности жидкости в этой области. Тогда смещение линии контакта уменьшит поверхностную энергию границы жидкость—воздух на \(\sigma_{\text{l-g}} aL \cos\alpha\). Действительно, из прямоугольного треугольника \(ABC\) следует, что длина поверхности жидкость—газ уменьшается на \(|AD| = |AB| \cos\alpha\) (мы пренебрегаем разностью длин \(|CD| - |CB|\), которая имеет второй порядок малости по малому параметру \(|AB|/|AC|\)).

Теперь из энергетического баланса можно заключить, что линии контакта энергетически выгодно двигаться вправо, если \(\sigma_{\text{l-g}} \cos\alpha + \sigma_{\text{s-l}} > \sigma_{\text{s-g}}\), и влево, если выполнено противоположное неравенство; равновесие возможно, только если \[\sigma_{\text{l-g}} \cos\alpha + \sigma_{\text{s-l}} = \sigma_{\text{s-g}}.\]

Теперь мы можем выразить так называемый краевой угол \(\alpha\): \[\cos\alpha = \frac{\sigma_{\text{s-g}} - \sigma_{\text{s-l}}}{\sigma_{\text{l-g}}}.\] Для обычных жидкостей и поверхностей краевой угол больше 0 и меньше \(\pi\); случаи с \(\alpha < \pi/2\) называют гидрофильными, или смачиванием, а случаи с \(\alpha > \pi/2\) — гидрофобными, или несмачиванием. В случае полного смачивания \(\cos\alpha = 1\). При ещё меньших значениях \(\sigma_{\text{l-g}}\) мы получили бы \(\cos\alpha > 1\), что явно невозможно; вместо этого неравенство \(\sigma_{\text{l-g}} + \sigma_{\text{s-l}} < \sigma_{\text{s-g}}\) означает, что поверхностное натяжение границы газ—твёрдое тело \(\sigma_{\text{s-g}}\) настолько велико, а поверхностные натяжения жидкости настолько малы, что капле жидкости энергетически выгодно растечься по всей поверхности твёрдого тела, так что оно целиком покроется тонким слоем жидкости. Если такую жидкость держать в сосуде с вертикальными стенками, ей было бы даже энергетически выгодно «взбираться» вверх по стенкам: в случае чрезвычайно тонкого слоя жидкости гравитационной потенциальной энергией можно было бы пренебречь. Однако скорость течения жидкости в чрезвычайно тонком слое будет чрезвычайно мала из-за вязкого сопротивления. Поэтому такое поведение можно наблюдать только тогда, когда вязкого сопротивления нет, т. е. в случае сверхтекучести (гелий при очень низких температурах).

Если бы существовали границы раздела с \(\sigma_{\text{l-g}} + \sigma_{\text{s-g}} \le \sigma_{\text{s-l}}\), то было бы энергетически выгодно сохранять узкий воздушный зазор между жидкостью и твёрдым телом: жидкость не прилипала бы к поверхности, и капли жидкости могли бы двигаться вдоль поверхности практически без сопротивления. Хотя таких поверхностей не существует, есть границы раздела, для которых \(\cos\alpha\) довольно близок к \(-1\). Например, краевой угол ртути на большинстве поверхностей составляет около \(140^\circ\).

зад 25 У некоторых природных материалов (например, у листьев лотоса), а также у материалов с современными нанотехнологическими покрытиями краевой угол жидкостей увеличен благодаря микроструктуре поверхности: на ней есть микроскопические «ворсинки», которые удерживают капли на своих кончиках и тем самым уменьшают площадь контакта между жидкостью и твёрдым материалом. Если видимая площадь контакта капли с такой поверхностью равна \(A\), а настоящая площадь контакта, обусловленная микроскопическими ворсинками, равна \(rA\), где \(r = 0{,}006\), то чему равен краевой угол? Считайте, что без «ворсинок» краевой угол был бы равен \(\alpha_0 = 110^\circ\).

Заметим, что условие минимума энергии можно также истолковать как условие баланса сил для линии, на которой встречаются три фазы (точка \(A\) на рисунке): силы \(\sigma_{\text{l-g}}\), \(\sigma_{\text{s-l}}\) и \(\sigma_{\text{s-g}}\) (в расчёте на единицу длины) тянут молекулы жидкости на линии контакта трёх фаз соответственно вдоль границ жидкость—газ, твёрдое тело—жидкость и твёрдое тело—газ. Следовательно, равенство \(\sigma_{\text{l-g}} \cos\alpha + \sigma_{\text{s-l}} = \sigma_{\text{s-g}}\) представляет собой условие равновесия для горизонтального направления (вдоль которого эта линия могла бы сместиться, если бы покрытая жидкостью площадь сжималась или расширялась).

Подведём итог тому, что мы узнали.

Изучим теперь капиллярное давление — избыточное давление, обусловленное сферической границей раздела жидкость—воздух радиуса \(r\), какая была бы, например, у пузырька внутри жидкости или у маленькой капельки, парящей в воздухе. Разделим пузырёк на две половины плоскостью, проходящей через его центр, и рассмотрим баланс сил для одной из половин. Для начала нам понадобится новая идея.

Рассмотрим, например, пузырёк воздуха внутри жидкости и мысленно разрежем его плоской поверхностью на две равные половины. Тело, для которого мы пишем баланс сил, состоит из воздуха внутри половины пузырька и окружающей его полусферической границы раздела жидкость—воздух. На это тело действуют: капиллярная сила вдоль линии разреза, тянущая к другой половине, \(F_1 = 2\pi\sigma r\); сила, обусловленная гидростатическим давлением \(p_{\text{in}}\) внутри пузырька, \(F_2 = \pi r^2 p_{\text{in}}\), с которой другая половина пузырька отталкивает половины друг от друга; сила \(F_3\), обусловленная гидростатическим давлением \(p_{\text{out}}\) снаружи сферы и действующая в том же направлении, что и капиллярная сила. Заметим, что \(p_{\text{out}}\) действует на искривлённую поверхность, так что вычисление результирующей силы потребовало бы интегрирования \(p_{\text{out}} \hat{x} \cdot \mathrm{d}\vec{S}\), где \(\hat{x}\) — единичный вектор вдоль оси полусферы, а \(\mathrm{d}\vec{S}\) — бесконечно малый элемент поверхности (его модуль равен соответствующей площади, а направлен он параллельно нормали к поверхности). Однако если бы такая полусфера была окружена и с искривлённой, и с плоской стороны одним и тем же гидростатическим давлением (ср. половину арбуза, находящуюся под атмосферным давлением), то тело, очевидно, осталось бы в покое, т. е. силы давления с обеих сторон были бы равны. Поэтому \(F_3 = \pi r^2 p_{\text{out}}\). Итак, условие равновесия для полусферы записывается в виде \(\pi r^2 p_{\text{out}} + 2\pi\sigma r = \pi r^2 p_{\text{in}}\), откуда \[p_{\text{in}} - p_{\text{out}} = 2\sigma/r.\] В случае цилиндрической поверхности совершенно аналогичный подход даёт \(p_{\text{in}} - p_{\text{out}} = \sigma/r\).

Однако цилиндрическую геометрию можно проанализировать и другим способом: рассмотрим баланс сил для очень малого элемента поверхности (на рисунке \(\alpha \ll 1\)) в направлении, перпендикулярном поверхности (ось \(x\) на рисунке). Сила поверхностного натяжения \(F\), касательная к поверхности, приложена к краям элемента поверхности, что даёт \(F_x = -\frac{1}{2}\sigma l \sin\alpha \approx -\frac{1}{2}\sigma l \alpha\) (\(l\) — длина элемента поверхности перпендикулярно плоскости рисунка). Площадь элемента поверхности \(\Delta A = l r \alpha\), и потому баланс сил записывается как \((p_{\text{in}} - p_{\text{out}}) l R \alpha = 2F_x = \sigma l \alpha\), что сразу даёт \(p_{\text{in}} - p_{\text{out}} = \sigma/r\). Заметим также, что на приведённом выше рисунке границу раздела жидкость—газ можно считать верёвкой с натяжением \(T\); в этом случае мы получаем нормальную силу на единицу длины верёвки \(n = T/R\).

Наконец, последний абзац иллюстрирует очень важный и универсальный метод в физике — подход дифференциального исчисления. У дифференциального исчисления много обличий: например, в математике мы чаще всего говорим о взятии производных и интегралов и о решении дифференциальных уравнений. В физике же очень полезно уметь показывать, что та или иная физическая величина представляет собой некоторый интеграл (ср. идею ?? из брошюры по электрическим цепям). Попробуем дать конкретный рецепт — итог того, что было сделано в предыдущем абзаце.

Подведём также итог результатам о капиллярном давлении.

Оказывается, эти выражения можно обобщить на произвольные формы границы раздела; здесь мы просто приведём результат: \[p_{\text{in}} - p_{\text{out}} = \sigma(r_1^{-1} + r_2^{-1}),\] где \(r_1\) и \(r_2\) — радиусы кривизны двух кривых в точке их пересечения \(P\); эти две кривые образованы линиями пересечения границы раздела воздух—жидкость с двумя плоскостями в предположении, что все три поверхности взаимно перпендикулярны в точке \(P\). Можно показать, что, хотя отдельные кривизны \(r_1\) и \(r_2\) зависят от ориентации этих двух плоскостей, сумма \(\sigma(r_1^{-1} + r_2^{-1})\) остаётся неизменной при повороте плоскостей вокруг нормали, проведённой через точку \(P\) к границе раздела воздух—жидкость.

В частности, объём мениска, массу капли, падающей из водопроводной трубки, и т. п. можно найти с помощью идеи 18, т. е. из условия баланса силы поверхностного натяжения и силы тяжести. Иллюстрацией здесь послужит следующая задача.

зад 26 [EstPhO-1995] Мерный цилиндр имеет объём \(V = 100\,\text{мл}\) и высоту \(h = 20\,\text{см}\). На цилиндр нанесены штрихи через каждый 1 мл. Пусть цилиндр используется для измерения объёма воды, а отсчёт берётся по самой нижней точке искривлённой поверхности воды. Насколько велика ошибка, возникающая из-за того, что поверхность воды искривлена, а не плоская? Коэффициент поверхностного натяжения воды \(\sigma = 0{,}073\,\text{Н}/\text{м}\); считайте, что вода полностью смачивает стенки цилиндра.

▶Подсказка и ответ к задаче 26Скрыть

Подсказка и ответ

Подсказка. У нас есть мениск, показанный на рисунке; выделим часть воды (изображена серым) фиктивной горизонтальной плоскостью, проходящей через плоское дно мениска, и рассмотрим баланс сил для этого серого объёма. В плоскости сечения внутри жидкости гидростатическое давление равно атмосферному. Действительно, на дне мениска через плоскую границу вода — воздух капиллярного давления нет, а значит, избыточное гидростатическое давление должно быть равно нулю; внутри же жидкости гидростатическое давление есть функция только высоты, так что вдоль всей горизонтальной плоскости давление остаётся равным атмосферному. Итак, объём, изображённый на рисунке серым, окружён атмосферным давлением, т. е. никакой дополнительной результирующей силы давления на него не действует.

Ответ. \(\Delta V = \frac{2\pi}{\rho}\sqrt{\frac{V\pi}{h}} = 0{,}58\,\text{мл}\)

зад 27 трудная [EstAcadPhO-2003] Два коаксиальных кольца радиуса \(R = 10\,\text{см}\) расположены на расстоянии \(L\) друг от друга. Между кольцами натянута мыльная плёнка, как показано на рисунке. Выведите дифференциальное уравнение, описывающее форму \(r(z)\) плёнки, где \(r\) — расстояние плёнки от оси симметрии как функция расстояния \(z\) вдоль этой оси. Покажите, что \(\operatorname{ch} x\) — одно из его решений. Если расстояние между кольцами медленно увеличивать, то при некотором критическом расстоянии \(L_0\) мыльная плёнка разрывается. Найдите \(L_0\).

Заманчиво применить идею 18 к каплям, падающим из крана, соломинки или шприца, чтобы связать массу капли с внутренним диаметром крана.

зад 28 простая Рассмотрим капли, падающие из шприца. Шприц держат вертикально, иглой вниз; на него медленно нажимают, так что с кончика иглы срываются капли жидкости (кончик иглы плоский, т. е. срезан перпендикулярно её оси). Поверхностное натяжение жидкости равно \(\sigma\), её плотность \(\rho\), ускорение свободного падения \(g\), а внутренний диаметр иглы \(d\) (\(d \ll \sqrt{\sigma/\rho g}\)). Найдите массу \(m\) падающей капли (внесите в свой ответ поправку, учитывающую малую силу давления, обусловленную избыточным давлением внутри капли).

Такой подход действительно справедлив, если внутренний диаметр \(d\) крана (шприца) мал. Однако если это не так, задача становится гораздо сложнее. Опираясь на статический баланс сил для горизонтальных слоёв растущей капли, можно составить дифференциальное уравнение, определяющее форму капли. Когда в каплю впрыскивают жидкость, капля растёт и её форма меняется; в некоторый момент достигается максимальный размер: при больших объёмах капли для данного диаметра крана решений дифференциального уравнения не существует. Это и есть момент, когда капля падает. На рисунке ниже изображены формы падающих капель для разных радиусов \(r\) шприца (крана), указанных в безразмерных единицах, \(\delta = r/\lambda\), где \(\lambda = \sqrt{\sigma/\rho g}\) — характерный масштаб длины, на котором капиллярное и гидростатическое давления имеют один порядок величины, \(\sigma/\lambda = \rho g \lambda\).

Можно заметить две трудности, из-за которых решение задачи 28 перестаёт быть верным при \(\delta \gtrsim 0{,}5\): а) у верхнего края капли (там, где она соединяется с краном) стенки капли уже не вертикальны (а значит, в баланс сил нужно включить косинус угла между вертикалью и касательной к поверхности); б) силу давления, обусловленную избыточным давлением внутри капли, нужно вычислять точнее (радиусы кривизны, а значит, и избыточное давление меняются по высоте капли). Кроме того, неясно, какая часть капли отделяется от крана, когда капля начинает падать: по-видимому, это несколько меньше, чем весь изображённый на рисунке объём. На рисунке выше указана относительная поправка \(\varepsilon\) к массе капли, обусловленная перечисленными эффектами (для \(\delta = 0{,}5\) и \(\delta = 1\) предполагается, что в виде падающей капли отделяется часть, лежащая ниже самого узкого места капли). Параметр \(\varkappa\) показывает относительную разность избыточных давлений у дна и у вершины капли; красная линия показывает уровень нулевого избыточного давления.

Случай \(\delta = 3{,}218\) (также показанный на рисунке) даёт наибольшую каплю (с учётом всего объёма под краем крана); это же и та капля, которая висит на горизонтальном потолке, когда на нём конденсируются водяные пары. При дальнейшем увеличении радиуса крана капли становятся ещё более плоскими, и при \(\delta \approx 3{,}83\) высота капли обращается в нуль. Когда радиус крана больше \(3{,}83\lambda\), кран уже не может удерживать воду: из-за явления, известного как неустойчивость Рэлея—Тейлора, вода вытекает.

зад 29 [EstPhO-1995] Жидкость наливают на горизонтальную полностью несмачиваемую поверхность, где она образует лужу (слой жидкости). Найдите толщину слоя, если плотность жидкости равна \(\rho\), а коэффициент поверхностного натяжения \(\sigma\). Какой была бы толщина, если бы жидкость смачивала поверхность частично, а угол между границами воздух—жидкость и жидкость—твёрдое тело был равен \(\alpha\) (\(0 < \alpha < \pi\))?

зад 30 трудная Найдите высоту мениска в условиях задачи 26, т. е. разность высот наивысшей и наинизшей точек границы раздела воздух—жидкость. Используйте данные задачи 26; плотность жидкости \(\rho\).

Наконец, о неустойчивостях, обусловленных поверхностным натяжением: любая жидкость стремится принять форму с минимальной энергией, которой в невесомости является шар. Поэтому любые другие формы, такие как цилиндрическая или плоская (мыльные плёнки), неустойчивы. В случае цилиндрической формы неустойчивость развивается довольно быстро; рассмотрим следующую задачу.

▶Подсказка и ответ к задаче 30Скрыть

Подсказка и ответ

Подсказка. Воспользуйтесь фактом 17 и идеей 19, чтобы заключить, что форма поперечного сечения мениска совпадает с формой поперечного сечения лужи жидкости, лежащей на столе (ср. зад. 29). Действительно, кривизна поверхности зависит только от поверхностного натяжения и избыточного давления, а их можно согласовать для мениска и для лужи так, как показано на рисунке.

Ответ. \(h = \sqrt{\frac{\sigma}{\rho g}}\)

зад 31 трудная [Seagull-2014] Из-за неустойчивости (известной как неустойчивость Плато—Рэлея) струя водопроводной воды на некоторой высоте распадается на капли. Этот процесс можно смоделировать неустойчивостью длинного водяного цилиндра в невесомости. Пусть диаметр цилиндра \(d = 1\,\text{мм}\); оцените промежуток времени \(T\), за который амплитуда наиболее неустойчивых возмущений вырастет в \(e \approx 2{,}718\) раз. Поверхностное натяжение воды \(\gamma = 72\,\text{г}/\text{с}^2\), плотность \(\rho = 1\,\text{г}/\text{см}^3\).

По той же причине падающие капли не имеют формы капли: острый кончик означал бы огромное капиллярное давление под ним, которое немедленно вытолкнуло бы жидкость в области меньшего давления (большего радиуса кривизны). Вместо этого падающие капли принимают форму, которая (из-за сопротивления воздуха) похожа на форму маленьких капель, лежащих на гидрофобной поверхности: слегка эллипсоидальную. Точно так же тонкие плёнки неустойчивы, но в случае очень тонких плёнок (мыльных плёнок) характерное время роста неустойчивостей очень велико. Поэтому мыльные плёнки довольно устойчивы и часто встречаются в задачах; в этом случае не забывайте о множителе «2» для давлений, сил и энергий, отражающем тот факт, что у плёнки две поверхности раздела: внутренняя и внешняя!