Заметим, что термин «тепловое движение» обозначает беспорядочное движение микроскопических частиц, из которых состоят тела (чаще всего атомов и молекул). Эти частицы настолько малы и движутся настолько быстро, что, как правило, тепловое движение невозможно увидеть непосредственно.

Так как полная энергия любой замкнутой системы сохраняется, прямо из этого определения можно сделать очень полезный вывод (сформулированный как «факт»).

Эта формула (термодинамический закон сохранения энергии) называется первым началом термодинамики (сокращённо — 1НТ). Все три члена этого закона — знаковые величины: если система отдаёт некоторое количество теплоты, то \(\Delta Q < 0\); если объём уменьшается, то работа, совершённая системой, отрицательна, \(\Delta W < 0\) (вместо \(W\) можно пользоваться и работой внешних сил \(\Delta W_e\), и тогда \(\Delta W_e = -\Delta W\)).

Приведённое здесь выражение для работы предполагает, что относительные изменения свойств системы малы, так что давление \(p\) можно считать постоянным; поэтому правильнее было бы заменить символы \(\Delta\) (которыми обычно обозначают конечное изменение) дифференциалами или записать \[W = \int p\,dV.\]

Эта формула означает, что работу можно найти как площадь под графиком \(p(V)\); вывести её можно следующим образом. Рассмотрим малую площадку \(\Delta A_i\) на границе раздела, отделяющей изучаемую систему от остального пространства, и обозначим через \(\Delta x_i\) ту составляющую её перемещения, которая перпендикулярна элементу поверхности \(\Delta A_i\); промежуток времени можно взять настолько малым, что перемещение \(\Delta x_i\) останется сколь угодно малым. Сила давления, действующая на элемент поверхности, равна \(\Delta F_i = p \Delta A_i\), а её работа \(\Delta W_i = \Delta F_i \Delta x_i = p \Delta V_i\), где \(\Delta V_i = \Delta A_i \Delta x_1\) — прирост объёма системы под элементом поверхности \(\Delta A_i\). Чтобы найти полную работу, нужно просуммировать по всей границе раздела, \[\Delta W = \sum_i p \Delta V_i = p \sum_i \Delta V_i = p \Delta V.\] Для бесконечно малого приращения объёма \(dV\) это переписывается как \(dW = p\,dV\) и может быть проинтегрировано по всему процессу, что даёт \(W = \int p\,dV\).

Чтобы уметь решать задачи, нам понадобится ещё и понятие температуры, интуитивно ясное каждому, но корректное определение которого довольно сложно. Классические (нецифровые) термометры измеряют температуру, используя тепловое расширение жидкостей: тёплая жидкость занимает больший объём, чем холодная. Однако это нельзя взять за хорошее определение температуры: разные жидкости расширяются с разной скоростью и, что важнее всего, такой подход был бы применим лишь к умеренным температурам (при высоких температурах всё вещество находится в состоянии плазмы, а при температурах, близких к абсолютному нулю, те немногие вещества, которые остаются жидкими, испытывают фазовые переходы).

Мы знаем, что если на улице низкая температура, нам холодно: наше тело отдаёт некоторое количество теплоты и, согласно опр. 1, кинетическая энергия молекул нашего тела уменьшается. И наоборот, если температура высока, нам жарко: наше тело не может отдать столько теплоты, сколько вырабатывается физиологическими процессами, и кинетическая энергия молекул нашего тела начинает расти. Поэтому можно начать с качественного определения температуры:

Это определение пригодно (непротиворечиво) лишь при выполнении следующего свойства. Возьмём произвольный набор из трёх тел \(A\), \(B\) и \(C\); пусть при приведении в контакт \(A\) и \(B\) теплота течёт от \(A\) к \(B\), а при приведении в контакт \(B\) и \(C\) теплота течёт от \(B\) к \(C\). Тогда мы можем быть уверены, что при приведении в контакт \(A\) и \(C\) теплота потечёт от \(A\) к \(C\). Опыт подтверждает это свойство (так что опр. 2 можно пользоваться), и даже более общее свойство, известное как второе начало термодинамики (2НТ):

В рамках теории классической термодинамики 2НТ — это постулат, вытекающий из экспериментальных данных; в статистической термодинамике методами математической статистики показывают, что для процессов с участием макроскопических тел (т. е. состоящих из большого числа молекул) исходы, нарушающие 2НТ, имеют пренебрежимо малую вероятность (доказательство математически сложно и здесь не приводится).

Заметим, что тепловые энергии двух тел одинаковой температуры не обязательно равны; однако для фиксированного тела тепловая энергия есть монотонно возрастающая функция его температуры².

Теперь у нас есть качественное определение температуры, но всё ещё нет количественного. Для многих задач достаточно знать и понимать упрощённое, классическое определение:

Этого определения явно недостаточно для конструирования термометров, пригодных для очень низких температур. Помимо этого определения, есть ещё определение Кельвина, которое будет обсуждаться в разделе 4. Наилучшее и самое общее определение основано на статистическом подходе к термодинамике (при котором 2НТ выводится из законов статистики); рассмотрим его подробнее. Квантовая механика говорит нам, что тело (набор частиц, связанных силами в конечной области пространства) характеризуется счётным набором своих стационарных состояний — состояний, в которых полная энергия имеет вполне определённое значение. Для статистической термодинамики нам нужно рассмотреть два тела: одно малое (или умеренных размеров) и одно огромное, которое предполагается находящимся в тепловом контакте с малым, т. е. эти два тела могут обмениваться энергией. Например, малым телом может быть отдельный атом одноатомного газа, а тепловым резервуаром — остальной газ. Большое тело называют термостатом (тепловой баней); оно нужно для того, чтобы при получении или отдаче малым телом части его тепловой энергии из-за случайных флуктуаций температура оставалась постоянной. Поэтому оно должно быть намного больше (иметь намного большую теплоёмкость), чем анализируемое нами тело.

Пусть уровни энергии состояний тела обозначены \(E_i\) (например, для отдельного почти свободного атома \(E_i = p_i^2/2m\), где \(p_i\) — импульс атома в его \(i\)-м состоянии).

Подведём итог: закон Больцмана \[p \propto e^{-E/k_B T}\] служит определением температуры, совпадающим со шкалой Кельвина; здесь \(\propto\) обозначает пропорциональность, а \(E\) — энергия системы. Единственное отличие от шкалы Кельвина состоит в том, что при статистическом определении температуры возможны и отрицательные температуры — если считать, что тело и тепловой резервуар имеют конечное число квантовомеханических состояний, а полная энергия резервуара столь велика, что состояния с большей энергией более вероятны, чем состояния с меньшей.

Заметим, что это определение, записанное для конечных приращений в виде \(C = \Delta Q/\Delta T\), предполагает, что в рассматриваемом интервале температур нет фазовых переходов (таких как плавление или кипение), поскольку фазовые переходы сопровождаются дополнительным поглощением или выделением теплоты.

Обычно при умеренных изменениях температуры вблизи комнатной теплоёмкость можно считать постоянной; в этом случае можно писать \(\Delta Q = C\Delta T\). При больших приращениях температуры это уже неверно и требуется интегрирование: \(\Delta Q = \int C\,\mathrm{d}T\).

Если нагреваемое тело расширяется, то часть подводимой теплоты превращается в механическую работу. Поэтому теплоёмкость зависит от условий, в которых находится тело; чаще всего пользуются теплоёмкостью при постоянном объёме \(C_V\) и теплоёмкостью при постоянном давлении \(C_p\).

При таком интегрировании используется тот факт, что при \(T = 0\) теплового движения молекул нет и, следовательно, внутренняя энергия равна нулю. В частности, для кристаллических материалов при низких температурах, когда \(C = AT^3\), интегрирование даёт \(U = \frac{1}{4}T^4\).

В случае жидкостей и кристаллов изменение объёма обычно мало, так что работа расширения пренебрежимо мала и \(C_p \approx C_V\); однако для газов это неверно, и тогда \(c_p = C_V + R\) (это будет подробнее обсуждаться позже).

зад 1 [IPhO-1996] Термоизолированный кусок металла нагревают при атмосферном давлении электрическим током так, что он получает электрическую энергию с постоянной мощностью \(P\). Это приводит к росту абсолютной температуры \(T\) металла со временем \(t\) по закону \[T(t) = T_0[1 + a(t - t_0)]^{1/4}\] Здесь \(a\), \(t_0\) и \(T_0\) — постоянные. Определите теплоёмкость \(C_p(T)\) металла (зависящую от температуры в интервале температур опыта).

Решение этой задачи довольно прямолинейно: достаточно применить опр. 4 и проделать некоторые математические преобразования, чтобы исключить время \(t\). Всё же попробуем сформулировать подходящую «идею».

В случае задачи 1 эту идею нужно применить алгебраически. В тех случаях, когда зависимость \(T(t)\) задана графиком, она говорит нам, что, пока теплоёмкость тела остаётся приблизительно постоянной, можно узнать, во сколько раз изменилась полная мощность нагрева, определив наклоны касательных в двух разных точках графика \(T(t)\). Проиллюстрируем это следующей задачей.

зад 2 [EstPhO-2004] Воду нагревают в электрическом чайнике. В некоторый момент времени в чайник положили кусок льда с температурой \(T_0 = 0^\circ\text{C}\). На рисунке изображена зависимость температуры воды от времени. Какой была масса льда, если мощность нагрева чайника \(P = 1\,\text{кВт}\)? Удельная теплота плавления льда \(L = 335\,\text{кДж}/\text{кг}\), удельная теплоёмкость воды \(c = 4{,}2\,\text{кДж}/(\text{кг}\cdot\text{К})\). Комнатная температура \(T_1 = 20^\circ\text{C}\).

В случае этой задачи можно сформулировать ещё и факт, и довольно простую идею.

Возвращаясь к задаче 2: график позволяет определить, какую задержку по времени \(\tau\) внёс в процесс нагрева кусок льда, — это время, необходимое, чтобы расплавить лёд и нагреть талую воду до текущей температуры воды. Значение времени нагрева льда \(\tau\) позволило бы найти массу льда из 1НТ, если бы была известна полезная мощность нагрева (\(P\) минус потери энергии в окружающую среду). Среднюю полезную мощность, получаемую чайником за тот период, когда лёд плавится и талая вода нагревается, можно определить по графику, используя идеи 2 и 1.

Частный случай, упомянутый в конце идеи 2, иллюстрируется следующей задачей.

зад 3 [EstPhO-2001] Нить накала галогенной лампы имеет длину \(l = 5{,}0\,\text{см}\) и сделана из вольфрама. При рабочей температуре лампы \(T_0 = 3200^\circ\text{C}\) плотность вольфрама \(\rho = 18\,200\,\text{кг}/\text{м}^3\), удельная теплоёмкость \(c = 235\,\text{Дж}/(\text{К}\cdot\text{кг})\), а удельное сопротивление \(\rho_{\text{эл}} = 9{,}95 \times 10^{-7}\,\text{Ом}\cdot\text{м}\). Когда к выводам лампы приложено напряжение прямоугольной формы, показанное на графике, температура нити достигает номинального значения \(T_0\) (строго говоря, это средняя температура; внутренние области нити немного горячее). Однако из-за колебаний напряжения возникают малые колебания температуры нити; найдите амплитуду \(\Delta T\) этих колебаний.

Использование линейной зависимости, упомянутой в факте 6, иллюстрируется следующей задачей.

зад 4 простая Небольшой дом обогревается электрическим нагревателем мощностью \(P = 1\,\text{кВт}\), который поддерживает внутри температуру \(t_1 = 19^\circ\text{C}\); наружная температура \(t_0 = 0^\circ\text{C}\). В дом входит человек, после чего температура в комнате начинает расти и достигает нового значения \(t_2 = 20^\circ\text{C}\). Найдите «мощность обогрева» человека.

Здесь догадаться, что можно воспользоваться законом Фурье (поскольку разность температур намного меньше самих температур в кельвинах), предоставляется тому, кто решает задачу. Имейте в виду, что в некоторых нестрого сформулированных задачах закон Фурье предполагается применять даже тогда, когда его применимость на самом деле сомнительна (например, при температурах \(T_1 = 273\,\text{К}\) и \(T_2 = 373\,\text{К}\)).

зад 5 [EstFin-2003] Тепловое удельное сопротивление — это характеристика материала, определяемая как коэффициент пропорциональности между градиентом температуры \(\frac{dT}{dx}\) и плотностью теплового потока (здесь мы считаем, что тепловой поток параллелен оси \(x\)). Заметим, что единица плотности теплового потока — \(\text{Вт}/\text{м}^2\), поэтому единица теплового удельного сопротивления — \(\text{К}\cdot\text{м}/\text{Вт}\).

(а) Микропроцессор с рассеиваемой мощностью \(P = 90\,\text{Вт}\) охлаждается проточной водой; тепловой контакт между процессором и водой осуществляется через медную пластину толщиной \(d = 5\,\text{мм}\) и площадью поверхности \(s = 100\,\text{мм}^2\). Определите разность температур между микропроцессором и проточной водой. Тепловое удельное сопротивление меди \(\rho = 2{,}6\,\text{мм}\cdot\text{К}/\text{Вт}\).

(б) Провод сделан из разных сплавов, так что его тепловое удельное сопротивление зависит от координаты вдоль провода так, как показано на рисунке. Площадь поперечного сечения провода \(S = 1\,\text{мм}^2\), длина \(l = 4\,\text{см}\). Найдите тепловой поток через провод, если один конец провода поддерживается при температуре \(T_1 = 100^\circ\text{C}\), а другой — при \(T_2 = 0^\circ\text{C}\).

Вторая половина этой задачи использует довольно общий метод.

Более конкретно: если система описывается параметром \(x\) (который может быть временем, координатой, скоростью и т. д.), а величину \(A\) можно представить в виде \(A = \sum_i F_i \Delta x\), где \(\Delta x\) — малый интервал параметра \(x\), сумма берётся по всем малым интервалам, а \(F_i\) — функция \(x\) (но не функция \(A\)), то в пределе \(\Delta x \to 0\) можно написать \(A = \int F(x)dx\), т. е. \(A\) есть площадь под графиком \(F(x)\).

Чтобы проиллюстрировать этот метод, рассмотрим следующую механическую задачу. Для лодки в воде сила трения задана как функция скорости \(F(v)\), изображённая графиком (она переходит от линейной функции при малых скоростях к параболе при больших скоростях). Требуется найти, какой путь пройдёт лодка данной массы \(m\) с начальной скоростью \(v\) асимптотически (т. е. если ждать очень долго). Разобьём перемещение на малые части, \(s = \sum \Delta s\), где \(\Delta s = v\Delta t\). Если бы зависимость \(v(t)\) была известна, последняя формула завершила бы нашу задачу. Однако сила дана нам как функция \(v\), поэтому нужно заменить \(\Delta t\) на \(\Delta v\). Сила напрямую связана с ускорением, \(a(v) = \frac{dv}{dt} = F(v)/m\), что подсказывает нам: следует попробовать выразить \(\Delta t\) через \(\Delta v\), введя ускорение: \[\Delta t = \Delta v \cdot \frac{\Delta t}{\Delta v} = \frac{\Delta v}{\Delta v/\Delta t} = \frac{\Delta v}{a}.\] Этот результат прекрасно нам подходит: \[s = \sum v\Delta t = \sum \frac{v}{a}\Delta v = \sum \frac{vm}{F(v)}\Delta v \to \int \frac{vm}{F(v)}dv,\] т. е. перемещение равно площади под графиком, изображающим \(\frac{vm}{F(v)}\) как функцию \(v\).

В следующей задаче также используется непрерывность теплового потока; однако она требует ещё и знания закона Стефана—Больцмана для теплового излучения.

Множитель \(\varepsilon\) показывает, какая доля падающего света поглощается; для идеально чёрной поверхности \(\varepsilon = 1\), для идеально белой поверхности \(\varepsilon = 0\).

зад 6 [IPhO-1992] Спутник представляет собой однородный шар диаметром \(D = 1\) м; можно считать, что все части спутника имеют одинаковую температуру. Спутник обращается вокруг Земли (но не находится в её тени). Солнце можно считать абсолютно чёрным телом с температурой поверхности \(T_\odot = 6000\) К, радиус Солнца \(R_\odot = 6{,}96 \times 10^{8}\) м, радиус орбиты Земли вокруг Солнца \(L = 1{,}5 \times 10^{11}\) м. Найдите температуру спутника, считая, что он покрыт идеально серой краской (коэффициент поглощения не зависит от длины волны электромагнитного излучения). Тепловым излучением Земли можно пренебречь.

Для этой задачи нужно воспользоваться следующим фактом (те, кто «боится» поверхностного интеграла, могут перейти сразу к абзацу после факта).

По существу это математическая формулировка закона непрерывности для теплового потока. В случае сферически симметричной геометрии (с изотропным сферическим источником тепла) поверхностный интеграл сводится к произведению плотности теплового потока на площадь поверхности сферы: \[4\pi R^2 w = P,\] где \(w = w(R)\) — плотность теплового потока на расстоянии \(R\) от центра источника тепла.

Следующая задача завершает тему непрерывности теплового потока.

зад 7 [IPhO-1996] Идеально чёрная горячая поверхность поддерживается при постоянной температуре \(T_h\). Есть другая идеально чёрная холодная поверхность, параллельная первой и поддерживаемая при постоянной температуре \(T_l\); в пространстве между пластинами вакуум. Чтобы уменьшить тепловой поток между пластинами, используют экран, сделанный из \(N\) параллельных теплоизолированных идеально чёрных пластин (на рисунке \(N = 2\)). Такой экран помещают между горячей и холодной пластинами параллельно им. Во сколько раз \(x\) уменьшится тепловой поток после установления теплового равновесия? Краевыми эффектами, вызванными конечными размерами пластин, можно пренебречь.

Эта задача приводит нас к системе \(N\) линейных уравнений. Вообще говоря, решение такой системы уравнений — непростая задача; однако именно эта система решается легко. Это неудивительно, поскольку длинные математические выкладки несовместимы с форматом физических олимпиад; сформулируем соответствующую рекомендацию — как «нефизическую» идею.

зад 8 [EstOpen-2014] Рассмотрим чёрный куб, сделанный из идеально теплопроводящего материала. На этот куб падает параллельный пучок света интенсивности \(I\) (Вт/м\(^2\)). Равновесная температура \(T\) куба зависит от его ориентации; найдите минимальное и максимальное значения \(T\) (\(T_{\min}\) и \(T_{\max}\) соответственно).

Эта задача физически довольно проста, но полное (строгое) решение требует математических навыков в области векторного анализа.