зад 1 Неидеальный конденсатор
- В мире нет ничего идеального! - А как же шар и куб? - Шар неустойчив, а куб плохо катается! (Диалог математика и физика)
В данном задании вам необходимо экспериментально исследовать непривычные для Вас свойства реального конденсатора.
Оборудование: электролитический конденсатор емкости \(C \approx 50\) мкФ, постоянный резистор с сопротивлением \(R_0 \approx 2\) МОм, Мультиметр цифровой, элемент питания 1,5 В, выключатель, соединительные провода.
Теоретическое введение.
При разрядке конденсатора через постоянный резистор \(R\) напряжение на нем изменяется по закону
\[U(t) = U_0 \exp\left(-\frac{t}{RC}\right),\tag{1}\]
Который можно представить в более удобном для анализа виде
\[\ln\left(\frac{U(t)}{U_0}\right) = -\frac{t}{RC},\tag{2}\]
Если сопротивление резистора по каким-то причинам изменяется, то эти формулы не применимы. В этом случае следует пользоваться уравнением, справедливым на малых временах \(\Delta t\):
\[\Delta U = -\frac{1}{RC} U \Delta t\tag{3}\]
Из этого уравнения следует, что сопротивление цепи разрядки в заданном интервале можно приближенно рассчитать по формуле
\[R = -\frac{1}{C} \frac{\Delta t}{\Delta(\ln U)}.\tag{4}\]
Рекомендуем в расчетах использовать эту формулу.
Часть 1. Подготовительная.
1.1 С помощью мультиметра измерьте сопротивление резистора \(R_0\) и емкость конденсатора \(C\) (для этого на лицевой панели есть специальные гнезда подключения).
1.2 Используя элемент питания и резистор \(R_0\), измерьте сопротивления мультиметра в режиме измерения напряжения в диапазоне 2 В.
Приведите электрическую схему, которую Вы использовали для этого, расчетные формулы и результаты измерений.
Зарядите конденсатор, измерьте начальное напряжение \(U_0\) на нем, отключите конденсатор (используйте выключатель) от источника и мультиметра. Предоставьте ему возможность
разряжаться в течение 5 минут. После этого опять подключите его к мультиметру и измерьте остаточное напряжение \(U_1\).
1.3 По данным измерений рассчитайте: среднее значение силы тока утечки и сопротивления утечки конденсатора \(R_{C1}\). Измерения проведите при начальном напряжении \(U_0 = 1400 \text{ мВ}\) и начальном напряжении \(U_0 = 800 \text{ мВ}\). Нарисуйте электрическую схему, использованную Вами.
Подсказка. У вас нет возможности регулировать начальное напряжение на конденсаторе, поэтому полностью заряжайте его от элемента питания и ждите, пока он не разрядится через мультиметр. Для ускорения его разрядки можете использовать резистор \(R_0\).
Часть 2. Разрядка конденсатора через мультиметр
Зарядите конденсатор до максимального значения и подключите его к мультиметру.
2.1 Измерьте зависимость напряжения на конденсаторе от времени в диапазоне напряжений от 1400 мВ до 300 мВ с шагом 100 мВ (используйте секундомер с памятью 10 этапов).
2.2 Постройте график зависимости (2) по полученным данным измерений.
2.3 Строго (а не «на глаз») докажите, что закон экспоненциальной разрядки (1) в данном случае не выполняется – отклонения от него носят систематический характер.
2.4 Рассчитайте зависимость сопротивления конденсатора \(R_C\) от напряжения на нем. Постройте график полученной зависимости. Дайте ему качественное объяснение.
При необходимости можете попросить у организаторов дополнительные листы миллиметровой бумаги
Часть 3. Разрядка конденсатора через резистор
Подключите к конденсатору и мультиметру параллельно резистор \(R_0\).
3.1 Выполните все Части 2 (2.1, 2.2 и 2.4) при разрядке через резистор.
3.2 Сравните результаты, полученные в Части 2 и Части 3. Если обнаружены различия, дайте им качественное объяснение.
3.3 Приведите эквивалентную схему реального конденсатора, объясняющую обнаруженные вами свойства конденсатора. Укажите параметры элементов этой схемы.
▶ПодсказкаСкрыть
Для малых интервалов времени сопротивление цепи разрядки вычисляйте по приращению \(\ln U\). Реальный конденсатор описывайте эквивалентной схемой с двумя резисторами: последовательным и параллельным.
▶ОтветСкрыть
1.1) \(R_0=2{,}04\) МОм, \(C=56{,}6\) мкФ; 1.2) \(R_V=10{,}0\) МОм; 1.3) \(I=1{,}5\cdot10^{-8}\) А, \(R_{C1}=91\) МОм при \(U_0=1400\) мВ; \(I=3{,}7\cdot10^{-9}\) А, \(R_{C1}=265\) МОм при \(U_0=800\) мВ; 2.4) \(R=-\dfrac1C\dfrac{\Delta t}{\Delta(\ln U)}\), сопротивление растёт по мере разрядки; 3.3) к конденсатору надо подключить один резистор последовательно и один параллельно.
▶РешениеСкрыть
Что происходит. Идеальный конденсатор разряжается через мультиметр экспоненциально: \(\ln U\) линейна по \(t\). Реальный электролитический конденсатор отличается двумя вещами: утечкой тока через плёнку оксида (параллельное сопротивление, сильно зависящее от напряжения) и дополнительным сопротивлением в цепи выводов (последовательное). Мы измеряем эффективное сопротивление цепи разрядки \(R_{\text{эфф}}=-\dfrac{1}{C}\dfrac{\Delta t}{\Delta\ln U}\) на малых интервалах по формуле (4) и смотрим, как оно зависит от напряжения: у идеального конденсатора с мультиметром \(R_{\text{эфф}}=R_V\) при любом \(U\).
Обозначения и данные. Ниже — данные эталонного прогона организаторов (напряжения даны с шагом 100 мВ). Данных Части 3 и некоторых напряжений в источнике нет; там, где результат получен расчётом по модели, это сказано явно. \(R_V\) — входное сопротивление мультиметра, \(R_p\) — параллельное сопротивление утечки конденсатора, \(R_s\) — последовательное сопротивление.
Часть 1.
1.1. Мультиметр в режимах \(R\) и \(C\) (специальные гнёзда): \(R_0=2{,}04\) МОм, \(C=56{,}6\) мкФ. Ёмкость отличается от номинальных \(50\) мкФ почти на 13%, поэтому в расчётах дальше используем измеренное \(C\).
1.2. Схема — на рисунке (а): элемент питания и мультиметр в режиме вольтметра (диапазон 2 В). Сначала меряем напряжение \(\mathcal E\) непосредственно на элементе, затем подключаем последовательно с вольтметром резистор \(R_0\) и снова читаем показание \(U_2\). Ток один и тот же: \(\dfrac{\mathcal E-U_2}{R_0}=\dfrac{U_2}{R_V}\), откуда \[R_V=\frac{R_0\,U_2}{\mathcal E-U_2}.\] Обратите внимание: \(R_0\) должно быть сравнимо с \(R_V\), иначе \(\mathcal E-U_2\) мало и измеряется с большой погрешностью; для \(R_0=2\) МОм и \(R_V\approx10\) МОм показание падает на \(17\%\), что хорошо измеряется. Эталонный результат: \(R_V=10{,}0\) МОм.
1.3. Схема (б): зарядили конденсатор от элемента через выключатель \(K\) до \(U_0\), разомкнули цепь (мультиметр на время отключён — он тоже разряжает конденсатор), через \(\Delta t=5\) мин подключили мультиметр, прочитали \(U_1\). За это время заряд ушёл только через утечку. Средний ток и сопротивление утечки: \[\bar I=\frac{C\,(U_0-U_1)}{\Delta t},\qquad R_{C1}=\frac{(U_0+U_1)/2}{\bar I}.\] Результаты эталонного прогона при \(C=56{,}6\) мкФ, \(\Delta t=300\) с: \[\begin{array}{c|c|c|c|c} U_0,\ \text{В} & U_1,\ \text{В} & \bar I,\ \text{А} & R_{C1},\ \text{МОм}\\ \hline 1{,}40 & 1{,}32 & 1{,}5\cdot10^{-8} & 90\\ 1{,}00 & 0{,}98 & 3{,}8\cdot10^{-9} & 260 \end{array}\] Второй опыт в источнике записан при \(U_0=1{,}00\) В, а не \(0{,}8\) В, как в условии; расчёт выполнен для данных. Погрешность: напряжения записаны с шагом \(0{,}01\) В, значит \(U_0-U_1=0{,}08\pm0{,}01\) В (12%) в первом опыте и \(0{,}02\pm0{,}01\) В (50%) во втором, то есть \(R_{C1}\approx90\pm11\) и \(260\pm130\) МОм. Вывод: сопротивление утечки не постоянно: при меньшем напряжении утечка заметно слабее. Это уже не закон Ома.
Часть 2.
2.1. Конденсатор зарядили до \(1400\) мВ, подключили к мультиметру и записывали по секундомеру с памятью момент, когда показание проходило каждые \(100\) мВ. Данные и расчёт интервалов (\(\Delta\ln U=\ln\dfrac{U_{k-1}}{U_k}\), \(\lambda=\Delta\ln U/\Delta t\), \(R_{\text{эфф}}=\dfrac{1}{C\lambda}\) при \(C=56{,}6\) мкФ): \[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} U,\ \text{мВ} & t,\ \text{с} & \Delta t,\ \text{с} & \Delta\ln U & \lambda,\ 10^{-3}\,\text{с}^{-1} & U_{\text{ср}},\ \text{мВ} & R_{\text{эфф}},\ \text{МОм}\\ \hline 1400 & 0 & & & & & \\ 1300 & 38{,}70 & 38{,}70 & 0{,}0741 & 1{,}915 & 1350 & 9{,}23\\ 1200 & 85{,}84 & 47{,}14 & 0{,}0800 & 1{,}698 & 1250 & 10{,}41\\ 1100 & 140{,}13 & 54{,}29 & 0{,}0870 & 1{,}603 & 1150 & 11{,}02\\ 1000 & 201{,}85 & 61{,}72 & 0{,}0953 & 1{,}544 & 1050 & 11{,}44\\ 900 & 272{,}30 & 70{,}45 & 0{,}1054 & 1{,}496 & 950 & 11{,}81\\ 800 & 352{,}40 & 80{,}10 & 0{,}1178 & 1{,}470 & 850 & 12{,}02\\ 700 & 444{,}34 & 91{,}94 & 0{,}1335 & 1{,}452 & 750 & 12{,}16 \end{array}\] Источник даёт точки только до \(700\) мВ; опыт нужно продолжить до \(300\) мВ по условию — продолжение выполняется так же.
2.2. График зависимости (2): точки \(\bigl(t,\ln(U/U_0)\bigr)\) и прямая метода наименьших квадратов \(\ln\dfrac{U}{U_0}=-1{,}547\cdot10^{-3}\,t-0{,}0157\).
2.3. Если закон (1) выполняется, то все точки лежат на одной прямой с разбросом только от погрешностей измерений. Оценим эти погрешности: показание мультиметра — \(\pm1\) мВ, время по секундомеру — \(\pm0{,}3\) с (реакция). Тогда \(\sigma_{\ln U}\approx\dfrac{1}{1400}\approx7\cdot10^{-4}\), а относительная погрешность скорости убывания \(\lambda\) на интервале \(\approx1{,}5\%\). Два независимых критерия.
Критерий 1: постоянство \(\lambda\). При экспоненте \(\lambda=1/(RC)\) одинакова во всех интервалах. Из таблицы \(\lambda\) изменилась с \(1{,}915\) до \(1{,}452\) (на \(24\%\)) и монотонно убывает на всех семи интервалах; разброс в \(10\) раз превышает погрешность \(1{,}5\%\). Закон (1) отвергается.
Критерий 2: остатки регрессии. Отклонения точек от прямой наименьших квадратов (в единицах \(\ln U\)), в порядке возрастания \(t\): \[+0{,}0157;\ +0{,}0014;\ -0{,}0057;\ -0{,}0087;\ -0{,}0086;\ -0{,}0050;\ +0{,}0011;\ +0{,}0098 .\] Среднеквадратичное отклонение \(\approx0{,}0096\) — в \(\approx14\) раз больше \(\sigma_{\ln U}\), а знаки идут серией плюс — минус — плюс: точки лежат дугой (выпуклость), не случайно. Решающий довод — величина остатков: \(\chi^2\approx\dfrac{8\cdot(0{,}0096)^2}{(7\cdot10^{-4})^2}\approx10^3\) при шести степенях свободы (8 точек, 2 параметра), тогда как для верной гипотезы \(\chi^2\approx6\). Закон (1) отвергается на любом разумном уровне значимости.
2.4. На каждом интервале \(R_{\text{эфф}}\) из последнего столбца таблицы. Это не \(R_V\): он равен \(10\) МОм, а \(R_{\text{эфф}}\) меняется от \(9{,}2\) до \(12{,}2\) МОм.
Для идеального конденсатора график — горизонтальная прямая на уровне \(R_V\); здесь график пересекает эту прямую около \(U\approx1{,}3\) В: выше — меньше \(R_V\), ниже — больше, и дальше насыщается около \(12{,}2\) МОм. Объяснение. Выше \(1{,}3\) В разрядке помогает ток утечки через оксидную плёнку: он параллелен мультиметру и уменьшает эффективное сопротивление цепи (\(R_{\text{эфф}}<R_V\)); по Части 1, \(R_{C1}\approx90\) МОм при \(1{,}4\) В и резко растёт при уменьшении напряжения. При уменьшении \(U\) утечка слабеет и перестаёт влиять, а в цепи остаётся то, что делает \(R_{\text{эфф}}\) больше \(R_V\): последовательное с ёмкостью сопротивление \(R_s\) (с ним мультиметр видит лишь часть напряжения конденсатора, и общая постоянная времени равна \((R_V+R_s)C\)). Поэтому «сопротивление конденсатора» \(R_C=R_{\text{эфф}}-R_V\) растёт по мере разрядки и меняет знак.
Часть 3. Данных Части 3 в источнике нет. Ниже — метод и результат, который даёт найденная в Частях 1–2 модель; цифры — прогноз по модели, а не измерения.
3.1. Выполняем все шаги Части 2 с тем же конденсатором, но с резистором \(R_0\) параллельно мультиметру: \(R_{\parallel}=\dfrac{R_0R_V}{R_0+R_V}=1{,}69\) МОм, постоянная времени идеального конденсатора \(R_\parallel C\approx96\) с вместо \(566\) с. Модель (рис. ниже) для интервала с напряжением \(U\): \[\frac{1}{R_{\text{эфф}}}=\frac{1}{R_p(U)}+\frac{1}{R_s+R_\parallel}.\] В Части 2 сопротивление утечки считаем по Части 1: \(R_p(U)\approx90\left(\dfrac{1360}{U}\right)^{3{,}4}\) МОм (степень найдена по двум точкам опыта 1.3, \(90\) МОм при \(1{,}36\) В и \(260\) МОм при \(0{,}99\) В; это грубая интерполяция). Тогда \(R_s\) из данных Части 2: \[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} U_{\text{ср}},\ \text{мВ} & 1350 & 1250 & 1150 & 1050 & 950 & 850 & 750\\ \hline R_p,\ \text{МОм} & 92 & 119 & 158 & 215 & 300 & 437 & 665\\ R_s,\ \text{МОм} & 0{,}25 & 1{,}4 & 1{,}85 & 2{,}1 & 2{,}3 & 2{,}4 & 2{,}4 \end{array}\] Ожидание для Части 3: утечка (\(R_p\ge90\) МОм) мала рядом с \(R_\parallel+R_s\approx2\)–\(4\) МОм, так что \(R_{\text{эфф}}\approx R_\parallel+R_s\): от \(1{,}9\) до \(4{,}1\) МОм (при \(U\) от \(1350\) до \(750\) мВ); время прохода интервалов по \(100\) мВ по \(\Delta t=R_{\text{эфф}}C\,\Delta\ln U\): \(8\); \(14\); \(17{,}5\); \(20\); \(24\); \(27\); \(31\) с вместо \(39\)–\(92\) с в Части 2.
3.2. Различия по сравнению с Частью 2: разрядка идёт в несколько раз быстрее; \(R_{\text{эфф}}\) меньше. Главное, что вычисленное превышение \(R_{\text{эфф}}-R_\parallel\) в Части 3 равно \(R_s\approx0{,}3\)–\(2{,}4\) МОм и совпадает с \(R_{\text{эфф}}-R_V\) в Части 2 при низких \(U\) (где утечка не влияет): последовательное сопротивление — свойство самого конденсатора и не зависит от нагрузки. Утечка же заметна только при малой нагрузке (в Части 2); при \(R_0\) она шунтирует цепь слабо, график \(R_{\text{эфф}}(U)\) в Части 3 не пересекает уровень \(R_\parallel\).
3.3. Эквивалентная схема: конденсатор \(C=56{,}6\) мкФ с параллельным сопротивлением утечки \(R_p\) (нелинейным: \(\approx90\) МОм при \(1{,}4\) В, около \(300\) МОм при \(0{,}95\) В), последовательно с ним \(R_s\approx2{,}4\) МОм (для \(U\lesssim1\) В, при больших \(U\) эффект меньше).
Проверка. Размерность: \(\dfrac{\Delta t}{C\,\Delta\ln U}=\dfrac{\text{с}}{\text{Ф}}=\text{Ом}\). Предел: при \(R_s\to0\), \(R_p\to\infty\) получаем \(R_{\text{эфф}}=R_V\) — идеальный конденсатор, \(\lambda=\text{const}\). Согласованность: \(R_p\approx120\) МОм (из первого интервала Части 2 при \(R_s\to0\): \(\dfrac1{9{,}23}-\dfrac1{10}=\dfrac1{120}\)) того же порядка, что и \(R_{C1}\approx90\) МОм из Части 1 — независимые опыты дают согласованные значения утечки. Оговорка: в источнике \(R_C\) вычислено при номинальных \(C=50\) мкФ (результат \(R_{\text{эфф}}\) завышен на 13%, \(R_C=R-R_V\) начинается с \(0{,}44\) МОм), а не при измеренных \(56{,}6\) мкФ; поэтому у организаторов не виден случай \(R_{\text{эфф}}<R_V\) при \(U>1{,}3\) В.
Физический смысл: у реального электролитического конденсатора есть и «течь», и «лишнее» сопротивление в цепи; пока напряжение велико, преобладает утечка, потом — последовательное сопротивление.
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
зад 2 Поглощение света
При прохождении света через фильтры его интенсивность убывает вследствие поглощения света. В данной работе Вам необходимо исследовать это явление и объяснить некоторые го особенности.
Оборудование: Источники света: красный лазер, белый светодиод; источник питания, фотоприемник (фотодиод), подставки, переменный резистор 20 кОм. мультиметр, соединительные провода, комплект пленок: 5 красных, 5 зеленых, 5 синих, 5 серых; прищепка, пластилин, липкая лента.
Коэффициентом пропускания пленки \(K\) называется отношение интенсивности прошедшего через пленку света \(I_1\) к интенсивности падающего света \(I_0\), поэтому
\[I_1 = K I_0.\tag{1}\]
Если свет проходит через \(n\) пленок с одинаковыми коэффициентами пропускания. то интенсивность прошедшего света описывается очевидной формулой
\[I_n = K^n I_0.\tag{2}\]
Для анализа этой зависимости и определения коэффициента пропускания удобно использовать логарифмический масштаб
\[\ln\left(\frac{I_n}{I_0}\right) = n \ln K.\tag{3}\]
Используйте этот подход в обработке результатов измерений.
Для измерения интенсивности света используйте следующую схему. Сопротивление резистора в этой схеме надо подбирать экспериментально. При больших значениях этого сопротивления фотоприемник может перейти в режим насыщения. когда измеряемое напряжение оказывается не пропорциональным интенсивности падающего света. При уменьшении сопротивления измеряемое напряжение уменьшается, но характеристика фотоприемника становится линейной.
Закрепите с помощью липкой ленты и пластилина на столе фотоприемник на подставке. Расположите лазер таким образом, чтобы его луч попадал на фотоприемник и полностью освещал его (надо чтобы пятно лазера немного превышало размер входного отверстия). В ходе измерений положение лазера и фотоприемника не должно изменяться. Если в ходе измерений с одним комплектом 5 одинаковых пленок произошло смещение источника или фотоприемника. измерения начинайте сначала. Исследуемые пленки скрепляйте с помощью прищепки и подносите непосредственно к входному отверстию фотоприемника, не касаясь его. Перед каждой серией измерений пропускания одинаковых пленок измеряйте фоновое значение интенсивности (при выключенном источнике), при необходимости учитывайте его при расчетах.
Часть 1. Выбор режима работы фотоприемника.
Фотоприемник освещается светом лазера. Для измерения интенсивности используйте описанную электрическую схему. Измерения проводите только с серыми пленками.
1.1 Проведите измерения зависимости напряжения \(U_n\) на резисторе от числа пленок \(n\) при 3 различных сопротивлениях резистора.
Сначала проведите измерения при 2 значениях сопротивлений резистора 20 кОм, 10 кОм. После этого установите такое значение сопротивления, при котором напряжение при максимальном освещении (т.е. без пленок) немного меньше 200 мВ. Используйте соответствующий диапазон измерения мультиметра.
1.2 Постройте на одном бланке графики зависимости логарифма напряжения \(\ln U\) от числа пленок \(n\) для различных значений сопротивления резистора.
1.3 Качественно (и кратко) объясните полученные зависимости.
1.4 Рассчитайте коэффициент пропускания серой пленки \(K_C\). Оцените погрешность найденного значения.
В дальнейшем работайте при таком значении сопротивления резистора, чтобы максимальное напряжение (при максимальном освещении) не превышало 200 мВ. При необходимости Вы можете изменять сопротивление резистора.
Часть 2. Поглощение красного света лазера.
2.1 Измерьте зависимости интенсивности света \(I_n\), прошедшего через \(n\) одинаковых пленок, от числа этих пленок. Измерения проведите для красных, зеленых и синих пленок. Постройте графики (на одном бланке) линеаризованных зависимостей (3) для этих пленок.
2.2 Укажите, выполняется ли закон (2) в этих экспериментах.
2.3 Рассчитайте коэффициенты пропускания красной \(K_{\text{кр}}\), зеленой \(K_{\text{зел}}\) и синей \(K_{\text{син}}\) пленок.
2.4 Измерьте пропускания трех пленок, сложенных вместе: двух красных и одной зеленой. Приведите теоретическую формулу для коэффициента пропускания этих пленок и сравните результат расчета по этой формуле с результатом измерения.
Часть 3. Поглощение белого света.
Установите вместо лазера источник белого света. Расположите его вблизи приемника, оставьте небольшой промежуток между ними для размещения в нем исследуемых пленок.
3.1 Измерьте зависимости интенсивности света \(I_n\), прошедшего через \(n\) одинаковых пленок, от числа \(n\). Измерения проведите для всех типов пленок: серой, красной, зеленой и синей. Постройте линеаризованные графики полученных зависимостей.
3.2 Докажите, что, например, для зеленой пленки закон поглощения (2) строго не выполняется.
3.3 Рассчитайте коэффициенты пропускания всех типов пленок: серой, красной, зеленой. Оцените погрешность измерения коэффициента пропускания серой пленки.
3.4 Сравните коэффициенты пропускания белого света с коэффициентами пропускания красного света. Укажите основную причину их возможных различий.
3.5 Измерьте коэффициент пропускания двойной пленки одной красной и одной синей. Приведите теоретическую формулу для коэффициента пропускания этих пленок и сравните результат расчета по этой формуле с результатом измерения. Качественно объясните полученный результат.
3.6 Сделайте общий вывод: от чего зависит коэффициент пропускания пленки.
▶ПодсказкаСкрыть
Закон поглощения даёт геометрическую прогрессию: график \(\ln(I_n/I_0)\) от числа плёнок должен быть прямой, а его наклон равен \(\ln K\). Фотоприёмник работает линейно лишь при малом сопротивлении резистора.
▶ОтветСкрыть
1.4) \(K_{\text{сер}}=0{,}37\pm0{,}2\) (по таблице 1); 2.2) закон \(I_n=K^nI_0\) выполняется для красного света; 2.3) \(K_{\text{кр}}=0{,}85\), \(K_{\text{зел}}=0{,}45\), \(K_{\text{син}}=0{,}58\) (серая \(0{,}34\)); 2.4) \(K=K_{\text{кр}}^2K_{\text{зел}}\approx0{,}32\); 3.6) пропускание зависит не только от материала плёнки, но и от спектра падающего света.
▶РешениеСкрыть
Что происходит. Идея опыта: свет, прошедший через \(n\) одинаковых плёнок, ослабляется в \(K^n\) раз, значит \(\ln(I_n/I_0)=n\ln K\) — прямая, и \(K\) находится по наклону. Прямая будет прямой, только если приёмник измеряет интенсивность линейно (Часть 1), а свет — монохроматический (Часть 2); для белого света (Часть 3) закон нарушается, потому что у плёнок \(K\) зависит от длины волны. Данные ниже — эталонные результаты организаторов; данных белого света в источнике нет, там даны метод и объяснение (помечено).
Обозначения. \(U_n\) — показание вольтметра при \(n\) плёнках (пропорционально интенсивности в линейном режиме), \(K\) — коэффициент пропускания одной плёнки, \(\ln U_n=\ln U_0+n\ln K\).
Часть 1.
1.1. Серые плёнки, лазер. Измеряем \(U_n\) при \(n=0,\dots,5\) для \(R=20\) кОм, \(R=10\) кОм и \(R\), при котором \(U_0\) немного меньше 200 мВ (выбран диапазон 200 мВ). Фон выключенного лазера вычитается, если он заметен (в источнике фон не указан). Результаты (мВ): \[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ \hline U,\ R=20\ \text{кОм} & 427 & 369 & 242 & 82 & 41 & 17\\ U,\ R=10\ \text{кОм} & 407 & 239 & 88 & 23 & 14 & 4\\ U,\ U_0<200\ \text{мВ} & 190 & 63 & 23 & 8 & 4 & \text{---} \end{array}\] Последовательные отношения \(U_{n+1}/U_n\): для \(20\) кОм — \(0{,}86;\ 0{,}66;\ 0{,}34;\ 0{,}50;\ 0{,}42\); для \(10\) кОм — \(0{,}59;\ 0{,}37;\ 0{,}26;\ 0{,}61;\ 0{,}29\); для третьей серии — \(0{,}33;\ 0{,}37;\ 0{,}35;\ 0{,}50\). Если закон верен и приёмник линеен, отношения равны \(K\).
1.2. График \(\ln U\) от \(n\) для трёх сопротивлений.
1.3. Третья серия даёт прямую (остатки случайны, \(\lesssim0{,}15\) при погрешности отсчёта \(\pm1\) мВ в конце ряда, то есть \(25\%\) у \(4\) мВ). Серии при больших \(R\) изогнуты: в начале спад \(\ln U\) замедлен (\(U_1/U_0=0{,}86\) вместо \(\approx0{,}35\) у 20 кОм), потом круче. Причина — нелинейность приёмника: фотодиод при освещении создаёт ток \(I_{\text{ф}}\propto I\), но при напряжении на нём \(U\sim0{,}4\)–\(0{,}5\) В включается его собственный диодный ток, который шунтирует резистор. Ток через резистор: \[\frac{U}{R}=I_{\text{ф}}-I_s\left(e^{U/U_T}-1\right),\qquad U_T\approx40~\text{мВ}.\] Если \(I_{\text{ф}}R\ll0{,}4\) В, вторым членом можно пренебречь и \(U=I_{\text{ф}}R\propto I\) — линейно. Если \(R\) велико, \(U\) упирается в \(\approx0{,}45\)–\(0{,}5\) В (напряжение холостого хода), как бы ни росла интенсивность — режим насыщения.
1.4. Для расчёта берём линейную серию. МНК для \(\ln U=a_0+bn\) даёт \(b=-0{,}979\), \(a_0=5{,}155\), стандартная ошибка наклона \(0{,}043\). Значит \[K_{\text{с}}=e^{b}=0{,}376,\qquad \delta K=K\,\delta b\approx0{,}016 .\] Ответ: \(K_{\text{с}}=0{,}38\pm0{,}02\). Обратите внимание: в источнике записано \(0{,}37\pm0{,}2\); \(\pm0{,}2\) означало бы 50% и несовместимо с разбросом точек (по порядку величины это \(0{,}02\)).
Часть 2.
2.1. Плёнки комплектами по \(n\), лазер, линейный режим (\(U_0\approx130\) мВ). Эталонные данные \(U\), мВ: \[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ \hline \text{красные} & 129{,}5 & 109{,}4 & 92{,}4 & 79{,}6 & 67{,}5 & 57{,}7\\ \text{зелёные} & 131{,}1 & 60{,}2 & 27{,}0 & 12{,}3 & 5{,}6 & \\ \text{синие} & 131{,}7 & 76{,}9 & 43{,}7 & 24{,}9 & 14{,}6 & 8{,}5\\ \text{серые} & 131{,}2 & 45{,}4 & 15{,}3 & & & \end{array}\] Графики \(\ln(U_n/U_0)\) от \(n\) — на рисунке; прямые — МНК с нулевым свободным членом (при \(n=0\) значение равно нулю по определению): \(\ln K=\dfrac{\sum n\,y_n}{\sum n^2}\).
2.2. Закон (2) выполняется: точки ложатся на прямые, последовательные отношения \(U_{n+1}/U_n\) постоянны. Например, красные: \(0{,}845;\ 0{,}845;\ 0{,}861;\ 0{,}848;\ 0{,}855\); зелёные: \(0{,}459;\ 0{,}449;\ 0{,}456;\ 0{,}455\) — разброс \(\lesssim2\%\), систематического хода нет. Для красного лазера (монохроматический свет) это и должно быть.
2.3. Наклоны МНК и коэффициенты \(K=e^{b}\): \[\begin{array}{c|c|c|c} \text{плёнка} & b=\ln K & \delta b & K\\ \hline \text{красная} & -0{,}1626 & 0{,}0010 & 0{,}850\pm0{,}001\\ \text{зелёная} & -0{,}7883 & 0{,}0011 & 0{,}455\pm0{,}001\\ \text{синяя} & -0{,}5496 & 0{,}0015 & 0{,}577\pm0{,}001\\ \text{серая} & -1{,}0718 & 0{,}0053 & 0{,}342\pm0{,}002 \end{array}\] Внутренняя погрешность наклона мала; полная погрешность определяется дрейфом лазера и положением плёнки, реально порядка \(1\)–\(2\%\): \(K_{\text{кр}}=0{,}85\), \(K_{\text{зел}}=0{,}45\), \(K_{\text{син}}=0{,}58\), \(K_{\text{с}}=0{,}34\). Серая плёнка по лазеру (три точки, \(U\) вплоть до \(15\) мВ) \(0{,}34\) — в 0,04 от \(0{,}38\) из Части 1: расхождение больше внутренней ошибки, это погрешность малых напряжений и фона.
2.4. Плёнки действуют последовательно, лазерный свет монохроматический, поэтому коэффициенты перемножаются: \(I=K_{\text{кр}}K_{\text{кр}}K_{\text{зел}}I_0\), \[K=K_{\text{кр}}^2K_{\text{зел}}=0{,}85^2\cdot0{,}455\approx0{,}33 .\] Измерение двух красных и одной зелёной плёнок организаторы дают в пределах погрешности: \(0{,}32\) — расхождение \(\approx3\%\).
Часть 3. Данных измерений с белым светом в источнике нет (результат зависит от закупленного источника), поэтому ниже — метод и объяснение; цифры сводной таблицы организаторов даны только для сравнения.
3.1. Метод: те же серии и графики \(\ln(U/U_0)(n)\) для серой, красной, зелёной, синей плёнок при белом светодиоде.
3.2. Доказательство, что закон (2) для зелёной плёнки не выполняется: если \(I_n=K^nI_0\), то последовательные отношения \(r_n=I_{n+1}/I_n=K\) одинаковы для всех \(n\) (с точностью \(\approx2\%\), как мы видели в 2.2), а \(\ln(I_n/I_0)\) линейно по \(n\). Для белого света \(r_n\) растёт с \(n\) закономерно (разность соседних \(r_n\) больше разброса). Причина: белый свет — смесь длин волн с разными \(K(\lambda)\). Первыми гаснут компоненты с малым \(K\), а остаётся свет, который плёнка пропускает лучше всего, поэтому средний \(K\) растёт с \(n\). Иллюстрация на двухполосной модели (условные числа, не данные организаторов): \(40\%\) света в полосе с \(K_1=0{,}45\) и \(60\%\) в полосе с \(K_2=0{,}95\): \(I_n\propto0{,}4\cdot0{,}45^n+0{,}6\cdot0{,}95^n\). \[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ \hline \ln(I_n/I_0) & 0 & -0{,}29 & -0{,}47 & -0{,}60 & -0{,}68 & -0{,}75\\ r_n=I_{n+1}/I_n & 0{,}75 & 0{,}83 & 0{,}89 & 0{,}92 & 0{,}93 & 0{,}94 \end{array}\]
3.3–3.4. Эталонные \(K\) (обратите внимание: для белого света цифры зависят от конкретного источника): \[\begin{array}{c|c|c} \text{плёнка} & \text{белый свет} & \text{красный лазер}\\ \hline \text{красная} & 0{,}89 & 0{,}85\\ \text{зелёная} & 0{,}89 & 0{,}45\\ \text{синяя} & 0{,}88 & 0{,}58\\ \text{серая} & 0{,}40 & 0{,}34 \end{array}\] Коэффициенты разные: у цветных плёнок для белого света \(K\approx0{,}9\) вместо \(0{,}45\)–\(0{,}85\) для красного лазера. Основная причина — разный спектр падающего света. Красный свет лазера поглощается зелёной и синей плёнками сильно, а у белого светодиода и кремниевого приёмника значительная доля сигнала приходит из области, где красители почти прозрачны (в первую очередь ближний ИК); измеряемое \(K\) — усреднение по спектру с весом чувствительности. Серая плёнка поглощает почти равномерно, поэтому у неё \(K\) ближе (\(0{,}40\) и \(0{,}34\)).
3.5. Если бы \(K\) не зависел от спектра, теория для двух плёнок: \(K_{\text{кр+син}}=K_{\text{кр}}K_{\text{син}}\). Для лазера это \(0{,}85\cdot0{,}58\approx0{,}49\). Для белого света формула неверна: по спектру \(K_{\text{кр+син}}=\dfrac{\int S\,K_{\text{кр}}(\lambda)K_{\text{син}}(\lambda)\,d\lambda}{\int S\,d\lambda}\), а произведение средних \(\bar K_{\text{кр}}\bar K_{\text{син}}\) даёт другое число. Красная плёнка пропускает красный свет и поглощает синий, синяя — наоборот, то есть пропускания в видимых полосах антикоррелированы: вместе они пропускают только общую область (ближний ИК) — видимая часть почти гасится, и \(K_{\text{кр+син}}\) получается меньше произведения \(\bar K_{\text{кр}}\bar K_{\text{син}}\approx0{,}89\cdot0{,}88\approx0{,}78\). Это прогноз по теории, значение измерения в источнике не приведено.
3.6. Вывод. Коэффициент пропускания — свойство не только плёнки (краситель, толщина: для одной полосы \(K=e^{-\alpha(\lambda)d}\)), но и спектра падающего света и спектральной чувствительности приёмника. Закон \(I_n=K^nI_0\) и правило перемножения \(K\) справедливы только для монохроматического света.
Проверка. Размерность: \(K\) безразмерно, \(\ln K<0\) при \(K<1\) — знаки наклонов отрицательны, как на графиках. Линейный режим: \(U_0\approx130\) мВ \(\ll U_{xx}\approx0{,}45\) В. Независимый контроль: второй способ получения \(K\) — среднее последовательных отношений: красные \(0{,}851\) (по МНК \(0{,}850\)), зелёные \(0{,}455\) (\(0{,}455\)), синие \(0{,}580\) (\(0{,}577\)) — совпали.
Физический смысл: каждая плёнка отнимает от света одну и ту же долю; такой закон даёт ровно прямую в логарифмах, а любое отклонение от прямой — признак нелинейного приёмника или немонохроматического света.
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
Источник: Республиканская физическая олимпиада Беларуси, 2024/25, заключительный этап, 11 класс, экспериментальный тур — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.