зад 1 Влияние вращения Земли?
1. Во всех пунктах задания (кроме п. 2.3) повторные измерения не требуются. Однако при необходимости Вы можете провести эти измерения. Для записи их результатов в Таблицах предусмотрены дополнительные столбцы.
2. В данном задании погрешности необходимо рассчитывать только в тех пунктах, где это требуется по условию.
3. Вам выдана Инструкция по использованию секундомера с памятью этапов. Тщательно ознакомьтесь с нею. Потренируйтесь проводить измерения с запоминанием промежуточных значений времен. Если возникнут вопросы по работе с секундомером. немедленно обращайтесь за помощью к членам оргкомитета.
4. Не будьте многословными, все требуемые обоснования могут быть сформулированы в виде одного, двух предложений!
Приборы и оборудование: штатив, металлический стержень, подвешенный на двух нитях, линейка, секундомер с памятью этапов.
Известно, что вращение Земли влияет на некоторые процессы, протекающие на ее поверхности. Например, вращение Земли приводит к тому, что правые берега рек на территории Беларуси в среднем более крутые, чем левые. Хорошо известен опыт Фуко с маятником, который наглядно демонстрирует вращение Земли вокруг своей оси.
В данной работе исследуется вращение стержня, подвешенного на двух нитях. Оказывается, что закон раскручивания стержня зависит от направления вращения.
В школьном курсе физики вы изучаете только два вида движения: равномерное и равноускоренное. Однако многие движения описываются другими более сложными законами, как, например, в данном задании.
Проверьте: в вашей установке длины нитей должны быть равны} \(l = \left( 40 \pm 1 \right)\ \text{см}\), расстояние между нитями} \(l = \left( 10 \pm 1 \right)\ \text{см}\), изменять их не следует!}
Для проведения измерений используйте следующую методику. Из начального положения, когда нити вертикальны (1), поверните стержень на половину оборота (2), при этом нити соприкоснуться. Далее поворачивайте стержень, так что бы нити скручивались, сделайте требуемое количество оборотов \(N\) (3). После доверните стержень еще на половину оборота и отпустите его. Запустите секундомер, когда стержень при раскручивании (в сторону противоположную направлению закручивания) повернется на половину оборота и займет положение, показное на (3). После этого измеряйте времена требуемых оборотов вращения.
В данной задаче используются две связанные между собой координаты (см. рис.2):
\(N\) - число оборотов при закручивании нитей (отсчитывается от нижнего положения стержня (см. рис. 1.2) снизу-вверх);
\(k\) - число оборотов, сделанных стержнем в ходе раскручивания нитей, отсчитываемое от положения \(N = 30\) (рис. 1.3) (отсчитывается сверху вниз).
Часть 1. Изучение закона движения.
В данной части вам необходимо исследовать закон движения стержня при 30 оборотах свободного вращения. Начальное положение стержня соответствует \(N_{0} = 30\) и нулевой начальной скорости. Измерения проведите с шагом \(\Delta k = 3\). Используйте секундомер с памятью этапов, засекайте времена через каждые три оборота.
1.1 Измерьте времена \(t_{k}\), за которые стержень делает \(k\)оборотов из начального положения при вращении стержня против часовой и по часовой стрелке.
1.2 Постройте графики законов движения \(k(t)\) при вращении стержня против часовой и по часовой стрелке.
Далее Вам необходимо выбрать одну из двух моделей движения стержня.
Модель 1. Равноускоренное движение, при котором закон движения описывается функцией
\(k = \text{At}^{2}\) (1)
Модель 2. Закон «трех вторых», при котором закон движения описывается функцией
\(k = Bt^{3/2}\) (2)
1.3 Постройте графики зависимостей времени числа оборотов \(t_{k}\) от числа оборотов для некоторых функций \(f(k)\), позволяющей наглядно определить, какая из функций (1) или (2), точнее описывает вращение стержня при его вращении против часовой и по часовой стрелке. Укажите, какие функции \(f(k)\) Вы использовали. Значения этих функций занесите в соответствующие столбцы Таблицы 1.
1.4 Укажите, какой из законов точнее описывает изучаемое движение. Укажите диапазоны значений числа оборотов \(N\), где полученные экспериментальные данные могут быть описаны выбранным Вами законом движения.
1.5 Для выбранного закона движения оцените графически численные значения коэффициентов \(A\) или \(B\) (для вращений в каждую сторону), оцените погрешности найденных значений.
1.6 Укажите, можно ли считать, что законы вращения в разные стороны различаются. Ответ кратко обоснуйте.
Сделайте основной вывод на основе проведенных измерений
1.7 Рассчитайте средние угловые скорости вращения стержня в каждом направлении в Части 1 вашей работы. Рассчитайте угловую скорость вращения Земли вокруг своей оси.
1.8 Укажите. можно ли считать вращение Земли причиной различных законов вращения против часов и по часовой стрелке.
1.9 Укажите основную причину различных характеристик вращения стержня в противоположных направлениях.
Часть 2. Время раскручивания.
В данной части Вам необходимо исследовать зависимость времени полного раскручивания \(T_{N}\) стержня от начального значения \(N\) (без начальной скорости) до нижнего положения \(N = 0\). Измерения проведите только при раскручивании против часовой стрелки.
2.1 Измерьте зависимости времени \(T(N)\) полного раскручивания стержня от числа оборотов \(N\) для значений \(N = 5,\ 10,\ 15,\ 20,\ 25\).
2.2 Оцените погрешность измерения времени раскручивания для \(N = 10\). Для этого проведите не менее 5 измерений этого времени.
Зависимость времени раскручивания от начального числа оборотов приближенно может быть описана степенной функцией
\(T(N) = \text{AN}^{\gamma}\) (3)
где \(\gamma\) - некоторый показатель степени (не обязательно целое число).
2.3 Используя результаты измерений зависимости определите показатель степени \(\gamma\) в формуле (3), при котором функция (3) наиболее точно описывает ваши экспериментальные данные.
Подсказка. В листах ответов приведены графики функций \(y = x^{\gamma}\) на интервале \(x \in \lbrack 0,\ 1\rbrack\) при значениях показателя степени \(\gamma\) от \(\gamma = 0{,}1\) (верхняя кривая) до \(\gamma = 1\) (нижняя прямая) с шагом 0,1. Воспользуйтесь этими графиками для ответа на поставленный вопрос. Можете произвести некоторые дополнительные расчеты и построения на этом бланке. Кратко опишите Ваш метод определения показателя степени.
▶ПодсказкаСкрыть
Стержень на двух скрученных нитях раскручивается не равноускоренно: проверьте два закона, построив время как функцию числа оборотов в подходящей степени, и выберите тот, при котором точки ложатся на прямую.
▶ОтветСкрыть
1.4) точнее описывает закон \(k=Bt^{3/2}\) (до \(N\approx20\) по часовой стрелке и до \(N\approx15\) против); 1.5) против часовой \(B=0{,}31\), по часовой \(B=0{,}19\); 1.6) законы вращения в разные стороны различаются; 1.7) \(\omega\approx 5{,}1\) и \(8{,}2\) с\(^{-1}\) для стержня, \(\omega_\text{З}\approx5{,}0\cdot10^{-5}\) с\(^{-1}\); 1.8) вращение Земли не влияет; 1.9) причина — изначальная скрученность нитей; 2.3) \(\gamma\approx0{,}3\).
▶РешениеСкрыть
Что происходит. Нити, скрутившись в жгут, поднимают стержень и хранят запас закрутки. После отпускания стержень раскручивает нити и разгоняется, но тем слабее, чем меньше осталось закрутки. Поэтому ускорение не постоянно, и закон \(k\propto t^2\) нужно проверять, а не предполагать. Проверка — линеаризация: подбираем такую функцию \(f(k)\), чтобы при верном законе точки \((f(k),\,t_k)\) лежали на прямой, проходящей через начало координат.
Обозначения. \(k\) — число оборотов от старта (\(N_0=30\)), \(t_k\) — время, за которое сделано \(k\) оборотов. Число оборотов закрутки, ещё не раскрученных, \(N=30-k\) (рис. 2). Все числа ниже — результаты образцового выполнения работы (по две серии в каждую сторону, берём средние).
Пункты 1.1 и 1.2. Измерения и законы движения. Секундомер с памятью этапов запускают в момент, когда стержень повернулся на половину оборота и занял положение (3), и нажимают кнопку этапа через каждые три оборота. Результаты — в таблице 1. В последних столбцах — значения \(f_1=\sqrt{k}\) и \(f_2=k^{2/3}\), смысл которых объяснён в п. 1.3.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline k & t_k\ \text{(против часовой), с} & t_k\ \text{(по часовой), с} & f_1=\sqrt{k} & f_2=k^{2/3} \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 5{,}66 & 4{,}17 & 1{,}732 & 2{,}080 \\ 6 & 9{,}45 & 6{,}94 & 2{,}449 & 3{,}302 \\ 9 & 12{,}81 & 9{,}28 & 3{,}000 & 4{,}327 \\ 12 & 15{,}97 & 11{,}37 & 3{,}464 & 5{,}241 \\ 15 & 19{,}12 & 13{,}43 & 3{,}873 & 6{,}082 \\ 18 & 22{,}28 & 15{,}37 & 4{,}243 & 6{,}868 \\ 21 & 25{,}60 & 17{,}36 & 4{,}583 & 7{,}612 \\ 24 & 28{,}92 & 19{,}39 & 4{,}899 & 8{,}320 \\ 27 & 32{,}66 & 21{,}34 & 5{,}196 & 9{,}000 \\ 30 & 36{,}76 & 23{,}39 & 5{,}477 & 9{,}655 \\ \hline \end{array}\] Таблица 1. Результаты измерений
Графики \(k(t)\) для обоих направлений (рис. 3) — кривые, загибающиеся к оси времени: за равные промежутки времени стержень делает всё больше оборотов, но разгон замедляется. Вращение по часовой стрелке заметно быстрее: 30 оборотов за 23,4 с против 36,8 с.
Пункт 1.3. Какие функции \(f(k)\) проверять. Если верна модель (1), то \[t=\frac{1}{\sqrt{A}}\sqrt{k},\] поэтому берём \(f_1(k)=\sqrt{k}\): график \(t(f_1)\) должен быть прямой через начало координат. Если верна модель (2), то \[t=\left(\frac{k}{B}\right)^{2/3}=B^{-2/3}k^{2/3},\] поэтому берём \(f_2(k)=k^{2/3}=\sqrt[3]{k^2}\).
Точки для \(f_1\) лежат на выпуклых кривых, заметно прогибающихся вниз относительно хорды: прямой нет ни в одном из двух направлений. Закон (1) не подтверждается.
Пункт 1.4. Какой закон точнее. Закон (2): на графике \(t(f_2)\) точки в начале движения хорошо ложатся на прямую через начало координат, а на графике \(t(f_1)\) ни одна часть точек прямой не образует. Это и логично: показатель степени, найденный по первым точкам, \(t\propto k^{0{,}73}\), ближе к \(2/3\), чем к \(1/2\). Диапазон применимости: точки отклоняются от прямой меньше чем на 5–6 % при вращении против часовой стрелки до \(k\approx15\), то есть для \(N\) от 30 до \(\approx15\); по часовой стрелке — до \(k\approx21\), то есть для \(N\) от 30 до \(\approx9\). Дальше движение быстрее закона (2): \(t\) растёт с \(k\) почти линейно, угловая скорость почти постоянна. Первая точка (\(k=3\)) слегка выпадает из-за неточного момента старта.
Пункт 1.5. Коэффициенты. Из \(t=a\,f_2\) следует \(a=B^{-2/3}\), откуда \(B=a^{-3/2}\). Наклон \(a\) находим по основной прямой через начало координат, а границы \(a_{\min}\), \(a_{\max}\) — по двум прямым, между которыми лежат точки рабочего диапазона (рис. 5). Погрешность степенной функции: \[\Delta B=\frac32\,B\,\frac{\Delta a}{a}.\]
\[\begin{array}{|l|c|c|} \hline & a & B=a^{-3/2} \\ \hline \text{против часовой стрелки} & 3{,}0\pm0{,}2 & 0{,}19\pm0{,}02 \\ \text{по часовой стрелке} & 2{,}2\pm0{,}1 & 0{,}31\pm0{,}02 \\ \hline \end{array}\]
Пункт 1.6. Различаются ли законы. Да: коэффициенты \(0{,}19\pm0{,}02\) и \(0{,}31\pm0{,}02\) различаются в 1,6 раза, а разность 0,12 в несколько раз больше погрешности каждого из них. Основной вывод: стержень раскручивается по одному закону \(k=Bt^{3/2}\), но с разными коэффициентами в разные стороны.
Пункт 1.7. Угловые скорости. За \(k\) оборотов стержень поворачивается на угол \(2\pi k\), поэтому средняя угловая скорость за всё движение (\(k=30\)) \[\langle\omega\rangle=\frac{2\pi k}{t_k},\qquad \omega_{\text{против}}=\frac{2\pi\cdot30}{36{,}76\ \text{с}}\approx5{,}1\ \text{с}^{-1},\qquad \omega_{\text{по}}=\frac{2\pi\cdot30}{23{,}39\ \text{с}}\approx8{,}1\ \text{с}^{-1}.\] Для Земли период — сутки \(T_\oplus=86\,400\) с: \[\Omega=\frac{2\pi}{T_\oplus}\approx7{,}3\cdot10^{-5}\ \text{с}^{-1}.\]
Пункт 1.8. Влияет ли вращение Земли. Нет. Угловая скорость стержня в \(7\cdot10^{4}\)–\(10^{5}\) раз больше угловой скорости Земли, так что возможная поправка порядка \(\Omega/\omega\sim10^{-5}\), а законы в разные стороны отличаются на десятки процентов (\(B\) отличается в 1,6 раза).
Пункт 1.9. Причина различия. Нити были скручены ещё до опыта. Эта собственная закрутка складывается с закруткой, созданной рукой, при одном направлении и вычитается из неё при другом, так что эффективное число оборотов, по которому нити сопротивляются, в двух направлениях разное. Установка симметрична, и без собственной закрутки нитей законы совпали бы.
Обратите внимание. Выбирая функции \(f(k)\), мы не подгоняем кривую, а превращаем проверяемый закон в прямую: прямую через начало координат легко оценить на глаз, а кривую — нет.
Часть 2. Время раскручивания.
Пункт 2.1. Измерения. Стержень закручивают на \(N=5,\ 10,\ 15,\ 20,\ 25\) оборотов, отпускают без начальной скорости и измеряют время \(T\) до прихода в нижнее положение; в каждой точке — две серии (таблица 2). В последних столбцах — нормированные величины для п. 2.3 (\(N_{\max}=25\), \(T_{\max}=34{,}71\) с).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline N & T_1,\ \text{с} & T_2,\ \text{с} & \langle T\rangle,\ \text{с} & N/N_{\max} & T/T_{\max} \\ \hline 5 & 21{,}42 & 21{,}32 & 21{,}37 & 0{,}20 & 0{,}62 \\ 10 & 26{,}59 & 26{,}56 & 26{,}57 & 0{,}40 & 0{,}77 \\ 15 & 30{,}13 & 30{,}08 & 30{,}11 & 0{,}60 & 0{,}87 \\ 20 & 32{,}62 & 32{,}52 & 32{,}57 & 0{,}80 & 0{,}94 \\ 25 & 34{,}71 & 34{,}71 & 34{,}71 & 1{,}00 & 1{,}00 \\ \hline \end{array}\] Таблица 2. Время полного раскручивания
Пункт 2.2. Погрешность. Для \(N=10\) выполнено шесть измерений: \(26{,}59;\ 26{,}47;\ 26{,}61;\ 26{,}56;\ 26{,}53;\ 26{,}42\) с. Среднее \(\langle T\rangle=26{,}53\) с. Погрешность среднего оцениваем как среднеквадратичное отклонение среднего: \[\Delta T=\sqrt{\frac{\sum_{i}(T_i-\langle T\rangle)^2}{n(n-1)}}=\sqrt{\frac{0{,}0266}{30}}\approx0{,}03\ \text{с},\qquad T=(26{,}53\pm0{,}03)\ \text{с}.\]
Пункт 2.3. Показатель степени. Запишем функцию (3) для двух значений и поделим: \(\dfrac{T}{T_{\max}}=\left(\dfrac{N}{N_{\max}}\right)^{\gamma}\). Так мы избавились от неизвестной константы \(A\): в нормированных координатах \(x=N/N_{\max}\), \(y=T/T_{\max}\) график \(y=x^{\gamma}\) проходит через точку \((1;\,1)\), а форма кривой зависит только от \(\gamma\). Нанесём на бланк с семейством кривых \(y=x^{\gamma}\) точки \((N/N_{\max},\,T/T_{\max})\) из таблицы 2 и посмотрим, у какой кривой они лежат ближе всего (рис. 6).
Точки идут вдоль кривой \(\gamma=0{,}3\). Частные значения \(\gamma=\dfrac{\ln(T/T_{\max})}{\ln(N/N_{\max})}\) по четырём точкам равны \(0{,}30;\ 0{,}29;\ 0{,}28;\ 0{,}29\). Наклон графика в логарифмических координатах (метод наименьших квадратов) даёт \(\gamma=0{,}30\) и \(A=T_{\max}/N_{\max}^{\gamma}\approx13\) с (рис. 7).
\[\gamma\approx0{,}3\]
Время раскручивания растёт с \(N\) очень медленно: увеличение числа оборотов в 5 раз удлиняет раскручивание лишь в 1,6 раза.
Проверка. Подставим время обратно в закон (2). Против часовой стрелки (\(B=0{,}19\)): при \(t=19{,}12\) с получаем \(k=0{,}19\cdot19{,}12^{3/2}\approx16\) (измерено 15); при \(t=36{,}76\) с получаем 43 (измерено 30) — в конце движения закон перестаёт работать, как и сказано в п. 1.4. По часовой стрелке (\(B=0{,}31\)): \(t=13{,}43\) с даёт 15, \(t=17{,}36\) с даёт 22 (измерено 15 и 21), \(t=23{,}39\) с даёт 35 (измерено 30). Коэффициенты и границы применимости согласованы с таблицей. Размерность: \(B\) — в \(\text{с}^{-3/2}\), \(a=B^{-2/3}\) — в секундах, как и \(t/f_2\).
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
зад 2 Горячий резистор
Приборы и материалы: исследуемый маломощный резистор (примерно 1,0 Ом); эталонный резистор 0,51 Ом (считайте, что это значение точное); проволочный реостат примерно 50,0 Ом; полосковый переменный резистор примерно 22,0 кОм; лампочка накаливания, цифровой мультиметр; источник постоянного напряжения примерно 4,5 В; соединительные провода, кусочек пластилина.
Внимание!}
1. В данной работе используются токи, сила которых достигает 1 А. При таких значениях силы тока, батарейки достаточно быстро разряжаются. Поэтому тщательно продумывайте методику проведения всех необходимых измерений: подключайте источник к цепи только во время проведения измерений. При проведении измерений одной зависимости (п. 1.6 и п. 2.2) отключать источник не следует.
На корпусе блока питания имеется выключатель. Используйте его в своей работе.
Повторно источники тока выдаваться не будут!}
2. С другой стороны, при изменении силы тока при протекании его через лампочку накаливания через маломощный резистор требуется некоторое время (порядка 20 - 30 секунд) для установления теплового равновесия. Учитывайте это обстоятельство при проведении измерений. При большем времени ожидания изменения показаний могут быть связаны с разрядкой батарейки.
3. Убедитесь, что ЭДС выданного источника (до начала работы) превышает 4,0 В, в противном случае, требуйте его замены.
4. Для изменения точек подключения мультиметра в ходе измерений используйте зажимы «крокодил».
5. Концы соединительных проводов зачищены – используйте их для соединения методом скручивания. Старайтесь использовать минимальное количество проводов, т.к. они вносят небольшие дополнительные сопротивления, что в данной работе может повлиять на результаты измерений.
6. Скользящие контакты проволочного резистора могут немного отходить от проволочной обмотки – в этом случае прижмите их рукой.
7. Ползунковый реостат имеет три вывода. Самостоятельно разберитесь со схемой их подключения, используя для этого мультиметр в режиме измерения сопротивления.
8. Оценка погрешностей в данной работе не требуется.
Каждый резистор промышленного производства рассчитан на определенную мощность протекающего тока. При превышении этой номинальной мощности резистор начинает разогреваться, при этом его сопротивление изменяется. В данном задании Вам необходимо исследовать характеристики маломощного резистора при превышении допустимой мощности протекающего тока. Для того, чтобы освоить методику проведения эксперимента в первой части работы исследуется изменение сопротивления лампочки накаливания, для которой этот эффект более заметен.
Часть 1. Изучение лампочки накаливания
Сначала, используя предоставленное оборудование, измерьте с максимальной точностью сопротивления маломощного резистора \(R_{1}\) (примерно 1 Ом) при минимальной силе тока через нее. Отметим, что точности мультиметра в данном случае недостаточно.
1.1 Нарисуйте схему, использованную Вами для проведения измерений.
1.2 Укажите, какие величины Вы измеряли, приведите формулу для расчета сопротивления.
1.3 Приведите результаты измерений и значение сопротивление маломощного резистора \(R_{1}\)
1.4 Используя мультиметр в режиме омметра, измерьте сопротивление «холодной» лампочки \(R_{x0}\)
Соберите схему, показанную на рисунке. Здесь \(R_{x}\) - лампочка накаливания, \(R_{1}\) - постоянный «эталонный» резистор. В этой части в качестве «эталонного» резистора используйте маломощный резистор \(R_{1}\). В этой цепи его сопротивление можно считать постоянным и равным измеренному Вами пп. 1.1 – 1.3 значению. Эта схема позволяет измерять с помощью переключателя напряжения на исследуемом резисторе \(U_{x}\) и эталонном резисторе \(U_{1}\). Предложите схему блока питания. содержащую источник тока и переменный резистор 50 Ом, позволяющую регулировать силу тока в исследуемой цепи в максимальных пределах.
1.5 Нарисуйте схему блока питания.
1.6 Измерьте значения напряжений на эталонном резисторе \(U_{1}\) и лампочке накаливания \(U_{x}\) при различных значениях силы тока в цепи.
1.7 Рассчитайте и постройте график зависимости силы тока \(I\) через исследуемую лампочку накаливания от напряжения на ней \(U_{x}\) (ВАХ). Приведите формулы, по которым был проведен расчет.
1.8 Рассчитайте и постройте график зависимости изменения сопротивления исследуемой лампочки накаливания \({\Delta R}_{x} = R_{x} - R_{x0}\) от мощности тока \(P\), протекающего через неё.
1.9 Используя полученный график, обоснованно ответьте на вопрос: «Можно ли считать, что сопротивление лампочки линейно зависит от его температуры, а мощность теплоты, уходящей от лампочки в окружающую, среду пропорциональная разности температур резистора и окружающей среды?»
Часть 2. Изучение маломощного резистора
В данной части работы Вам необходимо исследовать изменение сопротивления маломощного резистора \(R_{1}\) при протекании электрического тока.
В этой части работы исследуемый резистор сильно разогревается – будьте аккуратны, не обожгитесь. При проведении измерений резистор не должен касаться стола, закрепите его над столом, используя кусочек пластилина так, чтобы резистор не касался пластилина.
Для точного измерения малых изменений сопротивления этого резистора используется мостиковая схема, показная на этом рисунке. В качестве реостата \(\overset{\sim}{R}\) используется полосковый резистор 22 кОм. Используйте схему блока питания, предложенную Вами в п. 1.4. В качестве эталонного резистора используйте резистор \(R_{0} = 0{,}51\ \text{Ом}\), сопротивление которого можно считать постоянным, не зависящим от силы протекающего тока.
Данная схема позволяет измерять напряжение \(U_{0}\) на эталонном резисторе \(R_{0}\) и малое напряжение между средними точками моста \(a\) и \(b\), которое далее обозначается \(\Delta U\). Для измерения этих напряжения можно использовать диапазон мультиметра 200 мВ.
Для измерения с помощью этой схемы необходимо сначала добиться, так называемой, балансировки моста.
Для этого:
- задайте с помощью регулировки блока питания минимальный ток;
- изменяя положение движка реостата, добейтесь, чтобы напряжение между точками \(a\) и \(b\) равнялось нулю \(\Delta U = 0\). Далее это положение движка не изменяйте.
После этого можно проводить измерения изменения сопротивления маломощного резистора \({\Delta R}_{1}\).
2.1 Покажите, что напряжение между точками \(a\) и \(b\) \(\Delta U\) связано с изменением сопротивления резистора \({\Delta R}_{1}\) простым соотношением
\(\Delta U = \frac{U_{0}}{R_{0}}{\Delta R}_{1}\) (1)
Формула (1) является приближенной, ее можно использовать, если относительное изменение сопротивления не превышает 20%.
Добрый совет: Не тратьте слишком много времени на вывод этой формулы. Если Вам не удается ее получить быстро, лучше приступайте к измерениям, и пользуйтесь этой формулой для обработки результатов.
2.2 Проведите измерения значений напряжений \(U_{0}\) и \(\Delta U\) при различных значения силы тока в цепи блока питания (измерять значение силы этого тока не требуется).
2.3 Рассчитайте по полученным данным и постройте график зависимости изменения сопротивления резистора \({\Delta R}_{1}\) от мощности \(P\) выделяющейся на нем.
2.4 Используя полученный график, обоснованно ответьте на вопрос: «Можно ли считать, что сопротивление маломощного резистора линейно зависит от его температуры, а мощность теплоты, уходящей от резистора в окружающую, среду пропорциональная разности температур резистора и окружающей среды?»
▶ПодсказкаСкрыть
Сопротивление нагреваемого проводника растёт с мощностью; изменение сопротивления малого резистора точно измеряют мостиком, где разность потенциалов пропорциональна \(\Delta R\).
▶ОтветСкрыть
1.2) \(R_1=R_0\dfrac{U_1}{U_0}\); 1.3) \(R_1=0{,}69\) Ом; 1.4) \(R_{x0}=4{,}30\) Ом; 1.9) зависимость \(\Delta R_x(P)\) нелинейна, предположение не подтверждается; 2.1) \(\Delta U=\dfrac{U_0}{R_0}\Delta R_1\); 2.4) зависимость \(\Delta R_1(P)\) линейна, предположение подтверждается.
▶РешениеСкрыть
Что происходит. Мощность \(P=I^2R\) идёт на нагрев, а нагретое тело отдаёт тепло в воздух тем быстрее, чем горячее. Установившаяся температура \(T\) определяется равенством выделяемой и отдаваемой мощностей, а сопротивление металла растёт с температурой. Значит, график «изменение сопротивления — мощность» показывает, как греется тело. Если сопротивление линейно зависит от температуры, \(R=R_{\text{х}}(1+\alpha\,\Delta T)\), а отдаваемая мощность пропорциональна перегреву, \(P=\beta\,\Delta T\), то \[\Delta R=R_{\text{х}}\alpha\,\Delta T=\frac{R_{\text{х}}\alpha}{\beta}\,P,\] то есть \(\Delta R\) линейно зависит от \(P\). Проверять оба предположения сразу и нужно по этой прямой.
Обозначения. \(R_0=0{,}51\) Ом — эталон; \(U_0\), \(U_1\), \(U_x\) — напряжения на \(R_0\), \(R_1\) и лампочке; \(R_{x0}\) — сопротивление холодной лампочки. Приведённые числа — результаты образцового выполнения работы.
Часть 1. Лампочка накаливания.
Пункты 1.1–1.3. Точное измерение \(R_1\). Сопротивление около 0,7 Ом мультиметром в режиме омметра не измерить: сопротивление щупов и контактов сравнимо с самим измеряемым. Поэтому сравниваем \(R_1\) с эталонным \(R_0\) при одном и том же токе: последовательно соединяем \(R_0\) и \(R_1\) с источником и реостатом, реостат выводим на максимальное сопротивление (минимальный нагрев), а мультиметром на пределе 200 мВ поочерёдно, через переключатель, измеряем напряжения \(U_0\) на \(R_0\) и \(U_1\) на \(R_1\) (рис. 3).
Ток в последовательной цепи один: \(I=U_0/R_0=U_1/R_1\). Отсюда \[R_1=R_0\,\frac{U_1}{U_0}.\] Измерено \(U_1=349\) мВ, \(U_0=257\) мВ: \[R_1=0{,}51\cdot\frac{349}{257}\approx0{,}69\ \text{Ом}.\]
Пункт 1.4. Мультиметр в режиме омметра показывает сопротивление холодной лампочки \(R_{x0}=4{,}30\) Ом.
Пункт 1.5. Блок питания. Нужен источник с последовательно включённым реостатом: движок соединён с одним из концов обмотки, на рабочую схему идут свободный вывод источника и вывод реостата (рис. 4). Перемещая движок, меняем сопротивление всей цепи от максимального (минимальный ток) до нуля (максимальный ток, ограниченный лишь сопротивлениями \(R_x\), \(R_1\) и источника).
Пункты 1.6 и 1.7. Измерения и ВАХ. Для каждого положения движка переключателем измеряем \(U_1\) и \(U_x\) (источник не отключаем, подождав 20–30 с). Ток в цепи и все остальные величины считаем так: \[I_x=\frac{U_1}{R_1},\qquad R_x=\frac{U_x}{I_x},\qquad \Delta R_x=R_x-R_{x0},\qquad P_x=U_xI_x.\]
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline U_1,\ \text{мВ} & U_x,\ \text{В} & I_x,\ \text{мА} & R_x,\ \text{Ом} & \Delta R_x,\ \text{Ом} & P_x,\ \text{мВт} \\ \hline 45{,}8 & 0{,}59 & 66{,}13 & 8{,}92 & 4{,}62 & 39{,}0 \\ 51{,}6 & 0{,}74 & 74{,}51 & 9{,}93 & 5{,}63 & 55{,}1 \\ 58{,}0 & 0{,}93 & 83{,}75 & 11{,}10 & 6{,}80 & 77{,}9 \\ 64{,}0 & 1{,}11 & 92{,}41 & 12{,}01 & 7{,}71 & 102{,}6 \\ 68{,}0 & 1{,}22 & 98{,}19 & 12{,}43 & 8{,}13 & 119{,}8 \\ 75{,}0 & 1{,}45 & 108{,}29 & 13{,}39 & 9{,}09 & 157{,}0 \\ 86{,}0 & 1{,}81 & 124{,}18 & 14{,}58 & 10{,}28 & 224{,}8 \\ 94{,}8 & 2{,}26 & 136{,}88 & 16{,}51 & 12{,}21 & 309{,}4 \\ 100{,}0 & 2{,}49 & 144{,}39 & 17{,}24 & 12{,}94 & 359{,}5 \\ 111{,}0 & 2{,}94 & 160{,}27 & 18{,}34 & 14{,}04 & 471{,}2 \\ 125{,}0 & 3{,}59 & 180{,}49 & 19{,}89 & 15{,}59 & 648{,}0 \\ \hline \end{array}\] Таблица 1. Измерения и расчёт для лампочки
ВАХ \(I(U_x)\) (рис. 5) — кривая, загибающаяся к оси напряжений: с ростом напряжения ток растёт всё медленнее. Для постоянного сопротивления график был бы прямой (штрих).
Пункт 1.8. Зависимость \(\Delta R_x(P)\).
Пункт 1.9. Вывод. Если бы оба предположения выполнялись, по формуле из начала решения график был бы прямой. Получена кривая, загибающаяся вниз: наклон \(\Delta R_x/P\) падает от \(0{,}06\) Ом/мВт в начале до \(0{,}009\) Ом/мВт в конце, то есть почти в семь раз. Предположения не подтверждаются: хотя бы одно из них неверно. У раскалённой нити потери тепла растут быстрее, чем линейно по перегреву (излучение \(\propto T^4\), добавляется конвекция), поэтому для одной и той же прибавки температуры нужна всё большая мощность.
Часть 2. Маломощный резистор.
Пункт 2.1. Вывод формулы для моста. Сопротивление \(R_1'=R_1+\Delta R_1\) и \(R_0\) составляют одну ветвь, две части реостата \(R_{\text{л}}\) и \(R_{\text{п}}\) — вторую (рис. 7). Сопротивление реостата (22 кОм) на три-четыре порядка больше сопротивлений резисторов, поэтому он почти не влияет на ток в первой ветви. Обе ветви подключены к одному напряжению \(U\).
Потенциалы точек \(a\) и \(b\) отсчитаем от левого узла. Делитель из \(R_1'\) и \(R_0\) даёт \(\varphi_a=U\,\dfrac{R_1'}{R_1'+R_0}\), делитель из частей реостата — \(\varphi_b=U\,\dfrac{R_{\text{л}}}{R_{\text{л}}+R_{\text{п}}}\). При балансировке (\(\Delta U=0\), \(\Delta R_1=0\)) \(\dfrac{R_{\text{л}}}{R_{\text{л}}+R_{\text{п}}}=\dfrac{R_1}{R_1+R_0}\), и положение движка больше не меняют. Тогда \[\begin{aligned}\Delta U&=\varphi_a-\varphi_b=U\left(\frac{R_1+\Delta R_1}{R_1+\Delta R_1+R_0}-\frac{R_1}{R_1+R_0}\right)\\&=\frac{U\,R_0\,\Delta R_1}{(R_1+R_0)(R_1+\Delta R_1+R_0)}. \end{aligned}\] Напряжение на эталоне \(U_0=\dfrac{U\,R_0}{R_1+\Delta R_1+R_0}\), и \(U\) сокращается: \[\Delta U=\frac{U_0}{R_1+R_0}\,\Delta R_1.\] Это точное соотношение, не требующее малости \(\Delta R_1\). Формула (1) условия отличается от него заменой \(R_1+R_0\) на \(R_0\), то есть постоянным множителем \(\dfrac{R_1+R_0}{R_0}\approx2{,}4\). В условии сказано обрабатывать результаты по (1), так и поступаем; множитель общий для всех точек и лишь растягивает ось \(\Delta R_1\) — на форму графика и вывод он не влияет (в таблице оба варианта).
Обратите внимание. Если \(R_1=R_0\) и \(\Delta R_1\ll R_1\), точное соотношение даёт \(\Delta U=U\,\Delta R_1/(4R_1)\) — привычное выходное напряжение моста при изменении одного плеча.
Пункты 2.2 и 2.3. Измерения и обработка. Устанавливаем разные токи блока питания и каждый раз измеряем \(U_0\) и \(\Delta U\). Ток через \(R_1\) равен току через \(R_0\): \(I=U_0/R_0\). По (1) \[\Delta R_1=\frac{R_0\,\Delta U}{U_0},\qquad P=I^2\,(R_1+\Delta R_1)=\left(\frac{U_0}{R_0}\right)^{2}(R_1+\Delta R_1).\]
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline U_0,\ \text{мВ} & \Delta U,\ \text{мВ} & \Delta R_1\ \text{по (1)},\ \text{мОм} & \Delta R_1\ \text{точно},\ \text{мОм} & P,\ \text{мВт} \\ \hline 49 & 1{,}0 & 10{,}4 & 24{,}5 & 6{,}5 \\ 129 & 3{,}2 & 12{,}7 & 29{,}8 & 45{,}1 \\ 170 & 4{,}8 & 14{,}4 & 34{,}0 & 78{,}6 \\ 236 & 7{,}8 & 16{,}9 & 39{,}7 & 151{,}9 \\ 316 & 12{,}8 & 20{,}7 & 48{,}7 & 273{,}8 \\ 382 & 20{,}0 & 26{,}7 & 63{,}0 & 403{,}5 \\ 429 & 25{,}2 & 30{,}0 & 70{,}6 & 511{,}2 \\ 558 & 48{,}7 & 44{,}5 & 105{,}0 & 882{,}4 \\ 675 & 78{,}0 & 58{,}9 & 139{,}0 & 1316{,}4 \\ \hline \end{array}\] Таблица 2. Измерения и расчёт для резистора
Пункт 2.4. Вывод. Точки отклоняются от прямой не более чем на 1 мОм при изменении мощности от 6 до 1300 мВт (в 200 раз). Зависимость \(\Delta R_1(P)\) линейна, значит, оба предположения согласуются с опытом: сопротивление резистора линейно растёт с температурой, а мощность потерь пропорциональна перегреву — в отличие от лампочки, у которой нить раскаляется намного сильнее. Прямая отсекает на оси около 11 мОм: возможная причина — неточная балансировка моста; на вывод это не влияет.
Проверка. Размерности: \(\dfrac{U_0}{R_0}\,\Delta R_1\) — вольты, \(\left(\dfrac{U_0}{R_0}\right)^2R\) — ватты. Предел: при \(\Delta R_1\to0\) получаем \(\Delta U\to0\), как при балансировке. Сравнение частей: у резистора \(\Delta R_1/R_1\) достигает 8,5 % (по (1)) или 20 % (точно), у лампочки \(R_x/R_{x0}\) вырастает в 4,6 раза; резистор греется заметно слабее, и в этих пределах его потери ещё пропорциональны перегреву.
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
Источник: Республиканская физическая олимпиада Беларуси, 2025/26, заключительный этап, 9 класс, экспериментальный тур — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.