Эстонская, 2010/11, заключительный этап, 9-11 класс, теоретический тур

Подсказка

Тепло на испарение малой доли воды берётся из остывания оставшейся воды; удельную теплоту парообразования можно считать постоянной во всём узком интервале температур.

Ответ

\(\Delta t=\dfrac{1}{99}\dfrac{L}{c_v}\approx5{,}4\,^\circ\text{C}\) (температура понижается).

Решение

Из закона сохранения энергии получаем, что теплота, затраченная на испарение небольшого количества воды, берётся за счёт понижения температуры оставшейся воды.

Хотя в начальный момент испарения пар образуется при температуре \(100\,^\circ\text{C}\), позднее температура и воды, и образующегося пара несколько ниже. Но при новой температуре теплоту, затрачиваемую на испарение малого количества воды, уже нельзя прямо вычислить по теплоте парообразования воды при \(100\,^\circ\text{C}\) (заданной в задаче \(L\)).

Поэтому сделаем упрощение: будем считать, что теплота парообразования воды в этом интервале температур всё время равна \(L\). Пусть первоначальная масса воды в термосе равна \(m\). Получаем \(0{,}01\,mL=0{,}99\,mc_v\Delta t\), откуда \(\Delta t=\dfrac{1}{99}\dfrac{L}{c_v}=5{,}4\,^\circ\text{C}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Стержень невесом, а трения нет, поэтому он не действует на колечко вдоль своего направления и не влияет на его движение. Какое это движение?

Ответ

\(\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{gt^2}{2l}\).

Решение

Так как стержень невесом, а колечко скользит без трения, колечко просто находится в свободном падении: наличие стержня на поведение колечка вообще не влияет. Поэтому для угла \(\alpha\) можем записать (см. рисунок) \(\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{gt^2}{2l}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Колёса с наветренной стороны начнут отрываться, когда момент силы ветра относительно оси опрокидывания превысит момент силы тяжести; при этом машина не должна проскальзывать.

Ответ

\(\mu>\dfrac ab=\dfrac23\).

Решение

Горизонтально направленная сила \(F\), действующая со стороны ветра, должна быть такой, чтобы создаваемый ею момент силы \(Fb/2\) превышал момент силы тяжести \(Mga/2\). При равенстве моментов \(F=Mga/b\). Чтобы такая сила не заставила машину скользить, сила трения \(F_{\text{тр}}=\mu Mg\) должна её уравновесить, откуда получаем требуемое условие: \(\mu>a/b=2/3\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Давление в каждой трубе находится по высоте столба воды в вертикальной трубке; скорость во второй трубе — из уравнения Бернулли, а диаметры связаны неразрывностью потока.

Ответ

\(\dfrac{d_1}{d_2}=\left(1+\dfrac{2g(h_1-h_2)}{v_1^2}\right)^{1/4}\).

Решение

Из закона Бернулли получаем соотношение \(\dfrac{\rho v_1^2}{2}+p_1=\dfrac{\rho v_2^2}{2}+p_2\). Давление в трубах находим по высоте столба воды: \(p_1=p_0+\rho gh_1\) и \(p_2=p_0+\rho gh_2\), где \(p_0\) — атмосферное давление. Подставляя \(p_1\) и \(p_2\) в первое соотношение, получаем скорость воды во второй трубе: \(v_2=\sqrt{v_1^2+2g(h_1-h_2)}\). Так как трубы соединены, за одно и то же время через них должно протекать одно и то же количество воды: \(v_1S_1=v_2S_2\). Так как площадь сечения трубы \(S=\pi d^2/4\), получаем \(v_1d_1^2=v_2d_2^2\). В итоге \[\frac{d_1}{d_2}=\sqrt{\frac{v_2}{v_1}}=\left(1+\frac{2g(h_1-h_2)}{v_1^2}\right)^{1/4}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Период обращения электрона в магнитном поле не зависит от его поперечной скорости; за это время он должен пройти вдоль оси расстояние, равное шагу витков соленоида \(1/n\).

Ответ

\(V=\dfrac{e\mu_0I}{2\pi m}\).

Решение

Напряжённость (индукция) поля внутри соленоида \(B=\mu_0nI\), где \(n\) — число витков провода соленоида на единицу длины, \(I\) — текущий по нему ток, \(\mu_0\) — магнитная проницаемость вакуума. Поле направлено вдоль оси соленоида. Если перпендикулярно направлению этого поля есть какая-либо скорость \(v\), то на один оборот затрачивается время \(T=2\pi m/eB\), где \(m\) и \(e\) — соответственно масса и заряд электрона. Пусть у электрона есть и составляющая скорости \(V\) вдоль оси соленоида. В единицу времени он проходит расстояние \(V\). За единицу длины ему требуется время \(1/V\), и за это время он делает \(1/(VT)\) оборотов. Число этих оборотов согласно условию задачи должно быть равно \(n\). Поэтому \[n=\frac{1}{VT}=\frac{eB}{2V\pi m}=\frac{e\mu_0nI}{2V\pi m}.\] Отсюда получаем \(V=e\mu_0I/(2\pi m)\).

Замечание. Если составляющая скорости вдоль оси определена однозначно, то составляющая скорости, перпендикулярная оси, может быть любой, большей нуля.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

В равновесии центр масс лежит на одной вертикали с точкой касания, а равнодействующая силы реакции и трения вертикальна; угол между нею и нормалью (линией от центра кольца к точке касания) не должен превышать угла трения. Найдите наибольший такой угол при вращении.

Ответ

\(\mu=\dfrac1{\sqrt3}\approx0{,}58\).

Решение

Пусть центр кольца — \(O\), центр масс — \(M\), а точка касания валика и кольца — \(P\). Рассматривая равновесие моментов сил относительно точки \(P\), видим, что сила тяжести, как и все остальные силы, должна давать нулевой момент, т. е. отрезок \(PM\) должен быть вертикальным. Равнодействующая силы реакции опоры \(\vec N\) и силы трения \(\vec F_{\text{тр}}\) должна компенсировать силу тяжести и также быть вертикальной. Угол между нормалью к поверхности и названной равнодействующей силой не может быть больше \(\operatorname{arctg}\mu\), иначе началось бы скольжение. Так как нормалью является прямая \(OP\), то \(\angle OPM\le\operatorname{arctg}\mu\).

При вращении кольца \(|OP|=R\) и \(|OM|=R/2\); значит, треугольник \(OPM\) образован отрезками длиной \(R\) и \(R/2\), и поэтому угол при вершине \(P\) максимален, когда при вершине \(M\) прямой угол. В этом случае \[\mu=\operatorname{tg}\angle OPM=\frac{|MO|}{|MP|}=\frac R2\Big/\sqrt{R^2-\tfrac14R^2}=\frac1{\sqrt3}\approx0{,}58.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Оптическая сила системы складывается из сил частей: линза, зеркало, снова линза (свет проходит линзу дважды).

Ответ

\(f=\dfrac{r}{2(2n-1)}\).

Решение

Каждый падающий на систему луч преломляется на передней поверхности линзы, отражается от задней поверхности и снова преломляется. Для упрощения решения рассмотрим случай, когда ход лучей симметричен. Тогда преломлённый луч падает на зеркальную поверхность перпендикулярно, отражается прямо назад, и второе преломление идентично первому. Входящий в систему и выходящий из неё лучи пересекают оптическую главную ось в одной и той же точке \(P\). Изображение расположенного там точечного предмета совпадает с самим предметом.

Рассмотрим околоосевой луч \(PO\), для которого угол \(\angle LPO\) можно считать малым. Отрезок \(OC'\) составляет с главной оптической осью ещё меньший угол, а расстояния точек \(O\) и \(C'\) до главной оптической оси приблизительно равны. Рассмотрим подробнее тонкий слой линзы, высота которого много меньше радиуса кривизны \(r\). В этом случае криволинейные поверхности можно заменить их касательными. Перпендикуляры к поверхностям обозначены на рисунке пунктирными линиями, и они пересекают главную оптическую ось в центрах кривизны линзы. Оптическая побочная ось \(BB'\) параллельна главной оптической оси, и \(\angle LCO=\angle B'OC'=\angle A'OB'=\angle BOC=\angle AOB\equiv\varphi\), а угол преломления \(\angle A'OC'=2\varphi\). Углом падения является \(\angle AOP\). Применяя закон преломления, используем приближение малых углов: \(\dfrac{\sin(\angle AOP)}{\sin(\angle A'OC')}=n\approx\dfrac{\angle AOP}{\angle A'OC'}\), откуда \(\angle AOP=n\angle A'OC'=2n\varphi\). Для дальнейших вычислений нужно знать угол \(\angle LPO=\angle BOP=\angle AOP-\angle AOB=2n\varphi-\varphi=(2n-1)\varphi\).

Так как линза тонкая и точка \(O\) недалеко от главной оптической оси, то \(|CO|\approx|CL|\) и \(|PO|\approx|PL|\), а \(|CL|=r-\dfrac d2\approx r\), где \(d\) — толщина линзы в центре. Снова используя приближение малых углов, получаем \(|LO|\approx\angle LCO\,|CL|\approx\angle LPO\,|PL|\), откуда \(|PL|\approx\dfrac{\angle LCO}{\angle LPO}\,|CL|=\dfrac{\varphi}{(2n-1)\varphi}\,r=\dfrac{r}{2n-1}\). Наконец, применяем формулу линзы \(\dfrac1a+\dfrac1k=\dfrac1f\) и соотношение \(|PL|=a=k=\dfrac{r}{2n-1}\) и получаем, что \(f=\dfrac{|PL|}2=\dfrac{r}{2(2n-1)}\).

Альтернативное решение. Ход светового луча можно разделить на три части: преломление в двояковыпуклой линзе, отражение от вогнутого зеркала и снова преломление в двояковыпуклой линзе. Известно, что оптическая сила системы равна сумме оптических сил отдельных частей. Оптическая сила двояковыпуклой линзы по формуле изготовителя линз \(D_1=(n-1)\dfrac2r\). Фокусное расстояние вогнутого зеркала с радиусом кривизны \(r\) равно \(\dfrac r2\), а оптическая сила поэтому \(D_2=\dfrac2r\). В итоге получаем \[D=2D_1+D_2=\frac{2(2n-1)}{r}\quad\Rightarrow\quad f=\frac1D=\frac{r}{2(2n-1)}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

В равновесии ток через конденсатор не идёт, поэтому токи через калиевую и натриевую ветви равны по модулю и противоположны по направлению.

Ответ

\(q=C\dfrac{R_{\text{K}}\mathcal E_{\text{Na}}+R_{\text{Na}}\mathcal E_{\text{K}}}{R_{\text{Na}}+R_{\text{K}}}\).

Решение

Так как заряды могут течь через мембрану тремя разными путями, а собирающийся на конденсаторе заряд создаёт общее для всех трёх путей электростатическое напряжение \(U\), то для моделирования нервной клетки подходит схема, где параллельно соединены три токовых пути: путь через конденсатор, путь калия и путь натрия.

Когда наступает равновесие, ток через конденсатор не идёт. Для этого сумма токов калия и натрия должна быть электрически нейтральной (равной нулю). Ток калия равен \((\mathcal E_{\text{K}}-U)/R_{\text{K}}\). Ток натрия равен \((\mathcal E_{\text{Na}}-U)/R_{\text{Na}}\). Приравнивая сумму этих токов нулю, получаем выражение для напряжения \[U=\frac{R_{\text{K}}\mathcal E_{\text{Na}}+R_{\text{Na}}\mathcal E_{\text{K}}}{R_{\text{Na}}+R_{\text{K}}}.\] Полный заряд мембраны тогда равен \[q=CU=C\,\frac{R_{\text{K}}\mathcal E_{\text{Na}}+R_{\text{Na}}\mathcal E_{\text{K}}}{R_{\text{Na}}+R_{\text{K}}}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Работа силы на рукоятке за один оборот равна изменению потенциальной энергии машины; свяжите смещение по высоте со смещением винта через геометрию ромба.

Ответ

a) \(F_k\approx24\) Н;  b) \(F_1=2F_k=48\) Н.

Решение

a) Пусть \(a\) — вертикальная, а \(b\) — горизонтальная диагональ домкрата; по теореме Пифагора \(a^2+b^2=\text{const}\), откуда, дифференцируя, получаем \[2a\Delta a+2b\Delta b=0\quad\Rightarrow\quad\Delta a=-\frac{b\,\Delta b}{a}=-\operatorname{ctg}\alpha\,\Delta b.\] Здесь \(\Delta a\) и \(\Delta b\) — малые изменения высоты и ширины домкрата. При одном полном обороте рукоятки \(\Delta b=-3\) мм. Приравнивая совершённую работу \(2\pi lF_k\) (где \(l\) — длина рукоятки) изменению потенциальной энергии \(F\Delta a\), получаем \[F_k=-F\operatorname{ctg}\alpha\,\frac{\Delta b}{2\pi l}\approx24\text{ Н}.\]

Альтернативное решение. Если к рукоятке приложить момент силы \(M\), то при повороте её на малый угол \(\Delta\varphi\) совершается работа \(M\Delta\varphi\). Поскольку трения нет, эта работа должна быть равна \(F\Delta H\), где \(\Delta H\) — изменение высоты домкрата. Итак, \[M=F\frac{dH}{d\varphi}=F\times\frac{dH}{d\alpha}\times\frac{d\alpha}{dL}\times\frac{dL}{d\varphi},\] где \(L\) — расстояние между крайними шарнирными креплениями домкрата. Очевидно, \(H=2a\sin\alpha\), где \(a=17\) см. Поэтому \(dH/d\alpha=2a\cos\alpha\). С другой стороны, \(L=2a\cos\alpha\), откуда \(dL/d\alpha=-2a\sin\alpha\). Один полный оборот рукоятки приводит к изменению \(L\) на шаг винта \(h\): \(\Delta L=-(\Delta\varphi/2\pi)h\). В итоге \[M=F\times(2a\cos\alpha)\times\frac{1}{-2a\sin\alpha}\times\frac{-h}{2\pi}=\frac{Fh\operatorname{ctg}\alpha}{2\pi}.\] Обозначив длину плеча рукоятки \(l\), можем выразить искомую силу: \(F_k=\dfrac Ml=\dfrac{Fh\operatorname{ctg}\alpha}{2\pi l}\approx24\) Н.

b) Если трения нет, то работа, совершаемая при повороте рукоятки, идёт целиком на увеличение потенциальной энергии машины. Если трение есть в описанной в тексте мере, то при вращении в обратном направлении силу почти не нужно прикладывать (домкрат остаётся на границе проскальзывания), и поэтому изменение потенциальной энергии по модулю равно работе сил трения. Если вращать рукоятку в прямом направлении (для подъёма машины), то работа силы трения не меняется (по сравнению с вращением на тот же угол в обратном направлении) и поэтому по-прежнему равна изменению потенциальной энергии. Итак, по сравнению с вращением без трения нужно совершить вдвое бо\'льшую работу, т. е. прикладываемая сила должна быть ровно вдвое больше, чем в части (а). Поэтому \(F_1=2F_k=48\) Н.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Если выдавливать воду вверх равномерно, струя поднимается на постоянную высоту; по ней определяется скорость выхода, а по времени опорожнения шприца — расход воды через иглу.

Ответ

\(d\approx0{,}39\) мм (по измерениям \(t=(54\pm1)\) с, \(h=(12\pm2)\) см).

Решение

Набираем шприц полным воды, направляем его вверх и опорожняем, нажимая равномерно, так чтобы струя воды всё время поднималась примерно на одну и ту же высоту. Измеряем с помощью линейки высоту струи \(h\), а секундомером время опорожнения шприца. Штатив можно использовать для удержания линейки вертикально. Из закона сохранения энергии для струи получаем скорость воды при выходе из шприца \(v=\sqrt{2gh}\); расход воды \(V=\dfrac\pi4d^2vt=\dfrac\pi4d^2t\sqrt{2gh}\). Отсюда получаем внутренний диаметр иглы шприца \[d=\sqrt{\frac4\pi\frac Vt}\,(2gh)^{-1/4}.\]

По результатам измерений \(t=(54\pm1)\) с и \(h=(12\pm2)\) см и значению \(V=10\) мл получаем \(d\approx0{,}39\) мм.

Замечание. Погрешность результата можно найти из соотношения \[\frac{\Delta d}{d}=\frac{\Delta t}{2t}+\frac{\Delta h}{4h}+\frac{\Delta V}{2V}\approx0{,}08,\] где за неопределённость объёма \(V\) принято \(\Delta V=0{,}5\) мл. Итак, \(d=(0{,}39\pm0{,}03)\) мм. Так что, несмотря на относительно неточные отдельные измерения, относительная погрешность в итоге получается не очень большой.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Идеальный вольтметр не пропускает ток, идеальный амперметр закорачивает участок цепи; комбинируйте измерения между разными парами клемм.

Ответ

\(\mathcal E=U_{13}\), \(R_1=\mathcal E/I_{13}\), \(R_2=\mathcal E/I_{23}\), \(R_3=R_2U_{23}/U_{12}\).

Решение

Измерим напряжение \(U_{13}\) между контактами 1 и 3; так как вольтметр идеален, то через резистор \(R_1\) тока нет и, следовательно, нет и напряжения, поэтому \[\mathcal E=U_{13}.\] Измерим ток \(I_{13}\) между контактами 1 и 3; так как к резистору \(R_1\) приложено полное напряжение батарейки (сопротивление амперметра ничтожно), \[R_1=\mathcal E/I_{13}.\] Измерим ток \(I_{23}\) между контактами 2 и 3; так как сопротивление амперметра ничтожно мало, весь ток идёт через амперметр (минуя резистор \(R_3\)), и полное напряжение батарейки приложено к резистору \(R_2\), поэтому \[R_2=\mathcal E/I_{23}.\] Измерим напряжения \(U_{12}\) и \(U_{23}\) соответственно между контактами 1 и 2 и между 2 и 3; так как один и тот же ток течёт через резисторы \(R_2\) и \(R_3\), напряжение батарейки делится на них пропорционально значениям сопротивлений. Учитывая, что \(U_{12}\) даёт напряжение на резисторе \(R_2\) (на резисторе \(R_1\) тока и напряжения нет), получаем \(U_{12}/U_{23}=R_2/R_3\), откуда \[R_3=R_2U_{23}/U_{12}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.