зад 1 Муравьишка на кирпиче
На углу стандартного кирпича с размерами \(250 \times 125 \times 65\) мм находится Муравьишка. Он может ползать по поверхности кирпича в любом направлении со скоростью 20 мм/сек. За какое минимальное время он сможет добежать до максимально удаленного от него угла кирпича?
▶ПодсказкаСкрыть
Мысленно разверните грани кирпича в одну плоскость: кратчайший путь по поверхности — прямая на развёртке. Переберите разные способы развернуть соседние грани.
▶ОтветСкрыть
\(t_{\text{мин}} \approx 15{,}7\text{ с}\).
зад 2 Шесть блоков и груз
Для удержания тяжелого груза используется система из шести блоков и нескольких тросов, прикрепленных к потолку так, как показано на рисунке. С какой силой \(F\) надо тянуть вниз за конец троса, свисающего с левого блока, чтобы удерживать груз массой \(M = 500\) кг в равновесии? Участки тросов, не лежащие на блоках, вертикальны; весом блоков и тросов, а также трением можно пренебречь. Ускорение свободного падения принять равным \(g = 10\) м/с\(^2\).
▶ПодсказкаСкрыть
Вдоль одного нерастяжимого троса, перекинутого через лёгкие блоки, сила натяжения одинакова. Пройдите от свободного конца к грузу и на каждом блоке запишите условие равновесия.
▶ОтветСкрыть
\(F = Mg/10 = 500\text{ Н}\).
зад 3 Стакан с шариками и льдом
В вертикальный цилиндрический стакан высотой \(H = 10\) см и площадью дна \(S = 100\) см\(^2\) налита вода до уровня \(h = 8\) см. В стакан опустили, не разбрызгивая воду, \(N_1 = 100\) стальных шариков объемом \(V_1 = 1\) см\(^3\) каждый, а затем еще \(N_2 = 50\) ледяных кубиков объемом \(V_2 = 2{,}5\) см\(^3\). Какова оказалась после этого сила \(F\) давления на дно стакана? Плотность воды \(\rho = 1\) г/см\(^3\), стали \(\rho_1 = 7{,}8\) г/см\(^3\), льда \(\rho_2 = 0{,}9\) г/см\(^3\), ускорение свободного падения \(g = 10\) м/с\(^2\), трением и атмосферным давлением пренебречь.
▶ПодсказкаСкрыть
Проверьте, не переполнится ли стакан: сравните объём воды вместе с погружённой частью шариков и льда с объёмом стакана. Если вода выльется, учтите, что сила давления на дно равна весу всего, что осталось в стакане и на что опирается дно.
▶ОтветСкрыть
\(F = \rho g H S + N_1 V_1 (\rho_1 - \rho) g = 16{,}8\text{ Н}\).
зад 4 Кофе и слуга
Король любит за завтраком пить кофе, имеющий температуру ровно 50 °С. Хитрый слуга наливает в чашку 60 г кофе, имеющего температуру 90 °С, ждёт, пока он остынет до некоторой температуры, затем добавляет в чашку 20 г воды, имеющей температуру 20 °С, перемешивает содержимое чашки и сразу подаёт королю. Какую температуру имеет кофе в момент добавления в него воды? Удельные теплоёмкости воды и кофе считать одинаковыми.
▶ПодсказкаСкрыть
Тепло, отданное остывшим кофе при смешивании, равно теплу, полученному водой. Обозначьте искомую температуру за \(t\); охлаждение кофе до \(t\) в уравнение не входит.
▶ОтветСкрыть
\(60\,^\circ\text{С}\).
зад 5 Саша догоняет друзей
Друзья Вася и Петя, живущие в деревнях Липовка и Демушкино, были в гостях у своего друга Саши, который живёт в деревне Малиновка, расположенной точно посередине между деревнями Липовка и Демушкино. Нагостившись у Саши, Вася и Петя одновременно вышли и отправились каждый в свою деревню, чтобы вернуться домой через \(t_0 = 60\) мин. Спустя \(t_0/6 = 10\) мин после выхода своих друзей Саша обнаружил, что каждый из них забыл у него дома свои вещи. Саша решил догнать каждого из них по очереди и отдать им вещи. С какой минимальной скоростью \(u\) должен бежать Саша, чтобы успеть догнать каждого из своих друзей до того, как они вернутся в свои деревни? Скорости Васи и Пети одинаковы и равны \(v = 5\) км/час.
▶ПодсказкаСкрыть
Саша догоняет первого друга, возвращается к Малиновке и затем догоняет второго. Выберите удобный отсчёт: после обгона первого друга расстояние между друзьями растёт с известной скоростью. Скорость Саши минимальна, когда он успевает ровно в момент прихода второго друга в деревню.
▶ОтветСкрыть
\(u = v\,\dfrac{t_0 + t_1}{t_0 - t_1} = 2v = 10\text{ км/ч}\), где \(t_1 = t_0/6\).
зад 6 Палочка в пластиковом стаканчике
На горизонтальном столе стоит пластиковый стаканчик для чая, имеющий форму усеченного конуса. Масса стаканчика \(m = 20\) г, диаметр его дна \(d = 5\) см. В стаканчик поместили тонкую однородную палочку массой \(M = 10\) г, расположив ее так, как показано на рисунке. При этом палочка оказалась наклоненной под углом \(\alpha = 30^\circ\) к вертикали. При какой длине палочки \(L\) стаканчик не перевернется?
▶ПодсказкаСкрыть
Стаканчик опрокинется вокруг ребра дна, на которое давит нижний конец палочки. Запишите условие равенства нулю суммарного момента сил относительно этого ребра в предельном случае.
▶ОтветСкрыть
Стаканчик не перевернется при длине палочки \(L \le \dfrac{d(m + 2M)}{M\sin\alpha} = 40\text{ см}\).
зад 7 Бруски на блоке, вода и лёд
Через неподвижный блок перекинута легкая нерастяжимая нить, на концах которой висят два стальных цилиндрических бруска. Масса левого бруска \(m_1 = 1\) кг. Вначале к нижнему основанию правого бруска был приморожен кусок льда неизвестной массы, а сами бруски удерживались вручную. Правый брусок с примороженным к нему куском льда погрузили в воду комнатной температуры, налитую в очень широкий сосуд, после чего бруски отпустили. Сразу после этого оказалось, что система находится в равновесии, когда правый брусок погружен в воду на половину своей высоты. После того, как весь примороженный лед растаял, правый брусок целиком погрузился в воду. При этом система снова оказалась в равновесии. Найдите массу правого бруска, а также массу примороженного к нему льда. Плотность воды \(\rho_{\text{в}} = 1000\) кг/м\(^3\), плотность льда \(\rho_{\text{л}} = 900\) кг/м\(^3\), плотность стали \(\rho_{\text{с}} = 7800\) кг/м\(^3\). Изменением уровня воды в сосуде пренебречь.
▶ПодсказкаСкрыть
Нить натянута силой \(m_1 g\) с обеих сторон. Запишите условие равновесия правого бруска в двух состояниях (со льдом и без него); во втором брусок полностью под водой, а лёд при плавлении исчезает.
▶ОтветСкрыть
\(m_2 = \dfrac{m_1}{1 - \rho_{\text{в}}/\rho_{\text{с}}} \approx 1{,}15\text{ кг}\), \(m_{\text{л}} = \dfrac{m_1 (\rho_{\text{в}}/\rho_{\text{с}})}{2\left(1 - \dfrac{\rho_{\text{в}}}{\rho_{\text{с}}}\right)\left(\dfrac{\rho_{\text{в}}}{\rho_{\text{л}}} - 1\right)} \approx 0{,}66\text{ кг}\).
зад 8 Алюминиевый шарик в стакане с водой
В цилиндрический стакан налита вода до уровня \(h_0 = 10\) см при температуре \(t_0 = 0\) °С. В стакан бросают алюминиевый шарик, вынутый из другого сосуда с водой, кипящей при температуре \(t_{\text{к}} = 100\) °С. При этом уровень воды повышается на \(x = 1\) см. Какой будет установившаяся температура в стакане? Удельные теплоемкости воды и алюминия \(c_{\text{в}} = 4200\) Дж/(кг\(\cdot\)°С) и \(c_{\text{а}} = 920\) Дж/(кг\(\cdot\)°С), плотности воды и алюминия \(\rho_{\text{в}} = 1000\) кг/м\(^3\) и \(\rho_{\text{а}} = 2700\) кг/м\(^3\). Теплоемкостью стакана можно пренебречь.
▶ПодсказкаСкрыть
Подъём уровня на \(x\) даёт объём шарика, а значит и его массу; масса воды находится по высоте \(h_0\) (площадь дна сократится). Дальше — уравнение теплового баланса.
▶ОтветСкрыть
\(t = \dfrac{c_{\text{а}}\rho_{\text{а}} x\, t_{\text{к}} + c_{\text{в}}\rho_{\text{в}} h_0 t_0}{c_{\text{а}}\rho_{\text{а}} x + c_{\text{в}}\rho_{\text{в}} h_0} = 5{,}6\,^\circ\text{С}\).
Источник: Московская олимпиада школьников по физике, 2009/10, заключительный этап, 8 класс — условия (1) · условия (2) · решения (1) · решения (2). Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.