зад 1 Шарик и клин равной массы
На гладкой горизонтальной поверхности находится жесткий клин массой \(M\), причем его гладкая наклонная поверхность составляет угол \(\alpha\) с горизонтом. На этот клин налетает жесткий шарик той же массы \(M\), у которого за мгновение до столкновения с наклонной поверхностью клина скорость была горизонтальной. Происходит абсолютно упругий удар. Какой угол \(\beta\) с горизонтом составит скорость шарика сразу после удара?
▶ПодсказкаСкрыть
Поверхность гладкая: вдоль наклонной плоскости клина импульс шарика не меняется. Сохраняются также энергия и горизонтальная проекция импульса системы.
▶ОтветСкрыть
\(\operatorname{tg}\beta = 2\operatorname{tg}\alpha\).
зад 2 Грузик в тормозящем вагоне
Поезд, подходящий к станции, движется равнозамедленно с ускорением \(a = 0{,}2\) м/с\(^2\), вплоть до момента остановки. На абсолютно гладком горизонтальном столе внутри вагона поезда находится грузик, соединённый пружиной с неподвижной опорой (см. рис.). Пока поезд движется, грузик неподвижен относительно вагона. В момент, когда поезд останавливается, грузик приходит в движение и начинает колебаться с периодом \(T = 1\) с. Найдите амплитуду колебаний грузика.
▶ПодсказкаСкрыть
Пока поезд тормозит, пружина деформирована так, что её сила сообщает грузику ускорение \(a\). После остановки эта деформация и есть начальное смещение от положения равновесия.
▶ОтветСкрыть
\(x_m = \dfrac{aT^2}{4\pi^2} \approx 5\) мм.
зад 3 Цикл в координатах ρ–T
С одним молем одноатомного идеального газа совершают циклический процесс 1-2-3-4-1, как показано на рисунке в координатах \(\rho\)–\(T\) (плотность-температура). Участок 2-3 — гипербола. Температуры в точках 1, 2 и 3 равны, соответственно, \(T_1 = 300\) К, \(T_2 = 500\) К, \(T_3 = 800\) К. На участке 4-1 газ отдает холодильнику количество теплоты \(Q_{41} \approx 1172\) Дж. Найти КПД цикла.
▶ПодсказкаСкрыть
Выясните, какой процесс изображают участки цикла: что означает постоянство \(\rho\) и что — гипербола \(\rho T = \text{const}\)? Определите, на каких участках газ получает тепло.
▶ОтветСкрыть
\(\eta = 1 - \dfrac{\frac32 R(T_3-T_1) + Q_{41}}{\frac32 R(T_2-T_1) + \frac52 R(T_3-T_2)} \approx 0{,}15\).
зад 4 Диод в цепи переменного тока
Участок AB электрической цепи состоит из резисторов с сопротивлениями \(R_1 = R_0\), \(R_2 = 9R_0\), \(R_3 = 9R_0\), \(R_4 = R_0\), где \(R_0 = 1\) кОм, и идеального диода CD (см. рис.). Идеальный диод пропускает ток без сопротивления в направлении от C к D и не пропускает совсем в обратном направлении. Участок AB подключают к источнику переменного синусоидального напряжения \(U_{AB}(t) = U_m \sin\omega t\), амплитуда которого равна \(U_m = 300\) В. Какая тепловая мощность будет выделяться на этом участке?
▶ПодсказкаСкрыть
Определите, при каком знаке \(U_{AB}\) потенциал точки C выше потенциала D, и найдите сопротивление участка в каждом из полупериодов. Затем усредните мощность за период.
▶ОтветСкрыть
\(P = \dfrac{17\,U_m^2}{90\,R_0} = 17\) Вт.
зад 5 Заряженная бусинка на наклонном стержне
Бусинка, нанизанная на неподвижный стержень, образующий угол \(\alpha\) с горизонтом (см. рис.), имеет массу \(m\) и заряд \(q\). Бусинка может скользить вдоль стержня с коэффициентом трения \(\mu\) и начинает движение из состояния покоя, причем \(\mu < \operatorname{tg}\alpha\). Система находится в однородном магнитном поле с индукцией \(B\), линии которого горизонтальны (перпендикулярны плоскости рисунка и направлены внутрь рисунка). Какую максимальную скорость и какое максимальное ускорение будет иметь бусинка при движении? Стержень не проводит ток. Рассмотреть два случая: \(q > 0\) и \(q < 0\).
▶ПодсказкаСкрыть
Сила Лоренца перпендикулярна стержню, поэтому меняет силу нормальной реакции, а с ней и силу трения. Максимальная скорость достигается, когда ускорение обращается в нуль.
▶ОтветСкрыть
При \(q>0\): \(v_{\max} = \dfrac{mg}{\mu qB}(\sin\alpha + \mu\cos\alpha)\), \(a_{\max} = g\sin\alpha\); при \(q<0\): \(v_{\max} = \dfrac{mg}{\mu |q| B}(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)\), \(a_{\max} = g(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)\).
зад 6 Блоки, нити и пружина (11 класс)
В системе, изображенной на рисунке, все блоки — невесомые и вращаются без трения, все нити — невесомые и нерастяжимые (их жесткость велика по сравнению с жесткостью пружины). Пружина также невесома. Система находится в покое. При какой массе груза \(M\) груз 1 сразу после пережигания нити в точке \(A\) будет иметь ускорение большее по модулю, чем \(g\)?
▶ПодсказкаСкрыть
Сразу после пережигания сила упругости пружины не успевает измениться. Найдите её из равновесия груза 3 до пережигания и свяжите ускорения грузов 1 и 2 через нерастяжимость нитей.
▶ОтветСкрыть
\(M > 6m\).
зад 7 Тепловая машина на воде и паре
Рабочим телом тепловой машины служит некоторое количество воды. Цикл, по которому работает машина, показан на рисунке в \(p\)–\(T\) координатах (пунктиром изображена зависимость давления насыщенных паров воды от температуры). Он состоит из изобарического (1–2–3), изохорического (3–4) и изотермического (4–1) участков. Найдите КПД этого цикла, считая воду практически несжимаемой жидкостью.
Напоминания: \(p_1 = 101{,}3\) кПа — нормальное атмосферное давление, удельная теплота парообразования воды (при \(100\) °C) \(L \approx 2{,}26\cdot 10^6\) Дж/кг, молярная масса воды \(\mu = 18\) г/моль, удельная теплоемкость воды \(c \approx 4{,}19\cdot 10^3\) Дж/(кг\(\cdot\)К), универсальная газовая постоянная \(R \approx 8{,}31\) Дж/(моль\(\cdot\)К), теплоемкость одного моля водяного пара при постоянном давлении равна \(4R\).
▶ПодсказкаСкрыть
Проследите, в каком состоянии (вода, смесь, пар) находится вещество на каждом участке. Температуру в точке 3 найдите из изохоры 3–4, а работу — по циклу на \(p\)–\(V\) диаграмме.
▶ОтветСкрыть
\(\eta \approx 0{,}029 = 2{,}9\%\).
зад 8 Стержень, шарик и нить
Тонкий жесткий непроводящий стержень длиной \(L\) несет на себе электрический заряд \(Q\), который равномерно распределен по длине стержня. Маленький шарик имеет электрический заряд \(q\) и прикреплен к одному из концов стержня тонкой непроводящей и незаряженной нитью длиной \(R\). Какова сила натяжения нити, если система находится в равновесии? Считать, что \(Q/q > 0\). Силу тяжести не учитывать.
▶ПодсказкаСкрыть
Разбейте стержень на малые элементы и просуммируйте (проинтегрируйте) силы их действия на шарик. Либо найдите работу силы при малом смещении шарика как убыль энергии взаимодействия.
▶ОтветСкрыть
\(F(R) = k\dfrac{qQ}{R(R+L)} = \dfrac{qQ}{4\pi\varepsilon_0 R(R+L)}\).
зад 9 Малые колебания заряженного шарика
На тонкой непроводящей нити длиной \(l\) подвешен маленький шарик массой \(m\), который заряжен зарядом \(+q\). Слева к шарику прикреплена непроводящая пружинка жесткостью \(k\), расположенная горизонтально. Шарик находится в однородном электрическом поле \(\vec E\), направленном так, как показано на рисунке. В состоянии равновесия нить с шариком висит вертикально. Найти период малых колебаний шарика в плоскости рисунка.
▶ПодсказкаСкрыть
При малом отклонении на угол \(\varphi\) горизонтальная составляющая силы электрического поля даёт поправку второго порядка малости. Запишите уравнение движения по касательной к дуге.
▶ОтветСкрыть
\(T = \dfrac{2\pi}{\sqrt{\dfrac{k}{m} + \dfrac{g}{l} + \dfrac{qE\cos\beta}{ml}}}\).
зад 10 СВЧ-антенна из излучателей
СВЧ-антенна радиолокатора устроена следующим образом: вдоль прямой линии на равных расстояниях \(d = 2{,}5\) см друг от друга расположены \(N = 100\) излучателей электромагнитных волн длиной \(\lambda = 2d\) (см. рис.). Каждый из них излучает сферическую волну, причем модуль напряженности поля \(n\)-го излучателя (\(0 \le n \le N\)) изменяется по закону \(E(t) = A\sin(\omega t - kr_n + n\dfrac{\pi}{2}\cos\Omega t)\), где \(r_n\) — расстояние от данного излучателя, \(k = 2\pi/\lambda\) — волновое число, а \(\Omega \ll \omega\). Найдите, как зависит от времени угол между лучом, излучаемым радиолокатором в плоскости рисунка, и нормалью к цепочке излучателей. Оцените угловую ширину луча и его угловую скорость.
▶ПодсказкаСкрыть
Волны соседних излучателей усиливают друг друга в направлении, где набег фазы от разности хода и добавка фазы \(\frac{\pi}{2}\cos\Omega t\) в сумме кратны \(2\pi\). Найдите это направление как функцию времени.
▶ОтветСкрыть
Цепочка излучателей — направленная антенна, испускающая узкий СВЧ-луч; угол \(\varphi\) его отклонения от нормали к цепочке меняется по закону \(\sin\varphi = \dfrac12\cos\Omega t\), причём \(\varphi_{\max} = \arcsin\dfrac12 = 30^\circ\). При \(\varphi = 0\) максимальная угловая скорость качания луча \(\dot\varphi_{\max} = \dfrac12\Omega\), а угловая ширина луча \(\Delta\varphi_{\min} = \dfrac{2}{N} = 0{,}02\) радиана \(\approx 1^\circ\).
Источник: Московская олимпиада школьников по физике, 2010/11, заключительный этап, 11 класс — условия (1) · условия (2) · решения (1) · решения (2). Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.