зад 1 Камень с обрыва
Находясь на краю глубокого обрыва, турист бросает камень вертикально вверх. При последующем движении вниз камень проходит точку бросания и падает в обрыв. Известно, что за промежуток времени \(t = 1\) с, отсчитываемый от момента броска, камень прошел путь \(S = 2{,}9\) м. Определите начальную скорость камня, сообщённую ему при броске. Ускорение свободного падения считать равным \(g = 10\) м/с\(^2\). Сопротивлением воздуха пренебречь.
▶ПодсказкаСкрыть
Путь — не перемещение: сложите путь вверх до точки поворота и путь вниз за оставшееся время. Сначала проверьте, мог ли камень всё время лететь вверх.
▶ОтветСкрыть
\(v_0 = g\left(\dfrac{t}{2} \pm \sqrt{\dfrac{S}{g} - \dfrac{t^2}{4}}\right)\), то есть 3 м/с или 7 м/с.
зад 2 Шайба на нити на наклонной плоскости
На наклонной плоской поверхности, составляющей угол \(\alpha = 60^\circ\) с горизонтом, находится небольшая плоская шайба массой \(m = 0{,}5\) кг, прикреплённая лёгкой нитью длиной \(L = 1\) м к точке на этой поверхности. Шайбу толкнули вдоль поверхности так, что нить натянута и скорость шайбы перпендикулярна нити. В некоторый момент шайба имеет направленную горизонтально скорость \(V = 2\) м/с. Коэффициент трения шайбы о плоскость равен \(\mu = 0{,}6\). Каково по модулю ускорение \(a\) шайбы в этот момент времени? Какова сила натяжения \(F\) нити в этот момент? Ускорение свободного падения \(g = 10\) м/с\(^2\).
▶ПодсказкаСкрыть
Разложите ускорение на нормальную (вдоль нити) и касательную (вдоль скорости) составляющие. Касательную создаёт только сила трения, нормальную — нить и составляющая силы тяжести вдоль плоскости.
▶ОтветСкрыть
\(a = \sqrt{(V^2/L)^2 + (\mu g\cos\alpha)^2} = 5\) м/с\(^2\); \(F = mV^2/L + mg\sin\alpha \approx 6{,}33\) Н.
зад 3 Крышка на смеси воды и льда
В цилиндрическом сосуде высотой \(h = 20\) см находится смесь воды и мелких кусочков льда (см. рис.). На поверхности плавает круглая стальная крышка толщиной \(d = 2\) мм, нижний край которой находится точно на поверхности воды. Найдите среднюю плотность смеси воды и льда. Плотность воды \(\rho_\text{в} = 1000\) кг/м\(^3\), плотность льда \(\rho_\text{л} = 900\) кг/м\(^3\), плотность стали \(\rho_\text{с} = 7800\) кг/м\(^3\). Трением льда о стенки сосуда пренебречь.
▶ПодсказкаСкрыть
Льдинки плавают, поэтому давление на дне сосуда определяется весом всего содержимого. Сравните его с давлением, которое создала бы вода высотой \(h\) при действии на неё крышки.
▶ОтветСкрыть
\(\rho = \rho_\text{в} - \rho_\text{с}\dfrac{d}{h} = 922\) кг/м\(^3\).
зад 4 Резисторы «треугольником»
Схема, состоящая из 3-х резисторов и 3-х клемм, соединенных по схеме «треугольник» (см. рис.), исследуется следующим образом: две из клемм замыкаются между собой, и измеряется сопротивление между двумя замкнутыми клеммами и третьей (свободной). В результате измерений получились сопротивления \(R_a\), \(R_b\), \(R_c\). Найти номиналы резисторов \(R_1\), \(R_2\), \(R_3\), из которых состоит схема.
▶ПодсказкаСкрыть
Замкнув две клеммы, вы получаете параллельное соединение двух резисторов, подключённое последовательно к третьему. Запишите три такие формулы и решите систему.
▶ОтветСкрыть
\(R_1 = \dfrac{2R_aR_bR_c}{R_aR_b + R_aR_c - R_bR_c}\), \(R_2 = \dfrac{2R_aR_bR_c}{R_aR_b + R_bR_c - R_aR_c}\), \(R_3 = \dfrac{2R_aR_bR_c}{R_aR_c + R_bR_c - R_aR_b}\).
зад 5 Перелёт Ту-160
Самолёт ТУ–160 в безветренную на всей Земле погоду стартовал с аэродрома в Санкт-Петербурге. В течение всего времени 27-ми часового полета самолёт находился на одной и той же высоте и держал одну и ту же по величине скорость 1000 км/час, сделав несколько дозаправок в воздухе. Сначала он 6 часов летел на юг, затем 10 часов на восток, потом 6 часов на север, и в последние 5 часов полета его скорость была направлена на запад. Сколько еще времени потребуется самолёту, чтобы с такой же по величине скоростью долететь до родного аэродрома по кратчайшему пути? Санкт-Петербург находится на широте \(60^\circ\), а радиус Земли равен примерно 6400 км.
▶ПодсказкаСкрыть
Полёт на юг и обратно на север возвращает самолёт на исходную широту. Найдите широту, на которой он летел на восток, и учтите, что радиус окружности параллели равен \(R\cos\theta\).
▶ОтветСкрыть
Самолёту потребуется ещё примерно 109,2 с.
зад 6 Потоп и пирамида Хеопса
После завершения строительства пирамиды Хеопса все её ребра, согласно легенде, имели одинаковую длину \(A \approx 230\) м. В основании пирамиды — квадрат со стороной \(A\). По преданиям, во время «Великого потопа» уровень воды совпал с вершиной пирамиды. С какой силой давила вода на северную боковую грань пирамиды? Плотность воды \(\rho = 1000\) кг/м\(^3\), ускорение свободного падения \(g = 10\) м/с\(^2\).
Замечание: объем \(V\) пирамиды вычисляется по формуле \(V = \dfrac{1}{3}SH\), где \(S\) — площадь основания пирамиды.
▶ПодсказкаСкрыть
Сила давления на грань равна \(\rho g h_c S_\text{гр}\), где \(h_c\) — глубина центра грани. Либо найдите вертикальную равнодействующую сил на все четыре грани через вес воды над пирамидой.
▶ОтветСкрыть
\(F = \dfrac{\rho g A^3}{2\sqrt 6} \approx 2{,}48\cdot 10^{10}\) Н.
зад 7 Лёд в калориметре
Цилиндрический калориметр радиусом \(R = 10\) см и высотой \(h = 30\) см заполнен льдом при температуре \(t_0 = -10\) °С на одну треть своего объёма (см. рис.). В калориметр через отверстие сверху медленно наливают воду, имеющую температуру \(t = 30\) °С. Какой максимальный объём воды можно налить в калориметр? Удельная теплоёмкость воды \(c_\text{в} = 4200\) Дж/(кг\(\cdot\)°C), удельная теплоёмкость льда \(c_\text{л} = 2100\) Дж/(кг\(\cdot\)°C), удельная теплота плавления льда \(\lambda = 330\) кДж/кг. Плотность воды \(\rho_\text{в} = 1000\) кг/м\(^3\), плотность льда \(\rho_\text{л} = 900\) кг/м\(^3\). Теплоёмкостью калориметра и потерями теплоты пренебречь.
▶ПодсказкаСкрыть
Составьте уравнение теплового баланса: часть льда нагревается до нуля и тает, налитая вода остывает до нуля. Второе уравнение — на полный объём: вода и оставшийся лёд занимают весь калориметр.
▶ОтветСкрыть
\(V = \dfrac{\pi R^2 h \rho_\text{л}\,(2\lambda\rho_\text{в} + c_\text{л}t_0(\rho_\text{в} - \rho_\text{л}))}{3\rho_\text{в}\,(\lambda\rho_\text{л} - c_\text{в}t(\rho_\text{в} - \rho_\text{л}))} \approx 6{,}58\) л.
зад 8 Четыре резистора со звезды
Схема состоит из 4-х клемм и 4-х различных резисторов, которые имеют один общий вывод, а другим выводом соединены с соответствующей клеммой. Известны сопротивления между клеммами 1–2, 2–3 и 3–4: они равны \(R_{12}\), \(R_{23}\) и \(R_{34}\). Сопротивление между какими клеммами еще необходимо измерить, чтобы найти номиналы всех резисторов \(R_1\), \(R_2\), \(R_3\) и \(R_4\)? Чему они будут равны?
▶ПодсказкаСкрыть
Между любыми двумя клеммами сопротивление равно сумме двух соответствующих резисторов: \(R_{ij} = R_i + R_j\). Трёх данных уравнений мало для четырёх неизвестных — нужно ещё одно, замыкающее цепочку.
▶ОтветСкрыть
1) Если измерить \(R_{13}\): \(R_1 = (R_{12} + R_{13} - R_{23})/2\); \(R_2 = (R_{13} + R_{23} - R_{12})/2\); \(R_3 = (R_{12} + R_{23} - R_{13})/2\); \(R_4 = R_{34} - R_3 = (2R_{34} - R_{13} + R_{12} - R_{23})/2\).
2) Если измерить \(R_{24}\): \(R_2 = (R_{24} + R_{23} - R_{34})/2\); \(R_3 = (R_{23} + R_{34} - R_{24})/2\); \(R_4 = (R_{24} + R_{34} - R_{23})/2\); \(R_1 = R_{12} - R_2 = (2R_{12} + R_{34} - R_{24} - R_{23})/2\).
Источник: Московская олимпиада школьников по физике, 2010/11, заключительный этап, 9 класс — условия (1) · условия (2) · решения (1) · решения (2). Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.