зад 1 Брусок под углом
На горизонтальном столе лежит деревянный брусок. Коэффициент трения между поверхностью стола и бруском \(\mu = 0{,}1\). Если приложить к бруску силу, направленную вверх под углом \(\alpha = 30^\circ\) к горизонту, то брусок будет двигаться по столу с ускорением \(a = 0{,}18\) м/с\(^2\). Под каким углом \(\beta\) надо приложить к бруску такую же по модулю силу, чтобы брусок двигался по столу равномерно? Ответ округлите до целых градусов. Ускорение свободного падения \(g = 10\) м/с\(^2\).
▶ПодсказкаСкрыть
Из первого опыта найдите модуль силы через \(m\), затем запишите условие равномерного движения при угле \(\beta\); сила тяги и сила трения (с учётом того, что сила вверх разгружает стол) должны уравновеситься.
▶ОтветСкрыть
\(\beta = \pm\arccos\!\left(\dfrac{\mu g(\cos\alpha + \mu\sin\alpha)}{\sqrt{1+\mu^2}\,(a+\mu g)}\right) + \operatorname{arctg}\mu\), т.е. \(\beta_1 \approx 45^\circ\) или \(\beta_2 \approx -34^\circ\).
зад 2 Нелинейная пружина
На рисунке показан график зависимости модуля силы \(F\) растяжения пружины от её удлинения \(x\) (при больших деформациях пружина не подчиняется закону Гука). Пружину прикрепляют одним концом к потолку. К другому концу пружины, не деформируя её, аккуратно подвешивают груз массой \(m = 650\) г, после чего отпускают груз без начальной скорости. Оцените, на какую максимальную длину растянется пружина. Трением и массой пружины пренебречь, ускорение свободного падения принять равным \(g = 10\) м/с\(^2\).
▶ПодсказкаСкрыть
В нижней точке скорость груза равна нулю, значит, работа силы тяжести равна по модулю работе силы упругости. Обе работы — площади под графиками на плоскости \((x, F)\).
▶ОтветСкрыть
\(x_0 \approx 10\) см.
зад 3 Стакан в водоёме
Небольшой пустой тонкостенный цилиндрический стакан объёмом \(V_0\) переворачивают вверх дном и медленно погружают в глубокий водоём, удерживая ось стакана в вертикальном положении. Над поверхностью водоёма находится воздух (атмосферное давление \(p_0\)), температура которого равна температуре воды, а относительная влажность 100%. По какому закону будет изменяться модуль выталкивающей силы, действующей на стакан, при его погружении от поверхности воды в водоём на глубину \(H\)? Плотность воды равна \(\rho\), ускорение свободного падения \(g\), давление насыщенных паров воды при данной температуре \(p_{\text{н}}\).
▶ПодсказкаСкрыть
Пар в стакане насыщенный, его давление не меняется; сжимается только сухой воздух по закону Бойля – Мариотта. Выталкивающая сила определяется объёмом, который занимает смесь в стакане.
▶ОтветСкрыть
\(F_{\text{А}} = \rho g V_0\,\dfrac{p_0 - p_{\text{н}}}{p_0 - p_{\text{н}} + \rho g H} = \dfrac{\rho g V_0}{1 + \dfrac{\rho g H}{p_0 - p_{\text{н}}}}\).
зад 4 Лёд в бассейне
После поломки систем отопления и водоснабжения бассейна объёмом \(V\) часть воды вытекла из него, а оставшаяся часть замёрзла. В итоге в бассейне остался лёд объёмом \((10/27)V\) при температуре \(0\,^\circ\text{C}\). В бассейн начинают наливать воду. Какую температуру должна иметь вода, чтобы, когда лёд растает, и бассейн будет полностью заполнен, вода в нём имела температуру \(t = 20\,^\circ\text{C}\)? Плотности воды и льда \(\rho_{\text{в}} = 1000\) кг/м\(^3\) и \(\rho_{\text{л}} = 900\) кг/м\(^3\), удельные теплоёмкости воды и льда \(c_{\text{в}} = 4200\) Дж/(кг\(\cdot^\circ\)C) и \(c_{\text{л}} = 2100\) Дж/(кг\(\cdot^\circ\)C) соответственно, удельная теплота плавления льда \(\lambda = 335\) кДж/кг. Потерями теплоты пренебречь.
▶ПодсказкаСкрыть
Найдите объём, а значит и массу доливаемой воды: после таяния льда бассейн полон. Затем составьте уравнение теплового баланса: долитая вода остывает до \(t\), а лёд плавится и его вода нагревается от \(0\,^\circ\text{C}\) до \(t\).
▶ОтветСкрыть
\(t_0 = t + \dfrac{10\rho_{\text{л}}(t + \lambda/c_{\text{в}})}{27\rho_{\text{в}} - 10\rho_{\text{л}}} \approx 70\,^\circ\text{C}\).
зад 5 Аккумулятор телефона
Ёмкость аккумуляторов мобильных телефонов часто измеряют в миллиампер-часах (мАч). Эта величина показывает, сколько часов может работать аккумулятор, давая ток силой в один миллиампер. Ёмкость некоторого аккумулятора равна \(q = 950\) мАч. Мобильный телефон после зарядки аккумулятора проработал \(t = 80\) ч, а напряжение на аккумуляторе было почти постоянно и равно \(U = 3{,}6\) В, после чего аккумулятор разрядился. Чему равна средняя мощность, потреблявшаяся телефоном в этот период времени? Аккумулятор считать идеальным источником.
▶ПодсказкаСкрыть
Ёмкость в мА\(\cdot\)ч — это полный заряд, прошедший через аккумулятор при разрядке. Умножьте его на напряжение, чтобы получить работу тока.
▶ОтветСкрыть
\(P = \dfrac{qU}{t} \approx 43\) мВт.
зад 6 Клин с шайбой на нити
На гладкой горизонтальной поверхности находится клин с высотой \(h = 30\) см и шириной основания \(d = 40\) см. На его гладкой наклонной плоскости находится маленькая шайба, соединённая с клином при помощи невесомой нерастяжимой нити, перекинутой через два блока (см. рисунок). Блоки невесомые и вращаются без трения, масса клина в \(n = 8\) раз больше массы шайбы. С каким ускорением начнёт двигаться клин после отпускания? Ускорение свободного падения считайте равным \(g \approx 9{,}8\) м/с\(^2\). Движение клина — поступательное.
▶ПодсказкаСкрыть
Нить связывает перемещения шайбы и клина: найдите, как проекции ускорения шайбы выражаются через ускорение клина. Затем удобно записать закон сохранения энергии или уравнения движения клина и шайбы.
▶ОтветСкрыть
\(A = \dfrac{2g\sin\alpha}{n + 5 - 4\cos\alpha} = \dfrac{6}{49}\,g \approx 1{,}2\) м/с\(^2\).
зад 7 Стержни в полусферической чаше
Гладкая полусферическая чаша неподвижно закреплена на столе так, что её ось симметрии вертикальна. В чашу последовательно кладут два тонких неоднородных стержня одинаковой массы и одинаковой длины, меньшей диаметра чаши. Первый стержень в положении равновесия образует с горизонтом угол \(\alpha_1\), а второй — угол \(\alpha_2 < \alpha_1\). Затем стержни скрепляют друг с другом боковыми поверхностями так, что они образуют новый тонкий стержень прежней длины, и кладут получившийся составной стержень обратно в чашу. Какой угол с горизонтом будет образовывать в положении равновесия этот составной стержень?
▶ПодсказкаСкрыть
В равновесии центр масс стержня лежит на вертикали, проходящей через центр чаши. Выразите через угол наклона положение центра масс относительно конца стержня и сложите положения для двух стержней (с учётом их возможной ориентации).
▶ОтветСкрыть
\(\alpha = \operatorname{arctg}\!\left(\dfrac{1}{2}(\operatorname{tg}\alpha_1 \pm \operatorname{tg}\alpha_2)\right)\).
зад 8 Водяная ракета
«Водяная ракета» представляет собой полуторалитровую (\(V = 1{,}5\) л) бутылку, в которую налито небольшое количество воды массой \(m = 200\) г. Ракета несёт полезный груз, закреплённый на её корпусе снаружи. Бутылка заткнута резиновой пробкой, а давление воздуха в ней равно \(p = 5\) атмосфер. Оцените, на какую высоту взлетит эта ракета, запущенная вертикально вверх из перевёрнутого положения в результате быстрого выброса воды после удаления пробки. В момент старта ракета была неподвижна. Общая масса взлетевшей ракеты с «боеголовкой» \(M = 0{,}5\) кг. Считайте, что давление в бутылке при выбросе воды меняется не сильно. Массой пробки и воздуха в бутылке пренебречь. Плотность воды \(\rho = 1000\) кг/м\(^3\), ускорение свободного падения \(g = 10\) м/с\(^2\).
▶ПодсказкаСкрыть
Работа газа при выбросе воды \(p\,\Delta V\) идёт на кинетическую энергию воды и ракеты; импульсы воды и ракеты равны, поэтому энергия делится обратно пропорционально массам.
▶ОтветСкрыть
\(h = \dfrac{K_M}{Mg} = \dfrac{(4/5)\,p\,\Delta V\,m}{Mg(m+M)} = \dfrac{4pm^2}{5\rho Mg(m+M)} \approx 4{,}6\) м.
зад 9 Четырёхугольная проволочная пирамида
Из проволоки сделали правильную четырёхугольную пирамиду, все рёбра которой имеют одинаковое сопротивление \(R\). К серединам двух соседних (перпендикулярных) рёбер основания подсоединили выводы \(A\) и \(B\) омметра — прибора для измерения сопротивлений. Что покажет омметр?
▶ПодсказкаСкрыть
Воспользуйтесь симметрией схемы относительно плоскости, проходящей через точки \(A\) и \(B\) и вершину: точки с равными потенциалами можно соединить проводником.
▶ОтветСкрыть
\(2R/3\).
зад 10 Бусинка и движущийся заряд
По длинному непроводящему стержню может без трения перемещаться бусинка массой \(m\) и зарядом \(q\). Вдоль стержня на расстоянии \(d\) от него перемещают с постоянной скоростью \(V_0\) точечный заряд \(q\). Считая, что в начальный момент бусинка покоилась и была бесконечно удалена от точечного заряда, определите максимальную скорость \(V_{\max}\) бусинки. Постройте график зависимости \(V_{\max}\) от \(V_0\).
▶ПодсказкаСкрыть
Перейдите в систему отсчёта, где точечный заряд покоится: там сохраняется энергия бусинки. Есть критическая скорость \(V_0\), ниже которой бусинка не может «пройти» мимо заряда.
▶ОтветСкрыть
\[V_{\max} = \begin{cases} 2V_0 & \text{при } V_0 < V_1,\\[2pt] V_0 - \sqrt{V_0^2 - V_1^2} & \text{при } V_0 > V_1,\end{cases}\] где \(V_1 = \sqrt{\dfrac{2kq^2}{md}}\), \(k = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\). График зависимости \(V_{\max}/V_1\) от \(V_0/V_1\):
Источник: Московская олимпиада школьников по физике, 2011/12, заключительный этап, 10 класс — условия (1) · условия (2) · решения (1) · решения (2). Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.