зад 1 Гирьки и дятел
На легкой короткой нити к ветке сосны подвешена гирька массой \(m = 1\) кг. К ней привязана другая легкая нить с длиной в недеформированном состоянии \(L = 1\) м и жесткостью \(k = 1\) кН/м, на конце которой висит еще одна гирька массой \(m = 1\) кг. Система находилась в равновесии до момента, когда верхнюю нить перебил дятел. Гирьки упали на землю одновременно. Каково расстояние \(H\) от ветки до земли? Ускорение свободного падения \(g = 10\) м/с\(^2\).
▶ПодсказкаСкрыть
Пока нижняя нить растянута, она мешает гирькам падать свободно. Выясните, как нить сжимается, и оцените, как это сказывается на времени падения.
▶ОтветСкрыть
\(H \approx \dfrac{kL^2}{4mg} + \dfrac{L}{2} = \dfrac{L}{2}\left(1 + \dfrac{kL}{2mg}\right) = 25{,}5\) м.
зад 2 Цикл с изотермой
Рабочим телом теплового двигателя является \(\nu = 1\) моль гелия. Цикл работы тепловой машины состоит из линейного в \(pV\)-координатах участка 1–2 и изотермы 2–1. Максимальный объем гелия в цикле в 7 раз больше минимального. Минимальная температура гелия в цикле составляет \(T_0 = 280\) К. Какое количество теплоты было получено гелием в данном цикле от нагревателя? Универсальная газовая постоянная \(R = 8{,}3\) Дж/(моль\(\cdot\)К).
▶ПодсказкаСкрыть
На прямой 1–2 тепло гелий получает не везде: найдите точку, где приращение теплоты \(\Delta Q\) меняет знак, и считайте \(Q\) только до неё.
▶ОтветСкрыть
\(Q_+ = 32\nu R T_0/7 \approx 10{,}6\) кДж.
зад 3 Пять вольтметров
Электрическая цепь, схема которой изображена на рисунке, состоит из двух батареек с ЭДС \(\mathcal{E}_1 = 5\) В и \(\mathcal{E}_2 = 2\) В и пяти одинаковых вольтметров. Найдите показания каждого из вольтметров. Сопротивления батареек много меньше сопротивлений вольтметров.
▶ПодсказкаСкрыть
Вольтметр — это резистор одинакового сопротивления \(R_V\): показания пропорциональны токам. Запишите правила Кирхгофа для токов через вольтметры.
▶ОтветСкрыть
\(U_1 = U_2 = 2(\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2)/7 = 2\) В; \(U_3 = (3\mathcal{E}_1 - 4\mathcal{E}_2)/7 = 1\) В; \(U_4 = (4\mathcal{E}_1 - 3\mathcal{E}_2)/7 = 2\) В; \(U_5 = 3(\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2)/7 = 3\) В.
зад 4 Электрон в скрещенных полях
В некоторой области пространства созданы однородное электрическое и магнитное поля. Когда электрон влетает в эту область со скоростью \(v\) в направлении, показанном стрелкой 1, он движется в этой области прямолинейно и равномерно. Когда электрон с такой же по модулю скоростью влетает в электромагнитное поле вдоль стрелки 2, перпендикулярной направлению 1, он тоже движется в поле прямолинейно и равномерно. Определите направления векторов напряженности электрического поля \(\vec E\) и магнитной индукции \(\vec B\). Найдите отношение модулей \(E/B\).
▶ПодсказкаСкрыть
Равномерное движение означает равенство нулю суммы электрической и магнитной сил в обоих случаях. Вычтите два условия и подумайте, куда должны быть направлены \(\vec E\) и \(\vec B\).
▶ОтветСкрыть
Вектор \(\vec E\) направлен перпендикулярно плоскости рисунка («на нас» либо «от нас»); вектор \(\vec B\) направлен в плоскости рисунка под углом \(45^\circ\) к скорости первого электрона и \(135^\circ\) к скорости второго электрона (либо наоборот); \(E/B = v/\sqrt{2}\).
зад 5 Призма и лазер
На призму, сечение которой имеет вид равнобедренного прямоугольного треугольника, перпендикулярно нижней грани падает луч от лазерной указки. Каким должен быть показатель преломления \(n\) материала, из которого сделана призма, чтобы свет от указки вышел из призмы наружу только через эту же грань?
▶ПодсказкаСкрыть
Проследите ход луча: на какие грани он падает и под какими углами? На каждой наклонной грани нужно полное внутреннее отражение.
▶ОтветСкрыть
\(n > \sqrt{2} \approx 1{,}41\).
зад 6 Чупа-чупс в углу
«Чупа-чупс стоял в углу…» За что его поставили, неясно, но стоять ему не очень-то хотелось. Вот он и стал постепенно отставлять свою «ножку» все дальше вдоль биссектрисы того прямого угла между стенками, в который его поставили, а «головой» опираясь о стенки (см. рисунок). При каком угле \(\alpha\) между ножкой и полом чупа-чупс упадет? Считать, что вся его масса сосредоточена в однородной шарообразной «голове» радиусом \(R\), расстояние от центра головы до конца ножки равно \(l\), коэффициент трения головы о стенки угла — \(\mu_1\), а ножки об пол — \(\mu_2\). Решите задачу в общем виде, а затем проведите численный расчет угла \(\alpha\) для случая \(\mu_1 = \mu_2 = 0{,}6\), \(l = 4R\).
▶ПодсказкаСкрыть
Из симметрии силы реакции и трения от двух стенок равны, поэтому их можно заменить суммарными. Запишите условия равенства нулю суммы горизонтальных проекций сил и суммы моментов, при падении силы трения достигают предельных значений.
▶ОтветСкрыть
\(\alpha = \arccos\left(\dfrac{R}{l}\cdot\dfrac{\mu_1\mu_2}{\sqrt{1+\mu_2^2}}\right) - \arccos\dfrac{1}{\sqrt{1+\mu_2^2}} \approx 54{,}6^\circ\).
зад 7 Вода и азот под поршнем
Сосуд объемом \(V = 1\) м\(^3\) разделен на две части легким тонким подвижным теплопроводящим поршнем, по одну сторону от которого находится вода, по другую — азот. График зависимости давления в системе от температуры приведен на рисунке. Сколько молей воды и сколько молей азота находятся в сосуде? Трения нет, универсальная газовая постоянная \(R = 8{,}31\) Дж/(моль\(\cdot\)К).
▶ПодсказкаСкрыть
Три участка графика: вода только жидкая, вода с насыщенным паром, вода только пар. На первом и третьем давление создаётся газами, подчиняющимися закону Менделеева–Клапейрона, а угловые коэффициенты связаны с числом молей.
▶ОтветСкрыть
\(\nu_{\text{азота}} \approx 0{,}97 \pm 0{,}01\) моль, \(\nu_{\text{воды}} \approx 1{,}87 \pm 0{,}02\) моль.
зад 8 Четыре пластины конденсатора
Электрическая емкость плоского конденсатора, состоящего из двух одинаковых параллельных друг другу пластин, находящихся на расстоянии \(d\), равна \(C\). Четыре такие пластины расположили параллельно друг другу на расстоянии \(d\), соединив две внешние пластины тонким проводом. От одной из внутренних пластин отрезали и удалили половину. Какова емкость такой системы проводников, если ее измеряют между указанными на рисунке точками \(A\) и \(B\)?
▶ПодсказкаСкрыть
Каждую пластину можно мысленно «раздвинуть» на две поверхности, а верхнюю пластину — разделить на две половины: получится схема из обычных конденсаторов.
▶ОтветСкрыть
\(C_\Sigma = 6C/7\).
зад 9 Жгут и пружина
Резиновый жгут и пружина в нерастянутом состоянии имеют одинаковые длины. Коэффициент жесткости пружины равен \(k = 4\) Н/м. График зависимости модуля \(f\) силы растяжения жгута от его удлинения \(x\) приведен на рисунке. Пружина и жгут очень легкие. Пружину подвешивают за один из концов к потолку, а к ее второму концу прикрепляют конец жгута (при этом пружина и жгут оказываются соединенными последовательно).
К свободному нижнему концу жгута прикладывают направленную вниз силу с модулем \(F = 0{,}7\) Н. На какую суммарную величину \(X\) растянутся пружина и жгут?
Найдите массу \(m\) груза, который нужно подвесить к свободному нижнему концу жгута, чтобы суммарное удлинение системы в положении равновесия было равно \(L = 20\) см.
Оцените энергию \(E\), которая будет запасена в жгуте при подвешивании к его свободному нижнему концу покоящегося груза найденной выше массой \(m\).
Груз этой массой \(m\), подвешенный к свободному нижнему концу жгута, заставили свободно колебаться с амплитудой \(A = 2\) мм вокруг положения равновесия. Пренебрегая трением, оцените, чему будет равен период таких колебаний груза.
▶ПодсказкаСкрыть
Сила в жгуте и пружине одна и та же, а удлинения складываются. Для груза решайте уравнение \(f(x) = kL - kx\) графически; энергия — площадь под графиком; для малых колебаний возьмите жёсткость жгута как наклон касательной.
▶ОтветСкрыть
1) \(X = 31{,}5\) см; 2) \(m = 40\) г; 3) \(E \approx 18 \pm 2\) мДж; 4) \(T \approx 0{,}84 \pm 0{,}05\) с.
зад 10 Солнечный зайчик
Летом в ясный солнечный день школьник вышел во двор своего дома с прямоугольным зеркальцем в руках. Поймав зеркальцем солнечный свет, он направил зайчик перпендикулярно на неосвещенную стену дома и стал постепенно отходить от нее. Оказалось, что вначале зайчик имел квадратную форму со стороной \(d = 5\) см, а потом его края стали размываться, и он постепенно стал практически круглым, с небольшим размытием по краям. Пренебрегая явлением дифракции, объясните наблюдаемый эффект и оцените, при каком расстоянии \(L\) от стены ширина размытой области на краю зайчика станет менее 10% от диаметра его ярко освещенной круглой части. Размер зеркальца \(5 \times 7\) см, угловой размер Солнца \(\varphi \approx 0{,}01\) радиана.
▶ПодсказкаСкрыть
От каждой точки зеркальца идёт расходящийся конус лучей с углом \(\varphi\). Выразите через \(L\) и \(\varphi\) ширину размытия края и сравните её с размером зеркальца.
▶ОтветСкрыть
\(L > \dfrac{d}{0{,}1\,\varphi} \approx 50\) м.
Источник: Московская олимпиада школьников по физике, 2011/12, заключительный этап, 11 класс — условия (1) · условия (2) · решения (1) · решения (2). Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.