зад 1 Лайнеры и катера
Круизные лайнеры «Первый» и «Второй» плывут равномерно и прямолинейно. Угол между их курсами равен \(\alpha = 60^\circ\), скорость «Первого» \(v_1 = 35\) км/ч, скорость «Второго» \(v_2 = 31{,}6\) км/ч. С лайнера «Первый» с временным интервалом в несколько часов отплывают два катера, которые, двигаясь с постоянной одинаковой скоростью, перпендикулярной курсу «Первого», точно приплывают ко «Второму». Определите скорость \(u\) катера.
▶ПодсказкаСкрыть
Перейдите в систему отсчёта «Первого»: в ней катер движется перпендикулярно курсу, а «Второй» имеет некоторую скорость. Что значит «приплывает точно» для двух катеров, отплывших в разное время?
▶ОтветСкрыть
\(u = \dfrac{v_1 v_2 \sin\alpha}{v_1 - v_2\cos\alpha} \approx 50\) км/ч.
зад 2 Гантель на гладкой поверхности
Гантель, состоящая из двух шариков массами \(m\) и \(2m\) и лёгкого стержня длиной \(L\), поставлена вертикально на гладкую горизонтальную поверхность более массивным шариком вниз. После небольшого толчка нижний шарик гантели начинает двигаться по горизонтальной поверхности, а верхний — двигаться в пространстве. Найдите модули скоростей \(V_1\) и \(V_2\) шариков в зависимости от синуса угла наклона \(\beta\) гантели к горизонту. Ускорение свободного падения равно \(g\).
▶ПодсказкаСкрыть
Горизонтальных внешних сил нет, значит, центр масс гантели движется только по вертикали. Свяжите это с условием нерастяжимости стержня и запишите закон сохранения энергии.
▶ОтветСкрыть
Модуль скорости шарика массой \(m\) равен \(V_1 = \sqrt{\dfrac{2gL(1-\sin\beta)(9-5\sin^2\beta)}{9-3\sin^2\beta}}\), модуль скорости шарика массой \(2m\) равен \(V_2 = \sin\beta\sqrt{\dfrac{2gL(1-\sin\beta)}{9-3\sin^2\beta}}\).
зад 3 КПД цикла из изотерм и изохор
Идеальный газ сначала изотермически расширяют, затем охлаждают при постоянном объёме, пока его температура (в кельвинах) не уменьшится в два раза, после чего газ изотермически сжимают до первоначального объёма и, наконец, завершая циклический процесс, изохорно возвращают в исходное состояние, сообщая такое же количество теплоты, что и при изотермическом расширении. Определите КПД этого цикла.
▶ПодсказкаСкрыть
На изохорах работа не совершается, а на изотермах работа и теплота совпадают. Выразите работы на двух изотермах через температуры и отношение объёмов.
▶ОтветСкрыть
\(\eta = \dfrac{1}{4}\).
зад 4 Сила на заряд в бесконечной системе
Найдите модуль электростатической силы, действующей на точечный заряд \(Q\) в бесконечной системе точечных зарядов, изображённой на рисунке. Все заряды закреплены в вакууме на одной прямой, имеют одинаковый знак, расстояния между соседними зарядами одинаковы и равны \(a\).
▶ПодсказкаСкрыть
Запишите силу от каждого заряда по закону Кулона и заметьте, как меняется величина заряда, делённая на квадрат номера. Получится геометрическая прогрессия.
▶ОтветСкрыть
На заряд \(Q\) действует сила с модулем \(F = \dfrac{5}{18\pi\varepsilon_0}\dfrac{Qq}{a^2}\).
зад 5 Разряд конденсатора на две катушки
Заряженный конденсатор ёмкостью \(C\), электростатическая энергия которого равна \(W\), начинает разряжаться через две соединённые параллельно катушки индуктивностями \(L\) и \(2L\). Какой будет максимальная энергия катушки индуктивностью \(L\) в процессе возникающих колебаний? Сопротивлением электрической цепи пренебречь.
▶ПодсказкаСкрыть
Напряжения на параллельных катушках одинаковы, поэтому токи в них связаны постоянным отношением. Когда энергия катушек максимальна, что происходит с конденсатором?
▶ОтветСкрыть
Максимальная энергия катушки индуктивностью \(L\) в процессе возникающих колебаний равна \(2W/3\).
зад 6 Хула-хуп с проскальзыванием
«Игра с хула-хупом». «Хула-хуп» — это обруч, который девушки крутят на талии, а спортсменки проделывают с ним и другие «фокусы». Например, закручивают его в вертикальной плоскости и толкают от себя по горизонтали, после чего вращающийся обруч, проскальзывая по полу, отъезжает от них на некоторое расстояние и возвращается обратно.
Сформулируем задачу так: обруч радиусом \(R\) в момент толчка (см. рисунок) закручен вокруг горизонтальной оси до угловой скорости \(\omega_0\), и ему придали скорость \(\vec V_0\), направленную вдоль пола перпендикулярно оси вращения. Коэффициент трения обруча об пол равен \(\mu\).
На какое максимальное расстояние в направлении скорости \(\vec V_0\) обруч удалится от начальной точки?
Какова будет его угловая скорость в момент остановки?
С какой скоростью он будет катиться после окончания проскальзывания по полу?
Как связаны \(V_0\) и \(\omega_0\), если проскальзывание прекращается в момент возврата в исходную точку?
▶ПодсказкаСкрыть
Пока есть проскальзывание, сила трения постоянна и направлена против скорости точки касания. Запишите уравнения для движения центра и для вращения; проскальзывание кончается, когда \(V = \omega R\).
▶ОтветСкрыть
1) \(S_{\max} = \dfrac{V_0^2}{2\mu g}\); 2) \(\omega_1 = \omega_0 - V_0/R\), при этом должно быть \(V_0 < \omega_0 R\); 3) \(V_{\text{к}} = \dfrac{\omega_0 R - V_0}{2} > 0\), так как \(V_0 < \omega_0 R\); 4) \(V_0 = \dfrac{\omega_0 R}{3}\).
зад 7 Груз с трением, зависящим от координаты
На длинном горизонтальном столе лежит груз 1 массой \(m\), к которому привязана лёгкая нерастяжимая нить. Эта нить перекинута через установленный на краю стола невесомый блок, который может вращаться без трения, и ко второму концу нити прикреплён такой же груз 2. Сначала груз 1 удерживают неподвижно, так, что груз 2 свободно висит на нити, а затем груз 1 отпускают без начальной скорости. При движении системы на груз 1 действует сила сухого трения, причём коэффициент трения скольжения зависит от координаты \(x\) груза 1 по закону \(\mu(x) = kx\) (координата \(x\) отсчитывается от начального положения груза 1).
Какой путь пройдёт груз 1 после отпускания?
Какую максимальную скорость будут иметь грузы в процессе движения этой системы?
Найдите максимальное значение модуля силы натяжения нити в процессе движения этой системы.
Изобразите график зависимости проекции ускорения груза 1 на направление его движения от координаты \(x\) и график зависимости модуля силы натяжения нити от времени.
▶ПодсказкаСкрыть
Сила трения линейно растёт с координатой, поэтому работу трения можно считать через среднее значение силы. Ускорение системы тоже линейно зависит от \(x\).
▶ОтветСкрыть
1) груз 1 после отпускания пройдёт путь \(x_{\max} = 2x_0 = 2/k\); 2) в процессе движения грузы будут иметь максимальную скорость \(V_{\max} = \sqrt{\dfrac{g}{2k}}\); 3) максимальное значение модуля силы натяжения нити в процессе движения \(T_{\max} = \dfrac{3mg}{2}\); 4) графики зависимостей \(a(x)\) и \(T(t)\) приведены на рисунках 1 и 2.
зад 8 Цикл с адиабатой и изохорами
Над идеальным одноатомным газом совершают циклический процесс 1–2–3–4–1, график которого изображён на \(pV\)-диаграмме. Минимальный объём газа равен \(V_0\), а максимальный — в \(n\) раз больше. Участки 2–3 и 4–1 — изохоры, участок 3–4 — адиабата, а участок 1–2 получен из участка 3–4 сдвигом на отрезок длиной \(p_0\) вверх вдоль оси давления. Определите количества теплоты, полученные или отданные на участках 1–2, 2–3, 4–1, а также КПД этого цикла.
▶ПодсказкаСкрыть
Из-за сдвига кривой вдоль оси давления разность давлений на изохорах одинакова при любом объёме. Используйте это для изохор и для работы на участке 1–2.
▶ОтветСкрыть
\(Q_{41} = 1{,}5\,p_0V_0\); \(Q_{23} = -1{,}5\,np_0V_0\); \(Q_{12} = 2{,}5\,p_0(n-1)V_0\); КПД \(\eta = 1 - \dfrac{1{,}5\,n}{2{,}5(n-1) + 1{,}5}\).
зад 9 Источник с защитой и конденсатор
На рисунке показана вольтамперная характеристика источника напряжения. Если сила тока в подключённой к источнику цепи меньше \(I_0 = 1\) А, то напряжение на клеммах источника равно \(U_0 = 10\) В. Если же сила тока в цепи превышает величину \(I_0\), то в источнике срабатывает защита от перегрузки, и напряжение \(U\) на его клеммах начинает убывать с ростом силы тока \(I\) по линейному закону, пока при силе тока \(2I_0\) (ток короткого замыкания) напряжение \(U\) не обращается в ноль.
К клеммам этого источника подключили цепь, состоящую из последовательно соединённых резистора сопротивлением \(R_0 = 15\) Ом и незаряженного конденсатора. К моменту, когда конденсатор полностью зарядился, в резисторе выделилось количество теплоты \(Q_0 = 12\) мкДж. Затем цепь отсоединили от источника, разрядили конденсатор, заменили резистор на другой с сопротивлением \(R_1 = 5\) Ом, и вновь подключили цепь к клеммам источника.
Чему равна максимальная сила тока, протекающего в цепях с резисторами \(R_0\) и \(R_1\)?
Чему равна ёмкость включённого в цепь конденсатора?
Какое количество теплоты выделится в резисторе \(R_1\) к моменту полной зарядки конденсатора?
▶ПодсказкаСкрыть
В начале зарядки конденсатор не заряжен, так что ток определяется пересечением ВАХ источника с прямой \(U = IR\). Конденсатор в итоге заряжается до \(U_0\) (ток при этом стремится к нулю).
▶ОтветСкрыть
1) максимальная сила тока, протекающего в цепях с резисторами \(R_0\) и \(R_1\), равна \(I_{\max}^{(0)} = \dfrac{U_0}{R_0} = \dfrac{2}{3}\) А и \(I_{\max}^{(1)} = \dfrac{2I_0U_0}{I_0R_1 + U_0} = \dfrac{4}{3}\) А соответственно;
2) ёмкость включённого в цепь конденсатора равна \(C = \dfrac{2Q_0}{U_0^2} = 0{,}24\) мкФ;
3) в резисторе \(R_1\) к моменту полной зарядки конденсатора выделится количество теплоты \(Q_1 = \dfrac{I_0R_1(3U_0 - I_0R_1)}{U_0(U_0 + I_0R_1)}\,Q_0 = \dfrac{5}{6}Q_0 = 10\) мкДж.
зад 10 Муравей в кривом зеркале
Глаз наблюдателя расположен так, что муравей и его изображение в «кривом» (сферическом) зеркале для наблюдателя имеют одинаковые угловые размеры и полностью «накладываются» друг на друга. Наблюдатель отодвинулся от зеркала на расстояние \(L\) вдоль линии, на которой находятся муравей и его изображение, и теперь видит, что угловой размер муравья составляет 75% от углового размера его изображения. Затем наблюдатель отодвинулся в том же направлении ещё на \(L\), и угловой размер изображения стал в 1,5 раза больше углового размера муравья. Во сколько раз изображение муравья больше его самого? Каков радиус кривизны зеркала?
▶ПодсказкаСкрыть
Угловой размер объекта обратно пропорционален расстоянию от глаза до него. Изображение и предмет лежат на одной линии на разных расстояниях от зеркала; увеличение выражается через эти расстояния.
▶ОтветСкрыть
Изображение муравья больше его самого в два раза, радиус кривизны зеркала \(R = 4L/3\).
Источник: Московская олимпиада школьников по физике, 2012/13, заключительный этап, 11 класс — условия (1) · условия (2) · решения (1) · решения (2). Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.