МОШ, 2013/14, отборочный этап, 7-11 класс

Подсказка

Плот движется со скоростью течения. Обозначьте времена движения катера «туда» и «обратно» и сравните расстояние, пройденное катером по течению, с суммой пути плота и пути катера назад.

Ответ

Катер прибыл в Демушкино в 13.00; скорость катера в стоячей воде 8 км/ч, скорость течения реки 2 км/ч. Графики движения катера и плота приведены на рисунке.

Решение

Учитывая, что плот и катер отплыли в одном направлении, изобразим графики движения плота и катера (зависимость расстояния \(x\) до Липовки от времени \(t\)).

Почти все данные для построения данного графика приведены в условии задачи. Неясно только, в какой момент времени катер прибыл в Демушкино. Для ответа на этот вопрос введём обозначения: \(t_1\) — время путешествия катера из Липовки в Демушкино, \(t_2\) — время путешествия от Демушкино до встречи с плотом; \(u\) — скорость течения реки (это скорость плота), \(v\) — скорость катера в стоячей воде. Тогда скорость катера по течению будет равна \(v+u\), а против течения \(v-u\).

Обозначая расстояния на графике, составим уравнение: \[(v+u)t_1 = u(t_1+t_2) + (v-u)t_2,\] из него найдём, что \(t_1 = t_2\). Следовательно, катер прибыл в Демушкино в момент времени точно посередине между 12.00 и 14.00, то есть в 13.00.

Теперь данных вполне достаточно для построения графиков движения (см. ответ). Из графиков найдём скорость плота, равную скорости течения реки (\(4\text{ км}:2\text{ ч} = 2\text{ км/ч}\)), скорости катера по течению (\(10\text{ км}:1\text{ ч} = 10\text{ км/ч}\)) и против течения (\(6\text{ км}:1\text{ ч} = 6\text{ км/ч}\)). Следовательно, скорость катера в стоячей воде составляет 8 км/ч.

Примечание. Свойство \(t_1 = t_2\) также можно установить, перейдя в систему отсчёта, связанную с плотом. В этой системе отсчёта катер сначала отплывает от плота на некоторое расстояние, а затем с той же по величине скоростью приплывает к плоту. Время плавания «туда» равно при этом времени плавания «обратно».

Подсказка

Расстояние между частицами перестаёт расти, когда их скорости сравниваются. Запишите изменения скорости частицы А на двух участках и приравняйте её конечную скорость к скорости частицы В.

Ответ

Графики зависимостей скоростей частиц от времени приведены на рисунке. Направление поля изменилось через 5 секунд после старта.

Решение

Направим ось \(x\) вдоль вектора ускорения свободного падения. Тогда нейтральная частица будет двигаться равноускоренно, а её проекция скорости на ось \(x\) будет линейно зависеть от времени: \(v_x(t) = gt\). График зависимости \(v_x\) от \(t\) для этой частицы является прямой линией.

На заряженную частицу (масса \(m\), заряд \(q\)) будут действовать силы тяжести \(mg\) и электрическая сила \(qE_x\). Её ускорение будет определяться из второго закона Ньютона \(ma_x = mg + qE_x\); оно равно \(a_x = g + qE_x/m\).

Предполагая, что в начальный момент времени \(qE_x > 0\), построим график зависимости \(v_x\) от \(t\) для данной частицы. Сначала частица движется с положительным ускорением \(a_x = a + g\), где \(a = qE/m\), затем — с отрицательным ускорением \(a_x = -(a-g)\).

Отметим, что расстояние между частицами начинает уменьшаться, когда относительная скорость частиц обращается в нуль. Поэтому графики \(v_x(t)\) для заряженной и нейтральной частиц приходят в одну точку.

Из условия задачи неясен момент изменения направления напряжённости электрического поля. Поэтому обозначим через \(t_1\) продолжительность движения заряженной частицы до данного изменения, через \(t_2\) — после изменения.

Обозначая на графике изменения скоростей частиц на разных участках, составим уравнение: \((a+g)t_1 = g(t_1+t_2) + (a-g)t_2\); из него получим \(t_1 = t_2\). Таким образом, изменение направления напряжённости электрического поля произошло точно посередине между начальным и конечным моментами времени, то есть через 5 секунд после старта.

Теперь полученных данных достаточно для построения графика (см. ответ).

Отметим, что в задаче возможен и второй случай, когда \(qE_x < 0\). В этом случае графики зависимости \(v_x(t)\) для частиц изображены на рисунке; вывод об изменении направления напряжённости поля в момент времени 5 секунд остаётся в силе.

Подсказка

Запишите три условия как неравенства для масс кубика и шарика и отметьте на плоскости (масса кубика, масса шарика) область, где выполняются все три сразу.

Ответ

Масса шарика может лежать в промежутке от 100 г до 500 г, масса кубика — от 200 г до 400 г.

Решение

Обозначим через \(K\) массу кубика в граммах, через \(Ш\) — массу шарика в граммах. Условие задачи можно записать в виде системы неравенств: \[K + 100 > Ш, \qquad K + Ш > 500, \qquad K + 100 < 500.\] Изобразим эти неравенства на графике в виде закрашенных областей, откладывая по одной оси массу кубика (в граммах), а по другой — массу шарика (в граммах).

Поскольку должны выполняться все три условия, возьмём пересечение этих областей:

Приходим к ответу.

Подсказка

Запишите условия как три неравенства для масс кубика и шарика, изобразите их область на плоскости и найдите крайние точки получившегося многоугольника.

Ответ

Масса шарика может лежать в промежутке от 100 г до 400 г, масса кубика — от 200 г до 600 г.

Решение

Обозначим через \(K\) массу кубика в граммах, через \(Ш\) — массу шарика в граммах. Условие задачи можно записать в виде системы неравенств: \[2Ш > K, \qquad K > Ш + 100, \qquad K + Ш + 100 < 1000.\] Изобразим эту систему неравенств на графике в виде закрашенной области, откладывая по одной оси массу кубика (в граммах), а по другой — массу шарика (в граммах).

Приходим к ответу.

Подсказка

Температура смеси двух порций воды определяется из уравнения теплового баланса. Запишите условия двух опытов как неравенства для \(t_A\) и \(t_B\) и изобразите их область на плоскости \((t_A, t_B)\).

Ответ

Температура в калориметре Алисы может быть в интервале от \(25\,{}^\circ\text{C}\) до \(100\,{}^\circ\text{C}\), температура в калориметре Василисы — в интервале от \(50\,{}^\circ\text{C}\) до \(100\,{}^\circ\text{C}\). Температура в калориметре Василисы выше, чем температура в калориметре Алисы; модуль разности температур может быть в промежутке от \(0\,{}^\circ\text{C}\) до \(50\,{}^\circ\text{C}\).

Решение

В решении используется формула для температуры смеси \(t_c\) порции воды массы \(m_1\) и температуры \(t_1\) с порцией воды массы \(m_2\) и температуры \(t_2\). Эту формулу можно получить из уравнения теплового баланса. Первая порция воды (удельная теплоёмкость \(c\)) получает количество теплоты \(cm_1(t_c - t_1)\), вторая — количество теплоты \(cm_2(t_c - t_2)\), сумма этих количеств теплоты равна нулю: \(cm_1(t_c - t_1) + cm_2(t_c - t_2) = 0\) и \[t_c = \frac{m_1 t_1 + m_2 t_2}{m_1 + m_2}.\] Обозначая через \(t_A\) температуру в калориметре Алисы (в градусах Цельсия), а через \(t_B\) — температуру в калориметре Василисы (в градусах Цельсия) и используя формулу для температуры смеси, запишем условие задачи в виде неравенств: \[\frac{t_B + 0}{2} < t_A, \qquad \frac{2t_A + 100}{3} < t_B.\] Изобразим эту систему неравенств на графике в виде закрашенной области, откладывая по одной оси \(t_A\), а по другой — \(t_B\).

Из данного графика находим границы возможных температур в каждом из калориметров (см. ответ). Из графика также вытекает, что область возможных значений температур располагается в полосе \(-50 < t_A - t_B < 0\) (между прямыми \(t_A - t_B = -50\) и \(t_A - t_B = 0\)).

Подсказка

Где график идёт прямо, площадь сечения сосуда постоянна; изломы показывают, как она меняется с высотой. Что означает горизонтальный участок, где вода прибывает, а уровень не растёт?

Ответ

Возможная форма сосуда изображена на рисунке.

Решение

Поскольку в начале высота уровня воды пропорциональна объёму налитой воды, площадь сечения сосуда внизу может быть постоянной. Начиная с высоты 3 дм, площадь сечения сосуда увеличивается в два раза. На высоте 4 дм в сосуде должно располагаться отверстие, через которое может выливаться 2 литра воды. Выше отверстия площадь поперечного сечения сосуда может быть такой же, как и внизу. Приходим к ответу.

Подсказка

Выделите три стадии: сначала вода целиком намерзает на льдинку, потом лёд начинает таять, потом весь лёд растаял. Каким должен быть наклон графика на каждой стадии?

Ответ

График зависимости \(m_1\) от \(m_2\) изображён на рисунке.

Максимальное значение \(m_1\), равное 4,5 кг, достигается при \(m_2 = 0{,}5\text{ кг}\). Масса \(m_1\) обращается в нуль, когда \(m_2\) не меньше 5 кг. Начальная температура воды \(80\,{}^\circ\text{C}\), льда \(-40\,{}^\circ\text{C}\).

Решение

Когда количество наливаемой воды является небольшим, она вся намораживается на льдинку. На данном этапе масса \(m_1\) складывается из начальной массы \(m_0 = 4\text{ кг}\) и массы \(m_2\): \(m_1 = m_0 + m_2\). Изобразим эту зависимость на графике:

Когда температура образовавшейся льдинки станет равна \(0\,{}^\circ\text{C}\), льдинка начнёт таять. При добавлении воды (удельная теплоёмкость \(c\)) массой \(\Delta m_2\) при температуре \(t_\text{в}\) (в градусах Цельсия) льдинка (удельная теплота плавления \(\lambda\)) будет получать количество теплоты \(c\,\Delta m_2 \cdot t_\text{в}\), и лёд массой \(c\,\Delta m_2 \cdot t_\text{в}/\lambda\) превратится в воду. Поэтому на втором участке график зависимости \(m_1\) от \(m_2\) будет прямой с отрицательным угловым коэффициентом \[\frac{\Delta m_1}{\Delta m_2} = -\frac{c\,t_\text{в}}{\lambda}.\] Наконец, на третьем этапе весь лёд расплавится, и график будет совпадать с прямой \(m_1 = 0\).

Таким образом, искомый график является ломаной линией, состоящей из отрезка прямой с угловым коэффициентом, равным единице; отрезка прямой с отрицательным угловым коэффициентом и горизонтальной линии \(m_1 = 0\). Учитывая две экспериментальные точки, приходим к окончательному графику (см. ответ).

Из графика видно, что максимальное значение \(m_1\) достигается при \(m_2 = 0{,}5\text{ кг}\). Это максимальное значение равно 4,5 кг. Масса \(m_1\) обращается в нуль, когда \(m_2\) не меньше 5 кг.

Температуру воды найдём из формулы для углового коэффициента на втором участке: по графику угловой коэффициент прямой равен \(-1\), отсюда \(t_\text{в} = 80\,{}^\circ\text{C}\).

Найдём начальную температуру льдинки. При охлаждении и замерзании воды массой \(m_2 = 0{,}5\text{ кг}\) выделяется количество теплоты \((c\,t_\text{в} + \lambda)m_2\). Оно идёт на нагревание льдинки массой \(m_0 = 4\text{ кг}\) и удельной теплоёмкостью \(c_\text{л}\) на \(\Delta t = m_2(c\,t_\text{в} + \lambda)/(c_\text{л} m_0) = 40\,{}^\circ\text{C}\). Поскольку именно при данном значении \(m_2\) льдинка нагревается до \(0\,{}^\circ\text{C}\), начальная температура льдинки равна \(-40\,{}^\circ\text{C}\).

Подсказка

Пока в цилиндре есть жидкая вода, пар насыщенный и его плотность постоянна. Как тогда \(m_1\) зависит от \(V\)? Что происходит, когда вся вода испарилась?

Ответ

График зависимости \(m_1\) от \(V\) изображён на рисунке.

Общая масса воды составляет 40 г, плотность насыщенного водяного пара \(10\text{ г/м}^3\).

Решение

Когда в сосуде имеется вода в жидком состоянии, водяной пар в этом сосуде является насыщенным, с плотностью \(\rho\). Следовательно, масса воды в газообразном состоянии равна \(\rho V\). Обозначая общую массу воды через \(m_0\), находим массу воды в жидком состоянии в зависимости от объёма: \(m_1 = m_0 - \rho V\). Эта зависимость является линейной (см. график в ответе). Начиная с некоторого значения объёма, воды в жидком состоянии не будет.

Как вытекает из графика, общая масса воды составляет 40 г. При объёме \(4\text{ м}^3\) она вся оказывается в газообразном состоянии, и водяной пар ещё остаётся насыщенным. Следовательно, плотность насыщенного водяного пара \(40\text{ г}:4\text{ м}^3 = 10\text{ г/м}^3\).

Подсказка

При последовательном соединении сопротивления складываются, а при параллельном соединении \(n\) одинаковых резисторов сопротивление уменьшается в \(n\) раз. Попробуйте набрать 1,7 кОм из долей: целое, половина, пятая часть.

Ответ

Возможная схема электрической цепи, сопротивление которой точно равно 1,7 кОм, изображена на рисунке.

Подсказка

Топливо нужно не только для груза, но и для самого оставшегося топлива. Рассмотрите разгон по ступеням в 1 км/с с конца: последняя ступень разгоняет только полезную нагрузку.

Ответ

Для разгона корабля массой 2 т до 1 км/с потребуется 2 т топлива. Для разгона корабля массой 1 т до \(n\) км/с требуется \((2^n - 1)\) т топлива. В частности, для разгона корабля массой 1 т до 3 км/с требуется 7 т топлива. Чтобы разогнать корабль массой 1 т до 1 км/с и затем затормозить, требуется 3 т топлива.

Решение

Разогнать космический корабль массой 2 т до 1 км/с — всё равно, что разогнать два космических корабля массой 1 т до 1 км/с. Поэтому потребуется 2 т топлива.

Перейдём теперь к более сложному вопросу разгона корабля массой 1 т до \(n\) км/с. Если речь идёт о разгоне со скорости \((n-1)\) км/с до скорости \(n\) км/с (на 1 км/с), потребуется 1 т топлива. Но разгонять от скорости \((n-2)\) км/c до скорости \((n-1)\) км/с надо будет уже 2 т (1 т полезной нагрузки и 1 т топлива) — поэтому потребуется 2 т горючего. Учтём топливо, требуемое для разгона корабля на различных этапах в таблице:

Как видно из таблицы, начальная масса корабля с топливом составляет \(2^n\) т, из них 1 т полезной нагрузки и \((2^n - 1)\) т топлива.

Чтобы разогнать корабль до 1 км/с и потом затормозить, требуется столько же топлива, сколько для разгона до 2 км/с (два раза надо сообщить скорость 1 км/с) — это 3 т.

Подсказка

Заряд, проходящий через резистор, пропорционален заряду на конденсаторе. Какая доля заряда остаётся на конденсаторе после каждой секунды?

Ответ

За две секунды через резистор пройдёт электрический заряд 0,36 мКл, за три секунды — 0,488 мКл, за \(n\) секунд — \((1 - 0{,}8^n)\) мКл.

Решение

Проходящий через резистор электрический заряд пропорционален заряду на конденсаторе. Из условия задачи вытекает, что конденсатор, заряженный до заряда \(q\), за секунду уменьшит свой заряд на \(0{,}2q\) — останется заряд \(0{,}8q\). Таким образом, каждую секунду заряд конденсатора изменяется в 0,8 раз.

Спустя \(n\) секунд заряд на конденсаторе станет равен \(0{,}8^n\) мКл; следовательно, через резистор пройдёт заряд \((1 - 0{,}8^n)\) мКл. Подставляя значения \(n = 2\) и \(n = 3\), получаем ответы в частных случаях.

Подсказка

Каждый светофильтр пропускает одну и ту же долю энергии, которая к нему пришла. Найдите долю, прошедшую через всю стопку, и вычтите её из единицы.

Ответ

Стопка из двух светофильтров поглощает долю энергии 0,36, стопка из трёх светофильтров — 0,488, из \(n\) светофильтров — \((1 - 0{,}8^n)\).

Решение

По условию, светофильтр пропускает 0,8 от падающей энергии. Следовательно, стопка из \(n\) светофильтров пропускает долю \(0{,}8^n\) от падающей энергии и поглощает долю \((1 - 0{,}8^n)\). Подставляя значения \(n = 2\) и \(n = 3\), получаем ответы в частных случаях.

Подсказка

За каждый год распадается одна и та же доля имеющегося вещества, а не одно и то же количество. Во сколько раз уменьшается масса нераспавшегося вещества за год?

Ответ

За два года распадётся 1,75 г, за три года 2,3125 г, за \(n\) лет \(4\,(1 - (3/4)^n)\) г.

Решение

По условию, за год распадается \(1/4\) радиоактивного вещества. Поэтому количество радиоактивного вещества каждый год изменяется в \(3/4\) раза. За \(n\) лет количество радиоактивного вещества изменится в \((3/4)^n\) раз и составит \((3/4)^n \cdot 4\) г. Распадётся \(4\,(1 - (3/4)^n)\) г. Подставляя значения \(n = 2\) и \(n = 3\), получаем ответы в частных случаях.