МОШ, 2013/14, заключительный этап, 10 класс

По горизонтальной плоскости скользит квадратная пластинка \(ABCD\). В некоторый момент времени вершина \(A\) пластинки движется со скоростью \(\vec V_A\), равной по модулю 5 м/с, а соседняя вершина \(B\) — со скоростью \(\vec V_B\), равной по модулю 1 м/с. При этом скорость \(\vec V_O\) точки \(O\) — центра пластинки — направлена перпендикулярно прямой \(BD\), являющейся диагональю квадрата. Найдите проекцию скорости \(\vec V_O\) на направление \(AC\) в данный момент времени.

Магнит массой \(m\) притягивается снизу к плоской металлической плите, образующей угол \(\alpha\) с вертикалью, с постоянной силой \(F = kmg\), где \(k\) — известный коэффициент (\(k > 1\)). Коэффициент трения между магнитом и плитой равен \(\mu\). Найдите модуль ускорения магнита.

Есть гипотеза, согласно которой размеры насекомых ограничены тем, что они потребляют воздух трахеальными трубками, выходящими на поверхность тела (то есть их воздухозабор пропорционален площади поверхности тела). Расход же кислорода, в свою очередь, пропорционален массе тела. Таким образом, можно прийти к выводу, что при увеличении насекомого в длину, высоту и ширину в одинаковое число раз, можно добиться того, что оно начнет «задыхаться» от недостатка кислорода.

Известно, что в карбоновом (каменноугольном) геологическом периоде размах крыльев стрекозы меганевры достигал 65 см. По предположениям учёных, это было возможно потому, что концентрация кислорода в атмосфере тогда составляла 35%, а не 21%, как сейчас (при той же плотности воздуха). Считая, что для времён карбона это был максимально возможный размер, оцените максимально возможный размах крыльев современной стрекозы. Сейчас стрекозы имеют примерно ту же плотность и пропорции тела, что и стрекоза периода карбона, и требуют на единицу массы не меньшее количество кислорода.

В сосуде с не проводящими теплоту стенками под лёгким поршнем при атмосферном давлении \(p = 10^5\) Па находится \(m = 1{,}1\) г жидкой сверхтяжёлой воды \(\mathrm{T_2O}\) (молярная масса \(\mu = 22\) г/моль) при температуре \(T_1 = 0\ {}^\circ\)C. Ядра трития (обозначаются T, имеют атомную массу 3), входящие в состав сверхтяжёлой воды, радиоактивны. При распаде одного моля ядер трития выделяется энергия \(E = 1{,}79\) ГДж, при этом каждую секунду в каждом моле трития распадается \(N = 1{,}07\cdot 10^{15}\) его ядер. Молярная изобарная теплоёмкость сверхтяжёлой воды и её пара почти такие же, как и у обычной воды (\(C_\text{в} = 75{,}6\) Дж/(моль\(\cdot\)К) и \(C_\text{п} = 33{,}2\) Дж/(моль\(\cdot\)К), соответственно). Температура кипения при нормальном давлении и молярная теплота испарения тоже близки к соответствующим значениям для обычной воды (\(T_2 = 100\ {}^\circ\)C и \(L = 40\) кДж/моль). Сколько времени \(\tau_1\) потребуется, чтобы довести воду до кипения? В течение какого времени \(\tau_2\) вода будет кипеть? До какой температуры \(T_3\) нагреется содержимое сосуда через время \(\tau_3 = 2{,}5\) часа после начала эксперимента? Каким будет объём \(V\) сосуда к данному моменту времени? Считайте, что вся энергия, выделяющаяся при распаде трития, сообщается воде. Постоянная Авогадро \(N_A = 6\cdot 10^{23}\) моль\(^{-1}\), универсальная газовая постоянная \(R = 8{,}3\) Дж/(моль\(\cdot\)К).

Участок \(AB\) электрической цепи состоит из одинаковых резисторов с одинаковыми сопротивлениями \(R\). Найдите общее сопротивление участка \(AB\).

В спортивном зале высотой \(h\) бросают маленький мяч с начальной скоростью \(V_0\). Определите, какое максимальное расстояние по горизонтали может пролететь мяч после бросания до первого удара о пол, если соударение с потолком абсолютно упругое. Считайте, что мяч бросают с уровня пола. Пол и потолок горизонтальны, сопротивление воздуха пренебрежимо мало.

На рисунке показан график зависимости модуля силы \(F\) растяжения пружины от её удлинения \(x\) (при больших деформациях пружина не подчиняется закону Гука). Пружину прикрепляют одним концом к потолку. К другому концу пружины, не деформируя её, аккуратно подвешивают груз массой \(m = 650\) г, после чего отпускают груз без начальной скорости. Оцените, на какую максимальную длину растянется пружина? Трением и массой пружины пренебречь, ускорение свободного падения принять равным \(g = 10\) м/с\(^2\).

В комнате с температурой воздуха \(t_\text{к} = 25\ {}^\circ\)C находится батарея аккумуляторов с суммарной ЭДС \(U = 200\) В и суммарным внутренним сопротивлением \(r = 20\) Ом. Выводы батареи подсоединены к электрической розетке. Изначально в эту розетку был включен кипятильник номер 1 с сопротивлением \(R = 200\) Ом, опущенный в стакан с холодной водой, которую он смог прогреть только до температуры \(t_1 = 50\ {}^\circ\)C. Потом кипятильник вынули из розетки и вставили в неё разветвитель питания (так называемый «тройник»). К первым двум его выходам подключили кипятильники номер 1 и номер 2 (такой же, как кипятильник 1), а к третьему — кипятильник номер 3, той же формы, изготовленный из тех же материалов, но все размеры которого в \(n = 2\) раза меньше, чем у кипятильника номер 1. Эти кипятильники положили в стаканы с холодной водой: кипятильники 1 и 3 — в такие же, что и изначально, а кипятильник 2 — в стакан, все размеры которого в \(n\) раз меньше, чем у исходного стакана. До каких температур \(t_2\) и \(t_3\), соответственно, нагреется за длительное время вода в стаканах, в которые помещены кипятильники 2 и 3? Мощность тепловых потерь через единицу площади поверхности считайте пропорциональной разности температур.

Знайка решил провести исследования Гей-Люссака для идеального газа, только более аккуратно. Для этих целей он взял цилиндрический сосуд большого объёма с поршнем, который мог двигаться практически без трения, вынул поршень, и охладил их до температуры 200 К. Затем он вставил поршень обратно в сосуд так, что внутри оказался охлаждённый до той же температуры воздух, обеспечил постоянное давление, и провёл измерения зависимости объёма \(V\) газа в сосуде от температуры \(T\). По полученным результатам Знайка построил график (см. рисунок). Найденная зависимость мало напоминала результаты, полученные Гей-Люссаком. Знайка понял свою ошибку. Он вставил поршень в цилиндр при температуре 200 К и, очевидно, на дне сосуда при этом оказалось некоторое количество льда, который образовался из воды, сконденсировавшейся при охлаждении воздуха. Оцените массу льда, который оказался в цилиндре у Знайки, если давление в течение опыта было равно \(2\cdot 10^5\) Па. Молярная масса воды 18 г/моль.

В цепи, схема которой изображена на рисунке, по очереди замыкают ключи \(K_1\) – \(K_5\), выжидая каждый раз достаточно длительное время до окончания процессов зарядки конденсаторов. Во сколько раз отличаются количества теплоты, выделившиеся в резисторе \(R\) после замыкания ключа \(K_1\) и ключа \(K_5\)? До его замыкания все остальные ключи уже были замкнуты. Сопротивления всех проводов и источника тока пренебрежимо малы.

Источник: Московская олимпиада школьников по физике, 2013/14, заключительный этап, 10 класс — условия (1) · условия (2) · решения (1) · решения (2). Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.