МОШ, 2013/14, заключительный этап, 9 класс

Считается, что минимальное безопасное расстояние между автомобилями (минимальная дистанция) может быть рассчитана по формуле «половина скорости в метрах». Например, при движении со скоростью 60 км/ч минимальная безопасная дистанция будет равна 30 м, а при движении со скоростью 90 км/ч она составит 45 м.

Два одинаковых автомобиля движутся по прямой дороге один за другим с одинаковыми скоростями, причем дистанция между ними в точности минимальная безопасная. Допустим, что первый из автомобилей начал сбрасывать скорость, и через некоторое время остановился. Водитель второго автомобиля среагировал на это спустя некоторое время \(t\) и точно так же начал сбрасывать скорость до полной остановки. Но если бы второй водитель не среагировал достаточно быстро, то автомобили столкнулись бы. Найдите максимальное время реакции водителя \(t\), при котором формула «половина скорости в метрах» гарантирует, что автомобили не столкнутся.

С ветки дерева, расположенной на высоте \(H = 5\) м, с интервалом \(\tau = 0{,}5\) с отрываются капли воды и падают на тротуар. С какой минимальной скоростью \(V\) должен идти худой пешеход, чтобы, не замочившись, проскочить опасное место? Считать, что рост пешехода \(h = 180\) см, диаметр его шляпы \(D = 30\) см, ширина шага \(L = 60\) см, ботинки в крайних положениях по горизонтали выступают из-под шляпы симметричным образом, ускорение свободного падения \(g = 10\) м/с\(^2\). Сопротивлением воздуха пренебречь, ботинки считать точечными!

В сосуде с водой плавает куб массой \(m = 2048\) г, он прикреплен ко дну пружиной, другой конец которой прицеплен к центру нижней грани куба. Вначале пружина находится в недеформированном состоянии, а ровно половина куба выступает над водой, причем четыре его ребра вертикальны. Прошел дождь, и уровень воды в сосуде вырос на \(h = 20{,}48\) см, а вода оказалась как раз на уровне верхней поверхности куба. Определите удлинение \(\Delta l\) пружины и силу упругости \(F_{\text{упр}}\), с которой пружина воздействует на куб. Считайте, что плотность воды \(\rho_{\text{в}} = 1\) г/см\(^3\), а ускорение свободного падения \(g = 10\) м/с\(^2\).

Проточный нагреватель воды состоит из трубы длиной \(L = 8\) м, поперечное сечение которой представляет собой прямоугольник размерами \(a \times d\). Стенки размерами \(L \times a\) сделаны из металла, а размерами \(L \times d\) — из диэлектрика. Нагрев воды осуществляется электрическим током, для чего к металлическим стенкам прикладывается постоянное напряжение \(U\). Определите, каким должно быть это напряжение для того, чтобы устройство обеспечивало нагрев \(q = 600\) литров воды в час от \(10\,^\circ\)С до \(35\,^\circ\)C, если \(a = 40\) см, \(d = 2\) см. Используемая в нагревателе вода имеет следующие характеристики: плотность \(\rho = 10^3\) кг/м\(^3\), удельная теплоемкость \(c = 4{,}2\cdot 10^3\) Дж/(кг\(\cdot^\circ\)С), удельное сопротивление \(\lambda = 10\) Ом\(\cdot\)м. Теплоемкостью трубы и потерями теплоты пренебречь.

Геодезическая ракета стартует по вертикали и движется с ускорением \(a = 50\) м/с\(^2\). Через некоторое время происходит отсечка (прекращение работы) двигателя. Звук на земле в точке старта перестал быть слышен спустя время \(\tau = 1\) мин \(55{,}5\) с после старта. Какую скорость \(V\) приобрел установленный на ракете исследовательский зонд к моменту отключения двигателя? На какую максимальную высоту \(H\) он поднимется? Скорость звука принять равной \(c = 330\) м/с, ускорение свободного падения \(g = 10\) м/с\(^2\). Сопротивлением воздуха и изменением величины \(g\) с высотой пренебречь.

Успешный бизнесмен Иван Михайлович решил порадовать свое подрастающее чадо поездкой на Новый год в теплые страны, куда полет на самолете занимал долгие 8 часов. Пока самолет набирал высоту, папа рассказывал сыну,

что расход топлива их самолета при взлете равен 14040 кг/ч, и эта величина больше, чем при полете на неизменной высоте с постоянной скоростью;

что КПД двигателей на взлете составляет примерно 12%;

что самолет оснащен четырьмя двигателями с силой тяги по 127,4 кН каждый;

что масса полностью загруженного и заправленного самолета равна 208 тоннам;

и, наконец, что удельная теплота сгорания авиационного топлива равна 43 МДж/кг.

Повествование прервалось сообщением пилота о том, что самолет движется на высоте 8230 м со скоростью 936 км/ч. Уставший Иван Михайлович заключил: «А теперь, сынок, чтобы не расслабляться от учебы раньше времени и не скучать, выбери необходимые данные из тех, которые я тебе сообщил, и посчитай, сколько секунд продолжался набор высоты самолета». Помогите сыну Ивана Михайловича справиться с заданием папы.

Уменьшением массы самолета за время взлета можно пренебречь. Ускорение свободного падения принять равным \(g = 10\) м/с\(^2\).

У джентльмена дома стоит большой медный кувшин массой \(M_0 = 500\) кг и внутренним объемом \(V = 1\) м\(^3\). Джентльмен снял с края крыши сосульки, уже начавшие таять, положил их в кувшин, подождал, пока кувшин охладится до \(0\,^\circ\)С, и наполнил его до краев кипятком температурой \(100\,^\circ\)C. Через некоторое время уровень воды в кувшине опустился, и джентльмен влил в него ещё 40 л кипятка, снова наполнив кувшин до краёв. После этого уровень воды в кувшине уже не менялся. Определите установившуюся в кувшине температуру. Температура в комнате \(20\,^\circ\)С. Теплообменом кувшина с окружающей средой можно пренебречь. Плотность воды \(\rho_{\text{в}} = 1000\) кг/м\(^3\), плотность льда \(\rho_{\text{л}} = 900\) кг/м\(^3\); удельные теплоемкости воды и меди составляют \(c_{\text{в}} = 4200\) Дж/(кг\(\cdot^\circ\)С) и \(c_{\text{м}} = 385\) Дж/(кг\(\cdot^\circ\)С) соответственно, удельная теплота плавления льда \(\lambda = 335\) кДж/кг.

Два одинаковых вольтметра соединили параллельно, третий вольтметр подключили к этой комбинации последовательно, и к концам получившейся цепи присоединили идеальную батарейку. При этом вольтметры показывают 4 В, 4 В и 5 В. Какое напряжение у батарейки? Могут ли быть одинаковыми все три вольтметра? Что покажут эти же приборы, если их все соединить последовательно и подключить к той же батарейке? Показания приборов считайте точными.

Источник: Московская олимпиада школьников по физике, 2013/14, заключительный этап, 9 класс — условия (1) · условия (2) · решения (1) · решения (2). Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.