МОШ, 2014/15, отборочный этап, 10 класс

Подсказка

Найдите, какая наибольшая масса льда из холодильника ещё полностью тает в сосуде с водой. Тогда оба опыта превратятся в неравенства для масс шарика и кубика.

Ответ

Отношение массы шарика к массе кубика может быть от \(1\) до \(3\).

Решение

Пусть \(C\) — общая теплоёмкость воды и сосуда, \(c_\text{л}\) — удельная теплоёмкость льда, \(\lambda\) — удельная теплота плавления льда, \(t_\text{к}\) — комнатная температура, \(t_\text{х}\) — температура в холодильнике. Исследуем, в каком случае льдинка массой \(m\), взятая из холодильника, при погружении в сосуд полностью растает. Количество теплоты, выделяющееся при охлаждении воды и сосуда до \(0\,^\circ\)C, составляет \(Ct_\text{к}\). Его должно хватить на нагревание льдинки до \(0\,^\circ\)C (требуемое количество теплоты \(c_\text{л}m|t_\text{х}|\)) и на её плавление (требуется количество теплоты \(\lambda m\)). Следовательно, льдинка растает полностью при \[Ct_\text{к} > c_\text{л}m|t_\text{х}| + \lambda m, \quad\text{или при}\quad m < \frac{Ct_\text{к}}{c_\text{л}|t_\text{х}| + \lambda}.\] По условию задачи, \[m_\text{ш} + 3m_\text{к} < \frac{Ct_\text{к}}{c_\text{л}|t_\text{х}| + \lambda} < m_\text{ш} + 4m_\text{к}, \qquad m_\text{к} + 2m_\text{ш} < \frac{Ct_\text{к}}{c_\text{л}|t_\text{х}| + \lambda} < m_\text{к} + 3m_\text{ш}.\] Обозначая \[M = \frac{Ct_\text{к}}{c_\text{л}|t_\text{х}| + \lambda} - m_\text{ш} - m_\text{к},\] получаем \(2m_\text{к} < M < 3m_\text{к}\) и \(m_\text{ш} < M < 2m_\text{ш}\). Это то же самое, что условие задачи о гире неизвестной массы \(M\) и кубиках с шариками (задача 3а): из первого неравенства \(\tfrac13 M < m_\text{к} < \tfrac12 M\), из второго \(\tfrac12 M < m_\text{ш} < M\). Следовательно, \[1 < \frac{m_\text{ш}}{m_\text{к}} < 3 .\]

Подсказка

Тень от предмета П получится, если лучи расходятся из некоторой точки за зеркалом. Где должна находиться эта точка по отношению к источнику И и зеркалу?

Ответ

Зеркало минимального размера изображено на рисунке.

Решение

Чтобы предмет П отбрасывал тень Т, продолжения лучей света должны выходить из точки \(И_1\). Эта точка \(И_1\) должна являться изображением источника света И в зеркале. Отсюда однозначно определяем положение плоскости зеркала. Учитывая, что лучи света должны обязательно освещать концы стены, находим минимально возможный размер зеркала.

Подсказка

Пока груз в воздухе, длина пружины постоянна. Когда уровень воды дойдёт до нижней грани куба, начнёт действовать сила Архимеда, зависящая от глубины погружения; найдите объём воды, при котором уровень достигнет нижней и верхней граней груза.

Ответ

График состоит из горизонтальной линии \(l = 20\) см при \(V < 30\) л (груз в воздухе), наклонного участка, соединяющего точки \((20\text{ см};\,30\text{ л})\) и \((10\text{ см};\,49\text{ л})\) (груз при \(V\) от 30 л до 49 л частично погружён в воду), горизонтальной линии \(l = 10\) см при \(V > 49\) л (груз полностью в воде).

Подсказка

Чтобы одна лампочка горела в полный накал, а три — в треть, нужна цепь, в которой при любом положении ключей напряжение делится между одной лампочкой и группой из трёх последовательно соединённых.

Ответ

Возможная схема электрической цепи, удовлетворяющая всем заявленным требованиям, представлена на рисунке.

Подсказка

Выразите высоту подъёма через начальную скорость и запишите, какие ограничения на начальную скорость дают два момента времени из условия.

Ответ

Тело в верхней точке траектории могло находиться на высоте от 20 м до 45 м.

Решение

Введём обозначения: \(t_1 = 2\) с, \(t_2 = 6\) с, \(g = 10\) м/с\(^2\). Пусть \(v_0\) — начальная скорость тела.

В момент времени \(t_1\) вертикальная проекция скорости тела \(v_0 - gt_1\) положительна, отсюда \(v_0 > gt_1\). Промежуток времени \(t_2\) должен быть больше, чем время полёта тела \(2v_0/g\). Следовательно, \(v_0 < gt_2/2\).

Поскольку высота тела, брошенного вверх со скоростью \(v_0\), в верхней точке траектории равна \(H = v_0^2/(2g)\), получаем: \(gt_1^2/2 < H < gt_2^2/8\). Подстановка числовых значений даёт \(20\text{ м} < H < 45\text{ м}\).

Подсказка

Запишите правило моментов относительно края стола в обоих опытах; во втором опыте на груз вместо \(mg\) действует сила, уменьшенная на силу Архимеда.

Ответ

Отношение массы груза к массе линейки равно \(1\), отношение плотности груза к плотности воды равно \(3/2\) (плотность груза 1500 кг/м\(^3\)).

Решение

Пусть \(L = 40\) см — длина линейки, \(a = 10\) см, \(b = 15\) см — длины выступающей части линейки в двух опытах, \(m\) — масса груза, \(M\) — масса линейки, \(\rho_0 = 1000\) кг/м\(^3\) — плотность воды, \(\rho\) — плотность грузика.

Пусть длина выступающей части линейки равна \(a\). К линейке приложены силы \(mg\) — на расстоянии \(a\) от оси вращения и \(Mg\) на расстоянии \(L/2 - a\) от оси вращения. Поскольку линейка находится в равновесии, на основе правила рычага получим: \(mga = Mg(L/2 - a)\) и \(M/m = a/(L/2 - a) = 1\).

Пусть длина выступающей части линейки равна \(b\). К концу линейки приложена сила \(F\), равная разности силы тяжести \(mg\), действующей на груз, и силы Архимеда \(\rho_0 g \cdot m/\rho\): \(F = mg(1 - \rho_0/\rho)\). К середине линейки, на расстоянии \(L/2 - b\) от оси вращения, приложена сила \(Mg\). По правилу рычага, \(Fb = Mg(L/2 - b)\). Отсюда \[mg\left(1 - \frac{\rho_0}{\rho}\right)b = Mg\left(\frac{L}{2} - b\right)\] и \[\frac{\rho_0}{\rho} = 1 - \frac{M}{m}\cdot\frac{L/2 - b}{b} = \frac{2}{3}.\]

Подсказка

Всё излучение, падающее на площадь кольца, собирается в одной точке. Найдите мощность, а затем энергию за секунду и сравните её с теплотой на 1 кг воды.

Ответ

За секунду в пар превращается 92 г воды.

Решение

Обозначим через \(Q_0 = 2300\) кДж количество теплоты, требуемое для нагревания и превращения \(m_0 = 1\) кг воды в пар, \(P_0 = 900\) Вт — мощность солнечного излучения, попадающего на \(S_0 = 1\) м\(^2\) поверхности земли, \(r = 5\) м и \(R = 10\) м — внутренний и внешний радиусы кольца, \(\tau = 1\) с.

Падающая на зеркало мощность \(P\) относится к мощности \(P_0\) так же, как площадь зеркала \(\pi(R^2 - r^2)\) относится к площади \(S_0\). Отсюда \(P = P_0 \cdot \pi(R^2 - r^2)/S_0\). Масса испарившейся за время \(\tau\) воды \(m\) относится к массе \(m_0\) так же, как полученная энергия \(P\tau\) относится к количеству теплоты \(Q_0\); отсюда \(m = m_0 P\tau/Q_0\) и \[m = m_0\,\frac{P_0\,\pi(R^2 - r^2)\,\tau}{S_0 Q_0} = 0{,}092\text{ кг} = 92\text{ г}.\]

Подсказка

Обозначьте токи в ветвях и приравняйте напряжение между входом и выходом, вычисленное по разным путям; симметрия цепи подскажет, какие токи равны или в каком отношении.

Ответ

Если в точке \(O\) соединения нет, сопротивление цепи равно 3,5 кОм; если в точке \(O\) соединение есть, сопротивление цепи равно 3,2 кОм.

Решение

Пусть к концам электрической цепи подключена батарейка с напряжением \(U\).

(а) Пусть в точке \(O\) соединения нет. Изобразим на рисунке электрические токи.

Рассчитывая напряжение между точками \(A\) и \(B\) разными способами, получим:

1. \(U = IR + I_2R + IR\), путь \(ACDB\);

2. \(U = IR + I_1R + IR\), путь \(ACFB\).

Следовательно, \(I_1 = I_2\). Учитывая, что в точку \(C\) втекает ток \(I\), а вытекают два равных тока \(I_1\) и \(I_2\), получим: \(I_1 = I_2 = I/2\). Следовательно, \(U = 2{,}5IR\); сила тока через батарейку составляет \(2I\) и сопротивление цепи: \[R_1 = \frac{2{,}5IR}{2I} = 1{,}25R = 3{,}5\text{ кОм}.\]

(б) Пусть в точке \(O\) соединение есть. Изобразим на рисунке электрические токи.

Учтём, что на резисторе, подсоединённом к точкам \(E\) и \(F\), напряжение и ток равны нулю. Рассчитывая напряжение между точками \(A\) и \(B\) разными способами, получим:

1. \(U = I_3R + I_3R\), путь \(AEFB\) (отсюда \(I_3 = U/(2R)\));

2. \(U = I_0R + I_5R + I_0R\), путь \(ACDB\);

3. \(U = I_0R + I_4R + I_4R + I_0R\), путь \(ACODB\).

Следовательно, \(I_5 = 2I_4\). Учитывая, что в точку \(C\) втекает ток \(I_0\), а вытекают два равных тока \(I_4\) и \(I_5 = 2I_4\), получим: \(I_4 = I_0/3\), \(I_5 = 2I_0/3\). Следовательно, \(U = 8I_0R/3\) и \(I_0 = 3U/(8R)\).

Общая сила тока через батарейку равна: \[I_0 + I_3 = \frac{U}{2R} + \frac{3U}{8R} = \frac{7U}{8R}.\] Следовательно, сопротивление цепи равно \[R_2 = \frac{U}{7U/(8R)} = \frac{8}{7}R = 3{,}2\text{ кОм}.\]