МОШ, 2014/15, отборочный этап, 7 класс

Подсказка

Найди для каждого автомобиля, сколько времени он ехал с каждой из двух скоростей. Для синего автомобиля сравни время прохождения нечётного и чётного кругов.

Ответ

Красный автомобиль прошёл 54 км, зелёный — 53,75 км, синий — 53,25 км (наименьшее расстояние).

Подсказка

Выпиши, сколько страниц Вася читает в первый, второй, третий дни, и найди, когда это число обратится в ноль.

Ответ

Чтение книги продлится 12 дней, Вася прочитает 390 страниц.

Подсказка

Запиши оба опыта как двойные неравенства для массы гири и вырази через неё массы кубика и шарика.

Ответ

Отношение массы шарика к массе кубика может быть от 1 до 3.

Решение

Пусть \(m_\text{ш}\) — масса шарика, \(m_\text{к}\) — масса кубика, \(M\) — масса гири. Как вытекает из условия задачи, \[2m_\text{к} < M < 3m_\text{к}, \qquad m_\text{ш} < M < 2m_\text{ш}.\] Эти соотношения можно также записать как \[\frac{1}{3}M < m_\text{к} < \frac{1}{2}M, \qquad \frac{1}{2}M < m_\text{ш} < M.\] Следовательно, \(1 < m_\text{ш} : m_\text{к} < 3\).

Подсказка

Тень предмета лежит на продолжении луча от лампочки через этот предмет до стены. Значит, лампочка лежит на прямой, соединяющей каждый предмет с его тенью.

Ответ

Лампочка Л и тень Т3 от предмета П3 приведены на рисунке. Предмет П4 не отбрасывает тень на стену.

Подсказка

Запиши отношение скоростей через три момента времени: старт, конец первого круга и обгон. Затем подумай, при каких допустимых значениях этих моментов отношение наибольшее, а при каких наименьшее.

Ответ

Отношение скорости велосипедиста к скорости пешехода может быть в интервале от 2,75 до 5,5.

Решение

Пусть \(t_1\) — момент старта, \(t_2\) — момент времени, когда Владислав проехал один круг, \(t_3\) — момент обгона. При этом \(t_1 < t_2 < t_3\).

По условию, пешеход прошёл расстояние от старта до момента обгона за время \(t_3 - t_1\); велосипедист же прошёл это же расстояние за время \(t_3 - t_2\). Отношение \(k\) скорости велосипедиста к скорости пешехода равно обратному отношению этих времён: \[k = \frac{t_3 - t_1}{t_3 - t_2}. \tag{1}\] Также данное отношение можно записать как: \[k = 1 + \frac{t_2 - t_1}{t_3 - t_2}. \tag{2}\] Поскольку моменты времени \(t_1\), \(t_2\) и \(t_3\) известны с некоторой погрешностью, исследуем, в каком случае отношение \(k\) будет больше и в каком — меньше. К увеличению \(k\) приводят: уменьшение \(t_1\) (см. (1)); увеличение \(t_2\) (см. (1)); уменьшение \(t_3\) (см. (2)). К уменьшению \(k\) приводят: увеличение \(t_1\) (см. (1)); уменьшение \(t_2\) (см. (1)); увеличение \(t_3\) (см. (2)).

Следовательно, максимальное значение \(k\) достигается, когда \(t_1 = 11\) ч 15 мин., \(t_2 = 11\) ч 24 мин., \(t_3 = 11\) ч 26 мин. В этом случае \(k = 5{,}5\).

Минимальное значение \(k\) достигается, когда \(t_1 = 11\) ч 16 мин., \(t_2 = 11\) ч 23 мин., \(t_3 = 11\) ч 27 мин. В этом случае \(k = 2{,}75\).

Подсказка

Глаз, палец и предмет образуют два подобных треугольника с общей вершиной в глазу. Составь пропорцию между размерами и расстояниями.

Ответ

1) Расстояние до дома равно 125 м;  2) расстояние до Останкинской башни равно 16,2 км.

Решение

Пусть \(a = 65\) мм — длина пальца, \(l = 65\) см — расстояние от глаза до пальца на вытянутой вперёд руке, \(x\) — расстояние до удалённого предмета, \(b\) — длина удалённого предмета.

Как вытекает из рисунка, если расстояние до удалённого предмета в \(n\) раз больше \(l\), длина удалённого предмета будет также в \(n\) раз больше \(a\):

Следовательно, должна соблюдаться пропорция: \[\frac{b}{a} = \frac{x}{l} \quad\text{и}\quad x = \frac{lb}{a} = 10b.\] В пункте (а) \(b = 12{,}5\) м и \(x = 125\) м. В пункте (б) \(b = 540 \cdot 3 = 1620\) м и \(x = 16{,}2\) км.

Подсказка

Обозначь объём алюминия через \(V_a\), тогда объём серебра равен \(V_0 - V_a\). Запиши, что масса такого составного кубика меньше массы железного.

Ответ

Объём алюминия должен быть в интервале от 0,33 см\(^3\) до 1 см\(^3\), масса серебра — меньше 6,9 г, но больше нуля, масса алюминия — от 0,89 г до 2,7 г.

Решение

Введём обозначения: \(\rho_\text{с} = 10{,}3\) г/см\(^3\) — плотность серебра, \(\rho_a = 2{,}7\) г/см\(^3\) — плотность алюминия, \(\rho_0 = 7{,}8\) г/см\(^3\) — плотность железа.

Пусть \(V_0 = 1\) см\(^3\) — объём кубика, \(V_a\) — объём алюминия, тогда \(V_0 - V_a\) — объём серебра. По условию, масса серебряного кубика \(\rho_\text{с}(V_0 - V_a) + \rho_a V_a\) должна быть меньше массы железного кубика \(\rho_0 V_0\): \[\rho_\text{с}(V_0 - V_a) + \rho_a V_a < \rho_0 V_0.\] Следовательно, \[V_a > \frac{\rho_\text{с} - \rho_0}{\rho_\text{с} - \rho_a}\,V_0 = 0{,}33\text{ см}^3.\] В то же время, объём алюминия не может быть больше \(V_0 = 1\) см\(^3\).

Масса серебра \(\rho_\text{с}(V_0 - V_a)\) при этом должна быть меньше 6,9 г, а масса алюминия \(\rho_a V_a\) должна быть в промежутке от 0,89 г до 2,7 г.

Подсказка

Если температура растёт на \(\Delta t_C\) градусов Цельсия, то по Фаренгейту она растёт в \(9/5\) раза сильнее. Отсчитывай изменение от известной точки 20 \(^\circ\)C \(=\) 68 \(^\circ\)F.

Ответ

\(t_F = 68 + 1{,}8\,(t_C - 20) = 32 + 1{,}8\,t_C\). Температура плавления льда соответствует значению 32 \(^\circ\)F, температура кипения воды — 212 \(^\circ\)F, температура \(-273\) \(^\circ\)C — \(-459{,}4\) \(^\circ\)F.

Решение

По условию, при увеличении температуры в градусах Цельсия с 20 \(^\circ\)C до \(t_C\) \(^\circ\)C, то есть на \((t_C - 20)\) \(^\circ\)C, температура по шкале Фаренгейта увеличивается на \(\frac{9}{5}(t_C - 20)\) \(^\circ\)F. Следовательно, \[t_F = 68 + 1{,}8\,(t_C - 20) = 32 + 1{,}8\,t_C.\] В частности, температура плавления льда соответствует значению 32 \(^\circ\)F, температура кипения воды — значению 212 \(^\circ\)F, температура \(-273\) \(^\circ\)C — значению \(-459{,}4\) \(^\circ\)F.