зад 1 Волны от катера у берега
По спокойной поверхности озера плывёт маленький катер, траектория которого параллельна прямой линии берега и лежит от него на расстоянии \(L\). Стоящий в точке \(A\) наблюдатель увидел, что первая волна от катера достигла точки \(A\) спустя время \(t\) после того, как катер пересёк прямую \(AB\), перпендикулярную берегу (см. рис). После этого волны ударяли о берег в этом месте с периодом \(T\). Расстояние между соседними гребнями волн равно \(\lambda\). Найдите скорость катера.
▶ПодсказкаСкрыть
Волны, созданные катером, образуют фронт под некоторым углом к курсу катера. Скорость волн относительно воды связана с \(\lambda\) и периодом, с которым фронты проходят мимо точки \(A\), а положение фронта в момент прихода к \(A\) находится из геометрии.
▶ОтветСкрыть
\(v = \dfrac{\lambda}{\sqrt{T^2 - \left(\dfrac{\lambda t}{L}\right)^2}}\).
зад 2 Бусинка на вертикальном кольце
В вертикальной плоскости закреплено круглое кольцо радиусом \(R\), на которое в верхней точке надета бусинка массой \(m\). После небольшого толчка бусинка начинает соскальзывать вниз по кольцу под действием силы тяжести. Всеми силами трения можно пренебречь.
С какой силой бусинка давит на кольцо в точке, лежащей на его горизонтальном диаметре?
Чему равен модуль импульса бусинки в момент, когда она не давит на кольцо?
▶ПодсказкаСкрыть
Скорость на любой высоте даёт закон сохранения энергии, а сила реакции входит во второй закон Ньютона для движения по окружности. «Не давит на кольцо» означает нулевую силу реакции.
▶ОтветСкрыть
1) \(F = 2mg\), сила направлена по радиусу от центра кольца; 2) \(p_0 = m\sqrt{\dfrac{2}{3}\,gR}\).
зад 3 Смеситель с двумя кранами
На водопроводном смесителе установлены два крана — холодный и горячий. Краны одинаковы по своей конструкции — она такова, что количество воды, протекающее через каждый кран за одну секунду, пропорционально углу поворота крана при его открывании. Если повернуть холодный кран на угол \(\alpha_1 = 180^\circ\), а горячий кран — на угол \(\beta_1 = 60^\circ\), из крана потечёт вода температурой \(t_1 = 36\ ^\circ\)C. Если же повернуть холодный кран на угол \(\alpha_2 = 120^\circ\), а горячий кран — на угол \(\beta_2 = 90^\circ\), то из крана потечёт вода температурой \(t_2 = 48\ ^\circ\)C. Найдите температуру воды, текущей из крана, когда холодный кран повёрнут на угол \(\alpha_3 = 160^\circ\), а горячий кран повёрнут на угол \(\beta_3 = 80^\circ\). Потерями теплоты в смесителе пренебречь.
▶ПодсказкаСкрыть
Расход каждой струи пропорционален углу, поэтому уравнение теплового баланса можно писать прямо через углы. Неизвестны температуры холодной и горячей воды — два опыта как раз дают два уравнения для них.
▶ОтветСкрыть
\(t_3 = 41{,}6\ ^\circ\)C.
зад 4 Аргон под поршнем с водой
В нижней части вертикального цилиндрического сосуда, разделённого подвижным лёгким поршнем, находится аргон. Верхняя часть сосуда полностью заполнена водой массой \(m = 1\) кг и открыта в атмосферу. При температуре \(t_1 = 27\ ^\circ\)С поршень расположен на высоте, составляющей \(1/4\) высоты сосуда. После нагревания всей системы до температуры \(t_2 = 127\ ^\circ\)С равновесие достигается при расположении поршня на \(1/2\) высоты сосуда. Найдите площадь \(S\) поперечного сечения сосуда и высоту \(H\) сосуда. Атмосферное давление \(p_0 = 10^5\) Па. Абсолютный нуль считайте равным \(t_0 = -273\ ^\circ\)C, плотность воды \(\rho = 1000\) кг/м\(^3\), ускорение свободного падения \(g = 10\) м/с\(^2\).
▶ПодсказкаСкрыть
Пока поршень поднимается, часть воды вытекает через край, так что давление газа меняется. Запишите давление газа в двух состояниях через вес оставшейся воды и примените уравнение состояния газа.
▶ОтветСкрыть
\(S = \dfrac{mg}{p_0\left(2\dfrac{T_1}{T_2} - 1\right)} = 2\cdot 10^{-4}\text{ м}^2 = 2\text{ см}^2\); \(H = \dfrac{4p_0}{3\rho g}\left(2\dfrac{T_1}{T_2} - 1\right) \approx 6{,}7\text{ м}\).
зад 5 Перерезанный провод в цепи
Участок \(AB\) электрической цепи, схема которого показана на рисунке, состоит из одинаковых резисторов и проводов, сопротивление которых пренебрежимо мало. Сопротивление этого участка цепи равно \(R_1 = 219\) Ом. После того, как школьник Вася перерезал один из проводов, сопротивление участка \(AB\) стало равным \(R_2 = 255\) Ом. В каких точках Вася мог перерезать провод? Укажите две такие точки. Ответ обоснуйте.
▶ПодсказкаСкрыть
Сначала найдите сопротивление одного резистора по \(R_1\), упростив схему. Затем посмотрите, какой разрыв провода превратит часть параллельных ветвей в более длинную последовательную цепочку.
▶ОтветСкрыть
Вася мог перерезать провод возле резистора №2 с любой из сторон от него (соответствующие места показаны на рисунке крестиками).
зад 6 Система блоков с тремя грузами
Система, показанная на рисунке, состоит из трёх блоков, трёх одинаковых грузов, двух нитей (первая нить показана на рисунке сплошной линией, вторая — пунктирной) и короткой верёвочки. К концу первой нити, перекинутой через средний и левый блоки, прикреплён первый груз массой \(m\). К концу второй нити, перекинутой через правый и средний блоки, прикреплён второй груз массой \(m\). Третий груз такой же массой подвешен на верёвочке к оси правого блока. Участки нитей, не лежащие на блоках, вертикальны. Все блоки и нити можно считать невесомыми, нити и верёвочку нерастяжимыми, а силы трения пренебрежимо малыми. При вращении среднего блока первая и вторая нити не мешают друг другу. Найдите модули ускорений грузов.
▶ПодсказкаСкрыть
Для невесомого блока натяжения нитей по обе стороны одинаковы, а сумма сил на блок равна нулю. Выразите силы, действующие на блоки, через натяжения двух нитей и составьте уравнение связи длин нитей.
▶ОтветСкрыть
Модули ускорений всех грузов одинаковы и равны \(a = g/3\).
зад 7 Бусинка на параболической проволоке
Отрезок проволоки изогнут в виде симметричного участка параболы и расположен так, что ось её симметрии вертикальна. На этот отрезок надевают маленькую бусинку массой \(m\), удерживая её у одного из краёв проволоки. Затем бусинку отпускают без начальной скорости, и она начинает скользить по проволоке под действием силы тяжести. Найдите модуль силы, с которой бусинка будет давить на проволоку, находясь в самой нижней точке своей траектории. Трение пренебрежимо мало. Размеры \(L\) и \(H\), указанные на рисунке, известны.
▶ПодсказкаСкрыть
Скорость внизу найдите из закона сохранения энергии, а второй закон Ньютона для движения по окружности требует радиуса кривизны параболы в вершине. Его можно найти, сравнив параболу с окружностью вблизи вершины.
▶ОтветСкрыть
\(N = mg\left(1 + \dfrac{16H^2}{L^2}\right)\).
зад 8 Цикл из политропных процессов
Один моль идеального газа участвует в циклическом процессе \(1 \to 2 \to 3 \to 1\) тепловой машины, работающей в режиме теплового двигателя. В состоянии 1 газ имеет температуру \(T_1\) и объём \(V_1\). Известно, что все переходы газа из одного состояния в другое — политропические. Показатель политропы процесса \(2 \to 3\) на единицу больше показателя политропы процесса \(3 \to 1\) и на единицу меньше показателя политропы процесса \(1 \to 2\). В процессе \(1 \to 2\) объём газа увеличивается в \(k\) раз. Один из процессов цикла — изотермический, причём в этом процессе объём газа изменяет своё значение в максимально широких пределах в этом цикле.
Определите объём и температуру газа в состоянии 3.
Изобразите на \(pV\)-диаграмме цикл, соответствующий условию задачи, указав для каждого из процессов его показатель политропы.
Справка: Политропическим называется процесс, в течение которого теплоёмкость газа не изменяется: \(C = \text{const}\). Уравнение такого процесса имеет вид \(pV^n = \text{const}\), или \(p_1V_1^n = p_2V_2^n\). Величину \(n\) называют показателем политропы.
▶ПодсказкаСкрыть
Обозначьте показатель процесса \(2 \to 3\) через \(n\), тогда два других — \(n-1\) и \(n+1\). Изотерме соответствует \(n=1\); переберите, какой из трёх процессов может быть изотермой, и используйте условие про наибольшее изменение объёма.
▶ОтветСкрыть
1) \(V_3 = V_1/k\), \(T_3 = T_1/k\); 2) диаграмма на рисунке: \(n_{31}=0\) (изобара), \(n_{12}=2\), \(n_{23}=1\) (изотерма, \(T_2=\text{const}\)).
зад 9 Мощность в цепи ACDEFB
Найдите тепловую мощность, выделяющуюся в участке \(ACDEFB\) цепи, подключённом в точках \(A\) и \(B\) к батарее с ЭДС \(\mathcal{E} = 5\) В и внутренним сопротивлением \(r = 1{,}04\) Ом. Сопротивления резисторов указаны на схеме в Ом, сопротивлением соединительных проводов можно пренебречь. Провода соединены только в местах, обозначенных точками.
▶ПодсказкаСкрыть
Схема симметрична относительно перпендикуляра к \(AB\). Посмотрите, нет ли пар резисторов, на которых при такой симметрии разность потенциалов равна нулю.
▶ОтветСкрыть
На отдельных резисторах выделяются мощности: \(P_{AC}=P_{CB}=1{,}44\) Вт, \(P_{AF}=P_{FB}=0{,}36\) Вт, \(P_{AD}=P_{DB}=0{,}72\) Вт, \(P_{AE}=P_{EB}=0{,}48\) Вт, \(P_{CD}=P_{CE}=P_{DE}=P_{DF}=P_{EF}=0\). На всех резисторах цепи \(ACDEFB\) выделяется тепловая мощность \(P = 6\) Вт.
зад 10 Палочка в жидкости и лазерный луч
Отличник Тимофей уравновесил тонкую однородную палочку, прикреплённую одним концом к шарниру, опустив другой её конец в вертикальный сосуд с жидкостью. При этом палочка находилась в равновесии, располагалась под углом \(\alpha\) к вертикали и была погружена в жидкость на \(1/n\) часть своей длины. Площадь горизонтального поперечного сечения сосуда \(S\), длина палочки \(L\), плотность её материала \(\rho\). Стенки сосуда и поверхность палочки посеребрены.
В некоторой точке \(A\) над поверхностью жидкости, на одной высоте с точкой крепления палочки, экспериментатор Тимофей расположил выходное окно лазерной указки, и направил от неё на стенку сосуда узкий световой луч, идущий параллельно палочке. Этот луч, распространяясь только в воздухе, отразился от стенки сосуда, затем отразился от палочки, и вернулся обратно в точку \(A\). Но тут «добрая» подруга Анфиса решила привлечь внимание Тимофея и приоткрыла кран, через который жидкость начала медленно выливаться из сосуда. Тимофей сначала рассердился, но быстро успокоился, так как понял, что через некоторое время луч всё равно вернётся в точку \(A\) — главное, вовремя закрыть кран! Какую массу жидкости следует вылить из сосуда для того, чтобы при неизменном угле падения света на стенку сосуда луч света, испущенный из точки \(A\), распространяясь только в воздухе, опять вернулся в эту точку?
▶ПодсказкаСкрыть
Чтобы луч вернулся в \(A\), он должен падать на палочку перпендикулярно; значит, во втором положении палочка должна стоять под углом \(90^\circ-\alpha\) к вертикали. Равновесие палочки в обоих положениях запишите по правилу моментов относительно шарнира.
▶ОтветСкрыть
\(m_\text{ж} = \rho_\text{ж}\,S\,\Delta H = \rho S L\,\dfrac{n(n-1)}{2n-1}\,(\sin\alpha - \cos\alpha)\); решение существует при \(\alpha > \pi/4\).
Источник: Московская олимпиада школьников по физике, 2014/15, заключительный этап, 10 класс — условия (1) · условия (2) · решения (1) · решения (2). Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.