МОШ, 2015/16, отборочный этап, 9 класс

В какой из жидкостей шарик погрузился целиком, а в какой плавает? Для плавающего тела вес вытесненной жидкости равен весу тела.

Масса шарика 18 г, его объём 20 см\(^3\), объём полости \(13{,}3\) см\(^3\).

Лёд тает при 0 °С, поэтому средняя плотность куска «лёд + дробинка» растёт по мере таяния. Когда она сравняется с плотностью воды, кусок начнёт тонуть.

Нужно подвести \(\approx 60\) кДж (\(60{,}3\) кДж); масса льда в момент начала погружения \(\approx 820\) г; уровень воды понизится.

Когда средняя плотность оставшегося льда и дробинки станет больше плотности воды, дробинка начнёт тонуть, т. е. \[\frac{M_1 + m}{\dfrac{M_1}{\rho_\text{л}} + \dfrac{m}{\rho_\text{с}}} = \rho_\text{в}, \qquad\text{следовательно}\qquad M_1 = \frac{m(\rho_\text{с} - \rho_\text{в})\rho_\text{л}}{(\rho_\text{в} - \rho_\text{л})\rho_\text{с}} \approx 820\text{ г},\] где \(M_1\) "— масса оставшегося льда, \(m\) "— масса дробинки. Растаять должна масса льда \(\Delta M = M - M_1\), где \(M\) "— первоначальная масса льда. Значит, необходимо подвести количество теплоты \[Q = \lambda \Delta M = \lambda\left(M - m\,\frac{(\rho_\text{с} - \rho_\text{в})\rho_\text{л}}{(\rho_\text{в} - \rho_\text{л})\rho_\text{с}}\right) \approx 60\text{ кДж}.\] Так как оставшийся лёд с дробинкой опустятся на дно бака и будут давить на него с некоторой силой, то, следовательно, сила давления воды на дно должна уменьшиться, чтобы суммарная сила давления на дно осталась неизменной. Значит, уровень воды понизится.

Если резистор в диагонали, то при равных плечах моста ток через него не течёт. Во втором случае сравните токи через разные резисторы: чем больше ток через резистор, тем сильнее изменится общий ток при его отключении.

А) нужно отключить любой из резисторов сопротивлением 1 Ом, показания амперметра изменятся на 2 А (по модулю); Б) нужно отключить резистор сопротивлением 1 Ом, подключённый к тому же полюсу батарейки, что и резистор сопротивлением 4 Ом.

Если резистор 4 Ом включён в диагональ моста, то его не имеет смысла вытаскивать, потому что показания амперметра при этом не изменятся. То есть в этом случае надо отключить любой резистор 1 Ом. Если же резистор 4 Ом подключён, например, к плюсу батарейки (это на самом деле не принципиально), то нужно отключить резистор 1 Ом, который тоже подключён к плюсу батарейки, так как через него течёт самый большой ток.

Для случая, когда резистор сопротивлением 4 Ом включён в диагональ моста: вначале ток через диагональ моста не течёт и сопротивление всей цепи равно \[R_1 = \left(\frac{1}{2\text{ Ом}} + \frac{1}{2\text{ Ом}}\right)^{-1} = 1\text{ Ом}.\] После отключения одного из резисторов сопротивлением 1 Ом полное сопротивление всей цепи будет равно \[R_2 = 1\text{ Ом} + \left(\frac{1}{1\text{ Ом}} + \frac{1}{5\text{ Ом}}\right)^{-1} = \frac{11}{6}\text{ Ом} \approx 1{,}83\text{ Ом}.\] Абсолютная величина изменения показаний амперметра равна \[\frac{U}{R_1} - \frac{U}{R_2} = 2\text{ А}.\]

Докажите, что медианы делят треугольник на шесть частей равной площади. Тогда средняя плотность выражается просто через плотности частей.

\(\bar\rho = 9{,}32\) г/см\(^3\) (единственное значение); 10 вариантов; \(\bar\rho_{\min} = 8{,}46\) г/см\(^3\), \(\bar\rho_{\max} = 10{,}36\) г/см\(^3\).

Легко доказывается, что медианы делят треугольник на 6 равновеликих частей. Поэтому средняя плотность равна «среднему арифметическому» плотностей используемых металлов: \[\bar\rho = \frac{m}{S} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{6} \rho_i\dfrac{S}{6}}{S} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{6}\rho_i}{6}.\] Так как все виды металлов были использованы по два раза, средняя плотность получившегося треугольника принимает только одно возможное значение \[\bar\rho = \frac{11{,}40 + 8{,}96 + 7{,}60}{3} = 9{,}32\text{ г/см}^3.\] Если каждый металл нужно использовать не меньше одного раза, то возможных вариантов с различной средней плотностью 10 (каждое число в фигурных скобках соответствует количеству частей треугольника определённой плотности): \(\{4, 1, 1\}\) "— три варианта, \(\{2, 2, 2\}\) "— один вариант, \(\{3, 2, 1\}\) "— шесть вариантов. \[\bar\rho_{\min} = \frac{4\cdot 7{,}6 + 8{,}96 + 11{,}4}{6} = 8{,}46\text{ г/см}^3, \qquad \bar\rho_{\max} = \frac{4\cdot 11{,}4 + 7{,}6 + 8{,}96}{6} = 10{,}36\text{ г/см}^3.\]

Путь равен площади под графиком скорости от времени. Нарисуйте графики \(v(t)\) для обеих последовательностей и сравните площади.

Сначала нужно включить мощный двигатель, а затем слабый.

Из приведённых графиков скорости от времени видно, что площадь под графиком во втором случае больше. Следовательно, чтобы к моменту прекращения работы двигателей ракета переместилась на наибольшее расстояние, следует включать сначала мощный двигатель, а затем слабый.

Масло легче воды, поэтому столб масла уравновешивается более низким столбом воды. Постарайтесь использовать давление воды по максимуму, вытеснив её в правое колено.

\(V = 6{,}5\,Sh\).

Простое решение "— долить масло слева и справа (общей высотой столба \(6h\)) "— неверное. Надо постараться максимально использовать давление столба воды, чтобы уравновесить его столбом масла большей высоты. Для этого доливаем в левое (высокое) колено масло до тех пор, пока оно не вытеснит всю воду в правое колено. При этом столб масла будет иметь высоту \(2h \cdot 1{,}25 = 2{,}5h\). С этого момента есть две стратегии, приводящие к одинаковому результату. Можно справа и слева долить по \(2h\) масла, а можно лить масло только в левое колено, тогда из-за меньшей плотности оно станет «пробулькивать» через воду и займёт автоматически весь оставшийся объём сверху в правом колене. Окончательный ответ: \(V = 6{,}5\,Sh\).

Калориметр полон до краёв. Что произойдёт с частью воды, когда в него попадёт деталь, и какая масса воды останется в нагревании?

\(t_3 = 42\) ℃.

Объём детали \(V_2 = \dfrac{m_2}{\rho_2} = 100\text{ см}^3 = 100\text{ мл}\), поскольку калориметр был заполнен водой полностью, деталь вытеснит часть воды, и она выльется из калориметра. Конечная масса воды в калориметре \(m_1 = \rho_1(V_1 - V_2) = 100\) г. Запишем уравнение теплового баланса: \[m_1 c_1 (t_3 - t_1) = m_2 c_2 (t_2 - t_3),\] откуда \[t_3 = \frac{m_1 c_1 t_1 + m_2 c_2 t_2}{m_1 c_1 + m_2 c_2} = 42\,℃.\]

Сколько электронов нужно, чтобы получилась одна молекула водорода? Сила тока "— заряд, протёкший за единицу времени.

\(I = 4{,}0\) мА.

За 20 минут выделилось \[N = 2{,}5\cdot 10^{-5}\text{ моль}\cdot 6{,}02\cdot 10^{23}\,\frac{1}{\text{моль}} = 15{,}05\cdot 10^{18}\] молекул водорода. Значит, за это время в цепи протёк заряд \(2eN\) и сила тока в цепи \[I = \frac{2\cdot 1{,}60\cdot 10^{-19}\text{ Кл}\cdot 15{,}05\cdot 10^{18}}{20\cdot 60\text{ с}} = 4{,}0\text{ мА}.\]

Какое натяжение нити нужно, чтобы почти невесомый блок двигался с конечным ускорением? Запишите условие нерастяжимости нити и продифференцируйте его дважды.

Груз и нижний блок падают с ускорением \(g\) (вниз); ускорение блока 1 равно \(2g\) (вниз), блока 2 "— нулевое: \(a_1 = 2g\), \(a_2 = 0\).

Для определения ускорения груза массы блоков можно принять равными нулю (так как массы блоков пренебрежимо малы по сравнению с массой груза \(M\)). Тогда, записывая второй закон Ньютона, например, для блока 1, получаем, что натяжение нити в системе равно нулю (на самом деле оно очень маленькое, гораздо меньше чем \(Mg\)). Следовательно, груз вместе с нижним блоком падают с ускорением \(g\).

Записав длину нити и продифференцировав уравнение по времени дважды, получаем уравнение кинематической связи для ускорений: \[2a_3 - a_1 + a_2 = 0 \;\Rightarrow\; a_1 - a_2 = 2g,\] где \(a_1\) "— проекция ускорения блока 1, \(a_2\) "— проекция ускорения блока 2, \(a_3\) "— проекция ускорения нижнего блока (ось направлена вниз).

У нас получается одно уравнение и две неизвестных. Как же разрешить возникшую проблему? Необходимо вспомнить, что хоть блоки в системе и очень лёгкие, всё же они имеют некоторую массу, а значит, и натяжение в системе не совсем равно нулю. Тогда запишем второй закон Ньютона для блоков 1 и 2: \[\begin{align*} mg + T &= m a_1,\\ mg - T &= m a_2, \end{align*}\] где \(m\) "— массы блоков 1 и 2 (блоки по условию задачи одинаковые, а значит, массы у них равны), \(T\) "— натяжение нити (нить невесома, трения нет, следовательно, натяжение во всей нити одинаково). Решая систему из трёх уравнений, получаем: \(a_1 = 2g\), \(a_2 = 0\).