МОШ, 2015/16, заключительный этап, 10 класс

На горизонтальном полу стоит табуретка массой \(M = 4{,}5\) кг. Высота табуретки \(h = 45\) см, а расстояние между её ножками \(d = 30\) см. Коэффициент трения между ножками и полом \(\mu = 0{,}4\). Экспериментатор Глюк привязал к середине стороны сиденья табуретки невесомую нерастяжимую нить, перекинутую через блок (см. рис). На втором конце нити висит ведёрко с водой. Масса ведёрка вместе с водой равна \(m = 0{,}6\) кг. Экспериментатор Глюк опустил в ведёрко тонкую трубку с внутренним диаметром \(D = 4\) мм, по которой в ведёрко стала доливаться вода с постоянной скоростью \(v = 0{,}2\) м/с. Плотность воды \(\rho = 1000\) кг/м\(^3\), ускорение свободного падения можно считать равным \(g = 10\) м/с\(^2\). Через какое время после этого табуретка придёт в движение? Как начнёт двигаться табуретка: скользить, двигаясь поступательно, или опрокидываться, поворачиваясь вокруг некоторой оси?

По наклонной плоскости, образующей угол \(\alpha = 30^\circ\) с горизонтом, едет с постоянной скоростью \(v = 1\) м/с игрушечный автомобиль, масса которого равна \(M = 300\) г. Автомобиль связан лёгкой нитью, перекинутой через невесомый блок, с грузом массой \(m = 200\) г, который движется вертикально. Автомобиль приводится в движение электромотором, который питается от батарейки. КПД электромотора при таком движении равен \(\eta = 60\%\). Найдите количество теплоты, выделяющееся при протекании тока через обмотки электромотора за время \(t = 2{,}5\) с. Автомобиль движется без проскальзывания, трением в осях и сопротивлением воздуха можно пренебречь, ускорение свободного падения можно считать равным \(g = 10\) м/с\(^2\).

Десятиклассник Вася проводит домашний эксперимент. Он налил в кружку 200 мл воды (до краёв) при температуре \(+20\) °С. Затем он отпивает один маленький глоток (5 мл), тут же доливает в чашку кипяток до краёв, аккуратно перемешивает содержимое чашки очень лёгкой пластиковой ложечкой (не расплёскивая содержимого) и повторяет описанную процедуру много раз. Максимальная температура воды, которую Вася ещё может проглотить, не рискуя обжечься, равна \(+60\) °С. Сколько воды выпьет Вася до конца своего эксперимента?

В колбе объёмом \(V = 2\) л при комнатной температуре находится \(\nu = 0{,}1\) моля гелия. Горлышко колбы имеет длину \(l = 2\) см и сечение \(S = 10\) см\(^2\). Это горлышко закрыто цилиндрической пробкой массой \(m = 10\) г, могущей скользить по нему без трения. В начальный момент пробка удерживается у основания горлышка, и гелий не выходит наружу. Пробку отпускают, и она вылетает из горлышка со скоростью \(v = 10\) м/с. Найдите изменение \(\Delta T\) температуры гелия в колбе к моменту вылета пробки из горлышка. Давление воздуха в комнате равно \(p_0 = 1\) атм, теплообменом гелия в колбе с окружающими телами за время вылета пробки можно пренебречь.

На закреплённые неподвижно клеммы \(A\) и \(B\), расстояние между которыми равно 40 см, может подаваться постоянное напряжение 0,3 В. К клеммам прикреплены две медные проволоки без изоляции, всюду имеющие круглое поперечное сечение. Одна из проволок натянута и имеет длину 40 см, а другая имеет длину 70 см. Диаметр обеих проволок 0,6 мм. Как сделать так, чтобы тепловая мощность, выделяющаяся в этой системе, была максимальной? Чему равна эта мощность? Проволоки можно приводить в электрический контакт друг с другом всеми возможными способами, но нельзя обрывать их и отсоединять концы проволок от клемм. Удельное сопротивление меди \(1{,}7\cdot 10^{-8}\) Ом\(\cdot\)м.

Самолёт в Новогоднюю ночь в безветренную погоду стартовал с аэродрома Санкт-Петербурга (\(60^\circ\) северной широты) и летит на постоянной высоте \(h = 5\) км с постоянной по величине скоростью \(V = 1000\) км/час, держа всё время курс на северо-восток (по звёздам). С каким по модулю ускорением относительно Земли (в системе отсчёта Птолемея) движется самолёт ровно через время \(T\), равное четырём часам полёта? Землю можно считать шаром с радиусом \(R = 6400\) км.

Клин массой \(M = 5\) кг с углом при основании \(\alpha = 45^\circ\) расположен на гладком горизонтальном столе. На наклонной поверхности клина лежит брусок массой \(m = 1\) кг. На брусок начинает действовать сила, направленная горизонтально в сторону клина. Модуль этой силы возрастает с течением времени \(t\) по закону \(F = \delta t\), где коэффициент пропорциональности \(\delta = 1\) Н/с. Коэффициент трения между клином и бруском равен \(\mu = 1{,}2\). 1) Чему равен модуль силы трения, действующей со стороны клина на брусок через время \(T = 12\) с после начала действия силы \(F\), если клин к этому моменту ещё не начал опрокидываться? 2) Найдите ускорения клина и бруска через время \(5T = 1\) мин после начала действия силы \(F\). Ускорение свободного падения можно считать равным \(g = 10\) м/с\(^2\).

В цилиндре под поршнем находится воздух. В стенках цилиндра есть два клапана: впускной \(\text{К}_1\) и выпускной \(\text{К}_2\). Впускной клапан открывается тогда, когда разность давлений воздуха снаружи и внутри цилиндра превышает \(\Delta_1 = 0{,}2\,p_0\), где \(p_0\) — атмосферное давление. Выпускной клапан открывается тогда, когда разность давлений внутри и снаружи превышает \(\Delta_2 = 0{,}4\,p_0\). Поршень совершает очень медленные колебания так, что объём воздуха в цилиндре изменяется в пределах от \(V_0\) до \(2V_0\). Температура снаружи и внутри цилиндра постоянна и равна \(T_0\). 1) Определите наименьшее и наибольшее количество воздуха в цилиндре при колебаниях поршня. 2) Изобразите в координатах \(p\)–\(V\) процесс, происходящий с воздухом в цилиндре после того, как поршень уже совершил достаточно много колебаний.

Ответьте на оба вопроса задачи, если \(\Delta_1 = 0{,}4\,p_0\), а \(\Delta_2 = 0{,}2\,p_0\).

▶ОтветСкрыть

Ответ

В первом случае \(\nu_{\max} = \dfrac{1{,}6\,p_0 V_0}{R T_0}\), \(\nu_{\min} = \dfrac{1{,}4\,p_0 V_0}{R T_0}\); во втором случае количество воздуха остаётся постоянным (после того, как оно один раз установилось) и равным \(\nu = \dfrac{1{,}2\,p_0 V_0}{R T_0}\). Процессы в координатах \(p\)–\(V\):

Две покоящиеся в космосе вдали от других тел материальные точки, имеющие одинаковые массы \(m\) и электрические заряды \(q\), скреплены невесомой, нерастяжимой и не проводящей электрический ток прочной гибкой нитью длиной \(L\). Незаряженное тело малых размеров массой \(2m\) движется поступательно в направлении средней точки нити со скоростью \(V\), направленной перпендикулярно нити. При соприкосновении тела и нити они друг относительно друга не проскальзывают, но и не прилипают друг к другу. Какими будут модули скоростей материальных точек и тела через очень большое время? На каком минимальном расстоянии \(L_{\min}\) друг от друга будут находиться материальные точки в процессе движения?

Участок \(AD\) электрической цепи, схема которого показана на рисунке, состоит из четырёх постоянных резисторов с сопротивлениями \(R_1 = 20\) Ом, \(R_2 = 40\) Ом, \(R_3 = 80\) Ом, \(R_4 = 25\) Ом и одного переменного резистора \(\tilde R\), сопротивление которого может изменяться от нуля до \(R_{\max} = 10\) кОм. Сила тока, текущего через участок \(AD\), поддерживается постоянной и равной \(I = 1{,}2\) А. 1) При каких значениях сопротивления переменного резистора ток через резистор \(R_2\) будет течь в направлении от точки \(B\) к точке \(C\), а при каких — в обратном направлении? 2) При каком значении сопротивления переменного резистора напряжение на резисторе \(R_2\) будет максимальным, и чему равно это напряжение?

Источник: Московская олимпиада школьников по физике, 2015/16, заключительный этап, 10 класс — условия (1) · условия (2) · решения (1) · решения (2). Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.