МОШ, 2015/16, заключительный этап, 11 класс

Школьник летом был в Крыму и с высоты \(h = 4\) м над уровнем моря увидел на линии горизонта ракетный крейсер «Москва», который шёл вдоль берега и был виден «во весь рост», от ватерлинии до верха надстроек. Школьник прикрыл один глаз, вытянул перед собой руку и большим пальцем, поднятым вверх, «закрыл» весь крейсер от носа до кормы корабля (для открытого глаза). Ширина пальца равна \(a = 2\) см. Расстояние от глаза до большого пальца при вытянутой руке равно \(l = 70\) см. День был солнечным, поэтому диаметр зрачка открытого глаза был небольшим "— всего 1 мм. Затем он через свой смартфон нашёл справку о параметрах крейсера, где обнаружил, что длина корабля составляет \(L = 186{,}5\) м. Каков радиус \(R\) Земли, вычисленный школьником на основании всех имеющихся данных?

На краю табуретки массой \(M = 4{,}5\) кг сидит кошка массой \(m = 1{,}5\) кг. Высота табуретки \(h = 45\) см, а расстояние между ножками \(d = 30\) см (см. рис.). Коэффициент трения между ножками и полом равен \(\mu = 0{,}5\). Кошка прыгает с табуретки в направлении, показанном стрелкой. При этом ускорение центра масс кошки направлено горизонтально. При каком максимальном значении модуля этого ускорения табуретка будет оставаться неподвижной? Если модуль ускорения превысит это значение на очень малую величину, то как начнёт двигаться табуретка: скользить по полу или опрокидываться, поворачиваясь вокруг некоторой оси? Ускорение свободного падения можно считать равным \(g = 10\) м/с\(^2\).

Вася выдувает через длинную трубку сферический мыльный пузырь. Надув пузырь до некоторого размера, он выпускает трубку изо рта, при этом воздух из пузыря выходит наружу обратно через трубку. Окончательно пузырь исчезает, так и не лопнув, через время \(\tau\) после того, как его перестали надувать. За какое время сдуется надутый таким же образом мыльный пузырь вдвое большего радиуса? Считайте, что воздух движется по трубке достаточно медленно, свойства мыльной плёнки у обоих пузырей одинаковы.

В бесконечную проволочную сетку, состоящую из шестиугольников с сопротивлениями каждого ребра \(r\) (см. рис. 1), добавили проводники с такими же сопротивлениями "— так, как показано на рис. 2 (каждую шестиугольную ячейку разделили тремя отрезками проволоки сопротивлением \(r\) каждый на три одинаковых ромба). Найдите сопротивление \(R_{AB}\) между точками \(A\) и \(B\), показанными на рис. 2.

На рисунке изображена механическая система, в которой через невесомый блок с прикреплённой к потолку горизонтальной осью перекинута невесомая нерастяжимая нить. К концам нити прикреплены небольшие грузы массами \(m\) и \(2m\). Груз \(2m\) лежит на горизонтальной опоре. Груз \(m\) висит. К грузу \(m\) через невесомую идеальную пружину с жёсткостью \(k\), расположенную вертикально и имеющую небольшую длину \(L_0\), прикреплён второй такой же груз \(m\). В начальный момент пружина не деформирована, и второй груз \(m\) лежит на той же опоре, что и груз \(2m\). Расстояние от верхнего груза \(m\) до блока равно \(l_0\). Свободные участки нити, не лежащие на шкиве блока, вертикальны. В момент времени \(t = 0\) опора исчезает (её быстро убирают вниз). Через время \(\tau\) после этого один из грузов коснулся блока. Какой это груз? При каком значении \(l_0\) время \(\tau\) максимально? Чему равно это максимальное значение \(\tau\)?

Тонкий однородный жёсткий стержень \(S\) скользит по гладкой наклонной плоскости, составляющей угол \(\alpha\) с горизонтом. В начальный момент времени нижний конец стержня движется вниз вдоль наклонной плоскости (по линии \(L\) «падения воды», как указано стрелкой "— см. рисунок), а верхний конец стержня движется горизонтально, причём модуль скорости верхнего конца в два раза больше, чем нижнего. По прошествии некоторого промежутка времени оказалось, что середина стержня сместилась на одинаковые расстояния по горизонтали и вдоль линии «падения воды». Во сколько раз изменился модуль скорости середины стержня за этот промежуток времени?

Вдоль гладкой горизонтальной поверхности скользит шар неизвестной массы в направлении другого покоящегося шара массой 120 г. В некоторый момент времени происходит абсолютно упругое лобовое соударение этих шаров, в результате которого первый шар передаёт второму 64% своей кинетической энергии. Опыт повторяют, заменив движущийся шар шаром другой массы, но не изменив его начальной скорости. Оказалось, что в результате второго опыта доля переданной покоящемуся шару кинетической энергии не изменилась. Определите, на какую величину \(\Delta m\) отличались массы движущихся шаров в двух опытах.

Две тепловые машины используют в качестве рабочего тела постоянное количество одноатомного идеального газа. Циклы, по которым работают эти машины, при изображении в координатах «давление-объём» при некотором выборе масштабов являются двумя половинами одной окружности: первая машина работает по циклу \(ACBA\), а вторая "— по циклу \(ABDA\) (см. рисунок). Диаметр \(AB\) этой окружности лежит на прямой, проходящей через начало координат, и обладает тем свойством, что на участке цикла \(ACB\) газ только получает теплоту от нагревателя, а на участке \(BDA\) "— только отдаёт теплоту нагревателю. Центр окружности соответствует объёму \(V_0\), радиус окружности при выбранном масштабе равен \(r = \dfrac{1}{\sqrt{10}}\). Во сколько раз максимально возможный КПД второй машины отличается от максимально возможного КПД первой машины?

В точке \(A\), расположенной на расстоянии \(r\) от центра \(O\) незаряженной проводящей сферы радиусом \(R\), находится точечный заряд \(q\). Сферу заземляют длинным тонким проводником. На сколько изменится (после заземления) потенциал \(\varphi_B\) точки \(B\), являющейся вершиной равностороннего треугольника \(ABO\)?

Незаряженный металлический шарик радиусом \(R = 10\) см движется в однородном магнитном поле перпендикулярно вектору магнитной индукции \(\vec B\) с постоянной скоростью \(v = 1\) м/с. Поверхностная плотность зарядов на «полюсе» шарика в точке \(A\) оказалась равной \(\sigma_0\). Определите поверхностную плотность зарядов в точке \(C\), направление на которую из центра шарика составляет угол \(\alpha = 60^\circ\) с направлением \(OA\) (см. рис.). Чему равна разность потенциалов точек \(A\) и \(C\)? Модуль вектора магнитной индукции \(B = 2\) Тл.

Источник: Московская олимпиада школьников по физике, 2015/16, заключительный этап, 11 класс — условия (1) · условия (2) · решения (1) · решения (2). Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.