МОШ, 2016/17, отборочный этап, 10 класс

Перейдите в систему отсчёта автомобилей: в ней капли вылетают из-под колёс с одной и той же скоростью под разными углами. Какова наибольшая дальность полёта тела, брошенного с заданной скоростью?

\(r = \dfrac{v^2}{g} \approx 177\text{ м}\).

В системе отсчёта, связанной с автомобилями, искомое расстояние равно наибольшей дальности полёта капель, вылетающих из-под задних колёс со скоростями \(v\) под всевозможными углами \(\alpha\). Поскольку время полёта (подъёма и спуска) капли \(\tau = \dfrac{2v\sin\alpha}{g}\), дальность полёта \[l = v\tau\cos\alpha = \frac{v^2\sin 2\alpha}{g}.\] Она максимальна, очевидно, при \(\sin 2\alpha = 1\), так что \(r = \dfrac{v^2}{g} \approx 177\text{ м}\).

Какие силы дают горизонтальные ускорения призмам? Как связаны их величины и как поэтому связаны пройденные призмами расстояния?

\(S = \dfrac{m}{M+m}\,(d-b)\).

Оба тела будут ускоряться только за счёт (равных по величине) горизонтальных составляющих сил их взаимодействия — нормальных реакций (ибо проекции всех других сил на горизонталь равны нулю). Значит, отношение (горизонтальных) ускорений призм будет обратно отношению их масс: \(\dfrac{a_m}{a_M} = \dfrac{M}{m}\). Таким же будет и отношение пройденных ими расстояний. Сумма же этих расстояний равна, очевидно, \(d-b\). Значит, \[\begin{cases} \dfrac{S}{s} = \dfrac{m}{M},\\[2mm] S + s = d - b \end{cases} \;\Rightarrow\; S = \frac{m}{M+m}\,(d-b).\]

На стержень действуют три силы, и все они лежат в одной вертикальной плоскости. Что можно сказать о линиях действия трёх непараллельных сил, уравновешивающих тело?

\(l = 4R\,\dfrac{\cos 2\alpha}{\cos\alpha}\).

Стержень находится в покое под действием плоской системы трёх непараллельных сил, следовательно, линии действия этих сил пересекаются в одной точке. Из рисунка находим \[AC = \frac{l}{2}\cos\alpha = 2R\cos 2\alpha \;\Rightarrow\; l = 4R\,\frac{\cos 2\alpha}{\cos\alpha}.\]

Внутренняя энергия газа пропорциональна произведению \(pV\). Проведите из начала координат лучи в точки графика и сравните их наклоны.

На участке 1-2 плотность газа увеличивалась; на участке 2-3 плотность газа уменьшалась.

Движение вдоль 1-2 можно рассматривать как переход с изохоры на изохору, соответствующую всё меньшему и меньшему значению объёма (\(V_1 > V'\), \(V' > V_2\)). Значит, на участке 1-2 плотность газа увеличивается. На участке 2-3, очевидно, плотность газа уменьшается, поскольку это изобара, вдоль которой температура растёт, а объём, следовательно, увеличивается.

Замените амперметры проводами: какие точки схемы окажутся при этом под одним потенциалом? Найдите токи через резисторы, а затем по закону сохранения заряда токи через амперметры.

\(A_1\) показывает 10 мА, \(A_2\) — 20 мА, \(A_3\) — 30 мА.

Вначале найдём токи через резисторы. При расчёте этих токов амперметры можно заменить проводами с нулевым сопротивлением. Значит, потенциалы точек \(C\), \(D\), \(E\) одинаковы. Расставим токи в схеме с учётом закона Ома и закона сохранения заряда (см. рис.). Амперметры \(A_1\), \(A_2\), \(A_3\) будут показывать токи 10 мА, 20 мА, 30 мА соответственно.