МОШ, 2016/17, отборочный этап, 11 класс

Где скорость тела, брошенного под углом, минимальна и чему она там равна? Для высоты запишите закон сохранения энергии между броском и падением.

\(\alpha = 60^\circ\);  \(h = 25\) м.

При полёте тела, брошенного вверх под углом к горизонту, скорость достигает своего минимального значения \(v_0\cos\alpha\) в верхней точке траектории. Из графика находим, что начальная скорость \(v_0 = 20\) м/с вдвое больше минимальной и, следовательно, \(\alpha = 60^\circ\).

Конечная скорость шарика \(u = 30\) м/с. Применяя закон сохранения энергии, связывающий моменты падения и броска: \[\frac{mv_0^2}{2} + mgh = \frac{mu^2}{2},\] получаем \(h = \dfrac{u^2 - v_0^2}{2g} = 25\) м.

Сила может не только растягивать, но и сжимать пружину. Рассмотрите оба случая и учтите изменение энергии пружины и энергии в поле тяжести; нужна минимальная работа.

\(A = 0{,}04\) Дж.

Так как изначально груз в равновесии, \(mg = kx\). Внешняя сила может как сжимать пружину, так и растягивать. Рассмотрим оба варианта. Закон сохранения энергии при увеличении растяжения имеет вид \[\frac{kx^2}{2} + A_1 + mgx = \frac{k(2x)^2}{2},\] и \(A_1 = \dfrac12 kx^2 = 0{,}04\) Дж.

Если пружина сжимается от недеформированного состояния на \(2x\), и груз поднимается на \(3x\), то закон сохранения энергии имеет вид \[\frac{kx^2}{2} + A_2 = \frac{k(2x)^2}{2} + 3mgx,\] и \(A_2 = 9kx^2/2 = 0{,}36\) Дж. Во втором случае совершается большая работа. Также большей работы потребуют варианты, в которых в конечном состоянии груз разгоняется. Следовательно, необходимой (минимальной) работой является \(0{,}04\) Дж.

То, что работа при сжатии больше, чем при растяжении, можно объяснить и без уравнений: в конечном состоянии потенциальная энергия пружины одинакова, но потенциальная энергия в поле гравитации при подъёме явно больше.

По диаграмме \(V\) пропорционален \(\sqrt T\). Выразите давление через объём из уравнения состояния и найдите работу как площадь под графиком \(P(V)\).

\(A \approx 3{,}74\) кДж;  \(Q \approx 15\) кДж.

По уравнению состояния идеального газа \(PV = \nu RT\). По условию \(V = \alpha\sqrt T\). Исключая температуру, получим, что давление линейно зависит от объёма: \(P = \dfrac{\nu R}{\alpha^2}V\). Работа, совершённая газом, равна \[A = V_0\,\frac{P_0 + 2P_0}{2} = \frac32 P_0V_0 = \frac32\nu RT_0 = 3{,}74 \text{ кДж}.\] Здесь учтено, что \(P_0V_0 = \nu RT_0\). Количество теплоты по первому закону термодинамики равно \[Q = A + \Delta U = A + \frac32\,(2P_0\cdot 2V_0 - P_0V_0) = 6P_0V_0 = 6\nu RT_0 = 15 \text{ кДж}.\]

Через идеальный вольтметр ток не течёт, поэтому в каждой из двух параллельных ветвей резисторы соединены последовательно. Найдите токи в ветвях и разность потенциалов между точками подключения вольтметра.

\(U_{V1} = 35\) В;  \(U_{V2} = 32\) В.

Ток, текущий через идеальный вольтметр, пренебрежимо мал, поэтому можно считать, что ток \(I\) в верхней ветви в два раза меньше, чем в нижней, и равен \(I = \dfrac{1}{8R}\mathcal{E}\). Разность потенциалов между точками подсоединения вольтметра \(4IR\), следовательно, показание вольтметра \(U_{V1} = \mathcal{E}/2 = 35\) В.

Если поменять местами источник и вольтметр, то сопротивления параллельных ветвей будут относиться как 5 к 7, и если по правой ветви идёт ток \(5I\), то по левой пойдёт \(7I\), причём \(\mathcal{E} = 35IR\), а разность потенциалов точек подсоединения вольтметра \(16IR\), откуда \(U_{V2} = \dfrac{16}{35}\mathcal{E} = 32\) В.