МОШ, 2016/17, отборочный этап, 11 класс

Куда направлена скорость центра масс, пока нет горизонтальных сил? А скорость нижнего конца? Мгновенный центр лежит на перпендикулярах к этим скоростям.

Мгновенный центр вращения движется по четверти окружности радиусом \(l/2\).

Вдоль поверхности на стержень не действует внешних сил, следовательно, центр масс системы движется вдоль вертикальной линии. Нижняя точка \(A\) стержня движется горизонтально без отрыва от поверхности. Положение мгновенного центра вращения (МЦВ) в произвольный момент указано на рисунке. Расстояние от точки \(B\) до МЦВ в любой момент времени равно \(l/2\). Следовательно, МЦВ движется вдоль четверти окружности радиусом \(l/2\).

Как изменится суммарная внутренняя энергия газа? Как давление одноатомного газа связано с энергией единицы объёма?

\(\Delta x = \dfrac{2}{5}\,\dfrac{Q}{pS}\).

Из основного уравнения МКТ давление есть \(p = \dfrac{2}{3}\,n\bar w = \dfrac{2}{3}\,u\), где \(n\) — концентрация газа, \(\bar w\) — средняя кинетическая энергия одной частицы, \(u\) — плотность внутренней энергии газа (энергия единицы объёма). Заметим, что внутренняя энергия всего газа в ходе процесса не меняется, следовательно, процесс изобарический (так как \(u = \text{const}\)). Количество теплоты, подведённое газу, который расположен в левой части цилиндра, равно: \[Q = \frac{c_p}{R}\,pS\Delta x \quad\Longrightarrow\quad \Delta x = \frac{2}{5}\,\frac{Q}{pS},\] где \(\Delta x\) — искомое смещение поршня.

Кроме силы тяжести работу совершает кулоновская сила; удобно записать закон сохранения энергии с учётом энергии взаимодействия зарядов в начале (расстояние \(\sqrt5\,l\)) и в конце (расстояние \(l\)).

\(v = \sqrt{2\left(gl + k\dfrac{q^2}{lm}\left[1 - \dfrac{1}{\sqrt5}\right]\right)}\).

Запишем закон сохранения энергии для грузика массой \(m\): \[mgl - k\frac{q^2}{\sqrt5\,l} = \frac{mv^2}{2} - k\frac{q^2}{l},\] отсюда получаем: \[v = \sqrt{2\left(gl + k\frac{q^2}{lm}\left[1 - \frac{1}{\sqrt5}\right]\right)}.\]

Сначала замените три параллельно включённых источника одним эквивалентным (найдите его ЭДС и внутреннее сопротивление), затем сложите последовательные источники.

\(I = \dfrac{7E}{7r + 3R} \approx 3{,}6\) А.

Преобразуем исходную схему (см. рисунок, первая схема).

Три параллельных источника заменим на эквивалентный источник с параметрами (см. рисунок, вторая схема): \[\frac{1}{r'} = \frac1r + \frac1r + \frac1r = \frac3r \;\Rightarrow\; r' = \frac r3, \qquad E' = r'\sum I_{\text{токов короткого замыкания}} = r'\left(\frac Er + \frac Er - \frac Er\right) = \frac E3.\] Три последовательных источника заменим на эквивалентный источник с параметрами (см. рисунок, третья схема): \[r_{\text{экв.}} = r + r + \frac r3 = \frac73\,r, \qquad E_{\text{экв.}} = E + E + \frac E3 = \frac73\,E.\] Следовательно, \[I = \frac{E_{\text{экв.}}}{r_{\text{экв.}} + R} = \frac{7E}{7r + 3R} \approx 3{,}6 \text{ А}.\]

Свяжите смещение груза со смещением верхней точки обруча, к которой прикреплена пружина, и запишите полную энергию системы через скорость груза.

\(\omega_0 = \sqrt{\dfrac{4k}{m + 2M}}\).

Пусть груз массой \(m\) отклонился от положения равновесия на \(x\) вниз. Тогда деформация пружины равна \(2x\), так как обруч движется без проскальзывания. Полная энергия системы равна: \[E = -mgx + \frac{m\dot x^2}{2} + M\dot x^2 + 4\,\frac{kx^2}{2} = \text{const}.\] Продифференцировав это выражение по времени, получаем: \[-mg\dot x + m\dot x\ddot x + 2M\dot x\ddot x + 4kx\dot x = 0 \;\Longrightarrow\; \ddot x + \frac{4k}{m + 2M}\left(x - \frac{mg}{4k}\right) = 0.\] Окончательно получаем: \[\omega_0^2 = \frac{4k}{m + 2M}.\]