МОШ, 2016/17, отборочный этап, 7 класс

Если средняя скорость за весь путь равна скорости на первой трети, какова средняя скорость на оставшихся двух третях пути (с учётом остановки)?

\(T = 4{,}5\) с (длина пути \(s = 90\) см).

Если средняя скорость равна скорости на первой трети пути, значит, средняя скорость на оставшихся двух третях пути также равна 20 см/с. Теперь ясно, что со скоростью 30 см/с муравей двигался 2 секунды, и ещё секунду стоял неподвижно. Время всего путешествия: \[T = t_{1/3} + t_{2/3} = \frac{t_{2/3}}{2} + t_{2/3} = 1{,}5 + 3 = 4{,}5\text{ с},\] где \(t_{1/3}\) — время, за которое муравей прополз первую треть пути, \(t_{2/3}\) — время, за которое муравей прополз оставшиеся две трети пути (с учётом остановки).

Длина пройденного пути равна \(s = v_{\text{ср}}T = 20 \cdot 4{,}5 = 90\) см.

Сравните время прохождения участка снегопада со скоростью \(v_2\) и время, за которое Емеля прошёл бы его со скоростью \(v_1\): их разность известна.

\(1{,}25\) ч (путь за время снегопада \(s = 3{,}75\) км).

Пусть \(s\) — путь, который прошёл Емеля, двигаясь со скоростью \(v_2\). Тогда \[\frac{s}{v_2} - \frac{s}{v_1} = 30\text{ мин} = \frac12\text{ ч} \;\Rightarrow\; s = 3{,}75\text{ км}.\] Значит, снегопад шёл в течение времени \(\dfrac{s}{v_2} = 1{,}25\) ч.

Если Емеля шёл в течение \(\tau = 2\) часов, то расстояние от деревни до города \(L = s + v_1\left(\tau - \dfrac{s}{v_2}\right) = 7{,}5\) км.

Переведите объём бочки сначала в литры, затем в кубические метры; ребро кубика — кубический корень из его объёма.

\(7{,}2\) вершка (масса кубика \(m \approx 43\) кг).

1 бочка = 40 вёдер = \(40 \cdot 10\) штофов = \(400 \cdot 1{,}2\) литров = \(480 \cdot 10^{-3}\) м\(^3\). Значит, объём ледяного кубика равен \[V = 0{,}1 \cdot 0{,}48\text{ м}^3 = 0{,}048\text{ м}^3 \;\Rightarrow\; a = \sqrt[3]{V} \cong 36\text{ см} = 7{,}2\text{ вершка}.\] Масса ледяного кубика равна \(m = \rho V = 0{,}048 \cdot 900 \approx 43\) кг.

Выразите через \(M\) массу двух первых деталей: она составляет \(2/3\) от \(M\), так как масса третьей равна \(M/3\).

\(\rho_{\text{ср}} = 2{,}4\) г/см\(^3\) (третья деталь — плотность \(3{,}2\) г/см\(^3\), апатит).

Суммарная масса первой и второй деталей равна \[M_{12} = m_1 + m_2 = \left(\rho_1 + \frac{\rho_2}{2}\right)\frac{V}{2} = \frac23 M \;\Rightarrow\; \rho_{\text{ср}} = \frac{M}{V} = \frac34\left(\rho_1 + \frac{\rho_2}{2}\right) = 2{,}4\text{ г/см}^3.\] Плотность материала, из которого сделана третья деталь, равна \(\rho_3 = \dfrac43\rho_{\text{ср}} = 3{,}2\) г/см\(^3\). Из перечисленных материалов (оргстекло, фарфор, апатит, железо) подходит апатит.