зад 1 Пробег и заплыв за земляникой, 8 кл.
Петя и Вася поспорили, кто быстрее преодолеет расстояние \(l = 3{,}0\) км от дома до поляны с земляникой. Первую часть пути они бежали по лесу, а вторую плыли по озеру. Петя бежал со скоростью \(v_1 = 10\) км/ч, а Вася с \(v_2 = 11\) км/ч, но плыл Петя с \(v_3 = 2{,}0\) км/ч, а Вася с \(v_4 = 1{,}0\) км/ч. Какое время Петя плыл по озеру, если до поляны мальчики добрались одновременно?
▶ПодсказкаСкрыть
Обозначьте за \(s\) длину водного участка, одинаковую для обоих мальчиков, и приравняйте полные времена в пути.
▶ОтветСкрыть
\(t = 1{,}6\) мин.
▶РешениеСкрыть
Пусть Петя проплыл расстояние \(s\). Тогда времена движения мальчиков равны, и \[\frac{l-s}{v_1} + \frac{s}{v_3} = \frac{l-s}{v_2} + \frac{s}{v_4},\] откуда \[s = l\,\frac{\dfrac{1}{v_1} - \dfrac{1}{v_2}}{\dfrac{1}{v_1} - \dfrac{1}{v_2} - \dfrac{1}{v_3} + \dfrac{1}{v_4}}, \qquad t = \frac{s}{v_3} = \frac{l}{v_3}\,\frac{\dfrac{1}{v_1} - \dfrac{1}{v_2}}{\dfrac{1}{v_1} - \dfrac{1}{v_2} - \dfrac{1}{v_3} + \dfrac{1}{v_4}} = 1{,}6\text{ мин}.\]
зад 2 Шприц с лекарством
Масса шприца с \(V_1 = 2\) мл лекарства равна \(m_1 = 13{,}5\) г, а с \(V_2 = 5\) мл лекарства \(m_2 = 18{,}0\) г. Площадь поршня шприца \(S_1 = 1\) см\(^2\). Диаметр внутреннего отверстия иглы в \(\alpha = 20\) раз меньше диаметра поршня. Определите массу \(m\) пустого шприца, плотность \(\rho\) лекарства и среднюю скорость \(u\), с которой лекарство выходило из иглы, если весь объем \(V_2\) был выпущен за время \(t = 10\) с.
▶ПодсказкаСкрыть
Разность масс двух заполненных шприцев — это масса разности объёмов лекарства. Для скорости в игле используйте несжимаемость жидкости и помните, что площадь отверстия зависит от квадрата диаметра.
▶ОтветСкрыть
\(\rho = 1{,}5\) г/см\(^3\); \(m = 10{,}5\) г; \(u = 2\) м/с.
▶РешениеСкрыть
Плотность лекарства \[\rho = \frac{m_2 - m_1}{V_2 - V_1} = 1{,}5\text{ г/см}^3.\] Масса пустого шприца \(m = m_1 - V_1\rho = 10{,}5\) г.
Скорость лекарства на выходе из иглы \[u = \frac{\alpha^2 V_2}{S_1 t} = 2\text{ м/с}.\]
зад 3 Кубики на пружине
Деревянный кубик покоится на сжатой пружине. Если на него сверху положить еще такой же кубик, то высота всей конструкции не изменится. Определите жесткость пружины, если площадь всей поверхности каждого кубика \(S = 600\) см\(^2\). Плотность дерева \(\rho = 0{,}80\) г/см\(^3\).
▶ПодсказкаСкрыть
Запишите условие равновесия для одного кубика и для двух. Высота конструкции не меняется, значит, пружина сжалась ровно на ребро кубика больше.
▶ОтветСкрыть
\(k = \dfrac{S\rho g}{6} = 80\) Н/м.
▶РешениеСкрыть
Условие равновесия для одного кубика: \(mg = kx_0\). Для двух кубиков \(2mg = k(x_0 + a)\), при этом \(m = a^3\rho\), откуда \(a^2\rho g = k\), или \(k = \dfrac{S\rho g}{6} = 80\) Н/м.
зад 4 Цилиндры на рычаге в жидкости
На легком рычаге уравновешены два цилиндра, имеющие одинаковые размеры. При этом точка опоры делит рычаг в отношении 1 к 3, а цилиндры погружены в жидкость (левый — на треть, а правый — на две трети объема). Плотность левого цилиндра \(\rho_1 = 4{,}0\) г/см\(^3\), а правого \(\rho_2 = 2{,}2\) г/см\(^3\). Определите плотность жидкости \(\rho\).
▶ПодсказкаСкрыть
Запишите правило моментов относительно опоры, учитывая для каждого цилиндра силу тяжести и силу Архимеда по погружённой части объёма.
▶ОтветСкрыть
\(\rho = \dfrac{3}{5}(3\rho_2 - \rho_1) = 1{,}56\) г/см\(^3\).
▶РешениеСкрыть
Правило моментов относительно точки опоры рычага: \[\rho g\,\frac{1}{3}Vl + \rho_2 gV\,3l = \rho_1 gVl + \rho g\,\frac{2}{3}V\,3l,\] где \(V\) — объем тела. Отсюда после упрощения получаем \(\rho = \dfrac{3}{5}(3\rho_2 - \rho_1) = 1{,}56\) г/см\(^3\).
Источник: Московская олимпиада школьников по физике, 2016/17, отборочный этап, 8 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.