зад 1 Коля, Маша и Вася на дороге
Коля, Маша и Вася расположились на одной прямой дороге, как показано на рисунке. Коля и Вася побежали одновременно навстречу друг другу со скоростями 5 м/с и 7 м/с соответственно. Куда и с какой скоростью должна бежать Маша, чтобы все ребята встретились за наикратчайшее время? Все бегут только в выбранном направлении, и при встрече двух участников они останавливаются.
▶ПодсказкаСкрыть
Подумайте, что произойдёт с временем сближения Коли и Васи, если Маша встретится с одним из них раньше другого.
▶ОтветСкрыть
Маша должна бежать вправо (в сторону Васи) со скоростью \(1\text{ м/с}\).
▶РешениеСкрыть
Минимальное время движения ребят соответствует случаю, когда все трое встретятся одновременно. Действительно, если предположить, что кто-то из мальчиков встретится с Машей раньше, то скорость сближения Коли и Васи уменьшится, а значит, время движения увеличится.
Коля и Вася встретятся через \[\tau = \frac{s}{v_1+v_2} = \frac{300}{12} = 25\text{ с},\] где \(s\) "— расстояние между Васей и Колей, \(v_1 + v_2\) "— скорость сближения Васи и Коли. Значит, мальчики встретятся на расстоянии \(25\text{ м}\) от Маши справа. Следовательно, Маша должна идти вправо со скоростью \(1\text{ м/с}\).
зад 2 Пробка в воде и в масле
Пробка плавает сначала в воде, а потом в масле. В каком случае объём погруженной части пробки больше, и во сколько раз? Плотность воды \(\rho_\text{в} = 1{,}0\text{ г/см}^3\), плотность масла \(\rho_\text{м} = 0{,}9\text{ г/см}^3\).
▶ПодсказкаСкрыть
Плавающее тело находится в равновесии: с какой силой сравнивается сила Архимеда в обоих случаях?
▶ОтветСкрыть
Объём погруженной части больше в масле, в \(10/9 \approx 1{,}1\) раза.
▶РешениеСкрыть
Сила Архимеда равна весу плавающего тела, а потому в обоих случаях одинакова. Значит, \[\frac{F_{\text{Арх в}}}{F_{\text{Арх м}}} = \frac{\rho_\text{в} g V_\text{в}}{\rho_\text{м} g V_\text{м}} = 1 \quad\Rightarrow\quad \frac{V_\text{м}}{V_\text{в}} = \frac{\rho_\text{в}}{\rho_\text{м}} = \frac{10}{9}.\] Таким образом, объём погруженной части пробки больше в случае, когда она плавает в масле.
зад 3 Три сосуда с керосином и маслом
Три одинаковых цилиндрических сосуда, частично заполненных водой, соединены снизу трубками, как показано на рисунке. В правый сосуд налили керосин, а в левый "— масло. При этом высоты столбов керосина и масла оказались равными \(h_\text{к} = 18\text{ см}\) и \(h_\text{м} = 30\text{ см}\) соответственно. На сколько изменился уровень воды в среднем сосуде? Плотность воды \(\rho_\text{в} = 1{,}0\text{ г/см}^3\), плотность керосина \(\rho_\text{к} = 0{,}8\text{ г/см}^3\), плотность масла \(\rho_\text{м} = 0{,}9\text{ г/см}^3\).
▶ПодсказкаСкрыть
Давление на дно после добавления жидкостей не зависит от того, как их распределить по сосудам. Разлейте керосин и масло поровну по трём сосудам.
▶ОтветСкрыть
\(\Delta h = \dfrac{\rho_\text{к} h_\text{к}+\rho_\text{м} h_\text{м}}{3\rho_\text{в}} = 13{,}8\text{ см}\).
▶РешениеСкрыть
Изменение давления на дно не зависит от того, каким образом мы будем разливать керосин и масло по сосудам. Распределим жидкости одинаково по трём сосудам. Тогда, очевидно, изменение давления на дно равно \[\Delta p = \rho_\text{к} g\,\frac{h_\text{к}}{3} + \rho_\text{м} g\,\frac{h_\text{м}}{3}.\] С другой стороны, \(\Delta p = \rho_\text{в} g\,\Delta h\), где \(\Delta h\) "— искомое изменение уровня воды в среднем сосуде. Окончательно получаем \[\Delta h = \frac{\rho_\text{к} h_\text{к}+\rho_\text{м} h_\text{м}}{3\rho_\text{в}} = 13{,}8\text{ см}.\]
зад 4 «Мокрый» снег
Вася принёс домой с улицы 3 кг «мокрого» снега. «Мокрым» называют снег, содержащий воду. Температура снега \(0\,^\circ\text{C}\). Чтобы превратить снег в воду, в него пришлось влить 2 л кипящей воды при \(100\,^\circ\text{C}\). При этом температура общей массы получившейся воды осталась равной \(0\,^\circ\text{C}\). Определить процентное содержание по массе влаги (воды), которое было в снеге. \(c_\text{в} = 4{,}2\text{ кДж/(кг}\cdot{}^\circ\text{C)}\), \(\lambda = 330\text{ кДж/кг}\). Потерями тепла пренебречь.
▶ПодсказкаСкрыть
Кипяток отдаёт тепло только на плавление той части снега, которая является льдом, то есть доли \(1-x\) от его массы.
▶ОтветСкрыть
Около \(15\,\%\).
▶РешениеСкрыть
Пусть \(x\) "— массовая доля воды в мокром снеге. Запишем уравнение теплового баланса: \[(1-x)\,m\lambda = c_\text{в} M t,\] где \(m\) "— масса «мокрого» снега, \(t = 100\,^\circ\text{C}\), \(M\) "— масса кипятка. Отсюда получаем: \[x = 1 - \frac{c_\text{в} M t}{m\lambda} = 1 - \frac{4{,}2\cdot 10^3\cdot 2\cdot 100}{3\cdot 3{,}3\cdot 10^5} \approx 15\,\%.\]
Источник: Московская олимпиада школьников по физике, 2016/17, отборочный этап, 8 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.