МОШ, 2016/17, заключительный этап, 7 класс

Петя прогулялся по речному берегу от деревни Петрово до деревни Васино и, нигде не задерживаясь, вернулся назад. Его скорость во время прогулки была почти постоянной и равной скорости течения реки. Одновременно с Петей тем же самым маршрутом на лодке отправился Вася. До Васино он добрался втрое быстрее Пети и тоже, не задерживаясь, вернулся на лодке в Петрово. Сколько времени плавал на лодке Вася, если прогулка Пети длилась 120 минут? Через какое время после старта мальчики встретились? Определите, в какие моменты времени после старта расстояние между мальчиками было максимальным. Скорость лодки относительно воды можно считать постоянной.

Вова, Саша и Егор одновременно начали движение с постоянными скоростями в одном направлении (по часовой стрелке) из трех равноудаленных друг от друга точек кругового мотовелотрека.

Через некоторое время Саша, движущийся на мотоцикле с самой большой скоростью, поравнялся с Вовой и Егором, которые в тот же момент встретились в первый раз. Какая скорость \(V\) могла быть у Саши, если Егор и Вова ехали на велосипедах со скоростями \(V_1 = 10\) км/ч и \(V_2 = 20\) км/ч, соответственно? Известно, что скорость Саши не превышала 80 км/ч.

Из листа картона с поверхностной плотностью \(\sigma = 400\) г/м\(^2\) склеили закрытую со всех сторон коробочку в форме прямоугольного параллелепипеда со сторонами \(a = 20\) см, \(b = 40\) см, \(c = 60\) см. Для большей прочности коробочку равномерно покрыли снаружи толстым слоем лака с плотностью \(\rho = 1500\) кг/м\(^3\). В результате масса коробочки оказалась равной \(m = 1670\) г. Определите толщину \(h\) слоя лака. Шириной загибов картона при склеивании можно пренебречь.

В стакан, до краев заполненный жидкостью, аккуратно помещают небольшой однородный шарик, который тонет и опускается на дно. В результате средняя плотность содержимого стакана становится равной \(\rho_1 = 1200\) кг/м\(^3\). Затем в стакан добавляют еще один такой же шарик, и средняя плотность содержимого становится равной \(\rho_2 = 1260\) кг/м\(^3\). Определите плотность \(\rho_0\) жидкости в стакане.

В аэропорту Шереметьево в длинном переходе между двумя терминалами есть два параллельных друг другу траволатора – горизонтально расположенных эскалатора, имеющих одинаковые длины. Школьник Вася, отправляющийся на Международную физическую олимпиаду, заметил, что первый траволатор движется, а второй – выключен, и, ожидая свой рейс, решил немного развлечься. Он начал бегать по траволаторам туда-сюда, каждый раз возвращаясь в исходную точку. В первый раз Вася пробежал туда по движущемуся траволатору, а назад – по неподвижному. Во второй раз он пробежал туда по неподвижному траволатору, а назад – по движущемуся. Разность времен движения Васи в этих первом и втором забегах составила \(\Delta t_1 = 25\) с. В третий раз Вася пробежал в обе стороны по движущемуся траволатору, а в четвертый раз – в обе стороны по неподвижному. Разность времен движения Васи в третьем и в четвертом забегах оказалась равной \(\Delta t_2 = 5\) с. Вася развивает постоянную скорость относительно траволатора, скорость движения которого также постоянна и равна \(u = 1\) м/с. Найдите скорость \(V\) Васи относительно траволатора и определите длину траволатора. Считайте, что на ускорение, торможение и на разворот Вася тратит пренебрежимо мало времени.

Выйдя из дома, папа с дочкой Машей и сыном Ваней бегут к автобусной остановке, расстояние до которой \(S = 430\) м. Скорость Вани равна \(V = 2\) м/с, скорость Маши \(2V\), а скорость папы \(4V\). Если папа сажает любого из детей на шею, то его скорость уменьшается до \(3V\). Двоих детей одновременно папа нести не может. Через какое минимальное время вся семья сможет оказаться на остановке? Можно считать, что посадка детей на папину шею, а также разгон и торможение происходят быстро.

Три одинаковых вертикальных цилиндрических сосуда сообщаются друг с другом вблизи дна при помощи узких трубок с кранами, которые первоначально перекрыты (см. рисунок слева). В левом и правом сосудах под горизонтальными тонкими поршнями находится вода, а средний сосуд пуст. Краны одновременно открывают, и в тот же момент начинают двигать вниз оба поршня с постоянными скоростями. При этом разница уровней поршней по вертикали увеличивается со скоростью \(V\). Пользуясь графиком зависимости высоты \(h\) уровня воды в среднем сосуде от расстояния по вертикали \(l\) между поршнями (см. рисунок справа), найдите скорость каждого из поршней.

Чебурашка и Гена долго строили и, наконец, построили наглядную модель графена – двумерного кристалла углерода, состоящего из ячеек в виде правильных шестиугольников, как показано на рисунке в масштабе \(250.000.000 : 1\).

Количество ячеек в модели было большим, так что её площадь оказалась равной \(12{,}5\) м\(^2\). Атомы углерода в модели – одинаковые пластилиновые шарики, а «связи» между «атомами» – кусочки проволоки, сделанной из медного сплава. При этом объем пластилина в каждом шарике в 9 раз больше объема каждой проволочки, соединяющей соседние шарики.

Оцените массу этой модели графена. Плотность пластилина \(\rho_{\text{плас}} = 1330\) кг/м\(^3\), плотность медного сплава \(\rho_{\text{пров}} = 9000\) кг/м\(^3\). Масса проволочек, необходимых для изготовления одной-единственной ячейки графена, составляет 487 мг. Расстояние между центрами соседних атомов настоящего графена \(0{,}142\) нм (нанометр – это одна миллионная часть миллиметра). Площадь \(S\) правильного шестиугольника с длиной стороны \(a\) определяется по формуле: \(S = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^2\), где \(\sqrt{3} \approx 1{,}7\).

Источник: Московская олимпиада школьников по физике, 2016/17, заключительный этап, 7 класс — условия (1) · условия (2) · решения (1) · решения (2). Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.